2026-2027学年人教版八年级数学上册期中检测模拟试题（一）

2026-2027学年八年级上册数学期中试卷（一） 范围：人教版新教材第十三章~第十五章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】 解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 2.已知线段，，则下列长度的线段中，能与，组成三角形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和第三边两边之差． 此题考查了三角形三边关系，利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和较大的边，则能组成三角形，否则，不可以． 【详解】 解：，， 第三边， 能与，组成三角形的是， 故选：． 3.用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据高线的定义即可得出结论． 本题考查三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 【详解】 解：，，都不是的边上的高．  故选：． 4.观察图中尺规作图的痕迹，可知线段一定是(    ) A. 的角平分线 B. 的中线 C. 的高线 D. 边的中垂线 【答案】C  【解析】根据作图痕迹判断出线段是三角形的高即可． 本题考查作图基本作图，解题的关键是读懂图象信息． 【详解】 解：由作图可知，故线段是的高． 故选：． 5.如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据等边三角形的性质得，，运用三角形的外角性质得，再由等角对等边，解答即可． 本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键． 【详解】 解：等边的边长，平分， ，等边三角形的性质， ，， ， 等量代换， ，则的长为， 故选：． 6.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分做法中用到证明与全等的判定方法是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【详解】 解：在和中， ， ≌， ， 平分， 故选：． 7.在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，已知的坐标为，则的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得解． 本题考查了坐标与图形变化轴对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数可知：的坐标为， 故选：． 8.如图，在平面直角坐标系中，关于直线直线上各点的横坐标都为对称，点的坐标为，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据轴对称的性质进行计算即可． 本题主要考查了坐标与图形变化对称，熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】 解：由题知， 因为关于直线对称且直线上各点的横坐标都为， 所以点和点关于直线对称． 又因为点的坐标为， 则，， 所以点坐标为． 故选：． 9.如图，，直线与直线，分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，分别交直线，于点，，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由作图可知垂直平分线段，推出，再利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质求解． 本题考查作图基本作图，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】 解：由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 10.如图，已知与均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，那么下列结论：；；；；其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据等边三角形的性质可证明≌，得到，，据此可判断；证明≌得到，，据此可判断；证明是等边三角形，据此可判断；根据现有条件无法证明． 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定、平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】 解：与均是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ， ， ≌， ，， 故正确； 是等边三角形， ，， 故正确； ， 故正确； 由于两等边三角形的边长并不确定，点是与的交点，其位置也不确定，不一定是线段的中点，即不一定成立， 正确的有，共个， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若一个等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为          ． 【答案】  【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为或腰长为两种情况． 【详解】 解：当腰长是时，则三角形的三边是，，，，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形； 当腰长是时，三角形的三边是，，，，，能构成三角形，此时三角形的周长． 故答案为：． 12.如图，已知，平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为      ． 【答案】  【解析】过点作于点，根据角平分线性质得，再根据“垂线段最短”得：，由此得当点与点重合时，为最小，最小值为，据此即可得答案． 此题主要考查了角平分线的性质，垂线段的性质，理解垂线段的最短，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 平分，于点，， ， 点是射线上的动点， 根据“垂线段最短”得：， 当点与点重合时，为最小，最小值为． 故答案为：． 13.如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为          ． 【答案】  【解析】本题考查了翻折变换的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等． 根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再求出的周长． 【详解】解：折叠这个三角形使点落在边上的点处，折痕为， ，， ， 的周长， ， ， ， ． 故答案为：． 14.如图所示，，点为内的一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于，则           ． 【答案】  【解析】根据轴对称的性质得到，，进而得到，，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 【详解】解：点关于的对称是点，点关于的对称点，  ，，  ，， ，，  ，  ，    ，  故答案为：． 15.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点，，是的中点，是上任意一点，连接，若，则当的周长取最小值时，      用含的代数式表示 【答案】  【解析】如图，连接根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为据此解答即可． 本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解： 如图，连接． 由线段垂直平分线可知，，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ， 是等腰三角形， 点是边的中点， ， ， ， 故答案为：． 16.如图，在中，，，，则的度数为        【答案】  【解析】设，则，由等边对等角可得、，再根据三角形外角的性质可得，最后根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题主要考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握． 【详解】解：设，则， ， ， ， 等边对等角， ， ，即， 根据三角形内角和定理得，， ， 解得， 则的度数为． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； 的面积为______； 在轴上找一点，使的值最小，请画出点的位置． 【答案】 如图所示，即为所求， 的坐标为、的坐标为、的坐标为； ； 如图所示，点即为所求．   【解析】 分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； 利用割补法求面积即可； 作点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为所求． 本题主要考查作图轴对称变换以及轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径． 18.本小题分 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． 求证：是的垂直平分线． 若的面积为，，，求的长． 【答案】证明：是的角平分线，，，垂足分别是，， ，， 和是直角三角形， 在和中， ， ≌， ， ， 是的垂直平分线； 解：结合图形，得， ， ，， ， 解得：， 即的长为．  【解析】由角平分线的性质得到，再由“”证≌，得，然后再结合即可得出结论； 由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19.本小题分 如图，，是的高线，，交于点，且． 求证：； 若，，求的面积． 【答案】，是的高， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ；   的面积为  【解析】 先求得，再证明≌，即可得出结论； 根据≌，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20.本小题分 如图，在中，，，，，为的高． 求的面积和的长； 若点从点出发，以的速度沿边、运动，到达点后即刻停止运动设运动时间为，则当为何值时，的面积为？ 【答案】解：，，， ， 又，为的高， ， ， 答：的面积为，的长为； 当点在上时，， 由得， ； 当在上时，， 由得， 解得， 综上所述，当的值为或时，的面积为．  【解析】根据三角形的面积公式求解即可； 分点在上、点在上两种情况，利用三角形的面积公式列方程求解即可． 本题考查三角形的面积，一元一次方程的应用，理解题意，分类讨论求解是解答的关键． 21.本小题分 阅读理解，自主探究：  “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直所以称为“一线三垂直模型”当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形    问题解决：如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：≌；  问题探究：如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；  拓展延伸：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点的坐标． 【答案】证明：，，  ，  ，  ，  ，  又，  ≌；  解：于，于，  ，  ，  ，  ，  又，  ≌，  ，，  ，    ；  解：第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，理由如下：  分三种情况：  当时，，如图，  分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点，    同得：≌，  ，，  、，  ，，  点的横坐标为，纵坐标为，  ；  当时，，如图，    分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点，  同得：≌，  ，，  、，  ，，  点的横坐标为，纵坐标为，  ；  当时，，如图，    分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点，  同得：≌，  ，，  设，  、，  ，，，，  ，  解得，  ；  综上，第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或．  【解析】根据余角的性质得到，即可根据证明≌；  同证明≌，得到，，求出即可；  分三种情况：当时，；当时，；当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学期中试卷（一） 范围：人教版新教材第十三章~第十五章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( D 2.已知线段a=3cm,b=6cm,则下列长度的线段中，能与a,b组成三角形的是() A.2cm B.3cm C.5cm D.9cm 3.用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确 的是( 4.观察图中尺规作图的痕迹，可知线段BD一定是( B A.△ABC的角平分线 B.△ABC的中线 D C.△ABC的高线 D.AC边的中垂线 1/6 5.如图，在等边△ABC中，AB=6cm,BD平分LABC,点E在BC的延长线 上，且∠E=30°.则CE的长是() A.1cm B B.2cm C.3cm D.4cm 6.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的LAOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过 点M,N作OA,OB的垂线，交点为P,画射线OP,则OP平分LAOB.做法中用到证明△OMP与 △ONP全等的判定方法是() A.SAS B.SSS C.ASA D.HL 7.在平面直角坐标系中，点A和点B关于x轴对称，已知A的坐标为(3，-4)，则B的坐标为() A.(3,4) B.(-3,-4) C.(-4,3) D.(-3,4) 8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，点C的 坐标为(4,1)，则点B的坐标为() B C(4,1) A.(-2,1) B.(-3,1) C.(-2,-1) D.(-3,-1) 216 9.如图，a/b,直线与直线a,b分别交于B,A两点，分别以点A,B为 圆心，大于号AB的长为半径画弧，两弧相交于点E,F,作直线EF,分 别交直线a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=34°，则∠CAB的度数为 () A.34° B.46° C.50° D.56° 10.如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B,C,E在同一条直线上，AE与BD交于点 O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC,FG,那么下列结论：①AE=BD:②AG=BF; ③FG=CG;④FG/BE:⑤A0=OE.其中正确的个数为() B E A.2 B.3 C.4 D.5 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 B 11.若一个等腰三角形两边长分别为4cm和2cm,则它的周长为 C 12.如图，已知LAOB=60°，OC平分LAOB,点P在OC上，PD1OA于点D,PD= 3cm,点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm. 13.如图的三角形纸片ABC中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点C的直 线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD,则△BED的周长为 cm. E P B D 14.如图所示，∠AOB=41°，点P为LA0B内的一点，分别作出P点关于OA、OB N 的对称点P1、P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,则LMPN=一· M 3/6 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M,N,D 是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC,PD.若∠B=a,则当△PCD的周长取 最小值时，∠CPD= (用含的代数式表示) 16.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=BC,∠BDC=2∠ABD,则∠C的度数 为 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4), (1)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1, A 并写出A1、B1、C,的坐标： (2)△ABC的面积为 (3)在y轴上找一点P,使PA+PC的值最小，请画出点P的位置 18.(本小题10分) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF1AC,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD 相交于点G, (I)求证：AD是EF的垂直平分线. (2)若△ABC的面积为32，AC=10,DE=4,求AB的长， G E 4/6 19.(本小题10分) 如图，AD,BE是△ABC的高线，AD,BE交于点F,且AD=BD. (1)求证：BF=AC; (2)若AF=1,CD=3,求△ABC的面积. A 20.(本小题10分) 如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm,CD为△ABC的高. (1)求△ABC的面积和CD的长： (2)若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB、BC运动，到达点C后即刻停止运动.设运动时间 为ts,则当t为何值时，△PAC的面积为6cm2? D B 5/6 21.(本小题12分) 阅读理解，自主探究： 一线三垂直模型是“一线三等角模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相 互垂直.所以称为一线三垂直模型”当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等 三角形 E 图1 图2 图3 (I)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE 于D,BE⊥DE于E,求证：△ADC≌△CEB: (2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD1CE 于D,BE1CE于E,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长： (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,6)，点B的坐标为(6,2)，第一 象限内是否存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标， 6/62026-2027学年八年级上册数学期中试卷（一) 范围：人教版新教材第十三章~第十五章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是() ▣ 【答案】C 【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的 关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合。 【详解】 解：A,B,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形 C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，所以是轴对称图形 故选：C 2.已知线段a=3cm,b=6cm,则下列长度的线段中，能与a,b组成三角形的是() A.2cm B.3cm C.5cm D.9cm 【答案】C 【解析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和>第三边>两边之差. 此题考查了三角形三边关系，利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大 小.两个较小边的和>较大的边，则能组成三角形，否则，不可以： 1/18 【详解】 解：：a=3cm,b=6cm, 3cn<第三边<9cm, .能与a,b组成三角形的是5cm, 故选：C 3.用一块含30°角的透明直角三角板画己知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正 确的是() 【答案】B 【解析】根据高线的定义即可得出结论。 本题考查三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键。 【详解】 解：A,C,D都不是△ABC的边BC上的高. 故选：B 4.观察图中尺规作图的痕迹，可知线段BD一定是() B A.△ABC的角平分线 B.△ABC的中线 C.△ABC的高线 D.AC边的中垂线 【答案】C 【解析】根据作图痕迹判断出线段BD是三角形ABC的高即可. 本题考查作图-基本作图，解题的关键是读懂图象信息， 【详解】 解：由作图可知BD L AC,故线段BD是△ABC的高. 2/18 故选：C 5.如图，在等边△ABC中，AB=6c,BD平分∠ABC,点E在BC的延 长线上，且∠E=30°则CE的长是() A.1cm B B.2cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】根据等边三角形的性质得∠ACB=60°，DC=AD=3cm,运用三角形的外角性质得 ∠EDC=30°=∠E,再由等角对等边，解答即可. 本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键. 【详解】 解：：等边△ABC的边长AB=6cm,BD平分∠ABC, ∠ACB=60°，DC=AD=3cm(等边三角形的性质)， :∠E=30°，∠E+∠EDC=∠ACB, ÷∠EDC=60°-30°=30°， ·∠EDC=LE(等量代换)， CD=CE=3cm,则CE的长为3cm, 故选：C. 6.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的LAOB的两边上，分别取OM=ON,再分别 过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P,画射线OP,则OP平分LAOB.做法中用到证明△OMP 与△ONP全等的判定方法是() A.SAS B.SSS C.ASA D.HL 3/18 【答案】D 【解析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可. 本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角 形的判定方法，属于中考常考题型. 【详解】 解：在Rt△POM和Rt△PON中， (OP=OP LOM=ON' Rt△POM≌Rt△PONHL, ∠POM=∠PON, ·.OP平分∠AOB, 故选：D, 7.在平面直角坐标系中，点A和点B关于x轴对称，已知A的坐标为(3，一4)，则B的坐标为 () A.(3,4) B.(-3,-4) C.(-4,3) D.(-3,4) 【答案】A 【解析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得解 本题考查了坐标与图形变化一轴对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 【详解】 解：根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数可知：B的坐标为3,4)， 故选：A. 8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，点C 的坐标为(4,1)，则点B的坐标为() B C(4.1) m A.（-2,1) B.(-3,1) C.(-2,-1) D.(-3,-1) 4/18 【答案】A 【解析】根据轴对称的性质进行计算即可， 本题主要考查了坐标与图形变化-对称，熟知轴对称的性质是解题的关键. 【详解】 解：由题知， 因为△ABC关于直线m对称且直线m上各点的横坐标都为1， 所以点C和点B关于直线x=1对称. 又因为点C的坐标为(4,1)， 则4-1=3,1-3=一2， 所以点B坐标为(-2,1)： 故选：A, 9.如图，a心，直线1与直线a,b分别交于B,A两点，分别以点 A,B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E,F, B 作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若LCDA=34°， 则LCAB的度数为() A.34° B.46° C.50° D.56° 【答案】D 【解析】由作图可知CD垂直平分线段AB,推出CA=CB,再利用等腰三角形的三线合一的 性质以及平行线的性质求解. 本题考查作图一基本作图，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题. 【详解】 解：由作图可知CD垂直平分线段AB, ..CA=CB, CD 1 AB, ∠ACD=∠BCD, .a//b, ∴∠ADC=∠BCD=34°， ∠ACB=2∠BCD=68°， 5/18 ·∠CAB=∠CBA=(180°-68)=56 故选D 10.如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B,C,E在同一条直线上，AE与BD交 于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC,FG,那么下列结论：①AE=BD: ②AG=BF:③FG=CG;④FG/BE;⑤AO=OE.其中正确的个数为() B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】根据等边三角形的性质可证明△ACE≌△BCD,得到AE=BD,LCAE=∠CBD,据 此可判断①：证明△ACG≌△BCF得到AG=BF,CF=CG,据此可判断②：证明△CFG是 等边三角形，据此可判断③④：根据现有条件无法证明⑤. 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定、平行线的判定等，熟练掌握 全等三角形的判定与性质是解答本题的关键。 【详解】 解：r△ABC与△CDE均是等边三角形， ÷∠DCE=∠ACB=60°，AC=BC,CE=CD, ·∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD ·LACE=LBCD 在△ACE和△BCD中， (AC=BC ∠ACE=∠BCD, CE=CD △ACE≌△BCD(SAS), ÷AE=BD,∠CAE=∠CBD, 故①正确： ∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°， 6/18 ·LACG=∠BCF, ÷△ACG≌△BCFASA), ·AG=BF,CF=CG, 故②正确： △CFG是等边三角形， FG=CG,LCFG=60°， 故③正确： ·∠CFG=LACB ÷FG/BE, 故④正确： 由于两等边三角形的边长并不确定，点O是AE与BD的交点，其位置也不确定，不一定是线 段AE的中点，即AO=OE不一定成立， ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若一个等腰三角形两边长分别为4cm和2cm,则它的周长为 【答案】10cm 【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目 定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常 重要，也是解题的关键。 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2cm或腰长为4c两种情况. 【详解】 解：当腰长是2cm时，则三角形的三边是2cm,2cm,4cm,2+2=4(cm),不满足三角形的 三边关系，不能构成三角形： 当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm,4cm,2cm,4+2=6(cn)>4cn,4-2=2(cm)<4cm, 能构成三角形，此时三角形的周长=4+4+2=10(c). 故答案为：10cm. 7/18 12.如图，已知LAOB=60°，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD1OA于点 B D,PD=3cm,点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为cm. 【答案】3 【解析】过点P作PF⊥OB于点F,根据角平分线性质得PF=PD=3c, 再根据“垂线段最短得：PE≤P℉=3，由此得当点E与点F重合时，PE为 D 最小，最小值为3cm,据此即可得答案。 此题主要考查了角平分线的性质，垂线段的性质，理解垂线段的最短，熟练掌握角平分线的性 质是解决问题的关键 【详解】解：过点P作PF⊥OB于点F,如图所示： B E D A :OC平分∠AOB,PD1OA于点D,PD=3cm, .PF=PD=3cm, :点E是射线OB上的动点， ∴根据垂线段最短得：PE≤PF=3, ∴当点E与点F重合时，PE为最小，最小值为3c 故答案为：3. 13.如图的三角形纸片ABC中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点C的直线折叠这个三 角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD,则△BED的周长为c. B D 【答案】9 【解析】本题考查了翻折变换的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等. 根据翻折变换的性质可得CE=AC,DE=AD,然后求出BE,再求出△BED的周长=AB+BE 【详解】解：折叠这个三角形使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD, 8/18 .CE=AC,DE=AD, .BE=BC-CE=BC-AC=6-5=1cm, ÷△BED的周长=BD+DE+BE, =BD+AD+BE, =AB+BE, =8+1, =9cm. 故答案为：9. 14.如图所示，∠AOB=41,点P为LAOB内的一点，分别作出P点关 于OA、OB的对称点P1、P,连接P1P,交OA于M,交OB于N,则 ∠MPN= 【答案】98 【解析】根据轴对称的性质得到PM=P1M,PN=PN,进而得到 ∠PMN=2LP1,∠PNM=2LP2,可得到∠PPP1=180°-∠AOB=139°， 再由三角形内角和定理可得∠P1+∠P2=41°，即可求解 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定 理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键」 【详解】解：P点关于OA的对称是点P1,P点关于OB的对称点P, .PM=P M,PN=P,N, ∠P2=∠PPN,∠P1=∠P1PM, ÷∠PMN=2LP1,∠PNM=2LP2, :∠AOB=41°， ÷∠P2PP1=180°-∠AOB=139°， ∠P1+∠P2=180°-∠P2PP1=41° ∴∠MPN=180°-∠PNM-∠PMN=180°-2∠P2-2∠P1=180°-2（∠P1+∠P)=180°-2× 41°=98°， 故答案为：98. 9/18 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M, N,D是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC,PD.若∠B=,则当△PCD 的周长取最小值时，∠CPD=.(用含o的代数式表示) 【答案】180°-2a D 【解析】如图，连接AP根据MN垂直平分AC,推出PA=PC,∠PAC=∠PCA, 所以PC+PD=PA+PD,当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD据此解 答即可. 本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键， 【详解】解： N M D 如图，连接AP. 由线段垂直平分线可知，PA=PC,∠PAC=∠PCA, .PC+PD=PA+PD, 当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD. :△PCD周长最小值=PC+PD+CD=AD+CD .AB=AC, △ABC是等腰三角形， :点D是边BC的中点， ∴∠BAC=2∠CAD, '∠CPD=∠PAC+∠PCA=2∠CAD, ∠BAC=∠CPD=180°-2a, 故答案为：180°-2a. 10/18 16.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=BC,∠BDC=2∠ABD,则∠C的度数为 【答案】72 【解析】设LABD=x,则∠BDC=2x,由等边对等角可得LC=∠BDC=2x、∠ABC=∠C=2x, 再根据三角形外角的性质可得A=x,最后根据三角形内角和定理列方程求解即可. 本题主要考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握， 【详解】解：设LABD=x,则∠BDC=2x, .BD=BC, ∴∠C=LBDC=2x, .AB=AC, ·∠ABC=∠C=2x(等边对等角)， :∠BDC=∠ABD+∠A, 2x=x+∠A,即∠A=x, :根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠C+∠A=180, 5x=180°， 解得x=36°， -∠C=2x=72.则∠C的度数为72. 故答案为：72， 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4): (I)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B,C1,并写出A1、B1、C1的坐标； (2)△ABC的面积为： (3)在y轴上找一点P,使PA+PC的值最小，请画出点P的位置， 【答案】 (1)如图1所示，△AB1C,即为所求， A1的坐标为(1，一1)、B1的坐标为(4，-2)、C1的坐标为(3，-4)： 2器 (3)如图2所示，点P即为所求， 11/18 y A A 图2 【解析】 (I)分别作出点A,B,C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得： (2)利用割补法求面积即可： (3)作点A关于y轴的对称点A',再连接A'C,与y轴的交点即为所求 本题主要考查作图-轴对称变换以及轴对称一最短路线问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变 换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径， 18.(本小题10分) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE 1 AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD 相交于点G (I)求证：AD是EF的垂直平分线. (2)若△ABC的面积为32，AC=10,DE=4,求AB的长. 【答案】(I)证明：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF1AC,垂足分别是E,F, ·.DE=DF,∠AED=∠AFD=90°， ÷△AED和△AFD是直角三角形， 在Rt△AED和Rt△AFD中， (DE=DF AD=AD ·Rt△AED≌Rt△AFD(HL, D ..AE=AF, .DE=DF, ·AD是EF的垂直平分线： 12/18 (2)解：结合图形，得SAABD+S△ACD=S△ABC, AB.DE+AC.DF=32, DE=DF=4,AC=10, ×4×AB+5×10×4=32, 解得：AB=6, 即AB的长为6. 【解析】(I)由角平分线的性质得到DE=DF,再由HL”证Rt△AED≌Rt△AFD,得AE=AF, 然后再结合DE=DF即可得出结论： (2)由S△ABD+S△ACD=S△ABC列式计算即可. 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全 等三角形的判定与性质是解题的关键. 19.(本小题10分) 如图，AD,BE是△ABC的高线，AD,BE交于点F,且AD=BD. (1)求证：BF=AC: (2)若AF=1,CD=3,求△ABC的面积. 【答案】：AD,BE是△ABC的高， ·.AD1BC,BE⊥AC, ·∠ADB=∠ADC=∠AEF=90°， ∠AFE=∠BFD, ·.∠FBD=∠CAD, 在△FDB和△CDA中， LFDB=∠CDA BD=AD (∠FBD=∠CAD ∴.△FDB≌△CDA(ASA), .BF=AC; △ABC的面积为14 【解析】 (I)先求得∠FBD=∠CAD,再证明△FDB≌△CDA,即可得出结论： (2)根据△FDB≌△CDA,得到FD=CD=3,求出BD=4,BC=7,再根据三角形面积公式 13/18 即可求解， 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。 20.(本小题10分) 如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm,CD为△ABC的高. (I)求△ABC的面积和CD的长： (2)若点P从点A出发，以Ic/s的速度沿边AB、BC运动，到达点C后即刻停止运动.设运动 时间为ts,则当t为何值时，△PAC的面积为6cm? 【答案】解：(I)∠BCA=90°，BC=6cm,AC=8cm, SaA2=号×8X6=24(cm, 又：AB=10cm,CD为△ABC的高， ÷5×10.CD=24, D .CD=4.8cm, 答：△ABC的面积为24cm2,CD的长为4.8cm: (2)①当点P在AB上时，AP=tcm, 由SAAc=5AP×CD=6cm得t×4.8=6, t=2.5: ②当P在BC上时，CP=10+6-t=(16-t)cm, 由S△Ape=AC.CP=6cm2得×8·(16-0=6， 解得t=14.5, 综上所述，当t的值为2.5或14.5时，△PAC的面积为6cm2. 【解析】(1)根据三角形的面积公式求解即可： (2)分点P在AB上、点P在AC上两种情况，利用三角形的面积公式列方程求解即可. 本题考查三角形的面积，一元一次方程的应用，理解题意，分类讨论求解是解答的关键， 14/18 21.(本小题12分) 阅读理解，自主探究： 一线三垂直模型是“一线三等角模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相 互垂直.所以称为一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等 三角形 E D 图1 图2 图3 (I)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD1 DE于D,BE 1 DE于E,求证：△ADC≌△CEB: (2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD1 CE于D,BE1CE于E,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,6)，点B的坐标为(6,2)，第 一象限内是否存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标 【答案】(I)证明：AD 1 DE,BE 1 DE, .∠D=∠E=90°， ∠ACB=90°， ·∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°， ·.∠DAC=∠BCE, 又：AC=BC, ∴△ADC≌△CEB: (2)解：AD1CE于D,BE1CE于E, ∠ADC=∠BEC=90°， :∠ACB=90°， ·.∠DAC+∠DCA=∠DCA+BCE=90°， ∴∠DAC=∠BCE, 又：AC=BC, 15/18 .△ADC≌△CEB(AAS), .CE=AD=2.5cm,CD=BE, DE =1.7cm, .CD=CE-DE=0.8cm .BE=0.8cm; (3)解：第一象限内存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当∠PAB=90°时，AP=AB,如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F, B 图③ 同(I)得：△ABE≌△PAF(AAS), ·BE=AF,AE=PF, A(-2,6、B(6,2), BE=2+6=8,AE=6-2=4, ∴点P的横坐标为4-2=2，纵坐标为8+6=14， P(2,14): ②当LPBA=90时，AB=BP,如图④， y E B 图④ 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F, 16/18 同(1)得：△ABE≌△BPF(AAS), .BE=PF,AE=BF, A(-2,6)、B(6,2), BE=2+6=8,AE=6-2=4, 点P的横坐标为6+4=10，纵坐标为2+8=10， P(10,10): ③当∠APB=90时，AP=BP,如图⑤， 0 图⑤ 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F, 同(I)得：△APE≌△PBF(AAS), .PE=BF,AE=PF, 设P区，y), A(-2,6)、B(6,2), ..x+2=PE,y-2=BF,y-6=AE,6-x=PF, X+2=y-2 y-6=6-x 解得飞子 P(4,8): 综上，第一象限内存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2,14)或(10,10) 或(4,8) 【解析】(I)根据余角的性质得到∠DAC=∠BCE,即可根据AAS证明△ADC≌△CEB; (2)同(1)证明△ADC≌△CEB,得到CE=AD=2.5cm,CD=BE,求出CD即可： (3)分三种情况：①当∠PAB=90时，AP=AB;②当LPBA=90时，AB=BP:③当∠APB=90° 时，AP=BP;分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题. 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质， 17/18 直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三 角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型. 18/18 2026-2027学年八年级上册数学期中试卷（一） 范围：人教版新教材第十三章~第十五章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是(     ) A. B. C. D. 2.已知线段，，则下列长度的线段中，能与，组成三角形的是(     ) A. B. C. D. 3.用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(     ) A. B. C. D. 4.观察图中尺规作图的痕迹，可知线段一定是(     ) A. 的角平分线 B. 的中线 C. 的高线 D. 边的中垂线 5.如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且则的长是(     ) A. B. C. D. 6.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分做法中用到证明与全等的判定方法是(     ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，已知的坐标为，则的坐标为(     ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，关于直线直线上各点的横坐标都为对称，点的坐标为，则点的坐标为(     ) A. B. C. D. 9.如图，，直线与直线，分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，分别交直线，于点，，连接，若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 10.如图，已知与均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，那么下列结论：；；；；其中正确的个数为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若一个等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为           ． 12.如图，已知，平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为       ． 13.如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为          ． 14.如图所示，，点为内的一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于，则           ． 15.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点，，是的中点，是上任意一点，连接，若，则当的周长取最小值时，       用含的代数式表示 16.如图，在中，，，，则的度数为       ． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出关于轴成轴对称的图形， 并写出、、的坐标； 的面积为______； 在轴上找一点，使的值最小，请画出点的位置． 18.本小题分 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． 求证：是的垂直平分线． 若的面积为，，，求的长． 19.本小题分 如图，，是的高线，，交于点，且． 求证：； 若，，求的面积． 20.本小题分 如图，在中，，，，，为的高． 求的面积和的长； 若点从点出发，以的速度沿边、运动，到达点后即刻停止运动设运动时间为，则当为何值时，的面积为？ 21.本小题分 阅读理解，自主探究：  “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直所以称为“一线三垂直模型”当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形    问题解决：如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：≌；  问题探究：如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；  拓展延伸：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $