专题29.2.1 垂直于弦的直径（专题训练）-2026-2027学年人教版九年级数学上册《知识解读·题型专练》
|
2份
|
42页
|
60人阅读
|
2人下载
内容正文：
专题29.2.1 垂直于弦的直径（专题训练）
【新教材人教版】
题型归纳
题型 1··利用垂径定理判断正误 1
题型 2··利用垂径定理求角度 4
题型 3··利用垂径定理求线段长度 8
题型4··利用垂径定理求坐标 12
题型 5··利用垂径定理求平行弦问题 17
题型 6··利用垂径定理求同心圆问题 20
题型 7·垂径定理的实际应用 24
题型 1··利用垂径定理判断正误
1．下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．经过三个点一定可以作一个圆
【答案】B
【分析】根据圆的基本性质与确定圆的条件判断．
【详解】A、当这条弦本身是直径时，另一条直径与它互相平分但不一定垂直，说法错误；
B、圆沿任意一条直径所在的直线折叠都能重合，绕圆心旋转也能与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
C、对称轴是直线，直径是线段，应该说“直径所在的直线”，说法错误；
D、当三个点在同一条直线上时不能作圆，说法错误．
2．下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
3．如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．，
C．为等腰三角形 D．为等边三角形
【答案】D
【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A．
根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B．
根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，A正确
∵，
∴，，B正确
∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴C正确，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定．
4．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答．
【详解】解：如图：连接、，
∵是的直径，为弦，于点，
∴，，，
∴，，
∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意；
证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意，
无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意．
故选：B．
题型 2··利用垂径定理求角度
5．如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂直得到，由圆周角定理得到，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设于点，
∴，
∵，
∴，
∵所对圆周角为，所对圆心角为，
∴，
故选：D ．
6．如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要利用垂径定理、圆周角定理和圆内接四边形的性质来求解的度数．
利用垂径定理得出，再利用圆周角定理计算的度数，最后利用圆内接四边形的性质计算的度数．
【详解】解：在上取一点，连接，
∵是的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆中的相关性质是解题的关键．连接，，根据圆周角定理得，再根据垂径定理得，从而可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
，
，
，
，
的度数为，
故选：C．
8．如图，点A，B，C，D均在上，弦垂直于直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，连接，先由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵弦垂直于直径，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键．
9．如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
题型 3··利用垂径定理求线段长度
10．如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案．
【详解】如图所示，连接，
∵为的直径，弦，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵的半径为6，
∴．
11．如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，由，得，在中，利用勾股定理得，再由垂径定理可得．
【详解】解：连接，
∵，半径为3，
∴，，
∵，是的直径，
∴
,
∴，
故选：B．
12．如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
设的半径长为，
∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径长为米．
故选：D．
13．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可．
【详解】解：设的半径是r，
∵弦，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径长为10．
故选：C．
14．如图，在中为直径，为弦，于点，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】连接，根据垂径定理推论得出， ，由勾股定理可得出半径的长，即可求出．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，为直径，，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理推论判断出垂直平分是解答此题的关键．
题型4··利用垂径定理求坐标
15．如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
16．如图，则在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于点，两点，点的坐标为_____．
【答案】
【分析】过点作于，连接，由点的坐标可得，，进而由垂径定理得，即得，又根据切线的性质可得四边形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解．
【详解】解：过点作于，连接，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键．
17．如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N坐标为___________．
【答案】
【分析】过点作于点，由垂径定理即可求得，易证得四边形是矩形，即可得，设,在中，由，可得方程，继而可求得答案．
【详解】
解：过点P作于点A，如图所示：
∴，
∵以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的与平行于y轴的直线交于两点．
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设,
则PM=OP=a,
∵点M的坐标是，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点N的坐标为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，9），则点D的坐标是________．
【答案】（8，1）
【分析】连接，过点作于点，设⊙P与的切点为，连接并延长，与交于点，根据勾股定理求出的长度，即可知，运用垂径定理得出的长度，则结果可得．
【详解】解：连接，过点作于点，
设⊙P与的切点为，连接并延长，与交于点，
点A的坐标是（0，9），⊙P的半径为5，
，
，，
根据勾股定理：，
即，
，
⊙P与x轴、y轴都相切，
轴，，
根据垂径定理可得：，
，
点D的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，圆切线的性质以及垂径定理，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键．
题型 5··利用垂径定理求平行弦问题
19．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
【答案】A
【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接，
，，，
则，
，
，，
，
此时弦与的距离为17；
当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，
同理，，
，，
，
此时弦与的距离为7，
弦与的距离为17或7．
故选：A．
20．在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________．
【答案】14或2
【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示，
过O作，
∵，
∴，
根据题意得：，
此时两平行弦间的距离；
当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得：
，
综上，两平行弦间的距离等于14或2．
21．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______．
【答案】或
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．
，
，
，．
，
，，
，即此时与间的距离是；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．
，
，
，．
，
，，
，即此时与间的距离是．
综上可知与间的距离是或．
故答案为：或．
22．已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____．
【答案】1或7
【分析】连接，，过点O作直线于F，交于E，由，根据垂径定理得到，再根据勾股定理可计算出，，然后分类讨论：①当和在圆心的两侧时，则；②当和在圆心的同侧时，则．
【详解】解：如图所示，连接，，过点O作直线于F，交于E，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴；
①当和在圆心的两侧时，则；
②当和在圆心的同侧时，则；
则与间的距离为1或7．
23．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________．
【答案】2或14
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键．
由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接，
由垂径定理可知，
在中，；
在中，，
所以；
②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接，
同（一）可知：，
所以．
故答案为：2或14．
题型 6··利用垂径定理求同心圆问题
24．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键．
当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围．
【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点，
∴，
∴，
在中，，，
∴ ，
∴；
当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，
此时，
所以的取值范围是．
故选：A．
25．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键．
作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点，连接、，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
26． 如图，一入口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
27．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________．
【答案】
【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或r（舍去），
即小圆半径是，
故答案为：．
题型 7·垂径定理的实际应用
28．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______．
【答案】
【分析】过点作于，延长交于，连接、，根据垂径定理可得，，利用勾股定理求出，，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于，延长交于，连接、，
由题意可知，，，，，
∴，
∴，，
∴，
，
∴油面上升了．
29．如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）．
(1)求拱桥所在圆的半径；
(2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）．
【答案】(1)10m
(2)
【分析】（1）设圆心为，由垂径定理得，在中利用勾股定理列方程求出半径；
（2）水位上升后拱高变小，仍用"半径、弦心距、半弦长"的直角三角形模型，以新弦心距代入勾股定理求新水面的宽度．
【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，半径为，连接、（如图），则、、三点共线，，
，
是弧的中点，且，
（垂径定理），
在中，，即，
，
解得，
拱桥所在圆的半径为．
（2）解：水位上升后，设水面与弧交于点、，过作于（如图），则、、、四点共线，，
此时拱高为，
，
且过圆心，
（垂径定理），
在中，，，
，
，
水面的宽度为．
【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，关键是将拱桥问题化归为"半径、弦心距、半弦长"组成的直角三角形模型；水位变化只改变弦心距，模型不变，重新代入勾股定理即可求解．
30．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米．
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？
【答案】(1)米
(2)不需要采取紧急措施
【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长．
【详解】（1）解：连接，
由题意得：米，米，
在中，有，解得米；
（2）解：连接．
米，
∴在中，（米），
米．
，
∴不需要采取紧急措施．
31．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
解决问题：
(1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由；
(2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个．
【答案】(1)能顺利通行，理由：
如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接，
则米，
∴，解得米，
根据题意可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行；
(2)7或8
【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质．
（1）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案．
（2）先求出二次函数的解析式，然后根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼．
【详解】（1）略
（2）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
则点B的坐标为，
设函数关系式为，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
∴当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
∴，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：；
方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
故答案为：7或8．
32．河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为．
(1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；
(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．
【答案】(1)
如图所示，作弦的垂直平分线，交弧 于点 C，连接，作的垂直平分线，和的交点即是圆心O的位置；
如图所示，连接．
(2)的半径为
【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理．关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心．
（1）利用垂径定理可知，圆心O是两条弦中垂线的交点；
（2）连接．由题意可知，，则，设的半径为，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）略
由题意可知，，则，
设的半径为，则．
在中， ，
解得 ，
所以的半径为 ．
33．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为．
(1)求圆弧形拱顶的半径的长度；
(2)求的长度．
【答案】(1)13m
(2)10m
【分析】本题考查了垂径定理的应用：
（1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可；
（2）利用勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：设与交于G，与交于H．
，，，，
，，，
设圆拱的半径为r，
在中，，
，
解得，
圆弧形拱顶的半径的长度为；
（2）解：，
，
在中，，
，
解得，
，
．
2 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
专题29.2.1 垂直于弦的直径（专题训练）
【新教材人教版】
题型归纳
题型 1··利用垂径定理判断正误 1
题型 2··利用垂径定理求角度 4
题型 3··利用垂径定理求线段长度 8
题型4··利用垂径定理求坐标 12
题型 5··利用垂径定理求平行弦问题 17
题型 6··利用垂径定理求同心圆问题 20
题型 7·垂径定理的实际应用 24
题型 1··利用垂径定理判断正误
1．下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．经过三个点一定可以作一个圆
2．下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
3．如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．，
C．为等腰三角形 D．为等边三角形
4．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型 2··利用垂径定理求角度
5．如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A，B，C，D均在上，弦垂直于直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型 3··利用垂径定理求线段长度
10．如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．
11．如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
12．如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
13．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
14．如图，在中为直径，为弦，于点，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
题型4··利用垂径定理求坐标
15．如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，则在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于点，两点，点的坐标为_____．
17．如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N坐标为___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，9），则点D的坐标是________．
题型 5··利用垂径定理求平行弦问题
19．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
20．在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________．
21．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______．
22．已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____．
23．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________．
题型 6··利用垂径定理求同心圆问题
24．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________．
26． 如图，一入口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm
27．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________．
题型 7·垂径定理的实际应用
28．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______．
29．如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）．
(1)求拱桥所在圆的半径；
(2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）．
30．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米．
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？
31．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
解决问题：
(1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由；
(2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个．
32．河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为．
(1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；
(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．
33．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为．
(1)求圆弧形拱顶的半径的长度；
(2)求的长度．
2 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
