29.2.1垂直于弦的直径 (1) 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.2.1垂直于弦的直径 一、单选题 1,如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E,若AB=8,OE=3,则⊙O的半径长为(） C E B D A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为M,OM:OC=3:5,则AB的长为 D B A.16cm B.8cm C.6cm D.4cm 3.若⊙O的直径为10cm,弦AB‖CD,AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为() A.Icm B.7cm C.lcm或7cm D.2cm或7cm 4.如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD,垂足为E,若AB=12,BE=3,则CD的长为（) B E D A.33 B.9 C.65 D.65 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知 试卷第1页（供3页） 圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则 点C到AB的距离等于（) 0 水面 图1 图2 A.1米 B.(4-√7)米 C.2米 D.(4+√7)米 6.如图，已知⊙O的半径为5，AB=8,CD⊥AB于点D,且经过点O,则BC的长是() A.45 B.4v5 C.4v2 D.25 7.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E,若B为CD的中点，则下列说法错误的是() D E B A.AC=AD B.OE=BE C.CE=DE D.AB⊥CD 8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心.若AB=60m,C是AB的中 点，D是AB的中点，且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为() D A.50m B.54m C.60m D.80m 9.下列命题正确的有（) 试卷第1页（共3页） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条 弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 10.如图，在⊙0中，OC1AB于点C,若OC=3,AB=8,则⊙O的半径长为 B 11.如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”·图2是月洞门的示意 图，月洞门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱 高.已知AB=3m,CD=2.5m,则月洞门所在圆的半径为 m. D 图1 图2 12.如图，OC是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点D.若OA=10,OD=6,则AB= B 13.如图，拱桥可以近似的看作直径为260m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路 面AB长度为100m,那么这些钢索中最长的一根的长度为 m. 试卷第1页（共3页） 钢索 B ■路面 桥拱 14.如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C,D两 点，若AC=CD=4,则小圆半径是 A B 0 15.如图，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm,OD=3cm,则⊙O的半 径为 cm B 三、解答题 16.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD⊥AB,垂足为点E,连接BC,CD=4V5,BE=2,求△ABC 的面积. A B E 17.如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E,∠AEC=60°，且AE=5cm,EB=lcm,求CD的长， 0 B 试卷第1页（共3页） 18.如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点. D 7B (1)求证：AC=BD; (2)若AB=8,BD=1,小圆的半径为5，求大圆的半径R的值. 19.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 cm B 20.如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O,直径AB是河底线，弦CD是水位线，已知拱 桥的跨度AB=13m,若测得某时水面宽度CD=12m,求水深OE是 21.文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌.如图1，某修复师修复一件破碎的古代 瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸.图2是修复师根据碎片切面 绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧AB,设圆弧所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB于D,连接OB.已知 AB=12cm,CD=2cm,求盆口半径OB的长度. C A B O 图1 图2 试卷第1页（共3页） 《29.2.1垂直于弦的直径》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C C B A B A A 1.D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径， 【详解】解：连接OA. C :CD是⊙O的直径，CD⊥AB, E B D AE=AB」 2 AB=8, ∴.AE=4. OE=3,CD⊥AB, .OA=VAE2+OE2=V42+32=5. 2.B 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧， 连接OA,根据题意可得⊙O的半径为5cm,再由OM:OC=3:5,则可以求出OM=3cm,根据勾股定理和 垂径定理可求得AB的长度. 【详解】解：连接OA, 答案第1页（共2页） D :⊙O的直径CD=10cm, ∴.⊙0的半径为5cm, .04=OC=5cm, 又：OM:0C=3:5, .OM=3cm, :AB⊥CD, ∴AM=BM, 在Rt△AOM中，AM=VOA2-OM2=V52-32=4(cm), .AB=2AM=2×4=8(cm). 故选：B。 3.C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.注意分类讨论， 由于弦AB‖CD，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两 弦间距离。 【详解】解：过O点作OE⊥AB于点E,交CD于F点，连接OA、OC,如图， D D 图1 图2 ABICD, .OF⊥CD, 答案第1页（共2页） x-m CF-DF-CD-x6-3m 2 2 在Rt△AOE中， .04=5cm,AE=4cm, ·0E=VOA2-AE2=V52-42=3, 在Rt△COF中， OC=5cm,CF=3cm, ·0F=V0C2-CF2=V52-32=4, 当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OE+OF=3+4=7cm; 当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF-OE=4-3=1cm; 综上所述，EF的值为lcm或7cm,即AB与CD之间的距离为lcm或7cm, 故选：C. 4.C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键.连接OC, 首先根据题意可求得OC=6,OE=3,根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长. 【详解】解：如图，连接OC, B E D :AB=12,BE=3, ∴.OB=OC=6,OE=3, AB⊥CD, ·在Rt△COE中，EC=VOC2-0E2=√36-9=3V3, ∴CD=2CE=6√5. 答案第1页（共2页） 故选：C 5.B 【分析】本题主要考查了利用垂径定理和勾股定理求值，连接OA,连接OC交AB于点E,由题意得： 0c14,01=0C=4米，由垂径定理可得4E=BE-4B=3米，由勾股定理得出05=V万米，最后由 CE=OC-OE即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OA,连接OC交AB于点E, E B水面 由题意得：OC⊥AB,OA=OC=4米， AE=服=B=3(米)， OE=VOA2-AE2=V42-32=V万（米）， :.CE=0C-0E=(4-7(米)， 故选：B。 6.A 【分析】根据题意，可知OC=OB=5,OD⊥AB,结合垂径定理，可求得BD=}AB,然后利用勾股定理 2 在Rt△OBD以及RtABCD中可分别求得OD以及BC. 【详解】解：由题意可知，OC=OB=5,OD⊥AB, AB=8, AD-BD-24B-4, ·0D=VOB2-BD2=V52-42=3, .CD=C0+OD=5+3=8, :CD⊥AB, BC=VCD2+BD2=V82+42=4V5. 答案第1页（共2页） 7.B 【分析】本题考查了垂径定理，在5个条件中：①1平分弦所对的一条弧，②平分弦所对的另一条弧，③平 分弦，④垂直于弦，⑤经过圆心（或者说直径），只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论， 【详解】解：：B为CD的中点，⊙O的直径AB与弦CD交于点E, AC=AD,CE=DE,AB⊥CD,故A,C,D正确； 无法说明OE=BE. 故选B. 8.A 【分析】根据题意，可以推出AD=BD=30m,若设半径为m,则OD=(r-I0)m,结合勾股定理可推出 半径r的值. 【详解】解：如图，连接OD. :C是B的中点，D是AB的中点， 0C1AB,点O,D,C在同一条直线上，÷4D=)4B=30m. 3 设⊙O的半径为m，,则OD=(r-10)m. 在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2, .2=302+(r-10)2,解得r=50. 故这段弯路所在圆的半径为50m. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为”后，用”表示出OD、 OB的长度. 9.A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键.根据垂径定理对①进行判断； 答案第1页（共2页） 根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断. 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所 对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条 ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确. 故选：A. 10.5 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理.连接OA，先根 据垂径定理求出AC的长，再在Rt△AOC中利用勾股定理求出OA的长即可. 【详解】解：连接OA, B :OC⊥AB于点C,AB=8, .AC=BC=4, 在Rt△AOC中： ∴0A=V32+42=5. .⊙0的半径长为5. 故答案为：5 11.1.7 【分析】设月洞门所在圆的半径为m,则OA=OC=m,OD=(2.5-r)m,由垂径定理得到 答案第1页（共2页） AD=)4B=15m,再由勾股定理建立方程求解即可. 2 【详解】解：如图所示，连接OA, C A D 图2 设月洞门所在圆的半径为m,则OA=OC=m, .OD=CD-OC=(2.5-r)m, 由题意得，CD⊥AB, AD=。AB=1.5m, 在RtAAOD中，由勾股定理得OA2=OD2+AD2, .r2=(2.5-r)2+1.52, 解得r=1.7, .月洞门所在圆的半径为1.7m. 12.16 【分析1由OC1AB,根据垂径定理，可得4D=4B,在R△0MD中利用勾股定里求出AD的长即可求解。 【详解】解：：OC是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点D, :AD=BD=AB,∠AD0=90°， 2 在Rt△OAD中，根据勾股定理可得AD=VOA2-OD2=V102-6=8, ∴.AB=2AD=2×8=16. 13.10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键 设圆弧的圆心为O,过O作OC⊥AB于C,交AB于D,连接OA,先由垂径定理得AC=50m,再由勾股定 理求出OC=120m,然后求出CD的长即可 答案第1页（共2页） 【详解】解：设圆弧的圆心为O,过O作OC⊥AB于C,交AB于D,连接OA, D ,钢索 A B ■路面 桥拱 则01=0D-x260=130m),4C=BC-4B=5×10=50m. 2 :.0C=V0A2-AC2=V1302-502=120(m), .CD=0D-0C=130-120=10(m), 即这些钢索中最长的一根为10m, 故答案为：10. 14.4V6 3 【分析】过O点作OH⊥AB于H点，连接OA、OC,如图，根据垂径定理得到AH=BH, GH=DH=CD=2,设0C=,则01=2，再利用双勾股得到产-2=42-6，然后解方程求出r即 可 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理 【详解】解：过O点作OH⊥AB于H点，连接OA、OC,如图，则AH=BH,CH=DH=CD=2, D B 设OC=r,则OA=2r, :AC=4, ∴.AH=AC+CH=6, ·.0H2=0C2-CH2=r2-22, ∴0H2=0A2-AH2=4r2-62, 答案第1页（共2页） r2-22=4r2-62, 解得r-46或46 (舍去)， 3 3 即小圆半径是46 故答案为： v6 3 15.5 【分折1连接O1,由题意可得0C18,由垂径定理可得4D-4B=4m,最后再由勾股定理计算即可得 出结果。 【详解】解：如图：连接OA, ○ :点C是AB的中点， .OC⊥AB, .AD=4B=4cm, 2 ∴.OA=VAD2+OD2=5cm. 16.125 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据AB是⊙O的直径，AC是弦，CD⊥AB,得出 CE=。CD=2W5,再运用勾股定理列式0C2=CE2+OB2,代入数值计算，得出半径是6，再运用三角形的 面积公式列式进行计算，即可作答. 【详解】解：连接OC, 答案第1页（共2页） A B E D ,·CD⊥AB c-0D-x45=25, 设⊙O的半径为r,则OE=P-2, :OC2=CE2+0E2, ·r2=r-2)2+(25)2, .r=6, 1 1 ·S△Mm=)CE·AB=)×25x12=12W5, 2 17.2√6cm 【分析】先求解OE=2cm,过O作OF⊥CD于F,连接OC,进一步结合含30°的直角三角形的性质与勾股 定理求解即可. 【详解】解：：AE=5cm,EB=lcm, 48=5+1=6em,01=0B-4B=3(em, .OE=3-1=2(cm), 过O作OF⊥CD于F,连接OC,如图所示： E B :CF=DF, :∠AEC=60°， ∴.∠EOF=30°， 答案第1页（共2页） :.EF=IOE=Icm,OF=2=cm, .OC=3cm, cF=32-(5=v6(cm, ..CD=CF+DF=2V6(cm). 18.(1) 证明：如图：作OE⊥AB于E, O 由垂径定理，得： AE=BE.CE=DE. .BE-DE=AE-CE, 即AC=BD; (2)大圆的半径为4√2 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； (1)作OE⊥AB于E,根据垂径定理得到AE=BE,CE=DE,即可得到AC=BD; (2）连接OD,OB,在Rt△OBE和RtAODE中根据勾股定理得到OD2-DE2=OB2-BE2,代入求值计算即 可. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OD,OB, 0- D/B AB=8, .BE=AE=4,DE=4-1=3 答案第1页（共2页） 在Rt△OBE和RtAODE中，由勾股定理，得： OE2=OD2-DE2,OE2=OB2-BE2, ..OD2-DE2 =OB2-BE2, 即52-32=0B2-42, 解得：OB=4v2 ∴大圆的半径为4√2. 19.5 【分析】本题考查垂径定理以及勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键， 过点O作OC⊥AB交AB于点C,连接OA,由垂径定理得AC=BC,结合勾股定理可求出OA的长度. 【详解】解：过点O作OC⊥AB交AB于点C,连接OA,如下图所示： B :OC⊥AB, 号AC=BC)AB=4cm .OC=3cm, 由勾股定理得OA=VAC2+OC2=5cm, 故答案为：5. 20.2.5m 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接0C,由题意可得0C=OA=AB=6.5m,OE⊥CD,由 垂径定理可得CB=.CD=6m,再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此惠的 2 关键， 【详解】解：如图所示，连接OC, 答案第1页（共2页） E 由题意得，0C=0A=.B=6.5m,0E1CD, CE=二CD=6m, 2 在Rt△COE中，由勾股定理得OE=VOC2-CE2=2.5m, .水深0E为2.5m, 故答案为：2.5m. 21.10cm 【分析】本题主婴考查了垂径定理以及勾股定里，由垂径定理特出4D=BD-号4B=6(m),设这个盆口半 径OB的长为cm,则OD=(r-2)cm,再利用勾股定理即可得出r. 【详解】解：由题意得：AB=12cm,OC⊥AB, AD-D-40-号 ×12=6(cm), 设这个盆口的半径OB的长为rcm,则OD=(r-2)cm, 在Rt△BOD中， 由勾股定理得：62+(r-2)2=r2, 解得：r=10, 答：这个盆口半径OB的长为10cm. 答案第1页（共2页） 29.2.1垂直于弦的直径 一、单选题 1．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 6．如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．若，C是的中点，D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 9．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________．    11．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 12．如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则__________________________． 13．如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 14．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 15．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 三、解答题 16．如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 17．如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 18．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 19．如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为_________ ． 20．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是_______． 21．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《29.2.1垂直于弦的直径》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C C B A B A A 1．D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 2．B 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，根据题意可得的半径为，再由，则可以求出，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【详解】解：连接， ∵的直径， ∴的半径为， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接，首先根据题意可求得，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选：C 5．B 【分析】本题主要考查了利用垂径定理和勾股定理求值，连接，连接交于点，由题意得：，米，由垂径定理可得米，由勾股定理得出米，最后由即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得：，米， ∴（米， （米， （米， 故选：B． 6．A 【分析】根据题意，可知，，结合垂径定理，可求得，然后利用勾股定理在以及中可分别求得以及． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．B 【分析】本题考查了垂径定理，在5个条件中：①1平分弦所对的一条弧，②平分弦所对的另一条弧，③平分弦，④垂直于弦，⑤经过圆心(或者说直径)，只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论． 【详解】解：∵为的中点，的直径与弦交于点， ∴，，，故A，C，D 正确； 无法说明． 故选B． 8．A 【分析】根据题意，可以推出，若设半径为，则，结合勾股定理可推出半径的值． 【详解】解：如图，连接． 是的中点，D是的中点， ，点O，D，C在同一条直线上，． 设的半径为，则． 在中，， ，解得． 故这段弯路所在圆的半径为． 故选：A. 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为后，用表示出、的长度． 9．A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 10．5 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，    ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 11． 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 12． 【分析】由，根据垂径定理，可得，在中利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：是的半径，是的弦，且于点， ，， 在中，根据勾股定理可得， ． 13．10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 14． 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 15．5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 17． 【分析】先求解，过作于F，连接，进一步结合含的直角三角形的性质与勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过作于F，连接，如图所示： ∴， ∵， ， ，， ∵， ， . 18．(1) 证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 19． 【分析】本题考查垂径定理以及勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作交于点，连接，由垂径定理得，结合勾股定理可求出的长度． 【详解】解：过点作交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得， 故答案为：． 20． 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，由题意可得，，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为， 故答案为：． 21． 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $