专题07 圆的基本性质 章末63道压轴题型专训（9大题型） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题07 圆的基本性质章末63道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、垂径定理应用综合问题 1 题型二、圆心角、圆周角综合问题 2 题型三、正多边形与圆综合计算 3 题型四、图形旋转扫过面积问题 4 题型五、旋转背景下动点路径长问题 5 题型六、圆背景下动点探究 6 题型七、圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆) 7 题型八、圆的常用辅助线的作法 8 题型九、圆的材料阅读理解型问题(新定义) 9 【经典例题一 垂径定理应用综合问题】 1．（26-27九年级上·浙江宁波·课后作业）我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．    (1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径． 3．（25-26九年级上·云南保山·阶段检测）《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，弦于点，，． (1)求的长度； (2)求的直径． 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）一座拱型桥，桥下水面宽度是20米，拱高是4米．若水面上升3米至．则水面宽度是多少？ （1）如图①，若把桥拱看作是抛物线的一部分，求的长； （2）如图②，若把桥拱看作是圆的一部分，求的长． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点是上的一动点（不与点，点重合），连接． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②设，的弧长为，求关于的函数关系式． 7．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【问题】如何设计隧道内车道的限高及车道宽方案？ 【素材一】图1隧道是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图．经测量，拱形跨度16m，拱顶离地面4m． 【素材二】如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽2m，每条机动车道宽均2.5m．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度） 【素材三】如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条0.5m的绿化带，非机动车道最高高度不低于1.8m，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽相等． 【任务一】确定隧道所在圆弧的半径． 【任务二】探究原计划该隧道下方机动车道一的限高要求． 【任务三】新方案下当机动车宽度最大的情况下，机动车道的宽度与原来相比是变宽了还是变窄了？求出新方案下机动车道的最大宽度． 【经典例题二 圆心角、圆周角综合问题】 8．（26-27九年级上·浙江宁波·课后作业）如图，指出下列哪个图形中的线段是圆的直径． （1）（2）（3） 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，矩形内接于，点E在上，． (1)连接，求证：； (2)若分别交，于点F，G，，，求的半径． 10．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连接，使． (1)若，如图1，为直径，求的度数； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图2，连接，求证：． 13．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是的外接圆，连接并延长交于点，连接．在上取一点，使，连接与交于点． (1)试求与的数量关系． (2)求证：． (3)已知的半径为2，若， ①试判断的形状；②求的面积． 14．（25-26九年级下·四川乐山·期中）【教材阅读】圆周角 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等． 由圆周角定理，可以得到以下推论： 推论1  的圆周角所对的弦是直径． 小兰根据以上教材内容对“圆周角定理”作了如下拓展： 【拓展1】（1）设的半径为R，如图1所示，和是的内接三角形，其中为直径，记，，则______； 【拓展2】（2）设的半径为R，如图2所示，是的内接三角形，记，，，，请证明． 【经典例题三 正多边形与圆综合计算】 15．（25-26九年级上·浙江宁波·课后作业）如图，正六边形内接于，若的内接正三角形的面积为 ，试求正六边形的周长． 16．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 17．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，将该圆等分成8份，连接，并延长交于点． (1)连接，直接写出和的位置关系___________； (2)求证：； (3)求的长； 18．（2026·浙江宁波·一模）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为，直径为． （1）求这个正十边形的边长． （2）求这个正十边形的面积．（参考数据：） 19．（25-26九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 20．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 21．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 【经典例题四 图形旋转扫过面积问题】 22．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，在三角板中，，三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到三角形． (1)求的长； (2)在这个旋转过程中，三角板边扫过的扇形的面积是多少？ 23．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出绕点逆时针旋转后得到的的点，的坐标； (2)求旋转过程中线段运动扫过的面积（结果可以保留）． 24．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的顶点都在正方形网格格点上． (1)将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B对应点），画出． (2)请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点O，并标明外心O的位置． (3)设每个小方格的边长为1，求出线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 25．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 26．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）边长为4的正方形ABCD绕顶点A，按顺时针方向旋转至正方形，记旋转角为． （1）如图1，当时，求弧的长度和线段AC扫过的扇形面积； （2）如图2，当时，记BC与的交点为E，求线段的长度； （3）如图3，在旋转过程中，若F为线段的中点，求线段DF长度的取值范围． 27．（25-26九年级上·浙江宁波·单元测试）某种在同一平面进行传动的机械装置如图①所示，图②是它的示意图．其工作原理是滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中的数学知识，过点O作于点H，并测得． 【解决问题】 (1)点Q与点O之间的最小距离是______，最大距离是______； (2)如图③，小明说：“当点Q滑动到点H的位置上时，与相切．”你认为他的说法对吗？为什么？ (3)当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求扇形的最大面积． 28．（24-25九年级上·福建莆田·期末）“巳巳如意，生生不息”，我们迎来了农历乙已蛇年．为了丰富同学们的寒假生活，在寒假期间，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾教材九年级上册“探究”部分的内容： 探究如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形，移开硬纸板． 是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为3，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形．粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 【经典例题五 旋转背景下动点路径长问题】 29．（2025九年级下·河北·专题练习）如图，镜面与半圆相切于点，延长直径与交于点，是上的动点，为入射光线，其反射光线与或交于点，连接，且，． (1)求的度数； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点从点运动到点的过程中．直接写出点的运动路径长． 30．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，绕点O顺时针旋转后得到（两个三角形的顶点都在格点上），点A，B，C分别对应点D，E，F． (1)在图中标出点O位置； (2)求点B所经过的路径长度（结果保留）． 31．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． (1)若和关于原点成中心对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)求出（2）中，点旋转到点所经过的路径长． 32．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点C所经过的路径长． 33．（2026·河北·一模）如图1为某游乐场“海盗船”未启动时的示意图，船体为，为地面，为转轴，为船最中间的位置，与交于点，测得，米，转轴到地面的高度为米. (1)直接写出与的位置关系并求未启动时到地面的高度； (2)“海盗船”启动后，当或转到与同一高度时开始折返，如图2，船体转到了，船体旋转了多少度？ (3)从在最高点到在最高点，求点经过的路径长度.（参考数据：） 34．（2026·河北石家庄·一模）已知，在半圆O中，直径AB=6，点C，D在半圆AB上运动，（点C，D可以与A，B两点重合），弦CD=3． (1)如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA； (2)如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积； (3)如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中： ①点M到AB的距离的最小值是___________； ②直接写出点M的运动路径长___________． 35．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，在边长均为1 的正方形网格纸上有一个，顶点A，B，C及点O均在格点上请按要求完成以下操作或运算： (1)将沿着方向平移后，点B移动到点，在网格中画出平移后得到的； (2)将 绕点O顺时针旋转，得到； (3)如果网格中小正方形的边长为1，求点 B 经过（1）、（2）变换的总路径长（结果保留π）． 【经典例题六 圆背景下动点探究】 36．（2025·广东佛山·二模）线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． (1)如图，当经过圆心时，证明：； (2)如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 37．（2025·江西新余·二模）如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 38．（2025·河北·一模）如图，半圆O与直线相切于点，为半圆O的直径，．P为直线上的一动点，过点P作射线，，射线随点P的移动而平移． (1)如图1，移动点P，使得射线与半圆O交于点D，E，连接，．当时，求的长． (2)如图2，移动点，使得射线经过点C，射线与半圆O交于另一点F，求的长． 39．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 40．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1，在中，为直径，C为圆上一动点（不与重合），于点G，E为上的一动点，延长交的延长线于点F，连结，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 41．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 42．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【经典例题七 圆中最值问题（含隐圆、阿氏圆）】 43．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知圆O的直径是10，点P是圆O内一点． (1)过点P作弦，使P为弦的中点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的弦，点Q为圆O上一动点，则的最小值是__________． 44．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 45．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 46．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 47．（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是数学爱好者王林的一篇手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 圆内接四边形对角互补的证明 数学知识：圆内接四边形对角互补． 题设：如图1，四边形内接于． 结论：． 证明：如图1，连接， 则（依据）， ． 又， ． 任务： (1)材料中的依据是___________．在图1中，若，则的度数是___________． (2)如图2，在圆内接四边形中，，，求的面积的最大值． 48．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题． 名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 图形 条件 ， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 半径 ① ② ③ 说明：图中点A、、都在圆上，在上， (1)请帮助兴趣小组求出三个花坛的半径，并填在横线上 (2)请写出花坛Ⅱ的半径的求解过程 (3)兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，、、在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，直接写出面积最小值 49．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 【经典例题八 圆的常用辅助线的作法】 50．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 51．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 52．（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）数学课上，老师给出这样一个题目： 如图1，已知内接于，过点B的直线与相切．求证：； 小明同学思考了片刻有了思路，做了这样的辅助线：过B作的直径，连接． (1)请按小明的做法完成证明． 证明：过B作的直径，连接． (2)请利用题目中心结论，完成以下证明． 如图2，Q为外一点，经过Q的直线交于E、F．经过点Q的直线与相切于点D．求证：． 53．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）同学们，圆中很多综合问题的解决需要我们熟练掌握一些常用的辅助线和有关结论，请先认真、仔细地完成下面的问题1和问题2，再运用这两个问题的方法和结论解决相关综合问题． (1)在圆中，“两条平行弦所夹的弧相等”这一重要结论大家已经知晓，这个结论的证明方法较多，请你依据有关圆的性质完成这一结论的证明过程．如图1，在中，弦，求证：： (2)在圆中，依据“直径所对的圆周角是直角”来构造“直角三角形”是常用的辅助线．如图2，在中，半径为，弦，若点在优弧上，则的值为 ： 请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图3，的直径为，弦⊥弦于点，连接，，若，求的长，请写出解题过程． 54．（2025九年级上·江苏·专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：如图①，与相切于点A．当圆心O在弦上时，容易得到，在上任取一点E，连接，则，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 如图②，与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，则，所以，即． 任务： (1)类比图②添加辅助线的方法，解决如图③的问题，与相切于点A．当圆心O在的外部时，请写出弦切角定理的证明过程． (2)如图②，已知的半径为1，弦切角，求的长． 55．（2026·内蒙古包头·模拟预测）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 56．（2026·广西崇左·二模）综合与实践： 课本在证明定理“在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角度数的两倍”时经历了如下过程： 如图1：证明：∵（已知）， ∴（等边对等角）， 又∵， ∴． 如图2：要证明，课本采用了作辅助线帮助证明，连接延长交于点D； 证明：， ， ， ， … (1)在上面大括号中填写的理由是__________；（填入你选择的选项字母） A．等角对等边    B．同弧所对圆周角相等 C．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和    D．等量加等量和相等 (2)请补充完成余下证明； (3)如图3，根据图1的理论和图2作辅助线的方式，证明：． 【经典例题九 圆的材料阅读理解型问题（新定义）】 57．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 58．（2026·广西南宁·二模）阅读理解：如图1在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径为r，作直径BD，连接DC，则∠A＝∠D． ∵BD是直径， ∴∠BCD＝90°， ∴在Rt△BCD中， ， ∴， ． 解决问题： 如图2，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=2． （1）求△ABC外接圆的半径r； （2）求sinC的值． 59．（2026·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 60．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… (1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________； (3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长． 61．（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得．          作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： (1)材料中的依据是指______________________________________． (2)补全阅读材料中的证明过程． (3)请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 62．（24-25九年级下·山东烟台·期中）【问题情境】在一次数学实践课上，数学兴趣小组研究“在圆中只用无刻度的直尺作出满足某条件的圆周角”的方法问题，请仔细阅读相关内容，与小组成员一起完成相应任务．     问题一：如图1，是的圆周角，我们可以在中只用无刻度的直尺作一个圆周角等于． 作法：如图2所示，在上取一点D，连接和，则（依据*）． 问题二：如图1，要在中只用无刻度的直尺作一个圆周角与互余，应该如何完成呢？ 作法：如图3所示，连接并延长，交于点D，连接，则即为所要求作的角． 问题三：在图1的基础上，要在中只用无刻度的直尺以B为顶点作与相等的圆周角，应该如何完成呢？ 阅读完成之后，请完成以下具体任务： (1)【阅读理解】“问题一”中的“依据*”是指 　 　； (2)【深入学习】①请说明“问题二”中的作法是否正确，并说明理由； ②对于问题二，你还能找到其他完成任务的作法吗？如果能，请在备用图1中画出图形，保留作图痕迹，不写作法； (3)【尝试应用】完成“问题三”：请在备用图2中只用无刻度的直尺作出满足条件的圆周角，并仿照“问题二”写出具体作法． 63．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】 利用旋转是解决几何证明或计算的一种重要手段。 （1）例如在图1中，是等边三角形ABC的外接圆，点P是 上任意一点，连接PA，如果把绕点A逆时针旋转60度，得到，易证P,C,D三点共线，且是等边三角形，所以PA,PB,PC这三条线段的数量关系是　 　（只填结果） 【类比论证】运用上面方法，解答下列问题： （2）如图2，是正方形ABCD的外接圆，点P是上任意一点，连接PA，PD，求证PB+PD=PA （3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠BCD=60°，BC+CD=6，求AC的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的基本性质章末63道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、垂径定理应用综合问题 1 题型二、圆心角、圆周角综合问题 2 题型三、正多边形与圆综合计算 3 题型四、图形旋转扫过面积问题 4 题型五、旋转背景下动点路径长问题 5 题型六、圆背景下动点探究 6 题型七、圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆) 7 题型八、圆的常用辅助线的作法 8 题型九、圆的材料阅读理解型问题(新定义) 9 【经典例题一 垂径定理应用综合问题】 1．（26-27九年级上·浙江宁波·课后作业）我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 【答案】26寸 【分析】连接，设的半径是寸，根据题意，得寸，寸，根据勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：连接， ，寸， 寸， 设的半径是寸， 根据题意，得寸，寸， 根据勾股定理，得， ， ， ， 故的直径是26寸． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．    (1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1) 如图所示：    (2) 【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答； （2）作于D，并延长交于C，则D为的中点，则，设这个圆形截面的半径为，在中，运用勾股定理求出x即可． 【详解】（1）略 （2）作于D，并延长交于C，则D为的中点， ∵， ∴． 设这个圆形截面的半径为， 又∵， ∴， 在中， ∵，即， 解得． ∴圆形截面的半径为． 【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键． 3．（25-26九年级上·云南保山·阶段检测）《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 【答案】寸 【分析】如图，连接，设寸．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：连接，设寸． ，是直径， 寸． 在中，则有， 解得 寸． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，弦于点，，． (1)求的长度； (2)求的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理； （1）根据垂径定理，即可求解； （2）连接，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径，， ∴； （2）解：如图，连接，设的半径为 在中， ∵，即 解得： ∴的直径为． 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）一座拱型桥，桥下水面宽度是20米，拱高是4米．若水面上升3米至．则水面宽度是多少？ （1）如图①，若把桥拱看作是抛物线的一部分，求的长； （2）如图②，若把桥拱看作是圆的一部分，求的长． 【答案】（1）EF＝10米；（2）米 【分析】（1）根据题意得：AB=20米，则AC＝10米，拱高CD=4米．则A，D的坐标分别是（﹣10，0），（0，4），可设抛物线的表达式为y＝ax2+c，将这两点的坐标代入解析式，即可求解； （2）根据题意得： 米， ，EF＝2GF，设圆的半径是r米，则米 ， 米，在Rt△OCB中，由勾股定理可得r＝14.5，再在Rt△OGF中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：AB=20米，则AC＝10米，拱高CD=4米． ∴A，D的坐标分别是（﹣10，0），（0，4）， 设抛物线的表达式为y＝ax2+c， 把这两点的坐标代入解析式得到：， 解得：， ∴解析式是y＝﹣x2+4， 把y＝3代入解析式，得： 解得：x＝±5， ∴EF＝10米； （2）根据题意得： 米， ，EF＝2GF， 设圆的半径是r米，则米 ， 米， 在Rt△OCB中，由勾股定理得： r2＝（r－4）2+102， 解得：r＝14.5， 当水面上升3米至EF时，在Rt△OGF中，OF＝14.5米，OG＝14.5－4+3＝13.5（米）， ∴ ， ∴EF＝2GF＝（米）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，垂径定理的应用，熟练掌握二次函数的性质，垂径定理是解题的关键． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点是上的一动点（不与点，点重合），连接． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②设，的弧长为，求关于的函数关系式． 【答案】(1) 证明：∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴； (2) ①② 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，圆内接四边形对角互补，弧长公式， 对于（1），根据垂径定理可得，进而得，再根据等边对等角得出答案； 对于（2）①，根据圆内接四边形的对角互补得，再结合已知条件可得答案； ②连接，先根据圆周角定理求出，即可得，接下来表示出，然后根据弧长公式得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）得， ∵， ∴， 解得； ②连接， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【问题】如何设计隧道内车道的限高及车道宽方案？ 【素材一】图1隧道是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图．经测量，拱形跨度16m，拱顶离地面4m． 【素材二】如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽2m，每条机动车道宽均2.5m．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度） 【素材三】如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条0.5m的绿化带，非机动车道最高高度不低于1.8m，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽相等． 【任务一】确定隧道所在圆弧的半径． 【任务二】探究原计划该隧道下方机动车道一的限高要求． 【任务三】新方案下当机动车宽度最大的情况下，机动车道的宽度与原来相比是变宽了还是变窄了？求出新方案下机动车道的最大宽度． 【答案】【一】10m 【二】2m 【三】变窄了， 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，矩形的判定和性质， 【任务一】设圆的圆心为点O，如图，过点O作于点H，交圆于点M，利用勾股定理，列出方程解答计算即可． 【任务二】连接，过点F作于点G，则四边形是矩形，根据，确定，利用勾股定理计算，结合，计算即可． 【任务三】当，则，于是，根据勾股定理计算得到，计算出两个绿化带的宽度，计算即可． 【详解】【任务一】设圆的圆心为点O，如图，过点O作于点H，交圆于点M， 根据题意，，，， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故圆的半径为． 【任务二】连接，过点F作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【任务三】当，则， ∴， ∴， 根据前面的计算得 ∴机动车道宽为：， 故变窄了． 【经典例题二 圆心角、圆周角综合问题】 8．（26-27九年级上·浙江宁波·课后作业）如图，指出下列哪个图形中的线段是圆的直径． （1）（2）（3） 【答案】图（1）中的线段是圆的直径 【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：图（1）中是圆周角，且， ∴图（1）中的线段是圆的直径， 图（2）（3）中都不是圆周角，故线段都不是圆的直径． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，矩形内接于，点E在上，． (1)连接，求证：； (2)若分别交，于点F，G，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ，． ． ， ． ，即． ． ． (2)的半径为 【分析】本题主要考查矩形的性质、弧、弦之间的关系、圆周角的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、弧、弦之间的关系、圆周角的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接，则有，然后可得，通过证明可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， 是直径． ． ， ． ， ． ． ． 在中，． ，，， ． ． ． 在中，． 的半径为． 10．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴ 由圆周角定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】（）连接，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可求证； （）证明，根据相似三角形的性质求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，弧弦圆心角的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，弧弦圆心角三者关系以及含30度的直角三角形性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）通过垂径定理可知，再通过直径算出半径，进而得到，再通过勾股定理计算即可； （2）先证得，进而得到的度数，进而通过含30度的直角三角形性质以及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连接，使． (1)若，如图1，为直径，求的度数； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图2，连接，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵弦， ∴ ∴， ∵， ∴． (3) 证明：∵都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角． （1）由为直径得，再根据圆周角定理可得结论； （2）根据弦可得，由弧、弦的关系可得结论； （3）连结，得，证明，进一步可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 13．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是的外接圆，连接并延长交于点，连接．在上取一点，使，连接与交于点． (1)试求与的数量关系． (2)求证：． (3)已知的半径为2，若， ①试判断的形状；②求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：连接， ， 垂直平分， ， ． ， ． ， ， ． (3)①为等腰直角三角形；② 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，从而得出，进而得出，由直径所对的圆周角等于得出，从而得出； （2）连接，由得出垂直平分，从而得到，再证明，即可得出结论； （3）①由，得出，从而得出，进而得出，由平行线的性质可得，结合，即可得出结论；②接并延长交于点，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得，再由即可得出答案． 【详解】（1）解：． 理由如下： ， ， ． ， ． 是直径， ， ． ， ． （2）略 （3）解：①， ． ． ， ， ． ， 为等腰直角三角形． ②连接并延长交于点， 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ， ， ． 14．（25-26九年级下·四川乐山·期中）【教材阅读】圆周角 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等． 由圆周角定理，可以得到以下推论： 推论1  的圆周角所对的弦是直径． 小兰根据以上教材内容对“圆周角定理”作了如下拓展： 【拓展1】（1）设的半径为R，如图1所示，和是的内接三角形，其中为直径，记，，则______； 【拓展2】（2）设的半径为R，如图2所示，是的内接三角形，记，，，，请证明． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，构造，，其中和为直径， ∴， ∴，均为直角三角形， 由圆周角定理得：， ∴在中，， ∴， 同理在中可得， ∴． 【分析】本题考查了圆周角定理，正弦函数的定义． （1）根据圆周角定理求得，，再利用正弦函数的定义即可求解； （2）先证明，均为直角三角形，推出，再利用正弦函数的定义证明即可． 【详解】解：（1）∵为直径， ∴， ∵的半径为R， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 【经典例题三 正多边形与圆综合计算】 15．（25-26九年级上·浙江宁波·课后作业）如图，正六边形内接于，若的内接正三角形的面积为 ，试求正六边形的周长． 【答案】正六边形的周长为48. 【详解】解: 如图，连接，作于点H，则． 在中，设，则， ∴ ， 而的面积是面积的6倍， 即， 解得， 即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48． 16．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形即可求出；利用三角函数求出，，再根据的面积为即可求出． 【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ，    ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． 17．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，将该圆等分成8份，连接，并延长交于点． (1)连接，直接写出和的位置关系___________； (2)求证：； (3)求的长； 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据将该圆等分成8份，可得是的直径，再根据圆周角定理可证得； （2）连接，，根据圆周角定理可证得，再由被8等分可得，，即可证得，再根据全等三角形的性质，即可证得结论； （3）连接，，，由被8等分可求得，可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图：连接， 将该圆等分成8份， 是的直径， ， ， 故答案为：； （2）解：如图：连接，， ， 被8等分， ，， 在与中， ∴， ， ，即； （3）解：如图：连接，，， 被8等分， ∴， ， ， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等分圆的性质，全等三角形的性质及判定定理，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键． 18．（2026·浙江宁波·一模）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为，直径为． （1）求这个正十边形的边长． （2）求这个正十边形的面积．（参考数据：） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据圆内接正十边形可得∠AOB=36°，根据三角函数可求得AB的长； （2）结合（1）根据三角函数可求OC的长，进而求出三角形AOB的面积，最后求出正十边形的面积． 【详解】解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C， 由题意可知：∠AOB=36°， ∵OA=OB=10mm， ∴∠AOC=∠BOC=18°，AC=BC， ∴AC=OA•sin18°≈10×031=3.1（mm）， ∴AB=2AC=6.2mm； （2）∵OC=OA•cos18°≈10×0.95=9.5（mm）， ∴S△AOB=×AB•OC=×6.2×9.5=29.45（mm2）， ∴S正十边形=10×S△AOB=294.5（mm2）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的关系． 19．（25-26九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1， ，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 20．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； （2）略 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 21．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 【答案】（1）①，0.9，②3，（2）增加随机撒芝麻的数量 【分析】本题考查了圆和正多边形的面积计算，频率的概念，用频率估计概率及实验精度的影响因素． （1）①先分别计算出正六边形内切圆面积和正六边形面积，从而得出p值，再根据频率定义，用落在圆内芝麻数除以总芝麻数得出q值；②由建立等式，把的值代入等式，通过等式变形求出的近似值； （2）增加随机撒芝麻数量，使频率更接近理论概率，让估计的值更精确． 【详解】解：（1）①如图，连接，，过点O作， ∵正六边形由6个大小相同的等边三角形组成，其边长为2， ∴ 又∵的半径为，为的半径， ∴， ∴，， ∴， 由题意知，， 故答案为：，0.9． ②∵， ∴， 当取1.7时，得，解得， 故答案为：3． （2）建议：增加随机撒芝麻的数量， 因为当随机撒的芝麻数量越多时，落在圆内和正六边形内的芝麻数的频率就越接近理论上的概率，这样根据p与q的关系估计出的值就会更精确， 故答案为：增加随机撒芝麻的数量． 【经典例题四 图形旋转扫过面积问题】 22．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，在三角板中，，三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到三角形． (1)求的长； (2)在这个旋转过程中，三角板边扫过的扇形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，弧长的求解，扇形面积的求解． （1）先解求出，然后由旋转的性质得到，再由弧长公式求解即可； （2）由扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到三角形 ∴，， ∴的长为； （2）解：边扫过的扇形的面积为：． 23．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出绕点逆时针旋转后得到的的点，的坐标； (2)求旋转过程中线段运动扫过的面积（结果可以保留）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质，找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质作出，再结合图形写出点，的坐标即可； （2）根据勾股定理求出，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 由图可得，，； （2）解：由旋转的性质得， ， ∴线段运动扫过的面积为． 24．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的顶点都在正方形网格格点上． (1)将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B对应点），画出． (2)请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点O，并标明外心O的位置． (3)设每个小方格的边长为1，求出线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图，点即为所求． (3) 【分析】本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合三角形的外接圆与外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （3）解：由勾股定理得，， 线段在旋转过程中扫过的图形的面积为． 25．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【答案】(1) (2) 如图即为所求； (3) 【分析】本题考查了弧长公式，画旋转图形，等边三角形的性质，求扇形面积； （1）根据勾股定理求得半径，进而根据弧长公式，即可求解； （2）根据题意作出旋转后的圆心，再作出等边三角形，作出的等圆，取，即可求解． （3）根据扫过的图形面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴的长度为， （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，再为圆心、以为半径作弧，交于点，以为圆心，为半径作，则即为所求； （3）解：由（2）可得扫过的图形面积等于 又∵， ∴． 26．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）边长为4的正方形ABCD绕顶点A，按顺时针方向旋转至正方形，记旋转角为． （1）如图1，当时，求弧的长度和线段AC扫过的扇形面积； （2）如图2，当时，记BC与的交点为E，求线段的长度； （3）如图3，在旋转过程中，若F为线段的中点，求线段DF长度的取值范围． 【答案】（1）弧的长度，扇形的面积；（2）；（3）DF的取值范围为． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=CD=4，∠D=90°，由勾股定理得到，根据弧长的计算公式和扇形的面积公式即可得到结论； （2）连接，根据题意得到B在对角线AC1上，根据勾股定理得，求得，推出是等腰直角三角形，得到，于是得到结论； （3）如图3，连接，取中点，根据三角形中位线定理得到，，推出点F的轨迹是以О为圆心、2为半径的圆，于是得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴的长度， 扇形的面积； （2）如图2，连接， ∵旋转角， ∴， ∴点B在对角线上， 在中，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）如图3，连接，取中点， 则， 又∵ ∴，， ∴点F的轨迹是以О为圆心、2为半径的圆， ∵， ∴， ∴， ∴DF的取值范围为． 【点睛】本题考查了圆的综合题，正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理.（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹． 27．（25-26九年级上·浙江宁波·单元测试）某种在同一平面进行传动的机械装置如图①所示，图②是它的示意图．其工作原理是滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中的数学知识，过点O作于点H，并测得． 【解决问题】 (1)点Q与点O之间的最小距离是______，最大距离是______； (2)如图③，小明说：“当点Q滑动到点H的位置上时，与相切．”你认为他的说法对吗？为什么？ (3)当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求扇形的最大面积． 【答案】(1)4；5 (2) 解：他的说法不对．理由如下： ， 即， 与不垂直． 与不相切． (3)扇形的最大面积是 【分析】（1）利用垂线段最短即可求出最小值，利用三点共线即可求出最大值； （2）利用勾股定理的逆定理即可说明即可； （3）首先确定只有时，点P到的距离最大，设点P在左侧的最远位置为，在右侧的最远位置为，交于点N，连接，过点作于点M，通过证明得到为正三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：当点运动到点时，点与的距离最小， ， 与的最小距离为． 当点在一条直线上时，点与的距离最大， 故最大距离为. 故（1）答案为：4    5． （2）略 （3）解：的长度固定，为， 只有时，点P到的距离最大． 设点P在左侧的最远位置为，在右侧的最远位置为，交于点N，连接，过点作于点M，如图． 可知四边形是矩形， ． ． 又， ． ． 是等边三角形． ． ． ． 故扇形的最大面积是． 【点睛】本题考查了圆的知识在生产生活中的应用，掌握线段公理、切线的性质、三角形全等的判定及扇形面积公式是解题的关键． 28．（24-25九年级上·福建莆田·期末）“巳巳如意，生生不息”，我们迎来了农历乙已蛇年．为了丰富同学们的寒假生活，在寒假期间，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾教材九年级上册“探究”部分的内容： 探究如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形，移开硬纸板． 是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为3，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形．粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即连接，，作，的垂直平分线即可； （2）连接，可知是等边三角形，求得，结合切线的性质可知旋转角为，则点的路径为以圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长，利用弧长公式即可求解； （3）连接，分别交，于，，令，交于点，结合旋转可知点以为圆心，3为半径的圆上，则，即点，，在同一个圆中，再根据重叠部分的面积为即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点为半径的中点，则 ∴，则， ∵与相切于点C， ∴，即旋转角为， 则点的路径为以圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长， ∴点的路径长为； （3）连接，分别交，于，，令，交于点， ∵点为的中点， ∴，则， 由旋转可知，，，，，，则为等边三角形， ∴，， ∴，则点以为圆心，3为半径的圆上，则，即点，，在同一个圆中， ∴，， ∴，则， ，则， ∴重叠部分的面积为 ． 【点睛】本题考查尺规作图作垂线，旋转的性质，切线的性质，弧长公式，不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线将不规则图形分割成常见图形进行求解是解决问题的关键． 【经典例题五 旋转背景下动点路径长问题】 29．（2025九年级下·河北·专题练习）如图，镜面与半圆相切于点，延长直径与交于点，是上的动点，为入射光线，其反射光线与或交于点，连接，且，． (1)求的度数； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点从点运动到点的过程中．直接写出点的运动路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，切线，得到，三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）过点作于点，垂径定理，结合锐角三角函数求出的长，进而求出的长即可； （3）先得到点的运动路径为的长，根据反射定律，等边对等角，推出的度数，根据弧长公式求出的长，进而求出点的运动路径长即可． 【详解】（1）解：连接 ， ． 镜面与半圆相切于点， ， ， ， 即的度数为； （2）如上图，过点作于点， ． ∵， ， ， ， ， 即的长度为； （3）点的运动路径长为． 当点在点O时，点也在点O；当点在点时，点在图中的位置， 点的运动路径长为的长，连接 ， ． ，为入射光线，为反射光线， ． ， ， ， ， ． 即点的运动路径长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，解直角三角形，求弧长等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 30．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，绕点O顺时针旋转后得到（两个三角形的顶点都在格点上），点A，B，C分别对应点D，E，F． (1)在图中标出点O位置； (2)求点B所经过的路径长度（结果保留）． 【答案】(1) 点O的位置如图所示， (2)点B所经过的路径长度为 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心； （2）画出图形，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ∴点B所经过的路径长度． 31．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． (1)若和关于原点成中心对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)求出（2）中，点旋转到点所经过的路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求， (3) 【分析】本题考查了作中心对称图形，旋转变换作图，弧长公式． （1）根据关于原点对称的点的坐标标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用网格和旋转的性质确定对应点的位置，再将对应点顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意知：绕点O顺时针旋转得到， ， ， 点旋转到点所经过的路径长为． 答：点旋转到点所经过的路径长． 32．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点C所经过的路径长． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)解：如图所示即为所作， (3) 【分析】（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得，． 点C所经过的路径长为． 33．（2026·河北·一模）如图1为某游乐场“海盗船”未启动时的示意图，船体为，为地面，为转轴，为船最中间的位置，与交于点，测得，米，转轴到地面的高度为米. (1)直接写出与的位置关系并求未启动时到地面的高度； (2)“海盗船”启动后，当或转到与同一高度时开始折返，如图2，船体转到了，船体旋转了多少度？ (3)从在最高点到在最高点，求点经过的路径长度.（参考数据：） 【答案】(1)，米 (2) (3)米 【分析】（1）根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得，根据等腰三角形底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线重合可得，米，根据锐角三角函数的定义可得米，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，即可求解； （2）根据题意可得，根据内错角相等，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，结合题意可得，即可求解； （3）根据题意可得从在最高点到在最高点，船体旋转了度，结合弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为船最中间的位置， ∴， 则， ∴，米， ∵， ∴米， 则米， 即米， 转轴到地面的高度为米，则未启动时到地面的高度为米． （2）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵， 即， 则， 即船体转到了，船体旋转了度． （3）解：从在最高点到在最高点，船体旋转了度， 则点经过的路径长度为米． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，平行线的判定和性质，弧长公式等，根据平行线的判定和性质得出旋转角的度数是解题的关键． 34．（2026·河北石家庄·一模）已知，在半圆O中，直径AB=6，点C，D在半圆AB上运动，（点C，D可以与A，B两点重合），弦CD=3． (1)如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA； (2)如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积； (3)如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中： ①点M到AB的距离的最小值是___________； ②直接写出点M的运动路径长___________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据两个三角形全等的判定定理即可证明； （2）将题中不规则图形分成直角三角形与弓形，得出，分别求出各个部分面积即可得出； （3）根据题意，结合垂径定理与勾股定理得出在以为圆心、为半径的弧上运动，从而，当与重合或者与重合时，点M到AB的距离的最小值，再利用特殊直角三角形三边关系求出最短距离即可；求出运动轨迹所对的圆心角，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：在半圆O中，是直径， ； 在和中， ； （2）解：过作，连接、，如图所示： ，， 根据三角形外角性质得， ， 在中，，，，则， ， ， ， ； （3）解：连接、，如图所示： 是中点， 是弦的中垂线， 在中，，，，则，， 在以为圆心、为半径的弧上运动，从而，当与重合或者与重合时，点M到AB的距离的最小值，如图所示： ①在中，，，，则点M到AB的距离的最小值为， 故答案为； ②根据的运动轨迹可知，， ， 故答案为． 【点睛】本题考查圆的综合问题，解题过程中涉及到圆周角定理、全等三角形的判定与性质、扇形面积、垂径定理、勾股定理和特殊直角三角形三边关系，解题的关键是准确把握圆的相关几何性质． 35．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，在边长均为1 的正方形网格纸上有一个，顶点A，B，C及点O均在格点上请按要求完成以下操作或运算： (1)将沿着方向平移后，点B移动到点，在网格中画出平移后得到的； (2)将 绕点O顺时针旋转，得到； (3)如果网格中小正方形的边长为1，求点 B 经过（1）、（2）变换的总路径长（结果保留π）． 【答案】(1) 解：如图为所求图形； (2) 解：如图为所求图形； (3) 【分析】本题考查了作图形的平移和旋转变换：可知对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）依据平移方向和距离，即可得到； （2）依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到； （3）利用勾股定理求得点到点的路径长，利用扇形弧长计算公式进行计算，即可得到点旋转到点的路径长，再相加即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：点到点的路径长为 点旋转到点的路径长 总路径长为 【经典例题六 圆背景下动点探究】 36．（2025·广东佛山·二模）线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． (1)如图，当经过圆心时，证明：； (2)如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 【答案】(1) 解：如图，连接、． ∵点是的中点， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． (2) 解：成立，理由如下： 如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． 由（）得．， ∴． ∵， ∴（）． ∴，． ∴． ∴． 在中，， ． 【分析】（1）如图，连接、．由点是的中点，得．由是的直径，得，进而解直角三角形得，从而即可得解； （2）如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．由（）得．，进而证明（）．得，．从而．在中，解直角三角形得．从而即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理的推论，全等三角形的判定及性质，弧、弦、圆周角间的关系． 37．（2025·江西新余·二模）如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接，则． ∵垂直平分， ∴ ∴． ∵ ∴， ∵， ∴ ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】此题考查了切线的判定、垂径定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定、垂径定理是关键． （1）连接，证明．即可证明结论成立； （2）连接，交于点H．证明，，得到，在中，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）如图2，连接，交于点H． ∵点E是的中点， ∴垂直平分， ∵垂直平分， ∴， ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 38．（2025·河北·一模）如图，半圆O与直线相切于点，为半圆O的直径，．P为直线上的一动点，过点P作射线，，射线随点P的移动而平移． (1)如图1，移动点P，使得射线与半圆O交于点D，E，连接，．当时，求的长． (2)如图2，移动点，使得射线经过点C，射线与半圆O交于另一点F，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据，可得，进而判定为等边三角形，根据弧长公式即可求解； （2）连接，作，根据题意求得的度数，然后根据勾股定理，即可求解； 【详解】（1）解：， ； ， 为等边三角形， ， 则； （2）解：连接，作； ， 半圆O与直线相切于点， ， ， ， ， ， ； 39．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 【答案】(1) 证明：在正方形中，， 与都对应弧， ， 在和中， ； (2) 或，理由如下： 如图，当点在弧上,过点作于点， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即； 当点在弧上时，在上取点，使，连接， 由（1）， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形三角形， ， ， ， ， ； (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可； （2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴点N在以为直径的圆F上， ∵最大为， ∴最大为，即最大圆心角为， ∴点N的运动路径为． 40．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1，在中，为直径，C为圆上一动点（不与重合），于点G，E为上的一动点，延长交的延长线于点F，连结，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 【答案】(1) 为直径， ， ． ， ， ． (2) (3) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得，再利用同角的余角相等得到； （2）根据圆内接四边形对角互补得，再利用等角的补角相等得到，可证明，再利用相似的性质即可求得； （3）易知，可得，由（2）易得，连结，，可得，知，设，，，即，根据得到，再根据即可求解． 【详解】（1） 略 （2）为圆的内接四边形， ． ，且由（1）得． ． 又， ． ，， ． （3），， ． ． ， ， ， 即． 连结，． ， ． ， ， 设，，． ， ， 即． ， ， ， 即． ， ， 解得． ． 41．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明：∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）略 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 42．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，且， ∴， 同理， ∴； （2），； （3）最小值 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）连接，首先根据圆周角定理可得，进而可得，同理，即可证明结论； （2）假设点落在外，交于点，连接，结合“圆内接四边形的对角互补”可知，进而可得，与得出矛盾，同理点也不会落在内，即可证明结论； （3）连接并延长，首先证明四点共圆，结合为等腰直角三角形，可推导，即点的轨迹在的平分线上，当时，取最小值，即可获得答案． 【详解】（1） 略 （2）若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴由（1）可得， ∵， ∴，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． 故答案为：，； （3）连接并延长，如图， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为． 【经典例题七 圆中最值问题（含隐圆、阿氏圆）】 43．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知圆O的直径是10，点P是圆O内一点． (1)过点P作弦，使P为弦的中点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的弦，点Q为圆O上一动点，则的最小值是__________． 【答案】(1) 如图，连接，过点P作，则弦即为所求． (2)7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． （1）利用垂径定理以及尺规作图即可； （2）由于是定值，当最小时的值最小，再利用垂线段最短，求出的延长线与的交点即为Q点． 【详解】（1）略 （2）解：当延长，交于点Q，此时，的值最小， ∵， ∴， ∵的直径是10， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值是7． 故答案为7． 44．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用圆美四边形和美角的定义解答即可； （2）①作出的直径，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可； ②延长至点，使，连接，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则为等边三角形；利用，求出△的面积的最大值即可得出结论； （3）延长交的延长线于点，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径， ， 由（1）知：， ， 的半径为8， ． ． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：， ， 平分， ． ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 在△和△中， ， ， ， ， 为等边三角形． ，， ． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大， 当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由： 延长交的延长线于点，如图， 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义并熟练应用，连接直径所对的圆周角是解题的关键 45．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 46．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)， 理由如下， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； (3)1． 【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解； （2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到； （3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形， ∴， 当点E在优弧AD上时，， 当点E在劣弧AD上时，， 综上，的度数为或； （2）略 （3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点， ∴， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴，， ∴当边上的高最小时，面积取得最小值， ∴当点与点A重合，此时点E与点D重合， ∴边上的高就是的长， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 47．（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是数学爱好者王林的一篇手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 圆内接四边形对角互补的证明 数学知识：圆内接四边形对角互补． 题设：如图1，四边形内接于． 结论：． 证明：如图1，连接， 则（依据）， ． 又， ． 任务： (1)材料中的依据是___________．在图1中，若，则的度数是___________． (2)如图2，在圆内接四边形中，，，求的面积的最大值． 【答案】(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补即可得出答案； （2）先作，再利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理即可求值． 【详解】（1）解：材料中的依据是：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ， ， ． 故答案为：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； （2）解：如图， 设的中点为点， 当的延长线垂直于时，的面积最大， 即， ． ，， ，为圆的直径，点为圆心， ． ， ． ， ， ， ． 答：的面积的最大值为． 48．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题． 名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 图形 条件 ， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 半径 ① ② ③ 说明：图中点A、、都在圆上，在上， (1)请帮助兴趣小组求出三个花坛的半径，并填在横线上 (2)请写出花坛Ⅱ的半径的求解过程 (3)兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，、、在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，直接写出面积最小值 【答案】(1)①5米；②2.5米；③米； (2) 设半径为米，记圆心为，连接，，如图所示： ∵，， ∴， 在， ， 即， 解得， 故答案为：2.5米； (3) 【分析】（1）①根据圆周角为所对的弦为直径，再根据勾股定理即可作答； ②根据垂径定理得米，根据勾股定理进行列式作答即可； ③如图，可设花坛半径为米，连接和，可证和均为等腰直角三角形，则得，根据垂径定理得米，米，由勾股定理得米； （2）过程与（1）中过程一致； （3）记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点，依题意，，即面积最小值，取最小值，∵，当点，，三点共线时，，此时半径最小，米，根据勾股定理进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：①连接, ∵， ∴是直径，的中点为圆心， 故米， ∴半径为5米； 故答案为：5米； ②设半径为米，记圆心为，连接，，如图所示： ∵，， ∴， 在， ， 即， 解得， 故答案为：2.5米； ③延长交于点，连接，过点分别作，作，连接，，如图所示： ∵，米， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵，延长交于点， ∴， 则是等腰三角形， ∴米， ∵，， ∴四边形是矩形，， 则米，米， ∵米， ∴米， 则米， 故答案为：米； （2）略 （3）解：记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点， ∵，米， ∴， 要使面积最小值， 即取最小值， ∵， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴， 设半径为米， 则， 当点，，三点共线时，即点与点重合，如图所示： 则，此时半径最小， ∵是等腰直角三角形， 则, ∴米， 那么， ∴， 解得，（舍去）， ∵， 则米， ∴面积最小值为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及垂径定理、圆周角定理，内接四边形性质，勾股定理，三角形三边关系等，综合性强，难度大，要求学生具有较强的做辅助线的能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 49．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ， 在中，， ，，三点在以点为圆心，为半径的同一个圆上； （2） （3）证明：， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， 可以构造出过，，三点的，然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， ， . 又在中，， 在中， ， . 方法2：延长交于点，连接 则为的直径， 在中，， 又在中，， . （4） 【分析】本题考查了圆得相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、斜中半定理、菱形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）取的中点，连接，根据斜中半定理即可求解； （2）根据圆周角定理可得； （3）由题意可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，结合圆周角定理即可求证； （4）根据条件可得点在以为圆心，为直径的圆上，当点为与的交点时，长度取最小值，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）根据圆周角定理可得： 故答案为：； （3）略 （4）解：由折叠性质知， 又是的中点， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， 当点为与的交点时，长度取最小值， 过点作的延长线于点， 菱形中，， ， ， 在中，， 在中，， . 【经典例题八 圆的常用辅助线的作法】 50．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 【答案】(1)    (2)在三个图形中均有结论：线段． (3) 证明：如图①，过作于．由垂径定理知． 于，于， ， ∴， 为直径， ， ， ． 【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得于，于． （2）根据图形得出结论 （3）选择图①，过作于．由垂径定理知．进而得出 ，则． 【详解】（1）解：如图所示， 在图①中、延长线交于外一点； 在图②中、交于内一点； 在图③中． （2）略． （3）略． 【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 51．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴ 同理： ∵ ∴,即． 【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，同理可得：，然后根据即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键． 52．（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）数学课上，老师给出这样一个题目： 如图1，已知内接于，过点B的直线与相切．求证：； 小明同学思考了片刻有了思路，做了这样的辅助线：过B作的直径，连接． (1)请按小明的做法完成证明． 证明：过B作的直径，连接． (2)请利用题目中心结论，完成以下证明． 如图2，Q为外一点，经过Q的直线交于E、F．经过点Q的直线与相切于点D．求证：． 【答案】(1) 证明：过B作的直径，连接，如下图， ∴， ∴， ∴， ∵过点B的直线与相切， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图2，连接， 由（1）知， 又∵， ∴， ， ． 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）先根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余得到，再根据切线性质得到，进而利用同角的余角相等可得结论； （2）连接，由（1）中结论得到，证明得到，整理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 53．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）同学们，圆中很多综合问题的解决需要我们熟练掌握一些常用的辅助线和有关结论，请先认真、仔细地完成下面的问题1和问题2，再运用这两个问题的方法和结论解决相关综合问题． (1)在圆中，“两条平行弦所夹的弧相等”这一重要结论大家已经知晓，这个结论的证明方法较多，请你依据有关圆的性质完成这一结论的证明过程．如图1，在中，弦，求证：： (2)在圆中，依据“直径所对的圆周角是直角”来构造“直角三角形”是常用的辅助线．如图2，在中，半径为，弦，若点在优弧上，则的值为 ： 请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图3，的直径为，弦⊥弦于点，连接，，若，求的长，请写出解题过程． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得出，根据同圆中，相等圆周角所对的弧相等，即可得证； （2），作直径，连接，根据同弧所对的圆周角相等，得出，继而即可求解； （3）连接并延长交于于点，连接，，根据（1）的结论得出，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）如图，连接． ∵ ∴ ∴； （2）解：如图，作直径，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）连接并延长交于点，连接，， 为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧与弦的关系，平行线的性质，直径所对的圆周角是直角，求余弦，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 54．（2025九年级上·江苏·专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：如图①，与相切于点A．当圆心O在弦上时，容易得到，在上任取一点E，连接，则，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 如图②，与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，则，所以，即． 任务： (1)类比图②添加辅助线的方法，解决如图③的问题，与相切于点A．当圆心O在的外部时，请写出弦切角定理的证明过程． (2)如图②，已知的半径为1，弦切角，求的长． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，则， ∵为的直径， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，圆周角定理，弧长公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，则，利用圆的切线定理得出直角，利用角的和差即可得出结论； （2）根据圆周角定理得出的度数，再求出的度数，最后利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题干结论得， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴的长为． 55．（2026·内蒙古包头·模拟预测）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据“折弦的中点”定义可得：； （2）证法一：在上截取，连接、、、．先证明，再证明，得到，进而证明，即可证明； 证法二：过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，先证明，，再证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：， 故答案为：． （2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、． ∵为的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、， ∵为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．    【点睛】本题为新定义问题，考查了圆周角定理，弧、弦的关系，熟知相关知识，理解题意，根据题意添加适当辅助线构造全等三角形是解题关键． 56．（2026·广西崇左·二模）综合与实践： 课本在证明定理“在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角度数的两倍”时经历了如下过程： 如图1：证明：∵（已知）， ∴（等边对等角）， 又∵， ∴． 如图2：要证明，课本采用了作辅助线帮助证明，连接延长交于点D； 证明：， ， ， ， … (1)在上面大括号中填写的理由是__________；（填入你选择的选项字母） A．等角对等边    B．同弧所对圆周角相等 C．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和    D．等量加等量和相等 (2)请补充完成余下证明； (3)如图3，根据图1的理论和图2作辅助线的方式，证明：． 【答案】(1)C (2)证明：， ， 又， ， ． (3)证明：如图，连接并延长交于点D， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 【分析】（1）根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”解答； （2）利用“三角形的外角等于不相邻的两内角之和”以及等腰三角形的性质求解； （3）利用“三角形的外角等于不相邻的两内角之和”以及等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：C； （2）证明：略； （3）证明：略． 【经典例题九 圆的材料阅读理解型问题（新定义）】 57．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【答案】(1) 解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面． (2)B (3)10 【分析】本题考查平面图形镶嵌知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式，结合拼接点处内角和为判断能否镶嵌 ． （1）先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，得出结论． （2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量． （3）先根据正五边形内角和公式算出其内角为，由拼接点内角和求出第三个正多边形内角为，再通过内角与边数关系公式算出边数． 【详解】（1）略 （2）解：①正三角形、正方形， ， 可以铺满； ②正三角形、正六边形， ， 可以铺满； ③正三角形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满； ④正方形、正六边形，不能构成的周角， 不能铺满； ⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为 ， 可以铺满； ⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满． 选择的方式有种． 故选：B； （3）解：设第三个正多边形的内角为， 正五边形的内角为， ， ， 正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10． 58．（2026·广西南宁·二模）阅读理解：如图1在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径为r，作直径BD，连接DC，则∠A＝∠D． ∵BD是直径， ∴∠BCD＝90°， ∴在Rt△BCD中， ， ∴， ． 解决问题： 如图2，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=2． （1）求△ABC外接圆的半径r； （2）求sinC的值． 【答案】（1） ；（2）． 【分析】（1）直接利用题干所给结论解答即可； （2）过点C作，垂足为D；然后运用勾股定理求得，进而求得AB，最后代入解答即可． 【详解】解：（1）由上述结论可得： 解得； （2）过点C作，垂足为D， 在中，，则． 在中， 由上述结论可得： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数等知识点，通过阅读理解、掌握探究推理的过程并灵活运用成为解答本题的关键． 59．（2026·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 证明：垂直且平分， ， ． ， ． ， ， ， ． 【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，再根据弦与圆周角的关系推出，则可证明，得到． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键. 60．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… (1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________； (3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长． 【答案】(1) 证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． 又∵BA=GC，∠A=∠C， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB=MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD=GD， ∴DC=GC+GD=AB+BD； (2)3 (3)8+8 【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案； （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE； （3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 【详解】（1）略． （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF， ∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA， ∴△DCF≌△DBA（SAS）， ∴DF=AD， 又∵DE⊥AC， ∴AE=EF， ∵CF=AB=4，AC=10， ∴AE=3； （3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE=AB=4， 则△BDC的周长=2BE+BC=8+8． 故答案为：8+8． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 61．（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得．          作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： (1)材料中的依据是指______________________________________． (2)补全阅读材料中的证明过程． (3)请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）与为圆的弦，则根据“在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可得． （2）根据等边对等角可得，再由三角形内角和可得，由此可得，再由“内错角相等，两直线平行”即可证明平行． （3）如图，在直线上取一点，作射线，以点为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于点，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，作直线， 则直线即为所求． 【详解】（1）解：依据是：在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等． （2）证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：作图如下： 62．（24-25九年级下·山东烟台·期中）【问题情境】在一次数学实践课上，数学兴趣小组研究“在圆中只用无刻度的直尺作出满足某条件的圆周角”的方法问题，请仔细阅读相关内容，与小组成员一起完成相应任务．     问题一：如图1，是的圆周角，我们可以在中只用无刻度的直尺作一个圆周角等于． 作法：如图2所示，在上取一点D，连接和，则（依据*）． 问题二：如图1，要在中只用无刻度的直尺作一个圆周角与互余，应该如何完成呢？ 作法：如图3所示，连接并延长，交于点D，连接，则即为所要求作的角． 问题三：在图1的基础上，要在中只用无刻度的直尺以B为顶点作与相等的圆周角，应该如何完成呢？ 阅读完成之后，请完成以下具体任务： (1)【阅读理解】“问题一”中的“依据*”是指 　 　； (2)【深入学习】①请说明“问题二”中的作法是否正确，并说明理由； ②对于问题二，你还能找到其他完成任务的作法吗？如果能，请在备用图1中画出图形，保留作图痕迹，不写作法； (3)【尝试应用】完成“问题三”：请在备用图2中只用无刻度的直尺作出满足条件的圆周角，并仿照“问题二”写出具体作法． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等； (2) ①正确． 理由：由作法可知， 是的直径， ∴，即， ∴与互余，即为所要求作的角． ②能，所作图如图所示，即为所要求作的角． (3) 解：作法：如图所示，连接并延长，交于点D， 连接并延长，交于点E，连接，则即为所要求作的角． 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，涉及到了圆周角定理的推论等知识，解题关键是理解题意，掌握相关定理的推论． （1）根据圆周角定理的推论即同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）①根据直径所对的圆周角是直角即可求解；②根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （3）根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等，所以， 故答案为：同弧所对的圆周角相等． （2）解：①略 ②略 （3）略 63．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】 利用旋转是解决几何证明或计算的一种重要手段。 （1）例如在图1中，是等边三角形ABC的外接圆，点P是 上任意一点，连接PA，如果把绕点A逆时针旋转60度，得到，易证P,C,D三点共线，且是等边三角形，所以PA,PB,PC这三条线段的数量关系是　 　（只填结果） 【类比论证】运用上面方法，解答下列问题： （2）如图2，是正方形ABCD的外接圆，点P是上任意一点，连接PA，PD，求证PB+PD=PA （3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠BCD=60°，BC+CD=6，求AC的长。 【答案】（1）PA=PB+PC；（2）见解析；（3）. 【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质得到PB=CD，PA=PD，然后由PD=PC+CD，等量代换可得答案； （2）如图2，连接BD，过点A作AE⊥AP交PB延长线于E，根据圆周角定理和正方形的性质可得∠APB=∠ADB=45°，即△AEP和△ABD是等腰直角三角形，然后利用SAS证明△EAB≌△PAD，求出EB=PD，即可解决问题； （3）如图3，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD交CD的延长线于点F，首先利用AAS证明△AEB≌△AFD，得到AE=AF，BE=DF，然后利用HL证明Rt△AEC≌Rt△AFC，得到CE=CF，∠ACE=∠ACF=30°，求出CE=3，再利用三角函数即可求出AC. 【详解】解：（1）∵把绕点A逆时针旋转60度，得到，P，C，D三点共线，且是等边三角形， ∴PB=CD，PA=PD， ∴PD=PC+CD=PC+PB，即PA=PB+PC； （2）如图2，连接BD，过点A作AE⊥AP交PB延长线于E， ∵∠APB=∠ADB=45°， ∴△AEP和△ABD是等腰直角三角形， ∴AE=AP，AB=AD，∠EAP=∠BAD=90°， ∴∠EAB=∠PAD， ∴△EAB≌△PAD（SAS）， ∴EB=PD， ∴PB+PD=PB+EB=EP=PA； （3）如图3，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD交CD的延长线于点F， ∵在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF， 又∵AB=AD，∠AEB=∠AFD=90°， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，BE=DF， ∵AC=AC， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴CE=CF，∠ACE=∠ACF=30°， ∵BC+CD=6， ∴BE+CE+CD= CE+CD+DF=CE+CF=2CE=6， ∴CE=3， ∴. 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四边形内角和定理以及三角函数的应用等知识，涉及知识点较多，较为复杂，通过作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $