精品解析：湖北荆门市外语学校2026－2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026秋季荆门外校九年级数学期中考试 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 3. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟悉形如的一元二次方程，若它的两个根为、，则有：，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，代入对应系数直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴对比选项，选项符合题意． 故选：． 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是， 故选：C． 5. 如图，反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象位置列出不等式，求出，再对照选项选出符合范围的值． 【详解】解：反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 6. 某电动机工作时功率P保持恒定，其输出力F与速度v的关系如图所示，根据图象可知，当输出力F超过时，速度v可能的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出时，的值，根据增减性，进行求解即可． 【详解】解：由题意，设，把代入，得， ∴， ∴当， ∴， ∴当输出力F超过时，． 7. 反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，结合反比例函数与一次函数图象性质判断图象所在象限及与坐标轴交点位置． 【详解】当时，，  反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，  选项A、B不符合题意； 当时，，  反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，  选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选C． 8. 《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，甲、乙的路径构成直角三角形，利用勾股定理列出方程． 【详解】解：设相遇时行走了个单位时间，则乙向东行走的距离为步，甲先向南走步，然后斜向东北行走的距离为步． 如图，由勾股定理，得 ∵ ∴ 即 ． 故选A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转的性质证明为等边三角形，求出，进而利用含角的直角三角形性质和勾股定理求出的长；根据旋转角确定与坐标轴的夹角，构造直角三角形求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点 由旋转的性质可知：，，， ， 是等边三角形 在中， 由勾股定理得： 点在轴正半轴上， 在中， 由勾股定理得： 点的坐标为． 10. 某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，错误的是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A. B. 抛物线与轴的交点为和 C. 若点，在该抛物线上，当时，则 D. 对于任意实数，总成立 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点；根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等可判断A；根据二次函数的与x轴交点可判断B；根据二次函数的值与该点到对称轴的距离可判断C；根据二次函数的最值可判断D． 【详解】解：A．由函数图象关于对称轴对称，得，在函数图象上， ， ，故A正确，不符合题意； B．当时，，当时，， 抛物线与轴的交点为和，故B正确，不符合题意； C．二次函数图象以为对称轴，抛物线开口向上； 点，在抛物线图象上，， ，即， 当时， ，此时， 当时， ，此时， 当时，此时无解， ∴综上所述：．故C正确，不符合题意． D．顶点为，函数有最小值，即最小值是， 对于任意实数（），则，即总成立，故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 12. 反比例函数的图象如图所示，则的值可以是___________．（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点， 则点的横坐标为，纵坐标小于，即点可以是， 将代入，得， 解得， 则的值可以是． 13. 已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ∴由根与系数的关系可得， 对所求代数式变形得 将， 代入得原式． 14. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 15. 如图，等边三角形，边长为4，点为边上一点，，以为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点旋转，当取最小值时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出． 【详解】解：过点A作于M， 是等边三角形，边长为4， ， ， ， ， ， 在中，， ∵， ∴当点E在延长线上时，，此时取最小值， 在中，， 正方形的边长为6， ， 在中，． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）采用直接开平方法求解； （2）采用因式分解法求解 【小问1详解】 解：   解得： 【小问2详解】 解：  或  解得：． 17. 已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）这样的实数不存在，理由如下： 因为， 所以该函数图象与轴必有交点， 若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． （1）把代入，得二次函数，求出当时，x的值即可求出结论； （2）因为，所以该函数图象与轴必有交点，即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，二次函数， 当时，， 解得：， ∴函数图象与x轴的交点坐标； 【小问2详解】 解：略． 18. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ． 将线段绕点旋转到的位置， ． 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． ， ， ． 19. 如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； （2）要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ 【答案】（1），且 （2）米 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入，构造解方程组，解答即可； （2）令，求得方程的两个实数根，两根之间的距离就是所求． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线的解析式为，图象经过， 得， 解得， 故抛物线的解析式为，且． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 故， 整理，得， 解得， 故（米）． 故小船的最大宽度是米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 【点睛】则或． 21. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为．根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为______； ②函数在时的“最优郡值”为______； （2）线段：，当时的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可； ②函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【小问1详解】 解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． 【小问2详解】 解：线段， ， 的“最优郡值”为，且时，， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则， ∴， 解得，经检验符合， ． 【小问3详解】 解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 情况一：当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 情况二：当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 情况三：当对称轴时，即时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 22. 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． （3）【模型应用】 由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】（1） 与的函数关系式为；当时，该充电站的收入为2000元 （2） 此时的值为20或100 （3） 符合条件的值为60． 理由如下： 设净收益为元， ， ， 该二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， 对称轴为直线， 当时净收益取得最大值， ， 解得． 【解析】 【分析】（1）因为收入y与充电汽车数量x成正比例关系，所以设函数关系式为，代入表格中任意一组x、y的对应值，求解比例系数k，再将代入所得函数式计算对应收入． （2）因为收支平衡时收入等于成本，所以令，将已得的y关于x的函数式和给定的w关于x的函数式联立，得到一元二次方程，求解该方程并结合x的实际意义确定符合条件的解． （3）先根据净收益=收入-成本，写出净收益关于x的二次函数表达式，因为二次函数在顶点处取得最值，所以结合已知的最值点横坐标，利用二次函数顶点横坐标公式建立关于m的方程，求解得到m的取值． 【小问1详解】  解：已知y与x成正比例关系，设（）， 代入表格中任意一组数据，比如， 得， 即． 验证其余表格数据均满足， ∴函数关系式为． 将代入， 得（元）． 【小问2详解】 解：收支平衡即收入等于成本，也就是， 代入两个函数关系式：   整理得一元二次方程：， ∴分解为， 解得，，两个解都符合实际意义． 【小问3详解】  略． 23. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式．某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，取中点，直线与直线交于点，连接． （1）【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； （2）【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②如图3，当时，直接写出线段，，之间的数量关系． （3）【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）证明：由旋转的性质可知，，， ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∵是的中点，即， ∴ ∴是的垂直平分线； ∴； ∴为等腰直角三角形． （2）①，证明： 如下图，当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴ ∴； 由（1）可知为等腰直角三角形； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴为等腰直角三角形， ∵,，， ∴， ∴，即，． ② （3）或 【解析】 【分析】（1）利用就可以确定，再由等腰三角形，求出，进而求出，最后利用是线段的垂直平分线，可以证明为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出，，之间的数量关系． （3）同（2）分类讨论，分别作出图形，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质知，，． （其中，）； 在等腰中，； 在等腰中，； ； ，即； 为的中点，且； ； 直线是的垂直平分线； ； ； ； 为等腰直角三角形． 【小问2详解】 ①证明：当时，设． 由（1）同理可证为等腰直角三角形，，； ； ； ； ； ，即； 过点作，垂足为； ，； 为的中点，； ，，； 平分，； 在上，在之间，在射线上； ； 在中，，； 为等腰直角三角形，； 为的中点； ； 又； ； ， 即． ②如下图所示，同理由第问可以证明，是等腰直角三角形性； 当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； 在等腰直角三角形中； ； 即，． 【小问3详解】 解：如图，当时； 在等腰直角三角形中，； ∴； ∵； ∴； ∵； 在中，由勾股定理得； ∴； ∵； ∴； 如图，当时； 同理，可求，； ∵； 在中，由勾股定理得； ∴； ∵； ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①② （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）①求出，可得，故，根据，即可得，从而，点； ②过点作轴交于点，交轴于点，求出直线的解析式为，设，则，，可表示，，故可表示，再根据二次函数性质可得答案； （3）求出直线解析式为，，可得，，由，解得值，分两种情况画出图形可得答案． 【小问1详解】 解：把、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①在中，令 得， ， ， ， ， ，， ， ， 点； ②过点作轴交于点，交轴于点，如图： 设直线的解析式为，将点、代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， 当时，的值最大，的最大值为； 【小问3详解】 解：由，可得直线解析式为， 点的横坐标为， ， （点在直线上方），， ， 当在抛物线上时， ， 解得或； 当在及左侧时，如图： 线段与抛物线有交点， 此时； 当在及右侧时，如图： 线段与抛物线有交点， 此时； 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季荆门外校九年级数学期中考试 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 3. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 6. 某电动机工作时功率P保持恒定，其输出力F与速度v的关系如图所示，根据图象可知，当输出力F超过时，速度v可能的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，错误的是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A. B. 抛物线与轴的交点为和 C. 若点，在该抛物线上，当时，则 D. 对于任意实数，总成立 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若点与点关于原点对称，则____________． 12. 反比例函数的图象如图所示，则的值可以是___________．（写出一个满足条件的值即可） 13. 已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 14. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 15. 如图，等边三角形，边长为4，点为边上一点，，以为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点旋转，当取最小值时，的长为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 18. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； （2）要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 21. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为．根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为______； ②函数在时的“最优郡值”为______； （2）线段：，当时的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 22. 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． （3）【模型应用】 由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 23. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式．某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，取中点，直线与直线交于点，连接． （1）【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； （2）【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②如图3，当时，直接写出线段，，之间的数量关系． （3）【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $