精品解析：湖北省荆门市京山四校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2026届九年级上学期期中考试数学试题 一、单选题（30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据轴对称图形的意义，中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合； 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合； 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合， 故选：C． 2. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 直径是最长的弦 B. 长度相等的弧是等弧 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 同圆中，所有的半径都相等 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，本选项不符合题意； B、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，本选项符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，本选项不符合题意； D、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 4. 如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据是的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵是弦，若 ∴∠DAB=∠BCD=36° ∵是的直径 ∴∠ADB=90° ∴∠ABD=90°-∠DAB=54°． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键． 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 【答案】A 【解析】 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】由旋转的性质可知，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB 6. 如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( ) A. 55° B. 70° C. 110° D. 125° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数． 7. 如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故A不符合题意； 由即，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故B不符合题意； 由，结合条件不可以得到，故C符合题意； 由可得，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故D不符合题意； 故选：C． 8. 正六边形的边长为6，则它的边心距为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示， 此正六边形中 ，则 ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∴= ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答． 9. 如图，中，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为___________（结果保留π）（　　） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故选A． 【点睛】本题考查了圆的内切三角形，切线的性质，勾股定理等，根据面积法求出半径r是解题的关键． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO，易证△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出EA=FC，进而可得出AE+AF=AC，选项A正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA=S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确．综上，此题得解． 【详解】连接AO，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点， ∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°． ∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°， ∴∠EOA=∠FOC． 在△EOA和△FOC中， ， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴EA=FC， ∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A正确； ∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°， ∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确； ∵△EOA≌△FOC， ∴S△EOA=S△FOC， ∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 二、填空题（15分） 11. 正五边形的中心角的度数是_____． 【答案】72°． 【解析】 【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【详解】解：正五边形的中心角为： ． 故答案为72°． 【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为． 13. 在平面直角坐标系中，将点以原点为旋转中心．顺时针旋转，得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图，作轴于E，轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，作轴于E，轴于F ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】6 【解析】 【详解】∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2， ∴AB=2， ∴阴影部分的面积之和为3×2=6． 故答案为：6． 【点睛】考点：中心对称． 15. 如图，为的直径，弦，垂足为．，，，则（1）半径______；（2）弦的长度为______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接、，交于G，利用垂径定理得到，设的半径为r，则，，根据勾股定理得到，解得；再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长． 【详解】解：如图：连接、，交于G，     ∵， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴，解得：； ∵， ，， 在中，，① 在中，，② 解由①②组成的方程组得到， ． 故答案为：5，． 三、解答题（75分） 16. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【答案】 证明：∵绕点A逆时针旋转得到，点在的延长线上， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据旋转得到，即可得到，进而可以解决问题． 【详解】略 17. 如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、圆的定义，关键是利用方程求角的度数； 由得到，根据等腰三角形的性质得，进而利用列方程求； 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即：． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于点的中心对称图形； （2）请画出绕原点逆时针旋转后得到的； （3）为轴上的一个动点，当有最小值时，求这个最小值． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）最小值为 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、中心对称，两点之间线段最短，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （）根据中心对称的性质作图即可； （）根据旋转的性质作图即可； （）作关于轴对称点，连接，交轴于点，则即为所求，然后通过两点间的距离公式即可求出最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，则即为所求， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可得，即为所求， ∴， ∴的最小值为． 19. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 20. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图①，点E，F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证　　，故，，之间的数量关系为_______． （2）类比引申 如图②，点E，F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1所示： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ，即． 在和中， ， ． ． ，即． 故答案为：；． 【小问2详解】 解∶． 理由：如图2所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质， 旋转的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论； （2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 22. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）这一周该商场的最大利润为540000元，售价为120元；（3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w=（x-30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价； （3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）， 把x=40，y=10000和x=50，y=9500代入得， ， 解得，， ∴y=-50x+12000； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得， ， 解得，30≤x≤120， 设利润为w元，根据题意得， w=（x-30）y=（x-30）（-50x+12000）=-50x2+13500x-360000=-50（x-135）2+551250， ∴对称轴为直线x=135， ∵-50＜0， ∴当x＜135时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤120，且x为正整数 ∴当x=120时，w取最大值为：-50×（120-135）2+551250=540000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元； （3）根据题意得，w=（x-30-m）（-50x+12000）=-50x2+（13500+50m）x-360000-12000m， ∴对称轴为x=-=135+0.5m， ∵-50＜0， ∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大， ∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大． 对称轴x=135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于140，由于x取整数， 实际上x是二次函数的离散整数点， 只需保证x=150时利润大于x=149时即可满足要求，所以对称轴要大于149.5就可以了， 故135+0.5m＞149.5， 解得m＞29， ∵10≤m≤60， ∴29＜m≤60． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组． 23. 问题呈现：（1）如下图，和都是等边三角形，连接，，求证：； 类比探究：（2）如下图，和都是等腰直角三角形，，连接，，求的值； 拓展提升：（3）如下图，和都是直角三角形，，且，连接，，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即． ， ； （2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的综合题； （1）证明，即可得； （2）证明，可推导出，再证明，可得，设，则，在中，求出，则； （3）由已知可证，则，再证，即可得． 熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2）解：和都是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ； （3），， ， ，， ， ， ． 24. 抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点． （1）直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________； （2）如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）设点，点，点，，利用 ，，推出，接着证明，那么有，即，然后解方程即可； （3）连接，作，交于点，先求得直线，设点，，表示出，，得到 ，接着求得，最后利用， 由，则时，取最大值，最大值为． 【小问1详解】 解：设直线为，代入，， ， ， 直线为：， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设点，点，点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， 当时，点，点，点，不符合题意，舍去； 当时，，点，符合题意， ； 【小问3详解】 解： 连接，作，交于点，如图所示： 设直线为：，代入，， ， ， 直线为：， 设点，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 时，取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级上学期期中考试数学试题 一、单选题（30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 直径是最长的弦 B. 长度相等的弧是等弧 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 同圆中，所有的半径都相等 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 6. 如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( ) A. 55° B. 70° C. 110° D. 125° 7. 如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（ ） A. B. C. D. 8. 正六边形的边长为6，则它的边心距为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 9. 如图，中，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为___________（结果保留π）（　　） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 10. 如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（15分） 11. 正五边形的中心角的度数是_____． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 13. 在平面直角坐标系中，将点以原点为旋转中心．顺时针旋转，得到点，则点的坐标是_____． 14. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 15. 如图，为的直径，弦，垂足为．，，，则（1）半径______；（2）弦的长度为______． 三、解答题（75分） 16. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 17. 如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，若，求的度数． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于点的中心对称图形； （2）请画出绕原点逆时针旋转后得到的； （3）为轴上的一个动点，当有最小值时，求这个最小值． 19. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 20. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图①，点E，F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证　　，故，，之间的数量关系为_______． （2）类比引申 如图②，点E，F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 22. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 23. 问题呈现：（1）如下图，和都是等边三角形，连接，，求证：； 类比探究：（2）如下图，和都是等腰直角三角形，，连接，，求的值； 拓展提升：（3）如下图，和都是直角三角形，，且，连接，，直接写出的值． 24. 抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点． （1）直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________； （2）如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $