第4章 4.6 函数的应用(二)&4.7 数学建模活动：生长规律的描述-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

y轴对称，即D正确.故选BD "4.5增长速度的比较 要点精析 例1D>>1【解析】由题图可知，=s）--k, t-to v=(2)-s()km v:=()-s(2)=kmc. t2- t3-2 .kgokan>ko,> 变式训练1 A【解析】由题意结合函数的解析式有： k=ft△)fnl-（otAx2-(o'-2xtAr. Ax △x k-fxo)-f(xAr)-(xa)-(x-Av)-2xAx, Ax △x 则k1-k2=2△x. △>0，k>k2.故选A 例2解：最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函 数关系式是f4(t)=2 理由：显然四个函数中，指数函数是增长速度最快 的，故最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函数关 系式是f4t)=2 变式训练2 BD【解析】如图，对于y=x2,2=2,从负无穷开 始，y1大于y2,然后y2大于y1,再然后1再次大于2， 最后y2大于y1,y再也追不上，故随着x的逐渐增 大，2的增长速度越来越快于y,A错误，B,D正确； Y=x 2 10 变式训练2答图 对于y1=x己，y=x,由于y=x的增长速度是不变的， 当x∈(0,1)时，y大于1，当x∈(1，+∞)时，y1大于 y,y3再也追不上1，y的增长速度有时快于，C错误. 故选BD. 参考答案。 数学文化 B【解析】2020至2021年R&D的经费支出的增长 速度是14.6%-10.2%=4.4%，是最快的，故A正确： 2023至2024年R&D的经费支出增加量为36130 33357=2773(亿元)，2021至2020年R&D的经费支出 增加量为27956-24393=3563（亿元），3563>2773， :.2023至2024年R&D的经费支出增加量不是五年中最 多，故B错误； 从条形图可以看出2020至2024年R&D的经费支出 逐年增加，故C正确： 从折线图可知，2020至2024年R&D的经费支出的 增长速度先递增后递减，故D正确.故选B. ●"4.6函数的应用（二)& 4.7数学建模活动：生长规律的描述 要点精析 例1C【解析】设经过n次过滤，产品达到市场要 求，则品×号≤即号≤动由号≤ -1g20,即n(1g2-1g3)≤-(1+lg2),得n≥+le2≈7.4 1g3-1g2 故选C 变式训练1 144=e, A【解析】由题意得 48=e20w 则e=1 3 当x=40℃时，yem=(ePe=(号）}x144=16 (h).故选A. 例2C【解析】当=1时，=dog3==3440,y=3440 10g(+2).当=7时，3y=34401og9-6880,即2024年冬有越 冬白鹤6880只.故选C 变式训练2 k C【解析】1t=1+er可=-0.95k, 整理可得e23-8》=19, 两边取自然对数得0.23(t-53)=ln19≈3， 解得t≈66.故选C. 例3D【解析】设每月的平均增长率为x,1月产量 为a,则a(1+x)"=ma,∴1+x=Vm,即x=Vm-1.故 选D. 35 N 高中数学必修第二册人教B版 变式训练3 解：若以y=ae为模拟函数，将(10,4)，(40 ae1o=4, k≈0.050136， 18)代人函数关系式，得 解得 aea-=18, a≈2.4228， .y=2.4228eao0136.以此函数关系式计算车速为90kmh, 100km/时，停车距离分别为220.8m,364.5m,与实 际数据相比，误差较大」 若以y=a为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代 a10=4, n≈1.085， 入人函数关系式，得 解得 .y= a…40=18. a≈0.3289， 0.3289x5.以此函数关系式计算车速为90km/h. 100kmh时，停车距离分别为43.39m,48.65m,与实际 情况误差也较大 若以=4bx+c为模拟函数，将(10,4)，(40,18). a102+b:10+c=4, (60,34)代入函数关系式，得{a402+b40+c=18,解得 a602+b.60+c=34, 1 =150' b-名☆4后42以此西数关系式计算车速为 c=2, 90kmh,100kmh时，停车距离分别为68m,82m,与 前两个函数相比，此函数更符合实际情况 当x=120时，y=114,即当车速为120kmh时，刹车 距离为114m 0.16x,0<x≤10， 例4解：(1)由题意得，= 1.6+2log5(x-9),x>10. (2)由x∈(0,10]，0.16x≤1.6，而y=5.6,.x>10. 因此1.6+2log(x-9)=5.6,解得x=34(万元). 答：老张的销售利润是34万元. 数学文化 例1解：(1)由题意可得，y=55196, 则67207=55196e. (36 n67207=ln(55196e)=ln55196+9r, .9r=ln67207-ln55196≈9x0.02188,.r=0.02188, y=55196e01w≈55196×1.022. 当y=130000时，55196eam1w=130000, .ln(55196e21w)=ln130000. 0.02188t=ln130000-ln55196≈39.15x0.02188. .1≈39.15，.大约40年后我国人口会达到13亿. (2)①由)<1，得fk)k-1), f(k-1) :.600k+13600600(k-1)+13600 Yoer Yoerd-1 化简得600k+13600<(600k+13000)e',由(1)知 r=0.02188, .·.600k+13600K(600k+13000)×1.022. 解得13.2k>314,k>23.8. k为正整数，.正整数k的最小值为24 ②油①知，当k>23.8时，fk)fk-1), .当=23时，fk)最大， f(23)=600x23+1360_600x23+13600=27400= Yoe2 =55196x1.0224=910501 0.301,即0.301×1000=301<400. ·按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到 400kg. 例2bc>0【解析】方法一：c=号与a=og2比较， 可考ebex国数，6-号-g-,V5冰g2- a:c=?与b=log3比较，可考虑fx)-logx函数，c= 号-)1og,8=logV8<d0gV9=log3=b.综上所述，b> 22 c>a. 方法二：只-21e2=og4<1,>a,名-21og3= log91,∴.b>c.综上所述，b>c>a.N 高中数学必修第二册人教B版 4.6函数的应用（二)& 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 分析先借助指数函数模型列出不等 学习目标 式，再根据指数、对数的关系解不等式 1.掌握指数函数、对数函数、幂函数三 变式训练1 种函数模型，能恰当地应用函数模型解决实 际问题， 已知某种食品的保鲜时间与储存温度有 2.会利用问题中的数据及其蕴含的关系 关，满足函数关系y=e(y为保鲜时间，x 选择合适的数学模型 为储存温度).若该食品在冰箱中0℃的保鲜 3.经历数学模型的形成过程，体验如何 时间是144h,在常温20℃的保鲜时间是 从数学的角度来观察和分析现实世界中的一 48h,则该食品在高温40℃的保鲜时间是 些问题 ( 4.会利用数学语言描述、分析、解决相 A.16h B.18h 关问题 C.20h D.24h 要点精析 川要点2对数函数模型 对数函数模型通常指由对数函数图象进 川要点1指数函数模型 行伸缩、平移变换得到的函数 指数函数模型通常指由指数函数图象进 思考随着自变量的增大，函数值有 行伸缩、平移变换得到的函数 怎样的变化趋势，才能利用对数型函数表 思考随着自变量的增大，函数值有 达函数模型呢？ 怎样的变化趋势，才能利用指数型函数表 例2据统计，每年到鄱阳湖国家湿地 达函数模型呢？ 公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年) 例1某工厂生产一种溶液，按市场要 近似满足关系y=log3(x+2.若2018年冬 求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最： (作为第1年)有越冬白鹤3440只，则到 初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每： 2024年冬有越冬白鹤() 过滤一次杂质含量减少}，则使产品达到市 A.4880只 B.5880只 C.6880只 D.7880只 场要求的最少过滤次数为（参考数据：g2≈ 分析此题符合对数函数模型，根据 0.301,lg3≈0.477)() 对数函数模型进行解答. A.10 B.9C.8 D.7 30 第四章指数函数、对数函数与幂函数 变式训练2 Logistic模型是常用数学模型之一，可 应用于流行病学领域.有学者根据数据建立 了某地区流感确诊病例数I(t)(t的单位： 天)的Logc模型：1@)=he,其中 k为最大确诊病例数，当I(t)=0.95k时，标 志着流感已接近尾声，则t约为(nl9≈3) ( A.60 B.63C.66 D.69 川要点3幂函数模型 幂函数模型通常指由幂函数图象进行伸 缩、平移变换得到的函数 例3一个模具厂一年中12月的产量 是1月产量的m倍，那么该模具厂这一年中 产量的月平均增长率是() A器 B.2 C./m-1 D.Vm-1 分析此题符合幂函数模型，根据幂 函数模型进行解答 B变式训练③ 下表表示的是某款车的车速与刹车距离 的关系，试分别就y=ae,y=ax,y=ax2+bx+ c三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模 川要点4数学建模 拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的 刹车距离 建立数学模型的步骤： 车速/(km/h) 10 15 30 40 50 (1)发现问题、提出问题 刹车距离m 4 7 12 18 25 (2)分析问题、建立模型 车速/(kmh) 60 70 80 90 100 (3)确定参数、计算求解 刹车距离m 34 43 54 66 80 (4)验证结果、改进模型， 学(31 N 高中数学必修第二册人教B版 例4某公司制订了一个激励销售人员 数学文化 的奖励方案：当销售利润不超过10万元时， 按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超 数学建模是在20世纪60和70年代进 过10万元时，若超出A万元，则超出部分 入一些西方国家大学的，我国的几所大学也 按210g(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位： 在80年代初将数学建模引入课堂.经过30 万元)，销售利润为x(单位：万元)· 多年的发展，现在绝大多数本科院校和许多 (1)写出该公司激励销售人员的奖励方 专科学校都开设了各种形式的数学建模课程 案的函数模型， 和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解 (2)如果业务员老张获得5.6万元的奖 决实际问题的能力开辟了一条有效的途径. 金，那么他的销售利润是多少万元？ 大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国 分析根据题意确定函数模型，然后 出现的，1989年在几位从事数学建模教育 进行相应的解答。 的教师的组织和推动下，我国几所大学的学 生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越 高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比 例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在 中国开花、结果的 例12021年5月，“共和国勋章”获 得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世， 他的功绩将永远被人们铭记.目前，我国年 人均粮食占有量已经稳定在470kg以上， 远高于国际公认的400kg粮食安全线.某校 数学建模小组的同学想研究：假如没有杂交 水稻的推广，没有合理的人口、土地政策， 仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国 年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经 济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈 几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”， 该小组同学做了以下研究.根据马尔萨斯的 理论，自然状态下人口增长模型为y=y① (其中t表示经过的时间，yo表示t=0时的人 口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t 32)学 第四章指数函数、对数函数与幂函数 年后的人口数，单位：万人)·根据国家统 参考数据：ln67207-1n55196≈9x0.02188, 计局网站的数据，我国1950年末、1959年 lnl30000-ln55196≈39.15×0.02188，em218≈ 末的人口总数分别为55196万和67207万.：1.022,55196×1.0222≈91050. 该小组同学根据这两个数据，以1950年末 的数据作为t=0时的人口数，求得①式人口 增长模型.经检验，1950一1959年的实际人 口数与此模型基本吻合，如图4-6-1. y 70000F 65000 60000 55000 500009 0123456789t 图4-6-1 (1)若你是该小组成员，请求出①式的 人口增长模型，并以该模型计算从1950年 末开始，大约多少年后我国人口会达到13 亿（年数取不小于t的最小整数）？ (2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学 把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型 模型，通过查阅我国1950年末至1959年末 的粮食产量，得到粮食增长模型近似为y= 600t+13600(其中t表示经过的时间，y表 示第t年的粮食年产量，单位：万吨).ft) =600+13600(1∈N)表示从1950年末开 Yoe" 始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人 例2设a-og2,b=lg3,c=7,则 ①求满足）<1的正整数k的最 f(k-1) a,b,c的大小关系为 小值； 分析c为分数，形式简洁，可以将其 ②按此模型，我国年人均粮食占有量能 转化为同底对数，分别与a,b进行比较， 达到400kg吗？试说明理由. 即建立对数函数模型，也可以作商比较 学 (33