4.7 数学建模活动：生长规律的描述知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.7 数学建模活动：生长规律的描述　知识清单

人教B版（2019）　必修第二册　第四章

拿一份真实的身高数据，把函数拟合走一遍

一、学习目标与重难点

二、数学建模是什么

对实际问题进行抽象概括，用数学的语言（模型）把实际问题转化为数学问题，用数学的思想方法分析、解决这个问题，这个过程就是数学建模。

一个完整的建模活动分四个环节：发现问题、提出问题；分析问题、建立模型；确定参数、计算求解；验证结果、改进模型。这四步与上一节的「审题、建模、求模、还原」讲的是同一件事，只是把「建立模型」拆得更细，并且特别强调最后一步——模型算出来不算完，还要拿数据回头检验一遍。

最后的检验往往不是一次就过的。偏差偏大，就要退回去换一类函数，或者重新选点定参数，改完再验，直到偏差落在可接受的范围。所以四个环节不是一条直线，而是一个能回头的环路。

图 1　数学建模活动的四个环节

本节要做的，就是拿一份真实的身高数据，把这四步完整走一遍，看看一个函数模型是怎么从一堆散点里长出来的。

三、活动素材：一份真实的身高数据

卫生部 2009 年 6 月发布的《中国 7 岁以下儿童生长发育参照标准》给出了我国 7 岁以下女童身高的中位数。取年龄每隔半岁一个数据，从刚出生到 6.5 岁共 14 组，如下表（0 岁指刚出生时）。

这 14 个数不是随便编的，是从大样本的调查里统计出来的中位数，也就是同龄孩子里排在正中间那个的身高。它代表一般的水平，不是某一个孩子的成长记录。

四、第一步　发现问题、提出问题

面对这张表，先要问清楚：这里牵涉哪两个量？它们之间是什么关系？

两个量是年龄和身高。年龄每取一个值，身高就有一个确定的值与之对应——这是统计出来的中位数，同一个年龄只有一个数。所以两者之间是函数关系。

把年龄记作 （岁），身高记作 （厘米），则 是自变量， 是因变量，定义域为 [0, 6.5]，值域为 [49.7, 119.4]。

要回答的问题就一个：能不能写出一个解析式 ，让它在这一段上大致贴合这 14 个数？「大致贴合」是关键词——数据带波动，要的是整体趋势对，不是每个点都严丝合缝。

五、第二步　分析问题、建立模型

先把 14 组数据画成散点图。图能一眼看出的东西，比盯着数字看半天要多。

点列从左下往右上走，说明身高随年龄一直在增加，没有回落。再看增长的快慢：出生到半岁长了 17.1 厘米，最后半岁只长了 2.8 厘米。增长的量一段比一段小，点列的弯向是朝下的——先陡后缓。

这两条观察一出，候选范围就窄了。

于是取两条带参数的式子作为候选：幂函数型的 ，对数型的 。

这两条式子里的 、、 都是待定的常数；幂函数型里的幂指数 也要定，它是一个正的真分数。对数型里取 lg 是为了好算，换成别的底数只是把系数 按比例改一下，形状不变。

图 2　身高的散点图与两条候选曲线

看图 2（a），那条直线是拿首尾两点连出来的。它在中点给出 81.9，而实测是 96.3，矮了 14.4 厘米。一条直线怎么可能贴住一条弯曲的点列？所以一次函数先排除。

看图 2（b），两条曲线都贴着点走，肉眼几乎分不出谁更好。这说明光看图已经不够了，必须动笔算。

六、第三步　确定参数、计算求解

思路是待定系数法：式子几个未知数，就找几个数据点代进去解方程。这两条式子各有三个未知数，先看能不能省掉一个。

幂函数型里，当 时 ，只剩 ；对数型里，当 时 ，只剩 。所以 0 岁那个数据直接把常数项交出来了：。