4.7 数学建模活动：生长规律的描述-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.7 数学建模活动：生长规律的描述 1 ◆ ◆ ◆ 建模疏理 建模初探 建模应用 2 一、数学建模 对实际问题进行抽象概括，用数学的语言（模型）把实际问题转化 为数学问题，用数学的思想方法分析、解决这个问题，这个过程就 是数学建模. 二、数学建模的基本步骤 数学建模的一般步骤如下： （1）发现问题、提出问题；（2）分析问题、建立模型；（3）确定 参数、计算求解；（4）验证结果、改进模型. 建 模 疏 理 3 一、数学建模实例 1.观察实际情景，发现和提出问题 登山既可以游览户外美景，又可以锻炼身体，一举多得.从身体需氧 的角度讲，当大气压低于0.65个大气压时，就会比较危险，那么常人 登山的高度控制在多少米之内比较安全呢？ 建 模 初 探 4 2.收集数据 设海平面上（海拔高度为0米）是一个标准大气压，随着海拔高度的 增加，气压越来越低.当海拔高度为1000米时，约为0.891个大气压； 当海拔高度为10 000米时，约为0.317个大气压；当海拔高度为 20 000米时，约为0.102个大气压. 建 模 初 探 5 3.分析数据 设海拔高度为千米的地方，气压为 个标准大气压.根据上面搜集到 的数据，画出散点图，根据图象找出合适的函数模型进行拟合.根据 散点图（图略）可知，随 的增大而减小，且依题意，函数不可能 是一次函数，也不可能是反比例函数，而选用指数型函数较适合.选 择函数，且 来近似地刻画大气压强随海拔 高度变化的规律. 建 模 初 探 6 4.建立模型 设，且,由时，，知 ,即 . 由,得;由，得 ;由 ,得 . 所以 . 故得到一个函数模型 . 建 模 初 探 7 5.检验模型 根据查到的海拔高度与大气压强的数值对应表，可以知道这个函数 模型与实际数据基本吻合. 建 模 初 探 8 6.求解问题 设,构造函数 , 用二分法求此函数的零点 ,, ； ,, ； ,, ； ,, ； ,, . 可取 ，所以从身体需氧的角度讲，常人登山的高度控制在 3600米之内比较安全. 建 模 初 探 9 二、数学建模活动研究报告 建立人口增长模型解决实际问题 ___年____班 研究报告：____年____月____日 课题名称 某城市人口增长与人口控制 课题组成 员及分工 建 模 初 探 10 实际问题 某城市现有人口为200万人，如果年自然增长率为 ，试解答下面的问题： （1）写出经过年后，该城市人口（万人）与 （年）的函数关系式； （2）估算8年后该城市的人口（精确到0.01万人） 建立函数 关系式 续表 建 模 初 探 11 分析与解 答 （1）1年后该城市人口为 （万人）， 2年后该城市人口为 （万人）， 3年后该城市人口为 （万人）， …… 续表 建 模 初 探 12 分析与解 答 年后该城市人口为 （万人）. （2）8年后该城市的人口为 （万人） 续表 建 模 初 探 13 说明与解 释 指导教师 审核意见 到附近的商店、工厂、学校做实际调查，了解函数在实际中的应用， 把遇到的实际问题转化为函数关系并作出解答，写出研究报告. 续表 建 模 初 探 14 1.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余 锻炼考核评分制度，建立一个当天的得分与锻炼时间 （单位：分 钟， ）的函数关系式，要求如下： 函数的大致图象如图所示； 当天的锻炼时间为0分钟时，得分为0分； 当天的锻炼时间为9分钟时，得分为6分； 每天得分最多不超过12分. 建 模 应 用 15 现有以下三个函数模型供选择： ； ； . （1）请根据函数图象与性质，结合题设条件，从 中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； 建 模 应 用 解：分析问题：根据三种函数的图象特征选择合适的函数模型， 然后代入和 解方程组即可得解析式； 解决问题：模型 ， 由图象过点， ， 得解得则 ， 当时， ，不符合题意； 建 模 应 用 17 模型 为爆炸增长型函数，不符合题意； 故选模型 . 由题知解得 所以, . 建 模 应 用 （2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天 至少锻炼多少分钟？ （参考数据： ） 解：分析问题：令 ，求出不等式的解集即可. 解决问题：由（1）知， ， 令，得，解得 ， 所以每天至少锻炼29.25分钟. 建 模 应 用 19 2.某化工企业响应国家环保政策,逐渐减少所排放废气中的污染物含 量,不断改良工艺.已知改良工艺前所排放废气中的污染物含量为 ,首次改良后所排放废气中的污染物含量为 . 设改良工艺前所排放废气中的污染物含量为 ,首次改良工艺后所排 放废气中的污染物含量为,则第 次改良后所排放废气中的污染物含 量可由函数模型 给出. （1）试求改良后所排放的废气中的污染物含量的函数解析式; 建 模 应 用 20 解：分析问题：在已知函数模型的情况下，先根据题意令 , 并代入相关数据以确定函数模型中的参数，进而确定函数解析式. 解决问题：（1）由题意得, . 当时, , 即,解得 , 所以 , 故改良后所排放的废气中的污染物含量的函数解析式为 . 建 模 应 用 21 2.某化工企业响应国家环保政策,逐渐减少所排放废气中的污染物含 量,不断改良工艺.已知改良工艺前所排放废气中的污染物含量为 ,首次改良后所排放废气中的污染物含量为 . 设改良工艺前所排放废气中的污染物含量为 ,首次改良工艺后所排 放废气中的污染物含量为,则第 次改良后所排放废气中的污染物含 量可由函数模型 给出. （2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中的污染物含量不能超过 ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放 的废气中的污染物含量达标.（取 ） 建 模 应 用 22 （2）令 , 整理得,即 , 两边同时取对数得 , 整理得 . 将代入得 , 因为,所以 . 故至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中的污染物 含量达标. 建 模 应 用 $