第4章 4.2.1 对数运算-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

(2)解：①1.7>1，y=1.7在(-0，+∞)上是增 函数 -2.5>-3,1.725>1.73 ②1.71.7=1,0.83<0.8=1，.1.703>0.83 变式训练1 B解折1号*>告+0，号0，< 又22169专月[号d .c<a<dkb.故选B. 例2解：当0<a<1时，.a2l≤a-5,.2x+1≥x-5,解得 x≥-6. 当a>1时，.2H≤a5,2x+1≤x-5,解得x≤-6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x比≥-6}； 当a>l时，不等式的解集为x≤6列. 变式训练2 解：当te[1,2]时，22是+m2-2≥0，即 m(22-1)≥-(2-1) .22-1>0,.m≥-(22+1） te[1,2],.-(22+1)e[-17,-5]. 若使m≥-(2+1)在te[1,2]上恒成立， 则m≥-5，m的取值范围为[-5，+∞). 例3C【解行】两数由y兮一2：收eR)安 合面成，y-号是减函数，只需求出仁42：(e R)的单调递减区间即可，易求得仁-x+2x的单调递减区 间为[1，+∞)，故选C. 变式训练3 (1,4]【解析】外函数为y=d,内函数为二次函数 1=2x2-a+1,在区间的，朵上单调递减，在区间 年，+0上单调递增。 当心1时，外函数d单调递增，)在-0，是 上单调递减，在朵，+∞上单调递增。 a>1, :函数x)在1,3)上单调递增，≤1， 4 得1<a≤4. 参考答案。 综上所述，实数a的取值范围为(1,4]. 例4V2【解析】由根式的性质易知函数的定义域 A 为[-1,2】.令=V+x+2,则y=2是减函数， 当}≤≤2时，函数：单调递诚，当1≤x≤时，函数1 单调递增，函数y=?)V丽的单调递增区间为 [分，2]，单调递诚区间为山，引，∴)出寸分归 V2 4 变式训练4 解：外函数为y=3',内函数为t=2-2.外函数y=3 在(-∞，+0)上单调递增，内函数t=x2-2x在(-∞， 1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴.y=32在 (-0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增， -3兮 数学文化 C【解析】由题意可得e号，可得e号 设Me*-064N=号No. 可得e=(e)2=e,解得t=8. 因此，污染物消除至最初的64%还需要4h.故选C. ·m4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算 要点精析 x+2>0, 例1(2,3)U(3,+∞)【解析】由题意可得x-2>0, x-2≠1， 解得>2，且x≠3，.实数x的取值范围是(2,3)U(3, +0). 变式训练1 x+1=x+1 B【解析】ogH(x+1)=1,.x+1>0,x>-1且 x+1≠1， x≠0.故选B 例2解：(1)logl6=4,24=16. 29 N 高中数学必修第二册人教B版 (2).4-64,.10g64=3 变式训练2 解：要求指数式的值，只需把已知的对数式化为指 数式 log2=p,lg3=9,∴=2，=3，.d*=2x32=18. 例3解：a=log10,b=og7,3=10,3=7,3-32 369 9 变式训练3 1【解析】设loga=logb=lg(a+b)=x,.a=2,b=5, a6-0,因t女+古-密2”-l 例420【解析】22e5-=22X2s5=4x5=20. 变式训练4 AB【解析】lgl0Hne=l,lg(lgl0)=lgl=0,lg(lne)= lgl=0,∴.①②均正确；③中若e=lnx,则x=e,故③错 误；④中lgl=0,而ln0没有意义，故④错误.故选AB. 例5解：由log2s[1og(log.a)]=0, log3(loga)=1,.loga=3, 解得=8，∴36”=(6e)2=82=64 变式训练5 C【解析】由题意知，log21og4(logx)=0, log4(logr)l,logx=3,解得x=2立V2. 同理可解得，y=3=/3,=5行=V5 比较x和y:取x=(V2)=8,y(/3)=9, x<y,.∴x<y 比较x和z:取x0=32,z10=25,x0z0,>a 比较y和z:取y5=243,z5=125,y5>z5,>z. 综上所述，<<y,故选C 数学文化 A【解析】由题意可知v=2km/s, =l0kms,代人=oln1+M可得， mol 10am1+.h4-s, 1+M-e5,M=m(e-1), mo 即M+m=em,.M+o=e,故选A mo 30 4.2.2对数运算法则 要点精析 例1解：()原式-1og3+1g4×25+1-之+e10+1 ≥+241-号 2)①go=ge10=2g10=号 ②(1g2)2+lg20x1g5=(1g2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(1g2)2+1- (1g2)2=1. 例2解：21og3-1oe6g+log7-7e-og9-1og6g+lg7- 2-le9r0×7-23-21 变式训练1 1【解析】原式=1og[2e0-(32)号-2]=log(10-3-2)=1. 例3解：1og18=1og2×9=1og2+2log3=m,1og24=1og3× 8=log3+31og2=n. (log 2+210g 3=m, log.2=5(2n-m). 联立，得 解得 (3l0g2+log3=n, oe3=号(3m-nm）. log1.5=iloe号-loe3-loe2=号(4m-3n. 变式训练2 解：log6=log2×3=log2+log3=m,log12=log3×4= log 3+log 22-log 3+2l0g 2=n. (log 2=n-m, 联立，得 og2+1og3=m,解得 log 3+2l0g 2=n, log 3=2m-n 1og45-loe5xw-bg5+loe9-loe9tloe31-loe2+ 2log3=1-(n-m)+2(2m-n)=5m-3n+1. 例41【解析】依题意，得a>0,b>0,a-2b>0,原式 可化为ab=(a-2b)2,即-5ab+4b2=0,等号两边同时除 以得（合-5（合+40，解得8=4或分1. a-2b>0,8>2,分=4，og8-l. 变式训练3 解：，g(x+2y)+lg(x-y)=lg2+lg+lgy, .Ig(x+2y)(x-y)=Ig(2xy),N 高中数学必修第二册人教B版 4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算 A.(-1,+0) 学习目标 B.(-1,0)U(0,+∞) 1.类比指数的学习过程，学习对数的 C.(-0,-1)U(-1,+∞)》 概念 D.(-0,0)U(0,+0) 2.理解对数的意义、符号 川要点2指数式与对数式的互化 3.会用对数的定义进行对数式与指数式 的互化 指数 对数 4.会利用对数恒等式求简单的对数值 幂 真数 要点精析 →logV=b 底数 川要点1对数的概念 思考指数式ad=W,根式VW=a和对 在表达式d=N(a>0且a≠1，N∈(0， 数式l0gN=b之间的关系，你能理解吗？ +∞)中，当a与N确定之后，只有唯一的 例2将下列指数式与对数式互化： b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以 (1)1og216=4;(2)43=64. a为底N的对数，记作b=logN,其中a称为 分析指数式化为对数式：将指数式的 对数的底数，N称为对数的真数。 幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写 思考为什么在对数式中规定a>0且 出对数式 a≠1呢？ 对数式化为指数式：将对数式的真数 例1对数式1ogx-2(x+2)中实数x的取 作为幂，对数作为指数，底数不变，写出 值范围是 指数式 反思感悟在解决与对数有关的问题 时，一定要注意：对数的真数大于零，对数 的底数大于零且不等于1 B变式训练① 若1og+1(x+1)=1,则x的取值范围是 10) 第四章指数函数、对数函数与幂函数 O 反思感悟·对数的定义是对数形式和 川要点3对数的性质与对数恒等式 指数形式互化的依据，而对数形式与指数形 式的互化又是解决问题的重要手段.互化时 1的对数是0，底的对数是1；对数恒等 要弄清各字母或数字分别在指数式和对数 式：dev=N 式中的位置， 思考对数恒等式成立的条件是什么？ 例4计算：22oe5= 变式训练2 反思感悟利用指数幂的运算法则， 已知log2=p,log3=q,求a的值. 将式子变形，再利用对数恒等式求解。 B变式训练④ (多选题)有以下四个结论：①lg(1g10) =0;②lg(lne)=0;③若e=lnx,则x=e2; ④n(lg1)=0.其中正确的有() A.① B.② C.③ D.④ 例5已知log2s[1og3(1oga)]=0,计算 36oe的值， 例3设a=log10,b=log37,求3的值 B变式训练5 已知log5[log1(log2)]=log3[log1(logy)] B变式训练③ =log2[1log1(1ogx)]=0,则下列关系中成立的 若正数a,b满足log2a=logb=lg(a+b), 是( 则女+ A.x<y<z B.y<z<x C.z<x<y D.z<y<x 学 N 高中数学必修第二册人教B版 、 量，mo是火箭（除去燃料）的质量，v是火 数学文化 箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知vo= 例航天之父、科学家齐奥尔科夫斯基 2km/s,则当火箭的最大速度v可达到 (K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大： 10km/s时，火箭的总质量（含燃料）至少 速度的计算公式=n1+M.其中，o是 是火箭（除去燃料）质量的()倍. mo A.es B.e5-1 燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质： C.e D.e6-1 (12)学