4.2.2 对数运算法则-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

4.2.2　对数运算法则

(教师独具内容)

课程标准：1.理解对数的运算法则.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

教学重点：1.对数运算法则.2.换底公式．

教学难点：对数运算法则及换底公式的应用．

核心素养：1.通过学习对数运算法则和换底公式培养数学抽象素养.2.通过应用对数运算法则和换底公式解决问题培养数学运算素养．

知识点一　对数运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么，

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均为正因数)；

(2)logaMα＝αlogaM；

(3)loga＝logaM－logaN．

知识点二　对数的换底公式

(1)logab＝，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1.

(2)转换成自然对数或常用对数：logab＝＝．

[拓展]　换底公式的常用推论

(1)logambn＝logab.

(2)logab×logba＝1.

(3)logab×logbc×logcd＝logad.

1．(积的对数)lg 20＋lg 5＝(　　)

A．100   B．2 

C．10   D．1

答案：B

2．(商的对数)log325－log35＝________．

答案：log35

3．(幂的对数)lg 8＋lg 53＝________．

答案：3

4．(换底公式)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________．

答案：

题型一　对数运算法则的应用　

　(1)若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式：

①logax×logay＝loga(x＋y)；

②logax－logay＝loga(x－y)；

③loga(xy)＝logax×logay；

④＝loga；

⑤(logax)n＝logaxn；

⑥logax＝－loga；

⑦＝loga；

⑧loga＝－loga.

其中式子成立的个数为(　　)

A．3   B．4 

C．5   D．6

[解析]　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24×log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax×logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8

－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24×log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax×logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，∴＝loga不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；对于⑥，因为－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax，所以⑥成立；对于⑦，因为loga＝logax＝，所以⑦成立；对于⑧，因为loga＝loga＝－loga，所以⑧成立．

[答案]　A

(2)化简：①；

②2log32－log3＋log38－5log53；

③log2＋log2.

[解]　①原式＝＝＝.

②原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.

③原式＝log2(×)＝log24＝2.

【感悟提升】利用对数运算法则解题的技巧

(1)把复杂的真数化简．

(2)正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数运算法则化为对数的和、差、积、商再化简．

(3)逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．

(4)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg ＝－lg a等．

【跟踪训练】

1．计算：(1)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；

(2)log535－2log5＋log57－log51.8.