4.2.1 对数运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 要准确把握对数的定义，以及ab=N(a>0，且a≠1)⇔logaN=b的等价关系，学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值. 逐点清(一)　对数的概念 [多维理解] 　　在表达式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对数log39和log93的意义一样. (　　) (2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　　) (3)对数运算的实质是求幂指数. (　　) (4)任何一个指数式都可以化成对数式. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.在M=log(x-3) (x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为 (　　) A.(-∞，3] B.(3，4)∪(4，+∞) C.(4，+∞) D.(3，4) 解析：选B　由对数的概念可得 解得3<x<4或x>4. 3.方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为 (　　) A.-3 B.3 C.-1或3 D.1或-3 解析：选B　由lg(x2-1)=lg(2x+2)， 得即 解得x=3， 所以方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为3. 4.若logx4=2，则x的值为 (　　) A.±2 B.2 C.-2 D. 解析：选B　∵logx4=2， ∴x2=4.又x>0，∴x=2. 逐点清(二)　对数与指数的关系 [多维理解] 1.对数与指数的关系 当a>0，且a≠1，N>0时，ab=N⇔b=logaN. 2.对数与指数的关系示意图 3.常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数称为常用对数 lg N 自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数 ln N |微|点|助|解| 　　因为对数是由指数转化而来的，所以底数a，指数或对数x，幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换. [微点练明] 1.已知loga9=-2，则a的值为 (　　) A.-3 B.- C.3 D. 解析：选D　∵loga9=-2，a>0，且a≠1， ∴a-2=9.解得a=.故选D. 2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 (　　) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=-3 C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5 解析：选ACD　选项A中，指数式100=1化为对数式为lg 1=0，A正确；选项B中，指数式2=化为对数式为log27=-，B不正确；选项C中，对数式log39=2化为指数式为32=9，C正确；选项D中，对数式log55=1化为指数式为51=5，D正确. 3.求下列各式中x的值. (1)log3x=-3；(2)logx49=4； (3)lg 0.000 01=x；(4)ln=-x. 解：(1)由题意得x=3-3=. (2)由x4=49，x>0且x≠1，得x=. (3)由10x=0.000 01=10-5，得x=-5. (4)由e-x==，得x=-. 逐点清(三)　对数性质的应用 [多维理解] 对数恒等式 =N(a>0且a≠1，N>0)；logaab=b(a>0且a≠1) 对数的性质 (1)loga1=0(a>0且a≠1). (2)logaa=1(a>0且a≠1). (3)0和负数没有对数 |微|点|助|解| 1.利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 2.对数恒等式的作用 (1)化简求值，如=x+2(a>0，且a≠1，x>-2). (2)将有关数值转化成幂的形式，如3=. [微点练明] 1.设=25，则x的值等于 (　　) A.10 B.13 C.100 D.±1 001 解析：选B　由对数的性质，得=2x-1=25.所以x=13. 2.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0，则x+y+z的值为 (　　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析：选A　∵log2(log3x)=0，∴log3x=1.∴x=3.同理y=4，z=2.∴x+y+z=9. 3.计算：3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　.  解析：原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. 答案：0 4.求下列各式中x的值. (1)log2(log5x)=0；(2)log3(lg x)=1； (3)x=. 解：(1)∵log2(log5x)=0，∴log5x=20=1， ∴x=51=5. (2)∵log3(lg x)=1，∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. (3)x===. 学科网（北京）股份有限公司 $