第4章 4.1.2 指数函数的性质与图象 第2课时 指数函数的性质-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数 第2课时指数函数的性质 学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得函 数的单调区间的求法及单调性的判断 2.能借助指数函数性质比较大小，会解 简单的指数方程、不等式 要点精析 川要点1指数式的大小比较 比较两个幂的大小的方法： (1)比较同底数、不同指数的两个幂的 反思感悟三个（或三个以上）指数式 大小时，利用指数函数的单调性来判断 (幂)的大小比较，应先根据值的大小（特 (2)比较底数不同、指数相同的两个幂 别是与1的大小进行比较)进行分组，再比 的大小时，利用指数函数的图象的变化规律 较各组幂的大小 来判断。 (3)比较底数不同、指数也不同的两个 B变式训练① 幂的大小时，则通过中间值来判断。 思考如何根据两个幂的共同特征选 已知a= ，62，c=号月，d 取合适的方法呢？ 号片，将a,6,6,d按从小到大的服序排 例1(1)若a-0.52,b-0.53,c-0.54 列为() 则a,b,c的大小关系是( A.c<a<b<d B.c<a<d<b A.a>b>c B.a<b<c C.c<d<a<b D.c<d<b<a C.a<c<b D.b<c<a (2)比较下列各题中两个值的大小： 川要点2解含指数式的不等式 ①1.725,1.73；②1.73,0.831 解含指数式的不等式的基本方法是先将 分析若两个指数幂底数相同、指数 其化为同底指数式，再利用指数函数的单调 不同，利用指数函数的单调性来判断！ 性求解.注意底数对不等号方向的影响， 若两个指数幂底数不同、指数不同，则 思考解不等式a/x>a(a>0且a≠ 通过中间值来判断. 1)的依据是什么？ 高中数学必修第二册人教B版 例2解关于x的不等式：a2≤d5(a> 单调性结合，利用复合函数的单调性确定其 0且a≠1). 单调性。 分析 依据指数函数单调性进行分类 思考两个函数在相应区间上的单调 讨论 性已确定，其复合之后的单调性应当遵循 同则增、异则减的规律 例3 函数y= x2+2x 的单调递增区间 是( A.[-1,+o) B.(-0,-1] C.[1,+∞) D.(-∞，1] 分析先弄清哪两个函数复合到一起」 再根据复合函数单调性原则进行解答 反思感悟含指数式的不等式的一般 解法：先将不等式的两边化为同底的指数 反思感悟判断复合函数y=a)的单调 式，再利用指数函数的单调性“去掉”底 性的方法：令u=f(x),x∈[m,n],若两 数，转化为熟悉的不等式，如一元一次不等 个函数y=a与u=f(x)在[m,n]上的单调 式 一元二次不等式等 性相同，则复合函数y=afx)在[m,n]上 是增函数；若两者在[m,n]上的单调性 变式训练② 相异（即一增一减），则复合函数y=a)在 m, n]上是减函数. 已知fx)-2,若2f2)+mf@≥0对 B变式训练3 于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围， 若函数fx)=a21(a>1)在区间(1,3) 上单调递增，则实数a的取值范围为 川要点4指数型函数的最值 与指数函数有关的最值问题，要利用复 合函数的单调性求出单调区间，进而求最值. 例4 函数y= 2的最小值是 川要点3指数型函数的单调性 与指数函数有关的单调性问题，要分清 分析 先求出函数的定义域，然后弄 清哪两个函数复合到一起，再根据复合函数 函数是由哪几个基本函数复合而成的.可先 求出内层函数的单调区间，再与外层函数的 单调性原则进行解答 学 第四章指数函数、对数函数与幂函数 馆.为倡导绿色可循环的理念，场馆还配备 变式训练④ 了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过 求函数y=32的最小值， 程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t 的关系为W=Noe(N。为最初污染物数量). 如果前4h消除了20%的污染物，那么污染 物消除至最初的64%还需要（)h. 数学文化 例如图4-1-2，国家速滑馆又称“冰 丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有 图4-1-2 亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排 A.3.6 B.3.8 放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场： C.4 D.4.2 学(9N 高中数学必修第二册人教B版 数学文化 ⊥‖【解析】16子×27亏=72，从题中所给数码 知72可用算筹⊥川表示 4.1.2指数函数的性质与图象 第1课时指数函数的概念与图象 要点精析 (a-2)2=1, 例1C【解析】由指数函数的定义知a>0, a≠1， 解得=3.故选C 例23【解析】由题意设f(x)=d(a>0且a≠1)，则 f2)=2-9,∴.a=3,.fx)=3 变式训练1 解：函数y=(a2-5a+5)a是指数函数， d-5a+5=1, ∴.>0， 解得a=4. a≠1， 例3CD【解析】函数y=x+a单调递增，且a为直线y= x+a在y轴上的截距，又当a心1时，函数y=d单调递增， 当0<a<l时，函数y=d单调递减，故选项C,D中的图 象符合条件.故选CD. 变式训练2 D【解析】令fx)=0,得4=4x2,在同一平面直角坐 标系中分别作出=4，y=4x的图象.观察可知，两个函 数图象有3个交点，故函数f(x)=4-4x2的零点个数为3. 故选D. 例4解：由-1≠0得x≠1，.函数的定义域为≠1. 由0得y1,函数的值域为6>0且y≠小 变式训练3 解：令V-2x+2,则)=3， 且t=Vx2-2x+2=V(e-1)4I≥1. 又.V(x-1)+1>0恒成立， 定义域为xeR,值坡为ye0,号 例5解：函数的定义坡为R,=2P-2+12 子20，当2-号，甲1时，y取得最小值，最 28 小值为子，函数的值域为子+ 变式训练4 2【解析】当x<0时，0<2<1， ∴.fx)=1-2e(0,1). 设fa)=fb)=t(a<b), 结合图象可知0<t<1,且a<0,b>0, .fa)=1-2∈(0,1)，fb)=2-1∈(0,1). 由f代a)=fb)可得，1-2-2-1，则2+2=2. a 变式训练4答图 数学文化 Bc【解桥】6(-1-j-]-[名-0,61)= 石-1，G(1)≠G(-1),G()不是偶函数，A错误 e}2-+,20,1+21,0c +2<1,fx)e3,.当r)e3,oj 时，G(x)=f(x)]=-1,当fe0,时，Ge)= [fx)]=0,.G(x)的值域是-1,0B正确. 1 fx)的定义域为R,且f(-x)+f(x)=号- 21+ 1 分2=1--0，x)为奇函数，C正确 12 1+21 y-2在R上单调递增，中2在R上单调递减， 号高-号+位在R上单润递减，即)在R 上是减函数，D错误.故选BC 第2课时指数函数的性质 要点精析 例1()B【解析】-05在R上是减函数，且> 3>4,aKb<c,故选B. 1、1 (2)解：①1.7>1，y=1.7在(-0，+∞)上是增 函数 -2.5>-3,1.725>1.73 ②1.71.7=1,0.83<0.8=1，.1.703>0.83 变式训练1 B解折1号*>告+0，号0，< 又22169专月[号d .c<a<dkb.故选B. 例2解：当0<a<1时，.a2l≤a-5,.2x+1≥x-5,解得 x≥-6. 当a>1时，.2H≤a5,2x+1≤x-5,解得x≤-6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x比≥-6}； 当a>l时，不等式的解集为x≤6列. 变式训练2 解：当te[1,2]时，22是+m2-2≥0，即 m(22-1)≥-(2-1) .22-1>0,.m≥-(22+1） te[1,2],.-(22+1)e[-17,-5]. 若使m≥-(2+1)在te[1,2]上恒成立， 则m≥-5，m的取值范围为[-5，+∞). 例3C【解行】两数由y兮一2：收eR)安 合面成，y-号是减函数，只需求出仁42：(e R)的单调递减区间即可，易求得仁-x+2x的单调递减区 间为[1，+∞)，故选C. 变式训练3 (1,4]【解析】外函数为y=d,内函数为二次函数 1=2x2-a+1,在区间的，朵上单调递减，在区间 年，+0上单调递增。 当心1时，外函数d单调递增，)在-0，是 上单调递减，在朵，+∞上单调递增。 a>1, :函数x)在1,3)上单调递增，≤1， 4 得1<a≤4. 参考答案。 综上所述，实数a的取值范围为(1,4]. 例4V2【解析】由根式的性质易知函数的定义域 A 为[-1,2】.令=V+x+2,则y=2是减函数， 当}≤≤2时，函数：单调递诚，当1≤x≤时，函数1 单调递增，函数y=?)V丽的单调递增区间为 [分，2]，单调递诚区间为山，引，∴)出寸分归 V2 4 变式训练4 解：外函数为y=3',内函数为t=2-2.外函数y=3 在(-∞，+0)上单调递增，内函数t=x2-2x在(-∞， 1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴.y=32在 (-0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增， -3兮 数学文化 C【解析】由题意可得e号，可得e号 设Me*-064N=号No. 可得e=(e)2=e,解得t=8. 因此，污染物消除至最初的64%还需要4h.故选C. ·m4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算 要点精析 x+2>0, 例1(2,3)U(3,+∞)【解析】由题意可得x-2>0, x-2≠1， 解得>2，且x≠3，.实数x的取值范围是(2,3)U(3, +0). 变式训练1 x+1=x+1 B【解析】ogH(x+1)=1,.x+1>0,x>-1且 x+1≠1， x≠0.故选B 例2解：(1)logl6=4,24=16. 29