4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用 (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

第2课时　指数函数的性质与图象的应用 1.若函数f(x)的定义域为,则函数f(3x)的定义域为 (　 ) A.(0,1] B.[0,1] C.(-1,0] D.[-1,0] 2.使不等式92x-1<成立的x的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 3.[2026·杭州高一期末] 函数f(x)=2ax-1-1(a>0且a≠1)的图象过定点 (　 ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(0,1) D.(2,2a-1) 4.函数f(x)=的值域为 (　 ) A.(0,1) B.(0,3) C.(0,3] D.(3,+∞) 5.若关于x的方程=k有两个不等实根,则实数k的取值范围为 (　 ) A.(0,1) B.(-1,0) C. (-∞,-1) D. (1,+∞) 6.已知函数f(x)=m·4x-2x,若存在非零实数x0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数m的取值范围是(　 ) A. B.(0,2) C. D.[2,+∞) ★7.(多选题)若不等式m·2x<2x+2对一切的m∈[1,2]恒成立,则实数x的值可能是 (　 ) A. B.20.1 C.3-0.2 D. 8.已知函数f(x)=若f(a)<f(6-a),则实数a的取值范围是　　　　　.  9.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是　　　　.  10.(13分)某地为践行绿水青山就是金山银山的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的3倍时,所用时间是10年. (1)求森林面积的年增长率; (2)到今年为止,森林面积为原来的倍,则该地已经植树造林多少年? 11.已知函数f(x)=-2+a,其图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则f(x)>的解集为 (　 ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 12.[2026·成都高一月考] 函数f(x)=4x-2x+2+5在区间[0,2]上的最小值为(　 ) A.5 B.4 C.2 D.1 13.已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+2x+b,若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[-1,b](b>-1),使得f(x1)=g(x2)成立,则实数b的取值范围是　　　　.  14.(15分)[2026·贵州毕节高一期末] 已知函数f(x)=是奇函数. (1)求m的值; (2)用定义证明函数f(x)在R上是增函数; (3)若对任意的x∈R,不等式f(2x)+f(x2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围. ★15.(多选题)已知正数x,y,z满足x3=y4=z5,则x,y,z的大小关系可能是 (　 ) A.x<z<y B.x<y<z C.y<x<z D.z<y<x 16.(15分)“函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形”的充要条件是“函数y=f(x)为奇函数”,可以将其推广为:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件是“函数y=f(x+a)-b为y关于x的奇函数”.给定函数f(x)=. (1)求f(x)的图象的对称中心; (2)已知函数g(x)=-x2+mx,若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,+∞),使得g(x1)≤f(x2),求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　指数函数的性质与图象的应用 1.C　[解析] 令<3x≤1,解得-1<x≤0,故函数f(3x)的定义域为(-1,0].故选C. 2.A　[解析] 原不等式即34x-2<,可得4x-2<,解得x<.故选A. 3.A　[解析] 令x-1=0得x=1,则f(1)=2a1-1-1=1,所以函数f(x)=2ax-1-1的图象过定点(1,1). 故选A. 4.C　[解析] 令t=x2-2x=(x-1)2-1,则t∈[-1,+∞),则y=∈(0,3],所以f(x)=的值域为(0,3].故选C. 5.A　[解析] 由题意知,y=的图象与直线y=k有两个不同的交点,函数y==的图象如图所示,由图知0<k<1.故选A. 6.A　[解析] 依题意得,m·-=m·-,即m(-)=-.因为x0≠0,所以-≠0,所以m=,又因为+>2,显然m>0,所以0<m<.故选A. 7.ACD　[解析] 令f(m)=2x·m-(2x+2),则f(m)是关于m的一次函数,因为2x>0恒成立,所以f(m)在[1,2]上单调递增.要使2x·m-(2x+2)<0对一切的m∈[1,2]恒成立,则f(2)<0,即f(2)=2x+1-(2x+2)<0,可得0<x<1. 因为函数y=2x在R上单调递增,所以20.1>20=1,因为函数y=3x在R上单调递增,所以0<3-0.2<30=1.故选ACD. [点睛] 本题指定m为自变量,构造了关于m的函数,相比较于将x视为自变量,降低了计算量. 8.(-∞,3)　[解析] 因为y=2x和y=-在定义域内都为增函数,且20=1>-=-1,所以f(x)在R上单调递增,又f(a)<f(6-a),所以a<6-a,解得a<3. 9.(-∞,0)　[解析] f(x)的图象如图所示, 由图可知解得x<0.故x的取值范围是(-∞,0). 10.解:(1)设森林面积的年增长率为x,根据题意可得a(1+x)10=3a,即(1+x)10=3,则1+x=, 故x=-1.故森林面积的年增长率为-1. (2)设该地已经植树造林t年,根据题意可得a(1+x)t=a,即=,则=,解得t=5. 故该地已经植树造林5年. 11.A　[解析] 因为函数f(x)=-2+a的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,所以a=1,所以f(x)=-2+1=-21-|x|+1,则f(x)=-21-|x|+1>可化为2-1>21-|x|,因为y=2x是定义域上的增函数,所以-1>1-|x|,解得x>2或x<-2,所以f(x)>的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选A. 12.D　[解析] f(x)=4x-2x+2+5=22x-4×2x+5,令t=2x,当0≤x≤2时,1≤t≤4,原函数可化为g(t)=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以g(t)的最小值为g(2)=1,所以f(x)的最小值为1.故选D. 13.[1,3]　[解析] 当x∈[1,2]时,2x∈[2,4],可知f(x)在[1,2]上的取值范围为[2,4].因为g(x)=x2+2x+b=(x+1)2-1+b在[-1,b]上是增函数,且g(-1)=-1+b,g(b)=b2+3b,所以g(x)在[-1,b]上的取值范围为[-1+b,b2+3b]. 因为对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[-1,b],使得f(x1)=g(x2)成立,所以解得1≤b≤3,所以实数b的取值范围是[1,3]. 14.解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0恒成立, 所以+=0,即+=0,即(1-3x)=0. 因为对任意x∈R,上式恒成立,所以-=0, 所以(m·3x+1)-(m+3x)=0,即(m-1)·3x=m-1. 因为(m-1)·3x=m-1对任意x∈R恒成立,所以m=1. 当m=1时,f(x)=,其定义域是R, 又f(-x)===-f(x),所以函数f(x)是奇函数.综上,m=1. (2)证明:由(1)知f(x)=,其定义域为R.设x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==. 因为x1<x2,且y=3x在R上单调递增,所以0<<,即-<0. 又(+1)(+1)>0,所以<0,即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. (3)由f(2x)+f(x2-k)>0,得f(x2-k)>-f(2x)=f(-2x),则x2-k>-2x,所以k<x2+2x=(x+1)2-1. 因为(x+1)2-1≥-1恒成立,所以k<-1,所以实数k的取值范围是(-∞,-1). 15.BD　[解析] 设x3=y4=z5=k(k>0),则x=,y=,z=.当k>1时,指数函数y=kx单调递增,因为>>,所以>>,即x>y>z;当k=1时,x=y=z=1;当0<k<1时,指数函数y=kx单调递减,因为>>,所以<<,即x<y<z.故选BD. 16.解:(1)设f(x)=的图象的对称中心为(a,b), 则h(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点中心对称, 因为h(x)的定义域为R,所以h(-x)+h(x)=-b+-b=0恒成立, 即(1-2b)(3x+a+3-x+a)+2-2b-2b·32a=0恒成立, 所以解得所以f(x)的图象的对称中心为. (2)函数f(x)=在区间[1,+∞)上单调递减,则f(x)在区间[1,+∞)上的取值范围为, 由题意可知g(x)≤对任意的x∈[-1,1]恒成立. 函数g(x)=-x2+mx的图象开口向下,对称轴为直线x=. 当≤-1,即m≤-2时,g(x)在[-1,1]上单调递减, 则-1-m≤,解得m≥-,不符合题意; 当-1<<1,即-2<m<2时,g(x)在上单调递增,在上单调递减, 则-+≤,解得-1≤m≤1; 当≥1,即m≥2时,g(x)在[-1,1]上单调递增, 则-1+m≤,解得m≤,不符合题意. 综上所述,实数m的取值范围为[-1,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $