第4章 1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

第2课时　指数函数的性质与图象的应用

角度1　比较大小

[例1] (对接教材例1)比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5与1.53.2；

(2)() 与()；

(3)1.50.3与0.81.2.

【解】　(1)因为函数y＝1.5x在R上是增函数，

2．5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.

(2)作出指数函数y＝()x与y＝()x的图象(如图)，

由图知()＞().

(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，

而0.81.2＜0.80＝1，所以1.50.3＞0.81.2.

　

比较指数式大小的三种类型及处理方法

角度2　解指数型不等式

[例2] (1)解不等式：73x<()12-6x；

(2)已知ax2－3x＋1<ax+6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．

【解】　(1)原不等式可化为：73x<76x-12，由函数y＝7x在R上是增函数可得3x<6x－12，解得x>4，

故原不等式的解集为{x|x>4}．

(2)分情况讨论：

①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，所以有x2－3x＋1>x＋6，即x2－4x－5>0，

解得x<－1或x>5；

②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，所以x2－3x＋1<x＋6，即x2－4x－5<0，解得－1<x<5.

综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5.

母题探究　本例(1)变为“若不等式7ax-1<()ax2恒成立”，求实数a的取值范围．

解： 因为不等式7ax-1<()ax2恒成立，即7ax-1<7－ax2恒成立，且函数y＝7x在R上为增函数，

所以ax－1<－ax2恒成立，

即ax2＋ax－1<0恒成立，

当a＝0时，－1<0恒成立，符合题意；

当a≠0时，则

解得－4<a<0.

综上可得－4<a≤0，

即实数a的取值范围是(－4，0].

　

指数型不等式的解法

(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x).

(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0且a≠1)，a－x＝()x(a＞0且a≠1)等．

[跟踪训练1] (1)若a＝2 ，b＝20.3，c＝0.93.1，则(　　)

A．b＞c＞a    B．b＞a＞c

C．c＞a＞b    D．a＞b＞c

解析：选D.因为函数y＝2x在R上是增函数，＞0.3＞0，所以2＞20.3＞20＝1，函数y＝0.9x在R上是减函数，则0.93.1＜0.90＝1.综上可得2＞20.3＞1＞0.93.1，即a＞b＞c.故选D.

(2)不等式23-2x<0.53x-4的解集为_______________________．

解析：原不等式可化为23-2x<24-3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，故不等式的解集为(－∞，1).

答案：(－∞，1)

 [例3] 判断f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．

【解】　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u.

因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又因为y＝()u是R上的减函数，所以f(x)＝()x2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．

因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，