第4章 4.1.1 实数指数幂及其运算-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幕函数。 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 1≥0) 学习目标 分析根据n次方根的化简原则进行 1.类比平方根与立方根的概念，理解n: 化简。 次方根及根式的概念；正确运用根式的运算 性质进行根式运算 2.学会根式与分数指数幂之间的相互 转化. 3.掌握用有理指数幂的运算性质化简 求值. 4.了解无理指数幂的概念，知道无理指 反思感悟要注意n的奇偶性对V 数幂可以用有理指数幂来逼近的思想方法 的值的影响，当n为偶数时，V=xl, 要点精析 ③变式训练① 川要点1n次方根的化简与求值 已知/c+V6=-a-b,求V(a+b)严+ (1)(Va)=a. √(a+b)3的值. (2)Vd= a,n为奇数， lal,n为偶数， 思考 a在实数范围内的n次方根有 几个？ 例1化简： (1)V(3-π)r; (2)(Va-I)2+V(1-a)+V(1-a)(a- 学(1 N 高中数学必修第二册人教B版 例2已知-3<x<3,求Vx2-2x+1 分析借助根式与分数指数幂的互化 -Vx2+6x+9的值. 原则进行判断。 分析根据n次方根的化简原则先化 川要点3指数幂的化简与求值 简再求值！ 当s,t为任意有理数时，有运算法则： ad=a",(a)'=a",(ab)'=ab'. 思考对任意实数s和t,类似有理指 数幂的运算法则仍然成立.那么，在无理指 数幂中，底数需要注意什么呢？ 例4化简：VaVa(a>0). 反思感悟 先将被开方数化成完全平 分析借助根式与分数指数幂的互化 方式，再化简」 原则以及指数幂的运算法则进行化简 变式训练2 用符号“∈”或“”填空： V2-V3+V2+V3 xlx=a+ V6b,a∈Q,b∈Q. 川要点2根式与指数幂的互化 (1)an=/a(a>0). (2)a=(a)"=Va (a20,m,ne N,且m为既约分数)· 反思感悟在进行指数幂和根式的化 思考为什么要求分数指数幂中的指 简时，一般是先将根式化为指数幂的形式， 数是既约分数？ 将指数为小数的指数幂化为分数指数幂， 例3下列根式与分数指数幂的互化正 并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再 确的是() 利用指数幂的运算法则进行化简、求值、 A.-VE=(-x)7(x>0) 计算，以达到化繁为简的目的 B.V7=y3(y<0) B变式训练③ c.(0) 若Vx2+2x+1+V2+6y+9=0,则(x205) D.x方=-/元(x≠0) 2 第四章指数函数、对数函数与幂函数 例5已知x+x=3,求： 数学文化 (1)x2+x2的值； (2)号的值 17世纪，法国数学家笛卡儿(1596 1650)第一个使用了现今用的根号“一”. 分析借助完全平方公式和指数幂的 在一本书中，笛卡儿写道：“如果想求n的 运算法则进行计算」 平方根，就写作±Vn,如果想求n的立方 根，则写作n” 有时候被开方数的项数较多，为了避免 混淆，笛卡儿就用一条横线把这几项连起 来，前面放上根号“V一”（不过，它比路 多尔夫的根号多了一个小钩)就为现在的根 反思感悟解此类题目时，应先将欲 号形式 求的式子进行化简，再将已知条件代入.在 立方根符号出现得很晚，直到18世纪 化简过程中，要注意平方差公式及完全平 才在一本书中看到符号一的使用，比如 方公式、立方和（差）公式的灵活运用， 25的立方根用V25表示.此后，诸如“V一” 形式的根号渐渐使用开来 B变式训练④ 例中国古代十进位制的算筹记数法在 已知2+x=3,求+2的值。 世界数学史上是一个伟大的创造.算筹记数的 x+x1-3 方法是：将个位、百位、万位…的数按纵 式的数码摆出；十位、千位、十万位…的 数按横式的数码摆出.如138可用算筹表示为 IT. 纵式：1‖川lTTT而 横式：一=三三三⊥上〧当 例6已知a=(2+V3),b=(2-V3), 123456789 求(a+1)2+(b+1)2的值 图4-1-1 1~9这9个数字的纵式与横式表示数码 如图4-1-1所示，则164×27的运算结果 可用算筹表示为 学N参考答案 学习手册参考答案 第四章指数函数、 "4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 要点精析 例1解：(1)原式=3-π=-3. (2)原式=a-1+1-al+1-a=m-1+a-1+1-a=a-1. 变式训练1 解：由Vd+V=-a-b,得lal+Ibl=-a-b,故a≤0， b≤0，即a+b≤0 ..V(a+b)+(a+b)=la+bl+a+b=-(a+b)+a+b=O. 例2解：原式=V(x-1)F-V(x+3)严=lx-11-x+31, -3<x<3, .当-3<x<1时，原式=-(x-1)-(x+3)=-2-2: 当1≤<3时，原式=x-1-(x+3)=-4. :原式4,1≤8. -2x-2,-3<x<1, 变式训练2 e【解标】V2-V万+V2+V了=√V?正+ 2 VV?I=y2xV3-1+V3+1)=V6, 此时a=0,b=1,:x=V6是集合中的元素. 例3C【解析】A选项，-Vx=-x立(x>0)； B选项，V=(02)=-y(0<0): c选项，-t-0) D选项，-任e≠0》.放选C 例4解：VaVa-Vaa5-V=a)方= 参考答案。 对数函数与幂函数 变式训练3 -1【解析】V2+2+I+V2+6y+9=0, .V(x+1)+Vy+3)2=l+1l+y+31=0. .x+1l≥0，ly+31≥0，.由x+1l+y+3l=0,得x+1l=0, y+3引=0，解得x=-1,y=-3, .x25=(-1)25=-1,(x2晒)=(-1)3=-1. 例5解：(1)(x+x1)2=2+x2+2=9,x2+x2=(+2 2=9-2=7. (2)）2+是=w6x+）(-+=(x (x2+x-2-1)=3×(7-1)=18 变式训练4 解：(x7+x)2=+x+2=9,x+x=7. (+x)2=x2+x2+2=49,2+x2=47, 原式=47-2、45 7-34 例6解：=(2+V3)-、1。-2-V3, 2+V3 b=(2-V3)5,1=24V3. 2-V3 .a41=3-V3,b+1=3+V3, .(+1)=1=3+V3 3-V36 (b+1)=1=3-V3 3+V36 :(a+1)+6+1)3+y3+3y3=1. 6 6 .[(a+1)-1+(b+1)]2=(a+1)2+(b+1)-2+2(a+1)-1. (b+1)=1, (a+1)+(b+1)2-1-2x3+V3×3-V3 6 6 =1-2x1-2 6-3 27 N 高中数学必修第二册人教B版 数学文化 ⊥‖【解析】16子×27亏=72，从题中所给数码 知72可用算筹⊥川表示 4.1.2指数函数的性质与图象 第1课时指数函数的概念与图象 要点精析 (a-2)2=1, 例1C【解析】由指数函数的定义知a>0, a≠1， 解得=3.故选C 例23【解析】由题意设f(x)=d(a>0且a≠1)，则 f2)=2-9,∴.a=3,.fx)=3 变式训练1 解：函数y=(a2-5a+5)a是指数函数， d-5a+5=1, ∴.>0， 解得a=4. a≠1， 例3CD【解析】函数y=x+a单调递增，且a为直线y= x+a在y轴上的截距，又当a心1时，函数y=d单调递增， 当0<a<l时，函数y=d单调递减，故选项C,D中的图 象符合条件.故选CD. 变式训练2 D【解析】令fx)=0,得4=4x2,在同一平面直角坐 标系中分别作出=4，y=4x的图象.观察可知，两个函 数图象有3个交点，故函数f(x)=4-4x2的零点个数为3. 故选D. 例4解：由-1≠0得x≠1，.函数的定义域为≠1. 由0得y1,函数的值域为6>0且y≠小 变式训练3 解：令V-2x+2,则)=3， 且t=Vx2-2x+2=V(e-1)4I≥1. 又.V(x-1)+1>0恒成立， 定义域为xeR,值坡为ye0,号 例5解：函数的定义坡为R,=2P-2+12 子20，当2-号，甲1时，y取得最小值，最 28 小值为子，函数的值域为子+ 变式训练4 2【解析】当x<0时，0<2<1， ∴.fx)=1-2e(0,1). 设fa)=fb)=t(a<b), 结合图象可知0<t<1,且a<0,b>0, .fa)=1-2∈(0,1)，fb)=2-1∈(0,1). 由f代a)=fb)可得，1-2-2-1，则2+2=2. a 变式训练4答图 数学文化 Bc【解桥】6(-1-j-]-[名-0,61)= 石-1，G(1)≠G(-1),G()不是偶函数，A错误 e}2-+,20,1+21,0c +2<1,fx)e3,.当r)e3,oj 时，G(x)=f(x)]=-1,当fe0,时，Ge)= [fx)]=0,.G(x)的值域是-1,0B正确. 1 fx)的定义域为R,且f(-x)+f(x)=号- 21+ 1 分2=1--0，x)为奇函数，C正确 12 1+21 y-2在R上单调递增，中2在R上单调递减， 号高-号+位在R上单润递减，即)在R 上是减函数，D错误.故选BC 第2课时指数函数的性质 要点精析 例1()B【解析】-05在R上是减函数，且> 3>4,aKb<c,故选B. 1、1