4.1.2 指数函数的性质与图象导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.1.2 指数函数的性质与图象

预习提要

1.理解指数函数的概念及意义；

2.掌握指数函数图象及变换和单调性；

3.阅读课本P9—P13内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点.

 

一、温故：课前知识链接

1.根式的概念：当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为           ．

2.根式的性质：一般地，根式具有以下性质：

；当n为奇数时，；当n为偶数时，           .

3.根式有意义的条件：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定          ；当没有意义时，称没有意义.

二、知新：课本研习梳理

1.指数函数的定义：一般地，函数         称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．

2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质：

（1）定义域是实数集        ；

（2）值域是(0,+∞)，因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图象一定在x轴的      ；

（3）函数图象一定过点         ；

（4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数．

基础过关

1.“”是“为指数函数”的(   )

A.充要条件  B.必要不充分条件

C.充分不必要条件  D.既不充分也不必要条件

2.(   )

A.大于 B.小于 C.相等 D.不确定

3.函数且在上的最大值比最小值大，则a的值为(   )

A.或 B. C. D.2或3

4.函数在上的最大值是(   )

A. B.0 C.1 D.3

5.已知指数函数的图象经过点，则__________.

 

反思

指数函数图像与众多性质，大多源于数学家欧拉。在欧拉之前，人们只是零散地使用指数运算。欧拉首次系统研究y＝ax，引入自然常数e，仔细描绘指数曲线。他发现底数大于1时函数递增，底数在0到1之间递减，图象永远过(0,1)，并且指数函数与对数函数互为反函数。晚年欧拉双目近乎失明，依然依靠无穷级数推演指数函数的规律。他向世人展现：简单一条指数曲线，既能描述复利、种群增长，又能联系三角函数，打通代数与分析。一代代数学家从零散计算到直观观察，再到严格证明，最终形成我们今天学习的指数函数完整理论。