4.1.2 指数函数的性质与图象导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦指数函数的性质与图象，引导学生理解指数函数的概念、掌握其定义域、值域、过定点及单调性等性质。通过“温故”环节链接根式的概念、性质及有意义条件，搭建知识支架，帮助学生构建从根式到指数函数的学习脉络。 资料特色在于融入数学文化，通过“反思”介绍欧拉对指数函数的系统研究，培养学生的数学眼光与创新意识。基础过关习题设计注重辨析、比较与应用，强化数学思维中的推理能力与运算能力，助力学生自主梳理知识，提升学习效率。

4.1.2 指数函数的性质与图象 预习提要 1.理解指数函数的概念及意义； 2.掌握指数函数图象及变换和单调性； 3.阅读课本P9—P13内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 1.根式的概念：当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为 ． 2.根式的性质：一般地，根式具有以下性质： ；当n为奇数时，；当n为偶数时， . 3.根式有意义的条件：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定 ；当没有意义时，称没有意义. 二、知新：课本研习梳理 1.指数函数的定义：一般地，函数 称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． 2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质： （1）定义域是实数集 ； （2）值域是(0,+∞)，因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图象一定在x轴的 ； （3）函数图象一定过点 ； （4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数． 基础过关 1.“”是“为指数函数”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.( ) A.大于 B.小于 C.相等 D.不确定 3.函数且在上的最大值比最小值大，则a的值为( ) A.或 B. C. D.2或3 4.函数在上的最大值是( ) A. B.0 C.1 D.3 5.已知指数函数的图象经过点，则__________. 反思 指数函数图像与众多性质，大多源于数学家欧拉。在欧拉之前，人们只是零散地使用指数运算。欧拉首次系统研究y＝ax，引入自然常数e，仔细描绘指数曲线。他发现底数大于1时函数递增，底数在0到1之间递减，图象永远过(0,1)，并且指数函数与对数函数互为反函数。晚年欧拉双目近乎失明，依然依靠无穷级数推演指数函数的规律。他向世人展现：简单一条指数曲线，既能描述复利、种群增长，又能联系三角函数，打通代数与分析。一代代数学家从零散计算到直观观察，再到严格证明，最终形成我们今天学习的指数函数完整理论。 答案及解析 温故：课前知识链接 1.被开方数 2. 3. 知新：课本研习梳理 1.y＝ax 2.R 上方 (0,1) 基础过关 1.答案：C 解析：当时，为指数函数；当为指数函数时，即，只需.所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件.故选C. 2.答案：A 解析：因为在R上单调递减，所以. 3.答案：A 解析：方法一：①当时，函数且在上的最大值，最小值，所以，解得或（舍去）；②当时，函数且在上的最大值，最小值，所以，解得或（舍去）.综上所述，或. 方法二：因为在上单调，所以其最大值、最小值分别在区间端点处取得，于是有，可得或. 4.答案：D 解析：函数在上单调递减，所以当时，.故选：D. 5.答案： 解析：设，且，由于其图象经过点，所以，解得或（舍去），因此，故. 学科网（北京）股份有限公司 $