专题01 分式及其基本性质（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题01 分式及其基本性质 常考题型·精准突破 题型1 分式的判断（重） 题型2 分式有无意义的条件（高频） 题型3 分式值为零的条件（高频） 题型4 分式的规律性问题（难） 题型5 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围（难） 题型6 求使分式值为整数时未知数的整数值（难） 题型7 判断分式变形是否正确（高频） 题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化（高频） 题型9 将分式的分子分母的最高次项化为正数（重） 题型10 将分式的分子分母各项系数化为整数（重） 题型11 约分（重） 题型12 最简分式（重） 题型13 最简公分母（重） 题型14 通分（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式的判断 1．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列各式中，是分式的是（     ）． A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）下列各式：，，，0，，，中，是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）代数式，，，，，中，属于分式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ◆题型2 分式有无意义的条件 4．（25-26八年级下·广东深圳·期末）若分式无意义，则的值为（     ） A．0 B．2 C． D．1 5．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）若代数式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（     ） A． B． C． D． ◆题型3 分式值为零的条件 7．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）若分式的值为零，则的值为________． 8．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）若分式的值为，则的值为_______． 9．（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． ◆题型4 分式的规律性问题 10．观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 11．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 12．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． ◆题型5 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 13．（2026·浙江台州·二模）若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 14．（2026·河南南阳·二模）若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 15．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若分式的值为正，则的取值范围是_____． ◆题型6 求使分式值为整数时未知数的整数值 16．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 18．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． ◆题型7 判断分式变形是否正确 19．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）下列分式可以由分式变形而来的是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（     ） A． B． C． D． ◆题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化 22．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 23．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（     ） A．扩大到原来的25倍 B．扩大到原来的5倍 C．值不变 D．缩小为原来的 24．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 ◆题型9 将分式的分子分母的最高次项化为正数 25．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 26．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 27．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． ◆题型10 将分式的分子分母各项系数化为整数 28．（25-26八年级下·河南周口·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． ◆题型11 约分 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 33．（25-26八年级下·全国·单元复习）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型12 最简分式 34．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）下列代数式中，是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 35．（26-27八年级上·山东东营·阶段检测）下列各式中最简分式是（     ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级下·广东河源·期末）下列分式是最简分式的是（     ） A． B． C． D． ◆题型13 最简公分母 37．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·河南周口·期中）分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 39．（2026八年级上·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． ◆题型14 通分 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 41．（25-26八年级下·全国·单元复习）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（25-26七年级下·全国·课后作业）通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 3．下列等式中，从左向右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 5．下面各式中，，分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 二、填空题 8．若分式无意义，则 ． 9．若分式的值为零，则 ． 10．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）分式与的最简公分母是______________． 11．下列式子：，，，，，分式有 个． 12．下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 13．观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 14．若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 三、解答题 15．不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 16．约分： （）； （）； （）； （）． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 20．给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 21．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 22．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式及其基本性质 常考题型·精准突破 题型1 分式的判断（重） 题型2 分式有无意义的条件（高频） 题型3 分式值为零的条件（高频） 题型4 分式的规律性问题（难） 题型5 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围（难） 题型6 求使分式值为整数时未知数的整数值（难） 题型7 判断分式变形是否正确（高频） 题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化（高频） 题型9 将分式的分子分母的最高次项化为正数（重） 题型10 将分式的分子分母各项系数化为整数（重） 题型11 约分（重） 题型12 最简分式（重） 题型13 最简公分母（重） 题型14 通分（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式的判断 1．C 2．B 3．B ◆题型2 分式有无意义的条件 4．D 5．B 6．B ◆题型3 分式值为零的条件 7． 8． 9． ◆题型4 分式的规律性问题 10． 11． 12． ◆题型5 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 13． 14． 15． ◆题型6 求使分式值为整数时未知数的整数值 16．或0或2 17．1或2/2或1 18． ◆题型7 判断分式变形是否正确 19．D 20．C 21．C ◆题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化 22．A 23．C 24．A ◆题型9 将分式的分子分母的最高次项化为正数 25．C 26．B 27．D ◆题型10 将分式的分子分母各项系数化为整数 28． 29． 30． ◆题型11 约分 31． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 32． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 33． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ◆题型12 最简分式 34．D 35．C 36．C ◆题型13 最简公分母 37．D 38．B 39．C ◆题型14 通分 40． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 41． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵两个分式的分母分别为，，即各分母系数的最小公倍数为，各字母最高次数均为， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ； （2）解：第二个分母因式分解， 两个分母分别为， ， ∴最简公分母为 ． 根据分式的基本性质变形得： ， ． （3）解：∵两个分式的分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． （4）解：第二个分母因式分解得，两个分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． 42． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 7．D 二、填空题 8． 9． 10． 11．3 12． 13． 14．或/6或2 三、解答题 15． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 16． 【答案】（）；（）；（）；（） 【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式 【分析】（）先分子分母提公因式，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； （）先分子因式分解，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； 本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式； （）原式； （）原式； （）原式． 17． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 18． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查通分，解题的关键是找到最简公分母，先确定每一组分式的最简公分母，再根据分式的性质，化成同分母的分式即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 19． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 20． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 21． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【知识点】约分、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 22． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式及其基本性质 常考题型·精准突破 题型1 分式的判断（重） 题型2 分式有无意义的条件（高频） 题型3 分式值为零的条件（高频） 题型4 分式的规律性问题（难） 题型5 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围（难） 题型6 求使分式值为整数时未知数的整数值（难） 题型7 判断分式变形是否正确（高频） 题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化（高频） 题型9 将分式的分子分母的最高次项化为正数（重） 题型10 将分式的分子分母各项系数化为整数（重） 题型11 约分（重） 题型12 最简分式（重） 题型13 最简公分母（重） 题型14 通分（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式的判断 1．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列各式中，是分式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义：形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可，注意为常数． 【详解】解：A选项，分母为常数，是整式，不符合题意． B选项，为常数，分母为常数，是整式，不符合题意． C选项，分母含字母，是分式，符合题意． D选项，分母为常数，是整式，不符合题意． 2．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）下列各式：，，，0，，，中，是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】判断各式分母是否含字母，注意为常数． 【详解】解：分母含字母，分母含字母，均为分式． ，，，，（为常数）的分母不含字母，均不是分式． 分式共2个． 3．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）代数式，，，，，中，属于分式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：分母中含有字母的代数式是分式，为常数． 、、的分母均为常数，属于整式； 、、的分母均含有字母，属于分式，共3个． ◆题型2 分式有无意义的条件 4．（25-26八年级下·广东深圳·期末）若分式无意义，则的值为（     ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据分母等于0时分式无意义求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴分式的分母为，即 解得． 5．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）若代数式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分式有意义需分母不为， A、令，得，不符合题意； B、令，得，符合题意； C、令，得，不符合题意； D、，，可取全体实数，不符合题意． ◆题型3 分式值为零的条件 7．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）若分式的值为零，则的值为________． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，需满足分子为0且分母不为0，分别计算即可得到结果. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得，且， ∴的值为. 8．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）若分式的值为，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：分式的值为， ，且， 解得． 9．（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． ◆题型4 分式的规律性问题 10．观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 11．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 12．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是，即可求得第7个式子． 【详解】解∶ ； ； ； ； ； 则第n个式子为 这列分式中的第7个式子是， 故答案为：；． ◆题型5 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 13．（2026·浙江台州·二模）若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为负数的条件，结合分子为正数，得到分母小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得． 14．（2026·河南南阳·二模）若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 15．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． ◆题型6 求使分式值为整数时未知数的整数值 16．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 18．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． ◆题型7 判断分式变形是否正确 19．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）下列分式可以由分式变形而来的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 20．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A．该变形为分子分母同时减，不符合分式基本性质，变形错误． B．该变形分子分母同乘，未保证，当时变形无意义，变形错误． C．原式分母，分式有意义可推出且，∴分子分母同除以，可得，变形正确． D．，变形错误． 21．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，左边为，右边为，左右不相等，故该选项错误； B、当时，左边为，右边为，左右不相等，故该选项错误； C、原式分式有意义， ， 又， ，故该选项正确； D、，故该选项错误． ◆题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化 22．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：∵把和都扩大2倍后，新分式的分子为，分母为， ∴新分式为， ∴分式的值扩大2倍． 23．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（     ） A．扩大到原来的25倍 B．扩大到原来的5倍 C．值不变 D．缩小为原来的 【答案】C 【详解】解：把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，得， 故选项C符合题意． 24．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】A 【详解】解：∵， ∴将分式中的，的值都扩大为原来的3倍，分式的值不变． ◆题型9 将分式的分子分母的最高次项化为正数 25．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 26．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 27．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【解析】略 ◆题型10 将分式的分子分母各项系数化为整数 28．（25-26八年级下·河南周口·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可． 【详解】解：． 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． ◆题型11 约分 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 33．（25-26八年级下·全国·单元复习）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ◆题型12 最简分式 34．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）下列代数式中，是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据最简分式的定义，通过判断分子与分母是否含公因式求解． 【详解】解：∵最简分式的分子与分母不含公因式， ∴对各选项逐一判断： A选项、的分子分母有公因式，不是最简分式，不符合题意； B选项、的分子可分解为，与分母有公因式，不是最简分式； C选项、的分子分母有公因式，不是最简分式，不符合题意； D选项、的分子为，与分母无公因式，是最简分式，符合题意． 35．（26-27八年级上·山东东营·阶段检测）下列各式中最简分式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，不是最简分式，故选项A错误； ，不是最简分式，故选项B错误； 是最简分式，故选项C正确； ，不是最简分式，故选项D错误. 36．（25-26八年级下·广东河源·期末）下列分式是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，均不是最简分式； 无法再约分，是最简分式； 故只有C选项符合题意. ◆题型13 最简公分母 37．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再相乘即可得到结果. 【详解】解：∵ 两个分母的系数分别为和，最小公倍数为； 的次数分别为和，取最高次幂； 的次数分别为和，取最高次幂； ∴ 两个分式的最简公分母为. 38．（25-26八年级下·河南周口·期中）分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定最简公分母的步骤为：1，取各分母系数的最小公倍数；2，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 39．（2026八年级上·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母的定义，即各分母因式分解后所有不同因式的最高次幂的积；将两个分式的分母分别因式分解，然后找出所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母即可． 【详解】解：，， ∴ 最简公分母为 ， 故选： C. ◆题型14 通分 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 41．（25-26八年级下·全国·单元复习）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵两个分式的分母分别为，，即各分母系数的最小公倍数为，各字母最高次数均为， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ； （2）解：第二个分母因式分解， 两个分母分别为， ， ∴最简公分母为 ． 根据分式的基本性质变形得： ， ． （3）解：∵两个分式的分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． （4）解：第二个分母因式分解得，两个分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． 42．（25-26七年级下·全国·课后作业）通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，再相乘得到结果． 【详解】三个分母的系数分别为，，，它们的最小公倍数是， 相同字母的最高次幂为，相同字母的最高次幂为， ∴三个分式的最简公分母为． 3．下列等式中，从左向右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据判断A；再根据可判断B；然后根据，再约分可判断C；最后根据判断D． 【详解】解：因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，不能化简，所以D不正确． 故选：D． 4．把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 5．下面各式中，，分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：是整式， 是分式， 故选B． 6．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分，先对分子分母的多项式因式分解，再根据分式的基本性质进行约分，据此依次计算即可． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． 分母不是乘积形式，不能约分，故该选项不正确，不符合题意； C． ，分母不能因式分解，已经是最简分式故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键． 根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，有意义，故此选项不符合题意； C、当时，的值是整数，故此选项不符合题意； D、根据偶次方的非负性，得，即无论x为何值，的值总为正数，故此选项不符合题意； 故选：D． 二、填空题 8．若分式无意义，则 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的关键．根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 9．若分式的值为零，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了使分式的值为0时，求的值，要保证分子为0的同时，分母不为0，计算出结果即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 又， ∴取． 故答案为：． 10．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）分式与的最简公分母是______________． 【答案】 【分析】先将两个分式的分母分别分解因式，再取所有因式最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，分解因式得： 第二个分式的分母为 ，分解因式得： 取各分母所有因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为． 11．下列式子：，，，，，分式有 个． 【答案】3 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故答案为：3． 12．下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【知识点】最简分式 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 13．观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 14．若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 三、解答题 15．不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 16．约分： （）； （）； （）； （）． 【答案】（）；（）；（）；（） 【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式 【分析】（）先分子分母提公因式，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； （）先分子因式分解，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； 本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式； （）原式； （）原式； （）原式． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查通分，解题的关键是找到最简公分母，先确定每一组分式的最简公分母，再根据分式的性质，化成同分母的分式即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 19．已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 20．给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 21．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【知识点】约分、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 22．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $