专题18 分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题18 分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式的混合运算规律探究问题 题型二、分式的混合运算假分式问题 题型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 题型四、分式的混合运算新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：分式按序号排列呈现规律（如裂项相消），或现场定义新运算/新概念，需归纳或转化。 - 解题方法：规律题观察通项结构，裂项如后相消；新定义严格按规则转化为分式运算，注意运算顺序。 - 易错提醒：裂项时漏乘系数；相消后剩余项数判断错误；新定义中分母为零的隐含条件遗漏；规律未验证即推广。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式的混合运算规律探究问题 典例1 （25-26七年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， 第4个等式：，… (1)按照以上规律，写出第5个等式：______； (2)写出你猜想到的第个等式：______（用含的等式表示），并说明其正确性． 题型模版 1.特征：观察一组分式运算结果，发现递推或恒等规律，猜想并证明一般结论。 2.方法：列举前几项，分析分子分母结构变化，用含n的式子表示通项，化简验证后推广。 变式1-1（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 变式1-2（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 变式1-3（25-26七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 题型二、分式的混合运算假分式问题 典例2 （25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 题型模版 1.特征：分式运算结果需化为带分式（假分式化带分式），或比较分式与1的大小关系。 2.方法：先化简分式，分子除以分母得整数部分和余数，写成带分式形式；或作差与0比较判断大小。 变式2-1（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 变式2-2（25-26八年级上·湖南株洲·期中）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 变式2-3（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 题型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 典例3 （25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 题型模版 1.特征：已知含分式的等式，求其倒数的值或相关分式值，直接求困难时用倒数法。 2.方法：对已知式取倒数，化简后再取倒数还原；或设所求式为t，取倒数建立方程解出t。 变式3-1（25-26八年级上·四川南充·期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：∵，易知， ∴．∴．① ∴②． ∴． 像这种将等式两边取倒数的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下列问题： （1）第②步运用了______公式；（填“平方差”或“完全平方”） 【类比运用】 （2）已知：，求的值； 【拓展探究】 （3）已知：，，，求的值． 变式3-2（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 变式3-3（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 题型四、分式的混合运算新定义型问题 典例4 （25-26八年级下·河南平顶山·阶段检测）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (3)化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 题型模版 1.特征：定义与分式相关的新运算（如“和谐分式”），按规则化简求值或判断，重理解迁移。 2.方法：将新定义转化为分式四则运算，代入式子因式分解、约分通分，化简后求值并检验分母非零。 变式4-1（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“4阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“2阶分式”，求分式A； (3)已知分式，，且B与4C互为“3阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 变式4-2（25-26八年级下·吉林长春·期中）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1．求所表示的代数式． (3)已知分式是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是_____．（直接写出答案即可）． 变式4-3（25-26八年级上·湖南·期末）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算______（用含x的式子表示） 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 三、解答题 7．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 8．（25-26八年级上·山东济宁·月考）观察下列各式：，，，，，… (1)请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且n>m）． (3)若，试求的值． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 13．（25-26八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式的混合运算规律探究问题 题型二、分式的混合运算假分式问题 题型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 题型四、分式的混合运算新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：分式按序号排列呈现规律（如裂项相消），或现场定义新运算/新概念，需归纳或转化。 - 解题方法：规律题观察通项结构，裂项如后相消；新定义严格按规则转化为分式运算，注意运算顺序。 - 易错提醒：裂项时漏乘系数；相消后剩余项数判断错误；新定义中分母为零的隐含条件遗漏；规律未验证即推广。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式的混合运算规律探究问题 典例1 （25-26七年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， 第4个等式：，… (1)按照以上规律，写出第5个等式：______； (2)写出你猜想到的第个等式：______（用含的等式表示），并说明其正确性． 【答案】(1) (2)，说明：左边右边，故等式成立． 【分析】（1）根据规律，左边中，分子为2的分数的分母为，分子为1的分数的分母是n，写出第5个即可； （2）根据（1）的规律解答即可； 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 1.特征：观察一组分式运算结果，发现递推或恒等规律，猜想并证明一般结论。 2.方法：列举前几项，分析分子分母结构变化，用含n的式子表示通项，化简验证后推广。 变式1-1（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) ，证明： 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， 第6个等式：； （2）略 变式1-2（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) 第个等式为， 证明：等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边， ∴原等式成立． 【分析】本题考查分式的混合运算和分式的规律探究问题，熟练的根据题意找出规律是解题的关键， （1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式； （2）根据（1）中的等式猜想第个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证． 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）略 变式1-3（25-26七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 题型二、分式的混合运算假分式问题 典例2 （25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)整数x的值为，，0，2 【分析】本题考查了分式的次数与“真分式”“假分式”的定义，假分式化为带分式及分式值为整数的条件． （1）根据“真分式”的定义，分子次数<分母次数，分析分子、分母的次数即可判断； （2）仿照“假分数化带分数”的方法，将分子拆分为“含分母的项”+“剩余项”，再拆分分式即可； （3）先将假分式化为带分式，再分析“真分式部分为整数”的条件，最终根据所求式子求解x的值即可． 【详解】（1）解：分式中分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，故为真分式， 故答案为：真． （2）解：． （3）解：， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴是3的因数，即或， 解得：，，2，， 即整数x的值为，，0，2． 题型模版 1.特征：分式运算结果需化为带分式（假分式化带分式），或比较分式与1的大小关系。 2.方法：先化简分式，分子除以分母得整数部分和余数，写成带分式形式；或作差与0比较判断大小。 变式2-1（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 变式2-2（25-26八年级上·湖南株洲·期中）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 【答案】(1)假分式 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减和分式的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义，熟练掌握分式的加减法则． （1）根据真假分式的定义，观察分子和分母的次数，进行判断即可； （2）把分式的分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （3）利用完全平方公式将分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （4）通过设未知数，表达三位数m和两位数n，计算时用完全平方公式，根据整除的意义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：因为分式的分子和分母的次数都是1， 此分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， 则：， 所以 ， 由题意得，，且a、b均为整数， 因为m的平方能被n整除， 所以为整数， 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，； 当时，，没有满足题意的b的值． 综上，满足条件的两位数n为36． 故答案为：36． 变式2-3（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）①，②；（3） 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义即可判断； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据x为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵分子2026的次数为0，分母的次数为1， ∴是真分式． （2）①； ②． （3）原式 ， ∵的值为整数，x为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵在化简过程中，各分母均不能为0， ∴，，，， 解得，，，， ∴在中，应舍去， ∴． ∴x的整数值为． 题型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 典例3 （25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）由， ∴，即， 则 ； （3）解：依题意，∵，，， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 题型模版 1.特征：已知含分式的等式，求其倒数的值或相关分式值，直接求困难时用倒数法。 2.方法：对已知式取倒数，化简后再取倒数还原；或设所求式为t，取倒数建立方程解出t。 变式3-1（25-26八年级上·四川南充·期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：∵，易知， ∴．∴．① ∴②． ∴． 像这种将等式两边取倒数的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下列问题： （1）第②步运用了______公式；（填“平方差”或“完全平方”） 【类比运用】 （2）已知：，求的值； 【拓展探究】 （3）已知：，，，求的值． 【答案】（1）完全平方；（2）；（3） 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）仿照例题计算即可； （3）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解． 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：完全平方． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵，，， ∴a，b，c均不为0， ∴，，． ∴，，． ∴， ∴， ∴． ∴． 变式3-2（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 变式3-3（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）取倒数得：，拆项得，从而得，代入已知可得结论． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）， ； （3）      ， 将其代入中得： ， ， ， ． 题型四、分式的混合运算新定义型问题 典例4 （25-26八年级下·河南平顶山·阶段检测）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (3)化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)2， (2)， (3)化简结果为；x取时，该式的值为整数 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，通过凑项法将分式变形即可； （2）根据“和谐分式”的定义，通过凑项法将分式变形即可； （3）先将原式化简为，讨论要使该式的值为整数时需满足的条件，并结合原分式有意义的条件，求出满足条件的整数的值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：原式 ； ∵该式的值为整数， ∴或， 解得， ∵要使分式有意义， ∴， ∴，即当x取时，该式的值为整数． 题型模版 1.特征：定义与分式相关的新运算（如“和谐分式”），按规则化简求值或判断，重理解迁移。 2.方法：将新定义转化为分式四则运算，代入式子因式分解、约分通分，化简后求值并检验分母非零。 变式4-1（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“4阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“2阶分式”，求分式A； (3)已知分式，，且B与4C互为“3阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据题中给的定义，将两个分式相加，同分母分式相加，分母不变，分子相加； （2）分式与A互为“2阶分式”，，异分母分式相减，先通分，化为同分母分式进行相减，同分母分式相减，分母不变，分子相减； （3）B与4C互为“3阶分式”，，异分母分式相加，先通分，化为同分母分式相加，同分母分式相加，分母不变，分子相加． 【详解】（1）解：， 所以与互为“4阶分式” （2）∵分式与A互为“2阶分式”， ∴； （3）∵分式，，且B与4C互为“3阶分式”， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式4-2（25-26八年级下·吉林长春·期中）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1．求所表示的代数式． (3)已知分式是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是_____．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2) (3)5 【分析】（1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，整理可得：的表达式； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 不是的“和谐式”； （2）解：∵是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ∵，， ， ， ； （3）解：∵， ∴ ， ∵是的“和谐式”， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴关于的“和谐值”是5． 变式4-3（25-26八年级上·湖南·期末）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√；④√； (2)①；②19； (3)且 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、整式、分式的化简求值，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）依据题意，根据“优美分式”的意义逐个计算判断可以得解； （2）①依据题意，由，且“优美分式”，其中A为整式，B为常数，从而可以得解； ②由，则结合①可得，，则，故，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，设， ，故，，则，，，，从而，，代入可得即可求解． 【详解】（1）解：①， ∴①是“优美分式”． 故答案为：√； ②是整式，不是“优美分式”． 故答案为：×； ③=1+， ∴③是“优美分式”． 故答案为：√； ④， ∴④是“优美分式”． 故答案为：√； （2）解：①由题意，∵ ， 且“优美分式”，其中A为整式，B为常数， ∴整式； ②∵， ∴结合①可得，，则． ∴． ∴ ； （3）解：∵“优美分式”与（其中a，b为常数）， 当两者拆分后的分式分子为相等常数， ∴可设， ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∵ ∴， ∴，且． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①由，可判断①； ②把化简得，然后根据为整数，为整数，可判断②； ③由得，然后把变形，可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴ ， ∴的最小值为，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∵为整数，为整数， ∴，，，，，，，， ∴，，，，，，，， ∵， ∴，，，，，，共个，故结论②正确； ③∵，，， ∴，即， ∴，即， ∴ ， 故结论③错误． 综上所述，正确结论为①和②，共个． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算______（用含x的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究、分式的混合运算，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．根据题意，先求得、、、、，……，进而得到变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， ， ……， 发现结果以、、为一组循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 三、解答题 7．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第4个等式； 故答案为：； （2）解：由（1）的规律得第个等式：， 证明如下： 左边 右边， ∴成立． 8．（25-26八年级上·山东济宁·月考）观察下列各式：，，，，，… (1)请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减法，分式的规律性问题，弄清题中的拆项法是解题的关键． （）根据给出的式子，写出用x表示的一般规律即可； （）利用找出的一般规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：，证明如下： ， ， ． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且n>m）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，解得，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设， ， ∴， 令，则， 令，则， ∴ ， ， 故答案为：． （3）解：由题意，， 解得， 原式 ． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 【答案】(1) (2)，时，整数为1 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）根据同分母分式加法将各分式变形； （2）先根据分式的四则混合运算法则化简，再变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 要使得该式的值为整数， 则， ∴或（为满足分母不为0，故舍）， ∴该式子的值为． 13．（25-26八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $