第3章 分式（单元自测）数学新教材青岛版八年级上册

第3章 分式 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．若分式无意义，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【解析】∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选B． 2．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮________得分________ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，分式性质等知识，根据相关知识判断每个小题的正误，统计答对题数，计算得分． 【解析】（1）当时，分式有意义，正确； （2）当时，分式的分子为0，分母不为0，值为0，正确； （3）（反例：），错误； （4）（反例：），错误； （5），正确； 张小亮判断（1）√、（2）√、（3）×、（4）√、（5）√， 答对4题， 得分分． 故选C． 3．在化学实验课上，配制糖水时，糖的质量为x，水的质量为y．若把糖和水的质量同时扩大为原来的2倍，下列分式中，糖水浓度保持不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵糖水浓度为糖的质量与糖水总质量的比， ∴原糖水浓度为， ∵糖和水质量同时扩大为原来的2倍， ∴此时糖的质量为，水的质量为，浓度为，与原浓度相等．故选A． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算规则，需要根据分式运算法则、整式乘方法则逐一计算各选项，判断运算是否正确． 【解析】A、 ， 计算错误，不符合题意； B、 ， 计算错误，不符合题意； C、 ， 计算错误，不符合题意； D、 ， 与选项结果一致， 计算正确，符合题意．故选D． 5．下列各式中，是分式的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义：形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可，注意为常数． 【解析】A选项，分母为常数，是整式，不符合题意． B选项，为常数，分母为常数，是整式，不符合题意． C选项，分母含字母，是分式，符合题意． D选项，分母为常数，是整式，不符合题意．故选C． 6．若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程无解的可能情况是化简后的解为增根（使分母为零），分式方程去分母转化为整式方程，得到解，再令解等于分母为零的值（或），求出m． 【解析】， ， （2）， ， 当解为增根时无解，即或， 若，则； 若，则． ∴或时方程无解． 故选A． 7．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个选项的分式运算，判断其正确性． 【解析】A：∵ ，∴错误． B：∵ ，∴错误． C：∵ ，∴错误． D：∵ ，∴正确． 故选D． 8．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（ ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】此题考查了分式的加减乘除运算．本题可先利用平方差公式对分母因式分解，再将各运算符号代入分式运算，对比结果确定正确符号． 【解析】∵ 将“”代入□： 原式= = 与题目运算结果一致． 代入其他符号验证： 若为“＋”： 若为“－”： 若为“×”： ∴“□”处的运算符号是÷， 故选D 9．甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程在工程问题中的应用，解题的关键是抓住“工作效率之和合作时间工作总量”这一等量关系． 先根据甲单独处理需要小时，得出乙单独处理需要小时；再分别表示出甲、乙的工作效率；最后根据两人合作小时完成全部工作，列出方程． 【解析】设甲单独处理需要小时，则乙单独处理需要小时． 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 两人合作1.2小时完成工作，可列方程：． 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．若分式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解． 【解析】由题意得：， 解得：． 故答案为 11．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【解析】（1） 故答案为 （2） 故答案为 12．若分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行求解即可． 【解析】∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为． 13．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，根据异分母分式的减法运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【解析】 ， 故答案为． 14．若分式有意义，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【解析】依题意， 解得． 故答案为． 15．计算：=________． 【答案】 【分析】两个分式为同分母分式，先按同分母分式减法法则合并分子，再对分子因式分解后约分得到结果． 【解析】 ．故答案为$3x$． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）“走！去永州，品道州脐橙．”现在正是采摘脐橙的季节，某种植大户安排甲、乙两组民工负责脐橙采摘装箱，已知甲组比乙组每小时少箱，甲组采摘箱与乙组采摘箱所用的时间相等，分别求甲、乙两组每小时采摘脐橙的箱数． 【答案】甲组每小时采摘脐橙箱，乙组每小时采摘脐橙箱 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握题意，设甲组每小时采摘脐橙箱，则乙组每小时采摘脐橙箱，根据题意，列出方程，即可解答． 【解析】设甲组每小时采摘脐橙箱，则乙组每小时采摘脐橙箱， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙组每小时采摘脐橙箱， 答：甲组每小时采摘脐橙箱，乙组每小时采摘脐橙箱． 17．（7分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 【答案】（1）真 （2） （3） 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【解析】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为真； （2）解：， 故答案为； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 18．（7分）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【解析】（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 19．（7分）已知关于的分式方程： （1）当时，求此方程的解； （2）当为何值时，此方程无解； 【答案】（1） （2）或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把代入方程并转化为整式方程，解方程并验证即可； （2）把方程转化为整式方程得，当或或时，方程无解，分别求出的值即可． 【解析】（1）解：当时，原方程为 去分母得： 检验：把代入最简公分母 是此时方程的解． （2）解：原方程去分母得： ①当即时原方程无解 ②把增根代入整式方程 得： 此时 ③把增根代入整式方程 得： 此时 综上所述，满足条件的值为或或． 20．（7分）某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 【答案】（1）①元买到的竹条捆数为捆；；②每捆竹条元，元能买到彩纸包 （2）珍珍每天可以制作小飞马个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题干中描述的数量之间的关系找到相等关系，根据相等关系列方程． （1）①根据方程中每一个分式表示的意义确定■表示元买到的竹条捆数为捆；根据淇淇设的表示每包彩纸的价格，列方程即可； ②分别用淇淇的方法和嘉嘉的方法求解； （2）制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样，列方程求出的值． 【解析】（1）①解：表示每捆竹条的价格， ■表示元买到的竹条捆数为捆； 淇淇设每包彩纸元， 依题意得方程：； 故答案为元买到的竹条捆数为捆，； ②解：选淇淇的方法： 设每包彩纸元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； 选嘉嘉的方法： 设元买到的竹条捆数为捆， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， (元)，(元)， (包)， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； （2）解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 珍珍每天可以制作小飞马个． 21．（8分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查分式的乘除与乘方，分式的约分，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法，最后约分即可； （2）先将分式的除法变为乘法，并将分式的分子分母进行因式分解，最后约分即可． 【解析】（1）解： ； （2） ． 22．（8分）先化简：，再选一个你喜欢的数字求值． 【答案】 化简结果为，取时，原式 【分析】先分解因式约分，再对括号内部分通分化简，合并得到最简结果，选取使原式分母不为0的代入计算． 【解析】原式 ， 取，满足， 代入得原式． 23．（8分）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【解析】设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， 由题意得，， 即 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 答：甲车间每天生产套“穿楼积木”． 24．（8分）已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【解析】 ， ， ， 解得：， ． 25．（8分）已知分式，请解决以下问题． （1）当x取何值时，该分式无意义？ （2）当x为何值时，该分式的值为1？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为1的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为1的条件可得，解出分式方程，由此求解即可． 【解析】（1）解：当时，分式无意义， 所以时，分式无意义； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根， 即当时，分式的值为1． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 分式 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．若分式无意义，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮________得分________ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 3．在化学实验课上，配制糖水时，糖的质量为x，水的质量为y．若把糖和水的质量同时扩大为原来的2倍，下列分式中，糖水浓度保持不变的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列各式中，是分式的是（ ）． A． B． C． D． 6．若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 8．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（ ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 9．甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．若分式有意义，则实数的取值范围是________． 11．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 12．若分式有意义，则的取值范围是________． 13．计算：________． 14．若分式有意义，则应满足的条件是________． 15．计算：=________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）“走！去永州，品道州脐橙．”现在正是采摘脐橙的季节，某种植大户安排甲、乙两组民工负责脐橙采摘装箱，已知甲组比乙组每小时少箱，甲组采摘箱与乙组采摘箱所用的时间相等，分别求甲、乙两组每小时采摘脐橙的箱数． 17．（7分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 18．（7分）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 19．（7分）已知关于的分式方程： （1）当时，求此方程的解； （2）当为何值时，此方程无解； 20．（7分）某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 21．（8分）计算： （1）； （2）． 22．（8分）先化简：，再选一个你喜欢的数字求值． 23．（8分）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 24．（8分）已知，其中、为常数，求的值． 25．（8分）已知分式，请解决以下问题． （1）当x取何值时，该分式无意义？ （2）当x为何值时，该分式的值为1？ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 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