专题17 分式运算问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题17 分式运算问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式的乘除混合运算 题型二、分式的加减混合运算 题型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 题型四、分式的加减乘除混合运算 题型五、分式的混合运算先化简求值问题 题型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及分式乘除、加减、乘方及混合运算，常含化简求值。 - 解题方法：乘除先因式分解再约分；加减先通分（找最简公分母）化为同分母；混合运算按顺序，先括号内；化简求值先化到最简再代入。 - 易错提醒：通分时漏乘分子；约分时把加减项直接约去；除法未转乘法再约分；代入求值时忽略分母不为零的取值限制。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式的乘除混合运算 典例1 （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型模版 1.特征：含分式乘法、除法及括号，需按从左到右顺序，先因式分解再约分。 2.方法：将除法转为乘法，分子分母分别因式分解，约去公因式，再相乘化简为最简分式。 变式1-1（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1-2（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-3（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先根据幂的乘方计算，再根据分式的除法法则解答； （2）先根据幂的乘方计算，再根据分式的乘除法法则计算； （3）先根据幂的乘方计算，同时因式分解，再根据分式的乘除法法则计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 题型二、分式的加减混合运算 典例2 （26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． ． 题型模版 1.特征：含分式加减及括号，需先通分再加减，结果化为最简分式或整式。 2.方法：找最简公分母通分，分子相加减，合并同类项后因式分解约分，化为最简结果。 变式2-1（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式2-2（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式2-3（10.3分式的加减八年级数学下册苏科版）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 典例3 （25-26七年级上·上海虹口·期末）为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 题型模版 1.特征：给定分式恒等式，其中分子或分母含待定系数或未知式，求其表达式或参数。 2.方法：去分母化为整式恒等式，比较两边同类项系数列方程组，解出待定系数或确定分子分母。 变式3-1（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 变式3-2（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 变式3-3（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 题型四、分式的加减乘除混合运算 典例4 （25-26八年级下·河南周口·阶段检测）分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型模版 1.特征：同时含分式加减乘除及括号，需按运算顺序，先乘除后加减，注意通分与约分。 2.方法：先算括号内，乘除转乘法并因式分解约分，再通分算加减，最终化为最简分式或整式。 变式4-1（26-27八年级上·河北秦皇岛·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式混合运算，先算括号内减法，通分，分子因式分解；把除法转化为乘法，再约分，得到最简结果．注意分母不为 0． （2）把整式看成以为分母的分式，括号内通分合并，分子因式分解；除法变乘法，约去公因式后计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式4-2（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式4-3（26-27八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五、分式的混合运算先化简求值问题 典例5 （26-27八年级上·山东威海·期中）计算： (1)先化简，再求值：，其中． (2)先化简，再求值：，其中满足． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于分式化简求值题，先对所有分子、分母进行因式分解，因为因式分解是分式约分、通分的基础．按照分式运算法则，将除法转化为乘法，因为分式除法需转化为乘法后再进行约分计算．对括号内的分式先通分计算，再与括号外的分式进行乘除运算，最后合并同类项得到最简形式． 第（1）题直接代入给定的值计算． 第（2）题先从已知方程中得出的值，再整体代入最简式求值，因为整体代入可简化计算． 【详解】（1）解：原式==， 当时，原式． （2）解：原式= = = =， 由得， ∴原式=． 题型模版 1.特征：分式混合运算含字母，先化简为最简分式，再代入给定字母值求结果。 2.方法：按运算顺序因式分解、约分、通分，化简到最简，再代入数值计算，注意分母不为零。 变式5-1（26-27八年级上·山东烟台·期中）先化简，再求值： (1)，再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值； (2)，其中． 【答案】(1)化简结果为，当时，式子的值为 (2)化简结果为，式子的值为 【详解】（1）解： ， 分式有意义的条件：，，即，， 只能选， 当时，原式； （2）解： ， ∵，∴， ∴原式． 变式5-2（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）先化简；再求值： (1)，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． (2)，再从，，0，2，3中取一个合适的数代入求值． 【答案】(1)化简结果为，取，原式 (2)化简结果为，取，原式或取，原式 【分析】（1）根据分式的运算法则进行化简即可，代入数字时根据分母不为0和除数不为0进行筛选代入计算即可； （2）根据分式的运算法则进行化简即可，代入数字时根据分母不为0和除数不为0进行筛选代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵分母不为0， ∴且， 又∵除数不为0， ∴； ∴，代入得，； （2）解： ， ∵分母不为0， ∴， 又∵除数不为0， ∴且； ∴，代入得，； 或，代入得，． 变式5-3（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的值代入求值； (2)先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数． 【答案】(1) (2)，3 【详解】（1）解：原式 ， ， ， 当时，原式． （2）解：原式 ， 与2，3构成的三边，且为整数， ，即， ， 当或时，原式没有意义，故． 当时，原式． 题型六、分式的混合运算错解复原问题 典例6 （25-26八年级下·陕西汉中·期末）下面是小华化简分式的过程： 解：原式=    第一步     第二步     第三步 (1)小华的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)第二步 (2)化简过程如下：原式 ， ，，， ，，， 当时，原式． 【分析】（1）对比每一步分式运算，确定出错步骤； （2）先通分计算括号内分式减法，除法变乘法约分化简，再根据分母不为筛选可取数值，代入求值． 【详解】（1）解：化简过程中，第二步出现错误，． （2）略 题型模版 1.特征：给出分式运算的错误过程或错解，需找出错因并改正，重检验能力。 2.方法：逐步按正确顺序重算，对比错误步骤，指出通分、约分或符号错误，改正得正确结果。 变式6-1（25-26八年级下·广东清远·期末）在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： 小明：原式 小红：原式 (1)小明解法第一步的依据是_____________，小红解法第一步的依据是______________；（填下列的字母） A．等式的基本性质   B．分式的基本性质   C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你从小明和小红的两种解法中选择一种解法，写出完整的解答过程，并求出当时该分式的值． 【答案】(1)， (2)解：情况1：选择小明的解法： 原式 ； 当时，原式． 情况2：选择小红的解法： 原式 ， 当时，原式． 【分析】（1）利用的是分式的基本性质和乘法分配律； （2）根据两人的第一步以及分式的混合运算法则进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 变式6-2（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)以上化简步骤中，第________步是通分，通分的依据是________． (2)小华的化简过程中，从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (3)请你写出正确的化简过程，并从，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)一，分式的基本性质 (2)三，合并同类项计算错误 (3)解：原式 ， 要使原分式有意义，则所有分母不能为，即，，， 解得且． 从给定的数中只能选择． 将代入得，原式． 【分析】（1）根据通分的定义判断步骤，通分依据为分式的基本性质； （2）计算分子的正确结果，对比小华步骤得到错误位置和原因； （3）按分式混合运算法则正确化简，根据分式有意义的条件选取合适的代入计算即可． 【详解】（1）解：通分是将异分母分式转化为同分母分式的过程，第一步将变形为，属于通分步骤，通分的依据是分式的基本性质． （2）解：对分子去括号计算：，小华第二步分子书写正确，第三步合并同类项错误，得到错误结果， 因此第三步开始出现错误，错误原因是合并同类项计算错误． （3）略 变式6-3（26-27八年级上·全国·阶段检测）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议： ． 【答案】(1)二，去括号时没有变号 (2)解：原式 ， ∵且， ∴且， ∴可以取0， 当时，原式； (3)分式化简求值时，选取的代入数值必须使原分式的所有分母都不为0，避免出现无意义的情况（答案不唯一） 【分析】（1）第二步去括号时符号出现错误； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：小彬的化简步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号； （2）略 （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简 的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解． 【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求； B、，故选项B错误，不符合题目要求； C、，故选项C错误，不符合题目要求； D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 4．（25-26八年级下·全国·周测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）化简：______． 【答案】 【分析】本题为分式化简题，利用同分母分式减法法则计算，再对分子因式分解后约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键． 通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【详解】解： ， 由①得， 把③代入②得：， ， ， ， ， 则， 所以． 故答案为4． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知实数a满足，则______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 首先将原表达式中的分式进行因式分解和化简，然后利用已知条件即代入求值． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的加减法，把异分母分式化为同分母是关键． （1）把异分母分式化为同分母分式进行减法计算即可； （2）把异分母分式化为同分母分式进行加法计算即可． 【详解】（1） ； （2） 12．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把对应分式的分子和分母分解因式，然后把除法变成乘法后进行约分，接着计算分式减法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（25-26八年级下·河南周口·开学考试）先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵分母不能为0， ∴， ∴， ∴只能选， 把代入原式． 17．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：请写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是“－”号，去括号时未变号 (2)见解析 【详解】（1）解：二；括号前是“－”号，去括号时未变号； （2）解：原式＝ · · ． 18．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17分式运算问题的六类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式的乘除混合运算 题型二、分式的加减混合运算 题型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 题型四、分式的加减乘除混合运算 题型五、分式的混合运算先化简求值问题 题型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：涉及分式乘除、加减、乘方及混合运算，常含化简求值。 ·解题方法：乘除先因式分解再约分；加减先通分（找最简公分母）化为同分母；混合运算按顺序，先括 号内；化简求值先化到最简再代入。 ·易错提醒：通分时漏乘分子；约分时把加减项直接约去；除法未转乘法再约分；代入求值时忽略分母不 为零的取值限制。 ◆◆ 夙题型归纳一精讲臭型题法，寿尖解题根送 题型一、分式的乘除混合运算 典例1(2627八年级上·全国课后作业)计算： 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②0-1.d24 ，1 a+2a2-2a+1a2-19 2x,3 (3)5x-325x2-95x+3: 题型模版 1特征：含分式乘法、除法及括号，需按从左到右顺序，先因式分解再约分。 2方法：将除法转为乘法，分子分母分别因式分解，约去公因式，再相乘化简为最简分式。 变式1-1(25-26八年级下·吉林长春期中)计算： 1 x+y (②)x2-y2x-2yx （ab2a(e ÷2a. 变式1-2(2025八年级上湖北武汉专题练习)计算： x+2 1x-3 (1)x2-6x+93-xx+2 ÷ 变式1-3(26-27八年级上全国课后作业)计算： (1)cbc: a-s j 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、分式的加减混合运算 典例2(26-27八年级上湖南永州阶段检测)计算： (0x-55-x ②术+2 x+y. 题型模版 1特征：含分式加减及括号，需先通分再加减，结果化为最简分式或整式。 2方法：找最简公分母通分，分子相加减，合并同类项后因式分解约分，化为最简结果。 变式2-1(25-26八年级上全国课后作业)计算： 3 6 9 (02x+44-2+2x-4: 1 1 (2)-x2-4x+4x2-42x+4 -十 变式2-2(25-26八年级上全国课后作业)计算： 、1,11 (四+2x4x: 21 (②)x+51-x x2-y 9-y 3)(x-32(3-x)2: a -1a-1. (4 变式2-3(10.3分式的加减八年级数学下册苏科版)计算： 2,35 ()3x4y6y 5a 7b.11c (②)6c12ac+8a2b: 、x-1x+1 (3)x+1x-1 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 62 (④a-ba(b-a）. 题型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 A B2x-6 典例3(25-26七年级上上海虹口期末)4，B为常数，如果x-1x-2(c-1(x-2),那么A-B= 题型模版 1特征：给定分式恒等式，其中分子或分母含待定系数或未知式，求其表达式或参数。 2方法：去分母化为整式恒等式，比较两边同类项系数列方程组，解出待定系数或确定分子分母。 3x-4=A+B 变式3-1(25-26八年级上山东威海期中)已知x2-3x+2x-x-2,则4A-B的值为 5x-4=m+n 变式3-2(25-26八年级上山东菏泽期中)已知(-5)x+2)x-5x+2,则m-n= x+2ABC 变式3-3(25-26八年级上广东广州期中)已知x(x+1)(c+2)xx+1'x+2,则A+B-2C= 题型四、分式的加减乘除混合运算 典例4(25-26八年级下·河南周口阶段检测)分式计算： t (1) -x-1: x-1 a2-4 2.a2+2a (2)a2-4a+4a-2 a-2. 题型模版 1.特征：同时含分式加减乘除及括号，需按运算顺序，先乘除后加减，注意通分与约分。 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：先算括号内，乘除转乘法并因式分解约分，再通分算加减，最终化为最简分式或整式。 变式41(26-27八年级上河北秦皇岛阶段检测)计算： a 4 a+2 ()a-2a2-2aa: m+2、 5）.2m-6 (2) m-2m-2 变式42(26-27八年级上山东淄博阶段检测)计算： 1 1 x-2 (0x+1x2-1'x2-2x+1 a2-2a a+1a+1 3 (2)a2+2a+1 变式4-3(26-27八年级上全国期末)计算： owx+rj: a层m”-s0+刘 题型五、分式的混合运算先化简求值问题 典例5(26-27八年级上山东威海期中)计算： (1)先化简，再求值： 2-1-2x+1-2,其中x=2 x+1 x2-x a2-41 (2)先化简，再求值： a2-4a+42-aa2-2a,其中a满足a2+3a-3=0. 题型模版 1特征：分式混合运算含字母，先化简为最简分式，再代入给定字母值求结果。 2方法：按运算顺序因式分解、约分、通分，化简到最简，再代入数值计算，注意分母不为零。 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式5-1(26-27八年级上山东烟台期中)先化简，再求值： 2x-3-1 x2-2x+1 (1)八x-2 x-2,再从1,2,3中选一个你喜欢的数，求式子的值； a+1a2-41 (2)a-2a2+2a+1a2-1,其中a2+a-1=0 变式5-2(26-27八年级上山东淄博阶段检测)先化简：再求值： 并从-1,0,1,2中选择一个合适的数代入求值. e- 2-4+1 x++1再从-2,1,0,2,3中取一个合适的数代入求值 变式5-3(26-27九年级上山东淄博阶段检测)计算： a2-2a+1. 2a a2-1 a- (1)先化简，再求值： a+1, 再从0,1,2中选择一个合适的a值代入求值： x+2x-1 x-4 (2)先化简，再求值： x2-2xx2-4x+4 x-2x,其中x与2,3构成△ABC的三边，且x为整数。 题型六、分式的混合运算错解复原问题 ,x-3 典网62526八年绿下庆风中期末下面是小化简分式三-文4的： 2x-5x-2 x-3 解：原式-x-2x-2 （x-2)(x+2) 第一步 22）22 第二步 =(x-7)(x+2) x-3 第三步 6/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()小华的化简过程从第 步开始出现错误： (2)请你写出正确的化简过程，并从2,3,4中选择一个合适的数代入求值. 题型模版 1特征：给出分式运算的错误过程或错解，需找出错因并改正，重检验能力。 2方法：逐步按正确顺序重算，对比错误步骤，指出通分、约分或符号错误，改正得正确结果。 1,1）x2-9 变式6-1(25-26八年级下广东清远期末)在化简x+3x-3)x+1时，两位同学分别写出如下第一步 运算步骤： x-3 x+3 x2-9 小明：原式 (+3x-3)(x+30x-3列x+1 1x2-9,1x2-9 小红：原式=x+3x+1+x-3x+1 (1)小明解法第一步的依据是 小红解法第一步的依据是 (填下列的字 母) A,等式的基本性质B.分式的基本性质C.乘法结合律D.乘法分配律 (2)请你从小明和小红的两种解法中选择一种解法，写出完整的解答过程，并求出当x=1时该分式的值. 2x-5 .x-3 -1÷ 变式6-2(25-26八年级下宁夏银川期末)下面是小华化简分式x-2广x-4的过程： 2x-5x-2 x-3 解：原式 x-2x-2 (x-2)(x+2)…第一步 -2x-5-x+2×x-20x+2) x-2 x-3 …第二步 =r-7)x+2) x-3 …第三步 … (1)以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是 (2)小华的化简过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 (3)请你写出正确的化简过程，并从-2,2,3,4中选择一个合适的数代入求值. 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式63(26-27八年级上全国·阶段检测)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应 任务： 2 x2-1 x2+2x+1 ÷- (x+1)2 x+1(x-1)(x+1)第一步 =2-x2-1.x+1)2 x+1（x-1)(x+1)第二步 =-1.x+12 x+1(x-1)(x+1)第三步 1 -x“第四步 = (1)任务一：以上化简步骤中，第_步开始出现错误，错误的原因是_； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从-1,0,1三个数中选一个恰当的数作为x的值代入求值： (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提 一条建议：- ◆◆ 同压轴挑战一支克满咏压轴，安破思维上保 一、单选题 1a-3 1.(25-26九年级下河南周口开学考试)化简a-22-4的结果是（) 4-a a A.1 B.-1 c.a-2 D.2-a 2.(25-26八年级上辽宁大连·期末)下列计算正确的是（) A.Q2+2 1.12 =a+b a+b B.a+b-ab 1+1=4 C.a+2+a-2a2-4 D.1 a 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3（2526八年级上山东德州别末)如果4=。二，：=。 2 a-1a+1,那么代数式A与B之间的关系是 () A.A+B=0 B.A.B=0 C.A=B D.A=2B x2-3x+2 425-26八年级下全国·周测)化简r4r+4*+ x-1 的结果为() A. x-1 公+司 C.+1 x-2 D.t+1 x+2 5.(25.26八年级上四凉山期末)对于正数规定了)例如：T③)3= .则+0-+24+2)值% 1+ 3 A.2025 B.2024 C.2023.5 D.2024.5 二、填空题 6.(25-26八年级下广西南宁开学考试)化简： m2 n2 m-n m-n- 7.(2026八年级下·全国专题练习)计算： 〔j x+10 8.(25-26八年级上重庆期末)已知(2x-(c+3)2x-1x+3,则A+B= a+2 a-1）sa-4 9.(25-26九年级上四川成都期末)已知实数a满足a2-2a-4=0,则a2-2aa2-4a+4a-2 +1:设少=2 0.（25-26八年级上江西南昌期未)已知：x是整数，M=2W2 +N,则所有符合 要求的y的正整数值为 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上·全国课后作业)计算下列各式： x+2x-2 (①x-2x+2: 1 1 (②9a2+6a+13a+1 12.(2026八年级下·全国专题练习)计算： x2 -x+y (2)x+y x+2x2-2x 3)2-4-4r+4 13.(25-26八年级下·重庆开学考试)化简： a a2+a 1 0a-a+2a+1a- xx2+6x+9. (2)x-3x+2 2÷x-2-5 x+2 A B 3x+4 14.(25-26八年级下全国课后作业)已知x+1x+2(x+1)(x+2),求整数A,B的值. 1-2x）. x2-2y+y2,x2+y 15.(24-25八年级下·湖北武汉·月考)先化简，再求值： x+y 3x+3y x2-y2,其中 x=-7,y=6 a2-4a+4 16.25-26八年级下·河南周口开学考试)先化简，再求值： a-1-3） a+1 a十1，请在-1,0,2 中选择一个合适的数代入求值. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26九年级下河南南阳·开学考试)化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： x2 x2-1 ÷ x2+2x+1 =[c-10x+1） .(x+1)2 x+1x+1(x-1)(x+1)第一步 =x2-x2-1(x+1 x+1(x-1)(x+1)第二步 =-1.(x+12 x+1(x-1)(x+1)第三步 1 1-x·第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第步开始出现错误，错误的原因是 (2)任务二：请写出正确的化简过程. 18.(25-26八年级上·湖南长沙期末)阅读下列解题过程： x。1 x2 已知x2+3,求x+的值。 x 1 +1=3,即x+ 解：由x+13知x≠0，所以x 3 -2=32-2=7 x21 故x+17 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒 数法”，利用上述方法解答下列问题： x I 1 ()已知x-+17,求x+x的值： @知品，3是-号，求的t 11/11