5.2三角函数的概念导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2 三角函数的概念 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 2 课时。第1课时：任意角三角函数的定义（单位圆）+ 定义域与符号（例1、例2）；第2课时：同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）与"知一求二"（例3、例4）+ 综合（例5）。 【重难点】 重点：任意角三角函数的定义（用终边上点的坐标或单位圆）、同角基本关系。难点：① 定义与初中直角三角形定义的衔接（初中只对锐角，现在对任意角）；② "知一求二"时符号由象限定，常有两解；③ sin α + cos α 与 sin α·cos α 的互求（整体代换）。 【分层策略】 普通班：给点坐标求三角函数值+判断符号+直接用平方关系；重点班：+知一求二（含符号讨论）sin ±cos 整体代换；清北班：+含参讨论+齐次式弦化切+综合证明。 【板书】 左：单位圆定义图（sin=y, cos=x, tan=y/x）+ 定义域；中：各象限符号表 + 诱导公式一；右：平方关系 sin²α+cos²α=1、商数关系 tan=sin/cos + 例3、例4。 【衔接】 定义域从"锐角"扩到"任意角"，是本节最大的跨越；sin²α+cos²α=1 是后续 5.3 诱导公式、5.5 恒等变换的唯一出发点。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求任意角的三角函数值。（数学抽象） • 2. 掌握三角函数在各象限的符号规律与定义域。（直观想象） • 3. 理解同角三角函数的基本关系（平方关系、商数关系），能进行"知一求二"与求值化简。（数学运算） • 4. 体会"坐标法"的力量：把几何的角转化成的代数坐标，三角函数从此成为可计算的函数。（逻辑推理） 【强调】 单位圆定义是"根"：sin α 就是终边与单位圆交点的纵坐标 y，cos α 就是横坐标 x，tan α 就是 。所有性质、公式都由它推出。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1·回忆】初中 sin α = ，这个定义只对 ____ 角成立。若 α=150°，还能画直角三角形吗？ 【问题2·想推广】能否找一个"通用"的办法，让任意角（哪怕是 1000° 或负角）都有 sin、cos 值？ 【问题3·用坐标】若角 α 的终边上有一点 P(x,y)，能否只用 x、y 就把 sin α、cos α 表示出来？ 我的猜想：把角放进 ____ 圆里，用交点的 ____ 和 ____ 来定义，就能对任意角都成立。 【师生活动】 问题1 暴露初中定义的局限；问题2 激发推广需求；问题3 引导学生想到坐标，自然引出单位圆定义。 【设计意图】 先打破旧定义（直角三角形只对锐角），再建立新定义（单位圆对任意角），学生才能理解"为什么要重学一遍三角函数"。 【讲解·如何讲清】 关键衔接：在单位圆（r=1）中，初中定义 sin α= 就变成 sin α==y。新旧定义完全兼容，学生不会觉得学了假知识。 二、知识梳理（约16分钟，学生先填，教师再讲） （一）任意角的三角函数定义 1. 设 α 是任意角，其终边上任一点 P(x,y)（不与原点重合），它到原点的距离 r = ____（r>0）。则 sin α = ____，cos α = ____，tan α = ____（x≠0）。 2. 单位圆定义：若终边与单位圆交于 P(x,y)，则 sin α = ____，cos α = ____，tan α = ____（x≠0）。 3. 定义域：sin α、cos α 的定义域是 ____；tan α 的定义域是 {α | α ≠ ____，k∈ℤ}。 【重点】 用终边上任一点定义时，比值与点的选取无关（相似三角形），所以计算时可选最方便的点；r=√(x²+y²) 恒为正，绝不能带负号。 （二）三角函数值的符号（填表） 函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − 【重点 符号口诀："一全正、二正弦、三正切、四余弦"——只记这句就够了。它直接决定"知一求二"时的取舍。 【易错 ① 认为 sin α 恒正（只有一二象限为正）；② 忘记 tan α 在 x=0（即 α=+kπ）时无定义；③ 计算 r 时把坐标符号带进去。 （三）同角三角函数的基本关系 1. 平方关系：____ + ____ = 1（由单位圆上 x²+y²=1 直接得到）。 2. 商数关系：tan α = ________（α≠+kπ）。 3. 诱导公式一（终边相同角三角函数值相等）：sin(α+2kπ)=____；cos(α+2kπ)=____；tan(α+2kπ)=____（k∈ℤ）。 【讲解·如何讲清 平方关系就是"单位圆的方程"，因为 sin α、cos α 就是单位圆上点的纵、横坐标，点在单位圆上自然满足 x²+y²=1。这样讲学生永远不会忘。 【对应练习 讲完定义→做例1、训练1~4；讲完符号→做例2、训练5、6；讲完基本关系→做例3、例4、训练7~10；讲完综合→做例5、训练11、12。 三、典型例题（约18分钟） 例1（基础·定义求值）已知角 α 的终边经过点 P(−3, 4)，求 sin α、cos α、tan α 的值。 【详解】 ①先求 r = √(x²+y²) = √((−3)²+4²) = √25 = 5。 ②sin α = = ；cos α = = −；tan α = = = −。 【讲解·如何讲清】 固定三步：① 算 r=√(x²+y²)（必为正）；② 代公式（sin 用 y、cos 用 x、tan 用 y/x）；③ 检查符号是否与象限一致（P(−3,4) 在第二象限，sin 正、cos 负、tan 负，与符号表一致）。 【对应练习】做分层训练1、2、3、4。 例2（基础·符号判断）若 sin α > 0 且 cos α < 0，则 α 是第几象限角？此时 tan α 的符号如何？ 【详解】 ①sin α>0 → α 在第一或第二象限（或 y 轴正半轴）； ②cos α<0 → α 在第二或第三象限（或 x 轴负半轴）； ③两者同时成立 → α 是第二象限角。 ④此时 tan α = ，正数除以负数 → tan α < 0（为负）。 答案：α 是第二象限角，tan α < 0。 【讲评要点】 sin α>0 ⇒ α 在第一或第二象限；cos α<0 ⇒ α 在第二或第三象限；两者取交集 ⇒ α 在第二象限；第二象限 tan α<0。 【对应练习 做分层训练5、6。 例3（提高·知一求二）已知 sin α = ，求 cos α 与 tan α 的值。 【详解】 ①由 sin²α + cos²α = 1 得 cos²α = 1 − = → cos α = ±。 ②题目未给定象限，必须分两类： 　 若 α 在第一象限：cos α =，tan α = ； 　 若 α 在第二象限：cos α = −，tan α = −。 答案：cos α = 且 tan α = ，或 cos α = − 且 tan α = −。 ★“知一求二”开平方必带 ±，一定要用象限定号；象限未知就分情况讨论。 【易错】 "知一求二"必须先看象限定符号——题目若未说明象限，答案就是两组，漏解是最常见的错误。 【讲解·如何讲清】 把"先平方、后开方、再定号"三步写清楚，并在开方处画个大大的"±"，提醒学生这里要讨论。 【对应练习】 做分层训练7、8。 例4（提高·整体代换）已知 sin α + cos α = ，求 sin α·cos α 与 sin α − cos α 的值。 【详解】 ①将已知式两边平方：(sin α + cos α)² = sin²α + 2sinαcosα + cos²α = 1 + 2sinαcosα = ， 　 故 2sinαcosα = − → sinα·cosα = −。 ②再求 sinα − cosα：设 t = sinα − cosα，则 　 t² = sin²α − 2sinαcosα + cos²α = 1 − 2×(−) = 1 + = ， 　 故 t = ±。 ③符号说明：因 sinαcosα = − < 0，sin 与 cos 异号，α 在第二或第四象限； 　 第二象限（sin>0>cos）时 sinα−cosα>0，取 +；第四象限时取 −。 答案：sinα·cosα = −；sinα−cosα = ±（符号由象限确定）。 【讲解·如何讲清】 这组关系要当二级结论记：(sin±cos)² = 1 ± 2 sin cos。已知"和"可求"积"、再求"差"，三者知一推二，是高频题型。 【对应练习】 做分层训练9、10。 例5（拓展·清北）已知 tan α = 2，求 与 sin²α + 2sin α·cos α 的值。 【详解】 ①(1) 分子分母同除以 cos α： 　 = = 。 ②(2) 用“1 的代换”，把分母 1 写成 sin²α+cos²α： 　 sin²α + 2sinαcosα = ， 　 同除以 cos²α 得 =。 ★技巧：已知 tan α 求关于 sin、cos 的齐次式，一律同除 cosn α 化为 tan 的式子。 【讲解·如何讲清】 "齐次式弦化切"：关于 sin、cos 的二次齐次式，分子分母同除以 cos²α 就全变成 tan α。第二个式子关键是"1 = sin²α+cos²α"这一"无中生有"的替换。 四、变式探究（约5分钟） 【变式1】已知角 α 终边过点 P(5, −12)，求 sin α、cos α、tan α。 【详解】 r = √(25+144) = 13。 sin α = = −12/13；cos α = = 5/13；tan α = = −。 【变式2】已知 cos α = − 且 α 是第三象限角，求 sin α 与 tan α。 【详解】 ①sin²α = 1 − = → sin α = ±； ②α 在第三象限，sin α < 0 → sin α = −； ③tan α = = 。 【探究】为什么 sin²α + cos²α = 1 对任意角都成立？用单位圆解释，并说明它与勾股定理的关系。 【详解】 ①在角 α 终边上任取一点 P(x, y)（不与原点重合），记 r = √(x²+y²)。 ②由勾股定理 x² + y² = r²，两边同除以 r² 得 ()² + ( )² = 1。 ③而定义正是 cos α = 、sin α = ，代入即得 sin²α + cos²α = 1。 ④取 r=1（单位圆）时，sin α = y、cos α = x，关系式就是单位圆方程 x²+y²=1， 　 所以说平方关系本质上是勾股定理的三角形式。 【师生活动】 变式1 巩固定义三步；变式2 练"知一求二"的符号讨论；探究题把代数恒等式与几何图形打通。 五、分层训练（课堂/课后均可） 【选题说明】 普通班保底定义求值+符号判断+直接用平方关系；重点班加知一求二与整体代换；清北班加齐次式弦化切与综合。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 角 α 终边过点 P(3, 4)，则 r=____，sin α=____，cos α=____，tan α=____。 【详解】 r = √(9+16) = 5；sin α = ；cos α = ；tan α = 。 2. sin α、cos α 的定义域是 ____；tan α 的定义域是 ____。 【详解】 sin α、cos α 的定义域是 R（终边上任一点都有定义）； tan α = 要求 x≠0，故定义域为 {α | α ≠ + kπ，k∈Z}。 3. 符号口诀："一全正、二 ____、三 ____、四 ____"。 【详解】 一全正、二正弦、三正切、四余弦。 即：第一象限全为正；第二象限只有 sin 为正；第三象限只有 tan 为正；第四象限只有 cos 为正。 4. 平方关系：____ + ____ = 1；商数关系：tan α = ____。 【详解】 sin²α + cos²α = 1；tan α = 。 5. 若 sin α<0 且 tan α>0，则 α 是第 ____ 象限角。 【详解】 ①tan α>0 → α 在第一或第三象限；②sin α<0 → α 在第三或第四象限； ③取交集 → α 是第三象限角。 答案：三。 【重点班】能力提升（+做） 6. 已知 cos α = ，求 sin α 与 tan α（需讨论象限）。 【详解】 ①sin²α = 1 − = → sin α = ±。 ②cos α = > 0 → α 在第一或第四象限： 　 第一象限：sin α = ，tan α = ； 　 第四象限：sin α = −，tan α = −。 答案：第一象限时 sin=、tan=；第四象限时 sin=−、tan=−。 7. 已知 sin α − cos α = ，求 sin α·cos α 的值。 【详解】 两边平方：(sinα − cosα)² = sin²α − 2sinαcosα + cos²α = 1 − 2sinαcosα = ， 故 2sinαcosα = → sinα·cosα = 。 8. 已知 sin α = 2cos α，求 tan α 与 sin²α + cos²α 的值（验证恒等式）。 【详解】 ①由 sin α = 2cos α 两边除以 cos α（cos α≠0）得 tan α = 2。 ②sin²α + cos²α = 1 是恒等式，对任意角都成立，故值为 1。 ③延伸：由 tan α=2 可进一步求得 cos²α = = ，sin²α = 。 答案：tan α = 2；sin²α+cos²α = 1。 【清北班】拓展挑战（+做） 9. 已知 tan α = 3，求的值。 【详解】 分子分母同除以 cos α： = 1。 答案：1。 10. 已知 sin α + cos α = ，且 α∈(0, π)，求 tan α 的值。 【详解】 ①平方：1 + 2sinαcosα = → sinαcosα = −< 0， 　 又 α∈(0,π) 时 sinα>0，故 cosα<0 → α∈(, π)（第二象限）。 ②(sinα − cosα)² = 1 − 2sinαcosα = 1 + = → sinα − cosα = （第二象限取正）。 ③联立 sinα+cosα = 与 sinα−cosα = ： 　 sinα = ，cosα =。 ④tanα = ，分母有理化： 　 = −2−√3。 答案：tan α = −2−√3。 11. 已知 tan α = −，求 sin²α + 3sin α·cos α − cos²α 的值（用"1"的代换）。 【详解】 用“1 的代换”：原式 = 。 分子分母同除以 cos²α： = = −。 【对应练习·闭环 例1↔训练1；例2↔训练5；例3↔训练6；例4↔训练7、10；例5↔训练9、11。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 定义：单位圆上 sin α=y、cos α=x、tan α=；定义域（tan 需 x≠0）。 2. 符号："一全正、二正弦、三正切、四余弦"。 3. 基本关系：sin²α+cos²α=1（单位圆方程）、tan α=；知一求二要讨论符号。 4. 技巧：(sin±cos)² = 1±2 sin cos；齐次式弦化切（同除以 cos 或 cos²）。 我的疑问与收获： 【流程】 闭卷默写：定义（含 r 公式）+ 符号口诀 + 两条基本关系；教师补全板书。 【板书设计】 左：单位圆定义图与三函数定义域；中：象限符号表 + 诱导公式一；右：平方关系、商数关系 + 例3（±讨论处标红）、例5 弦化切。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P182 练习 1~4；分层训练 1~5。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~8，整理"知一求二漏解"错题 2 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~11，另做"齐次式求值"探究题 1 道。 【反思】 下节课前抽测：①给 P(−4,3) 求三个函数值；②背符号口诀；③已知 sin α= 求 cos α（必须写两组）。5.3 学诱导公式——把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，本节的定义和平方关系是它的基础。 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 三角函数的概念 【学习目标】 • 1. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求任意角的三角函数值。（数学抽象） • 2. 掌握三角函数在各象限的符号规律与定义域。（直观想象） • 3. 理解同角三角函数的基本关系（平方关系、商数关系），能进行"知一求二"与求值化简。（数学运算） • 4. 体会"坐标法"的力量：把几何的角转化成的代数坐标，三角函数从此成为可计算的函数。（逻辑推理） 一、新知引入 【问题1·回忆】初中 sin α = ，这个定义只对 ____ 角成立。若 α=150°，还能画直角三角形吗？ 【问题2·想推广】能否找一个"通用"的办法，让任意角（哪怕是 1000° 或负角）都有 sin、cos 值？ 【问题3·用坐标】若角 α 的终边上有一点 P(x,y)，能否只用 x、y 就把 sin α、cos α 表示出来？ 我的猜想：把角放进 ____ 圆里，用交点的 ____ 和 ____ 来定义，就能对任意角都成立。 二、知识梳理 （一）任意角的三角函数定义 1. 设 α 是任意角，其终边上任一点 P(x,y)（不与原点重合），它到原点的距离 r = ____（r>0）。则 sin α = ____，cos α = ____，tan α = ____（x≠0）。 2. 单位圆定义：若终边与单位圆交于 P(x,y)，则 sin α = ____，cos α = ____，tan α = __________（x≠0）。 3. 定义域：sin α、cos α 的定义域是 ____；tan α 的定义域是 {α | α ≠ ____，k∈ℤ}。 （二）三角函数值的符号（填表） 函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − （三）同角三角函数的基本关系 1. 平方关系：____ + ____ = 1（由单位圆上 x²+y²=1 直接得到）。 2. 商数关系：tan α = ____ / ____（α≠________）。 3. 诱导公式一（终边相同角三角函数值相等）：sin(α+2kπ)=____；cos(α+2kπ)=____；tan(α+2kπ)=____（k∈ℤ）。 三、典型例题 例1.已知角 α 的终边经过点 P(−3, 4)，求 sin α、cos α、tan α 的值。 例2.若 sin α > 0 且 cos α < 0，则 α 是第几象限角？此时 tan α 的符号如何？ 例3. 已知 sin α = ，求 cos α 与 tan α 的值。 例4. 已知 sin α + cos α = ，求 sin α·cos α 与 sin α − cos α 的值。 例5.已知 tan α = 2，求与 sin²α + 2sin α·cos α 的值。 四、变式探究 【变式1】已知角 α 终边过点 P(5, −12)，求 sin α、cos α、tan α。 【变式2】已知 cos α = − 且 α 是第三象限角，求 sin α 与 tan α。 【探究】为什么 sin²α + cos²α = 1 对任意角都成立？用单位圆解释，并说明它与勾股定理的关系。 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 角 α 终边过点 P(3, 4)，则 r=____，sin α=____，cos α=____，tan α=____。 2. sin α、cos α 的定义域是 ____；tan α 的定义域是 ____。 3. 符号口诀："一全正、二 ____、三 ____、四 ____"。 4. 平方关系：____ + ____ = 1；商数关系：tan α = ____。 5. 若 sin α<0 且 tan α>0，则 α 是第 ____ 象限角。 能力提升（+做） 6. 已知 cos α = ，求 sin α 与 tan α. 7. 已知 sin α − cos α = ，求 sin α·cos α 的值. 8. 已知 sin α = 2cos α，求 tan α 与 sin²α + cos²α 的值. 拓展挑战（+做） 9. 已知 tan α = 3，求 的值。 10. 已知 sin α + cos α = ，且 α∈(0, π)，求 tan α 的值。 11. 已知 tan α = −，求 sin²α + 3sin α·cos α − cos²α 的值. 六、课堂小结 我的疑问与收获： 七、课后作业 学科网（北京）股份有限公司 $