第二十六讲 诱导公式 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案围绕诱导公式展开，引导学生借助单位圆对称性，从三角函数定义出发推导公式，衔接三角函数定义与单位圆性质，搭建从几何直观到公式应用的学习支架。 以圆的对称性探究为亮点，通过“奇变偶不变”口诀培养推理能力，题型涵盖基础应用与综合问题，易错点总结助力规范运算，提升学生数学思维与应用意识，适合教学与自主学习。

第二十六讲 诱导公式 【学习目标】借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式． 【学习重点】利用圆的对称性探究诱导公式． 【学习难点】发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系. 必考知识点 一、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限， 说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 二.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数. 三.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 四 易错点总结 1.先将三角函数式中的角统一写作；奇变偶不变，符号看象限：永远把看作锐角来判断符号； 2.周期是，周期是； 3.使用诱导公式化简完，还要结合同角公式，角的象限决定开方后正负号； 4.三角等式不一定等价，不能推出，有多组解； 5.负角处理优先用公式三：的变换。 必考题型全归纳 知识点 1：诱导公式一（终边相同的角，周期性） 含义：终边相同的角，同名三角函数值相等。 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即得. 【详解】由，得. 故选：D 3．（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 4（多选）．下列代数式的值为1的有（   ） A．sin180° B．cos360° C．tan225° D． 【答案】BCD 【分析】根据特殊三角函数值及平方关系确定各式对应值，即可得答案. 【详解】由. 故选：BCD 知识点 2：诱导公式二、三、四（、） 1.公式二（）：角旋转 2.公式三（，负角）： 3.公式四（）： 口诀：函数名不变，符号看象限。 操作技巧：把看作锐角，判断原角所在象限，确定三角函数正负号。 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，解得. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以. 8．已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以. 知识点 3：诱导公式五、六（，奇变偶不变） 总口诀：奇变偶不变，符号看象限 1.奇、偶：看中；是奇数，互换；偶数，函数名不变； 2.符号看象限：把假想成锐角，判断所在象限，确定原式三角函数的正负。 常见考法：化简三角函数式；给条件求其它三角函数；对称点、终边对称问题（关于轴对称对应） 9．在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．α是第一象限角 B．角与α的终边相同 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则点在第二象限，α是第二象限角，A选项错误； 因为，即， 所以，B选项错误,C选项错误； ，D选项正确. 10．已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 【答案】 【详解】因为，，所以. 由题意可得，所以. 11．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则_____ 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的值，再由角的终边关于y轴对称可得，结合诱导公式代入计算，即可求解. 【详解】因为是第一象限角，则， 则， 又角的终边关于y轴对称，则， 则.故答案为： 12．已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义依次求解即可； （2）根据诱导公式化简，再将（1）的结论代入计算即得. 【详解】（1）由点得，，. 则，，； （2）原式. 将代入，可得原式=. 题型四：诱导公式 + 同角三角函数综合（知值求值） 解题流程： 1.使用诱导公式，把条件式化简，得到某一个三角函数的值； 2.使用同角平方关系、商数关系； 3.根据角所在象限，判定符号，求解目标式子。 易错：条件给角的象限，用来取舍开平方后的正负号；没有给象限注意是否要分类。 13．若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即,解得，则. 14．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系、诱导公式结合求出的三角函数值，再结合充分条件、必要条件的定义、特殊值法判断即可. 【详解】由可得，整理可得， 解得或， 当时，，即“”时满足“”； 若，不妨取，则， 即“”时不能得到“”. 故“”是“”的充分不必要条件. 15．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据化简可得，求出并代入到中求解即可． 【详解】由题意知， 所以，则，解得， 则．故选：C． 知识点 5：命题判断、充分必要条件、函数奇偶性 1.充分必要条件：三角函数等式，注意三角方程多解，单向推导。 2.三角函数奇偶性：奇函数；偶函数；奇函数。 3.抽象函数 + 三角函数综合：利用奇偶性把自变量转化，再用诱导公式。 16（多选）．对任意实数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：利用诱导公式化简：左边 右边，不满足对任意实数成立，故A错误； 对于B：利用指数幂运算法则： ，对任意恒成立，故B正确； 对于C：作差比较： ，对任意实数平方为非负恒成立，故C正确； 对于D：作差移项整理： ， 由指数函数是增函数，若，则，，所以， 即成立， 若，则，所以，即成立， 综上，对任意实数，成立，故D正确. 17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质转化，然后代入解析式，根据诱导公式化简求值. 【详解】因为是奇函数，， ，. 巩固提升： 1（多选）．若，则下列与角的终边可能相同的角是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】ACD 【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同. 【详解】对于A，，因此A正确； 对于B，，因此B不正确； 对于C，，因此C正确； 对于D，，因此D正确.故选：ACD. 2．正切函数的诱导公式 _________ __________ __________ __________ __________     __________ 【答案】 3．化简：__________. 【答案】1 【详解】. 4．已知，________． 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】 .所以. 5．已知，则___________． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 6．______. 【答案】 / 【详解】. 7．的值为________． 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】 ＝ 8．设，其中a，b，，，若，则__________. 【答案】1 【详解】因为， 则，， 故， 又因为，所以. 9．化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可． 【详解】． 10．求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）通过正切函数的诱导公式求解； （2）通过周期函数的周期性求解. 【详解】（1） （2） 11．求下列三角函数值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】（1）. （2）. （3） . 12．已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由已知，根据诱导公式和商数关系得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，结合为第三象限的角，即可得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 13．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由正切函数的诱导公式依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六讲 诱导公式 【学习目标】借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式． 【学习重点】利用圆的对称性探究诱导公式． 【学习难点】发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系. 必考知识点 一、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限， 说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 二.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数. 三.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 四 易错点总结 1.先将三角函数式中的角统一写作；奇变偶不变，符号看象限：永远把看作锐角来判断符号； 2.周期是，周期是； 3.使用诱导公式化简完，还要结合同角公式，角的象限决定开方后正负号； 4.三角等式不一定等价，不能推出，有多组解； 5.负角处理优先用公式三：的变换。 必考题型全归纳 知识点 1：诱导公式一（终边相同的角，周期性） 含义：终边相同的角，同名三角函数值相等。 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C．1 D． 4（多选）．下列代数式的值为1的有（   ） A．sin180° B．cos360° C．tan225° D． 知识点 2：诱导公式二、三、四（、） 1.公式二（）：角旋转 2.公式三（，负角）： 3.公式四（）： 口诀：函数名不变，符号看象限。 操作技巧：把看作锐角，判断原角所在象限，确定三角函数正负号。 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 知识点 3：诱导公式五、六（，奇变偶不变） 总口诀：奇变偶不变，符号看象限 1.奇、偶：看中；是奇数，互换；偶数，函数名不变； 2.符号看象限：把假想成锐角，判断所在象限，确定原式三角函数的正负。 常见考法：化简三角函数式；给条件求其它三角函数；对称点、终边对称问题（关于轴对称对应） 9．在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．α是第一象限角 B．角与α的终边相同 C． D． 10．已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 11．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则_____ 12．已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 题型四：诱导公式 + 同角三角函数综合（知值求值） 解题流程： 1.使用诱导公式，把条件式化简，得到某一个三角函数的值； 2.使用同角平方关系、商数关系； 3.根据角所在象限，判定符号，求解目标式子。 易错：条件给角的象限，用来取舍开平方后的正负号；没有给象限注意是否要分类。 13．若，则（    ） A． B． C．3 D． 14．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 知识点 5：命题判断、充分必要条件、函数奇偶性 1.充分必要条件：三角函数等式，注意三角方程多解，单向推导。 2.三角函数奇偶性：奇函数；偶函数；奇函数。 3.抽象函数 + 三角函数综合：利用奇偶性把自变量转化，再用诱导公式。 16（多选）．对任意实数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 巩固提升： 1（多选）．若，则下列与角的终边可能相同的角是（    ） A． B． C．， D．， 2．正切函数的诱导公式 _________ __________ __________ __________ __________     __________ 3．化简：__________. 4．已知，________． 5．已知，则___________． 6．______. 7．的值为________． 8．设，其中a，b，，，若，则__________. 9．化简 10．求值： (1)； (2). 11．求下列三角函数值． (1)； (2)； (3)． 12．已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 13．求值： (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $