第二十四讲 三角函数的概念 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦三角函数概念，核心涵盖任意角三角函数的单位圆定义与推广定义，以及性质、符号规律、三角函数线等知识点。课堂导入从任意角概念出发，通过单位圆上点的坐标建立函数定义，搭建几何直观到代数表达的学习支架，衔接前后知识。 资料以表格归纳定义与性质，精准提示易错点如r恒正、符号取舍，题型分类覆盖定义应用、符号判断等。借助单位圆模型培养数学眼光，逻辑推理强化数学思维，规范表达提升数学语言能力，助力学生系统掌握概念并灵活应用。

第二十四讲 三角函数的概念 【学习目标】借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义． 【学习重点】正弦函数、余弦函数、正切函数的定义． 【学习难点】三角函数的对应关系，三角函数符号的含义． 必掌握知识点 一. 任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于 点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 二.定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0). 三.三角函数的性质如下表： 三角 函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 四、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 五.易错点： 1.推广定义中恒大于 0，r 永远是正数，符号看 x、y； 2.，x 等于0的时候，正切不存在； 3.解参数方程得到两个解，一定要结合象限符号舍去不符合题意的根； 4.顺时针旋转角度做减法，逆时针旋转做加法； 5.同一个象限，角度大，三角函数值不一定大，不能照搬锐角三角函数的增减性。 必掌握题型全归纳： 题型一：任意角三角函数的定义（单位圆定义 + 推广定义） 1.单位圆定义 设为任意角，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点： 2.推广定义（终边上任意一点，考试高频） 角终边上任取异于原点的一点，点到原点距离 ，则： 重要提醒：分母是，当（终边落在轴），正切无意义 3.三角函数线：单位圆中 正弦线：有向线段；余弦线：有向线段；正切线：有向线段。 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 3．若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用任意角余弦函数的定义，先计算终边上点到原点的距离，再代入公式求解即可. 【详解】 由题干可知，角终边上的点坐标为，即，， 因此： ， 代入余弦公式得. 题型二：三角函数在各个象限的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 1.第一象限： 2.第二象限： 3.第三象限： 4.第四象限： 解题用法： 已知三角函数符号，可以反推角所在象限；已知角所在象限，可以判断三角函数正负； 做终边上点求参数的题目，经常结合符号取舍解出来的根（舍去不符合象限的解）。 5．已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 7．已知角的终边过点，且，则（   ） A． B．1 C．－1或1 D． 8（多选）．已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 题型三：旋转得到新角（终边旋转，顺时针、逆时针旋转） 1.逆时针旋转：角度增加；顺时针旋转：角度减少。 2.已知角，终边顺时针旋转得到新角：； 已知角，终边逆时针旋转得到新角：。 3.质点圆周运动：角速度，运动时间，转过角度；顺时针得到负角。 旋转之后，再利用三角函数定义求三角函数值。 9．如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 10．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（   ） A． B． C． D． 题型四：特殊角的三角函数值 等特殊角，直接代入得到三角函数结果。 11．（   ） A． B． C． D． 12．的值是（ ） A． B． C． D．1 13．（   ） A． B． C． D． 14．的值为（ ） A． B． C． D． 题型五：三角集合、充分必要条件、逻辑命题 1.三角集合：利用三角函数的值，写出角的集合，求集合交集。 2.充分、必要条件： 若，是充分条件；若，是必要条件； 三角命题：由，不能推出，因为正弦相等的角有无数组解。 3.命题判断：同一个象限内，角度大小与三角函数值大小关系，不能直接类比锐角三角函数。 15．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 16．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（多选）下列命题不正确的是（   ） A．若，都是第二象限角，且，则 B．若，都是第三象限角，且，则 C．若，都是第四象限角，且，则 D．若，都是第一象限角，且，则 巩固提升： 1．若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 2．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 5．已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 9．已知角终边上一点，且，则___________． 10．在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 11．已知角的终边在直线上，求的值． 12．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 13．（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 14．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 15．已知角的终边上一点，且． (1)求的值； (2)求． 16．已知角的终边与单位圆相交于点，若，求a，b的值，并说明是第几象限角． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四讲 三角函数的概念 【学习目标】借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义． 【学习重点】正弦函数、余弦函数、正切函数的定义． 【学习难点】三角函数的对应关系，三角函数符号的含义． 必掌握知识点 一. 任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于 点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 二.定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0). 三.三角函数的性质如下表： 三角 函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 四、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 五.易错点： 1.推广定义中恒大于 0，r 永远是正数，符号看 x、y； 2.，x 等于0的时候，正切不存在； 3.解参数方程得到两个解，一定要结合象限符号舍去不符合题意的根； 4.顺时针旋转角度做减法，逆时针旋转做加法； 5.同一个象限，角度大，三角函数值不一定大，不能照搬锐角三角形的增减性。 必掌握题型全归纳： 题型一：任意角三角函数的定义（单位圆定义 + 推广定义） 1.单位圆定义 设为任意角，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点： 2.推广定义（终边上任意一点，考试高频） 角终边上任取异于原点的一点，点到原点距离 ，则： 重要提醒：分母是，当（终边落在轴），正切无意义 3.三角函数线：单位圆中 正弦线：有向线段；余弦线：有向线段；正切线：有向线段。 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设点P到坐标原点的距离为，则. 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点，所以. 3．若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 4．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用任意角余弦函数的定义，先计算终边上点到原点的距离，再代入公式求解即可. 【详解】 由题干可知，角终边上的点坐标为，即，， 因此： ， 代入余弦公式得. 题型二：三角函数在各个象限的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 1.第一象限： 2.第二象限： 3.第三象限： 4.第四象限： 解题用法： 已知三角函数符号，可以反推角所在象限；已知角所在象限，可以判断三角函数正负； 做终边上点求参数的题目，经常结合符号取舍解出来的根（舍去不符合象限的解）。 5．已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】根据角的终边过点，可得，则得点位于第四象限. 6．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出. 【详解】因为是第二象限角，所以，即． 又，解得（舍去），所以．故选：. 7．已知角的终边过点，且，则（   ） A． B．1 C．－1或1 D． 【答案】A 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】角的终边过点，由三角函数的定义可知：， 化简得：，故，故选：A. 8（多选）．已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义分别对每个选项进行判断即可. 【详解】由三角函数的定义可得， 对于A，当时，，此时，，故A正确， 对于B，当时，，在第四象限； 当时，，在第二象限，故B错误， 对于C，根据三角函数的定义可知，故C正确， 对于D，，故D正确.故选：ACD. 题型三：旋转得到新角（终边旋转，顺时针、逆时针旋转） 1.逆时针旋转：角度增加；顺时针旋转：角度减少。 2.已知角，终边顺时针旋转得到新角：； 已知角，终边逆时针旋转得到新角：。 3.质点圆周运动：角速度，运动时间，转过角度；顺时针得到负角。 旋转之后，再利用三角函数定义求三角函数值。 9．如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设单位圆与轴正半轴的交点为，根据条件求得，进一步可得时到达点时，求出，利用三角函数的定义可求得． 【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为， 因为，则，由于在第一象限，不妨取， 因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，设经过5后，质点到达点， ，于是.故选：B． 10．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，且为第二象限角，则， 则. 题型四：特殊角的三角函数值 等特殊角，直接代入得到三角函数结果。 11．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 12．的值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】特殊锐角的三角函数值直接求解. 【详解】. 13．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由任意角正弦的定义，设角终边上任意一点，到原点距离，有.角终边在第二象限，取终边与单位圆交点，此时，代入定义得. 14．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 题型五：三角集合、充分必要条件、逻辑命题 1.三角集合：利用三角函数的值，写出角的集合，求集合交集。 2.充分、必要条件： 若，是充分条件；若，是必要条件； 三角命题：由，不能推出，因为正弦相等的角有无数组解。 3.命题判断：同一个象限内，角度大小与三角函数值大小关系，不能直接类比锐角三角函数。 15．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 16．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先把代入验证能推出等式成立，证明充分性；再解三角方程得到多个解，说明等式成立不能反推，不满足必要性，由此判定为充分不必要条件． 【详解】充分性： 若，则，， 所以由能推出，充分性成立， 必要性：由，得或， 即或， 可见满足的不只有，即由不能推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 17．（多选）下列命题不正确的是（   ） A．若，都是第二象限角，且，则 B．若，都是第三象限角，且，则 C．若，都是第四象限角，且，则 D．若，都是第一象限角，且，则 【答案】ABD 【分析】设角，的终边与单位圆分别交于点，点，结合三角函数的定义逐项判断即可. 【详解】设角，的终边与单位圆分别交于点，点． 若，都是第二象限角，且，即，如图1，则，即，故A错误； 若，都是第三象限角，且，即，如图2，则，即，故B错误； 若，都是第四象限角，且，即，如图3，则，即，故C正确； 若，都是第一象限角，且，即，如图4，则，即，故D错误． 故选：ABD 巩固提升： 1．若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 2．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 故. 3．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 4．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 5．已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：，且坐标为负数，所以， 所以. 又，所以. 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得. 7．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数的定义计算可得. 【详解】由题意可得.故选：C. 8．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 9．已知角终边上一点，且，则___________． 【答案】2 【分析】利用正弦函数的定义求解. 【详解】由题意，解得（舍去）， 故答案为：2. 10．在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为：. 11．已知角的终边在直线上，求的值． 【答案】或 【分析】先求出点，再分类应用三角函数定义计算求解. 【详解】在直线上任取一点， 则． ①若，则，从而， ，． ②若，则，从而， ，． 12．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 【答案】(1) (2)；当时，；当时， (3) 【详解】（1）由终边上有一点，得. （2）由角的终边上一点，得； 当时，，； 当时，，. （3）由点在角的终边上，得，， 而，则， 整理得且，所以. 13．（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 14．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 【答案】（1）若，则；若，则．（2） 【分析】（1）利用三角函数的定义进行求解即可； （2）利用任意角的余弦函数的定义，求得，即可求得的值. 【详解】（1）， ①若，则，角是第二象限角， 所以， 所以． ②若，则，角是第四象限角， 所以． 所以． 综上，若，则；若，则． （2）由题意知， 由三角函数定义得． 又． ，，. 所以． 15．已知角的终边上一点，且． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角的三角函数定义，由的值列出关于的方程，求解即可； （2）利用（1）中求出的相关量，根据正弦函数的定义求解. 【详解】（1）由题意知（O为坐标原点）， 因此，因为， 所以，解得． （2）由（1）知，， 所以． 16．已知角的终边与单位圆相交于点，若，求a，b的值，并说明是第几象限角． 【答案】答案见解析 【分析】由任意角的三角函数的定义求出的值，利用单位圆得到，计算出的值，分别按照的值讨论得到所在的象限. 【详解】由正弦函数的定义可知． 又，所以，所以． 故，．当，时，点P在第四象限，此时角是第四象限角； 当，时，点P在第三象限，此时角是第三象限角． 学科网（北京）股份有限公司 $