2026-2027学年苏科版数学七年级上册期中复习(压轴题专练提升)

2026-2027学年苏科版数学七年级上册 期中复习 (压轴题专练提升) 七上数学期中复习专练05 56题14大压轴题型 复习导航 模 块 题 型 核 心 考 法 模块一　数轴与绝对值·综合突破 题型1—7 数轴上的动点、距离和恒值、绝对值最值与几何意义、数轴与绝对值新定义、有理数实际应用与运算新定义 模块二　整式加减与规律探究 题型8—14 整式化简求值、整体代入、无关型与几何应用、整式新定义、数字类与图形类规律探究 模块一　数轴与绝对值·综合突破（题型1—7） 题型1　数轴上的动点问题 【考法透视】 动点问题的通法是“设时刻 ，用含 的式子表示动点坐标，再把几何条件翻译成方程”。求两点距离用两坐标之差的绝对值；求相遇令两坐标相等；求中点用两坐标的平均数；碰到“相距 个单位”或“某点为中点”，往往要按动点位置分类讨论。 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（）． （1）用含的代数式分别表示点P、点Q所表示的数； （2）求点P、点Q相遇时的值以及相遇点所表示的数； （3）在运动过程中，是否存在，使得线段PQ的长为个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）数轴上A、B、C三点表示的数分别为、、．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为秒． （1）当时，求线段PB的长； （2）若点M为线段PQ的中点，试用含的代数式表示点M所表示的数； （3）当点B恰好是线段PQ的中点时，求的值． 3．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为、，且满足．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）用含的代数式表示点P所表示的数；当点P运动到与点B重合时，求的值及此时点P所表示的数； （3）若在点P出发的同时，点Q从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点P、点Q两点间的距离为个单位长度时，求的值． 4．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）综合与实践： 【阅读材料】数轴上A、B两点表示的数分别为、，则A、B两点间的距离．例如，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是． 【理解应用】 （1）数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是______； （2）数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，则的值为______． 【拓展提升】 （3）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达点B后立即以原速返回向左运动；同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（），当点P、点Q第二次相遇时，求的值及相遇点所表示的数． 题型2　数轴上的恒值问题 【考法透视】 恒值问题的关键，是把所求量写成关于 的一次式，再令 的系数为 ，从而求出使表达式恒定的参数或时间范围。常用两条结论：同向等速运动的两点，其距离为定值；关于某定点对称运动的两点，其中点为定值。 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动．设运动时间为秒（）． （1）用含的代数式分别表示点P、点Q所表示的数； （2）求点P与点Q之间的距离（用含的代数式表示，并化简）； （3）设点O为原点，在运动过程中，是否存在某个时间段，使得点P、点Q到原点O的距离之和为定值？若存在，请求出相应的的取值范围以及这个定值；若不存在，请说明理由． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知数轴上A、B两点表示的数分别为和．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． （1）用含的代数式表示点P、点Q所表示的数； （2）求点P、点Q相遇时的值； （3）在相遇之前（即），是否存在常数，使得的值始终为定值（其中表示点A与点P之间的距离）？若存在，求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 7．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为． （1）求线段AB的中点所表示的数； （2）若将数轴折叠，使点A与点B重合，求折痕处（即折叠点）所表示的数； （3）在（2）的条件下，数轴上点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．试说明在运动过程中，线段PQ的中点始终保持不动，并求出这个中点所表示的数． 8．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）综合与实践： 【发现问题】数轴是研究动点问题的重要工具．数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动． （1）用含的代数式表示点P所表示的数；当点P运动到点B时，求的值； 【探究应用】 （2）点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，与点P同时出发．求点P、点Q相遇时的值； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，设点M为线段PQ的中点，求点M所表示的数（用含的代数式表示）；点M所表示的数是否随着的变化而变化？若变化，请求出点M每秒移动多少个单位长度；若不变，请说明理由． 题型3　绝对值的最值问题 【考法透视】 记数轴上表示数 的点到表示数 的点的距离为 。则 的最小值是 （此时 ）；（）的最小值是 （此时 ）。一般地：奇数个绝对值相加，在正中间那个零点处取最小；偶数个绝对值相加，在中间两个零点之间取最小。 9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）【阅读材料】对于形如的式子，它的几何意义是数轴上表示数的点到表示数的点的距离，因此当时取最小值；对于形如（）的式子，当时取最小值． 【理解应用】 （1）的最小值是______，此时______； （2）求的最小值及相应的的取值范围． 【拓展提升】 （3）求的最小值； （4）求的最小值及相应的的取值范围． 10．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某检修小组在一条东西走向的公路上巡回检修，公路上依次有A、B、C、D四个检修点（看作数轴上的点），它们表示的数分别为、、、（单位：百米）．小组需要在公路上设置一个临时休息点P（表示的数为），使点P到这四个检修点的距离之和最小． （1）求点P到A、B、C、D四点距离之和的表达式（用含的绝对值表示）； （2）求这个距离之和的最小值，并指出此时的取值范围； （3）若休息点必须设在某个检修点上，问设在哪个检修点最合适？请说明理由． 11．（26-27七年级上·江苏常州·期中）我们知道，数轴上表示数的点到表示数的点的距离可用表示．请利用这一结论解决以下问题： （1）当时，的值为______； （2）当取何值时，的值最小？最小值是多少？ （3）若为整数，求的最小值； （4）试比较与的大小，并说明理由． 12．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【提出问题】某快递中转站位于一条笔直公路上，公路上依次设有甲、乙、丙、丁四个揽收点．为便于装卸，中转站应设在何处，才能使四个揽收点到中转站的距离之和最小？ 【建立模型】把公路看作数轴，设甲、乙、丙、丁四个揽收点表示的数分别为、、、，中转站表示的数为，则距离之和为． 【解决问题】 （1）若，，，，求的最小值及此时的取值范围； （2）若中转站恰好设在线段乙丙上（即），请用含、、、的式子表示，并判断是否为定值，说明理由； （3）若揽收点共个（为正整数），它们表示的数从小到大依次为，，，，试指出中转站设在哪一个揽收点处时最小（直接写出结论）． 题型4　绝对值的几何意义 【考法透视】 解含绝对值的方程或恒等问题时，先把式子还原成“数轴上的距离”，再借助“两点之间线段最短”讨论。若各零点之间的距离和恰好等于常数，则解集是中间一段；若大于线段长，则解落在两端，需分区间讨论。 13．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【阅读材料】数轴上表示数、的两点之间的距离为，所以表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 【理解应用】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离可表示为______； （2）若，则______； （3）若，求的值． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【阅读材料】数轴上两点A、B表示的数分别为、，则；式子表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 【初步理解】 （1）计算：______；______； （2）数轴上表示的点到表示的点的距离是，则______； （3）求的最小值． 【拓展延伸】 （4）定义：若数轴上点P到点M的距离是点P到点N的距离的倍，则称点P是点M、N的“倍距点”．已知数轴上点C表示的数是，点D表示的数是，求点C、D的“倍距点”所表示的数． 15．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）【阅读材料】数轴是数与形结合的桥梁．数轴上表示数的点与表示数的点的距离为． 【探究新知】 （1）的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； （2）若，则的取值范围是______； （3）若，求的值． 【拓展应用】 （4）数轴上有A、B、C三点，分别表示数、、．点P表示的数为，当取得最小值时，求的值及最小值． 16．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）综合与实践： 【定义】在数轴上，数轴上表示数的点到表示数、（）的两点距离之和记为． 【初步探究】 （1）若，，求的最小值及此时的取值范围； （2）若，，且，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上依次有点M、N、K，分别表示数、、，且．若的最小值为，且，求的值，并说明理由． 题型5　数轴、绝对值中的新定义问题 【考法透视】 新定义题的解法是“照定义翻译”：先把题中的定义逐字读懂，必要时用一组具体数字试算，确认定义所表达的坐标关系，再把要求的问题翻译成含未知数的等式或不等式求解。注意定义中若出现“任意”“恒为”等字眼，往往要引入参数并令某个量取定值。 17．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【新定义】在数轴上，点A、B表示的数分别为、（）．若数轴上一点P满足，则称点P是点A关于点B的“外延点”． 【初步理解】 （1）若点A表示，点B表示，求点A关于点B的“外延点”所表示的数； （2）若点A表示，点A关于点B的“外延点”表示的数是，求点B表示的数． 【深入探究】 （3）点A、B、C在数轴上表示的数分别为、、．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒（）．当点B是点C关于点P的“外延点”时，求的值． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【新定义】对数轴上的点A、B，记为线段AB的中点所表示的数． 【初步理解】 （1）若点A、B表示的数分别为、，求的值； （2）若，且点A表示的数为，求点B表示的数． 【深入探究】 （3）若点A、B、C表示的数分别为、、，且，试探究、、之间满足的关系． 19．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）【新定义】在数轴上，点A表示数，规定“A的倍点”是数轴上表示的数为的点．例如，点A表示，则点A的倍点表示的数是． （1）若点A表示，求点A的倍点所表示的数； （2）若点A的倍点所表示的数是，求点A表示的数； （3）已知点A、B在数轴上表示的数分别为、，点C是点A的倍点，点D是点B的倍点（为有理数）．若线段CD的长与线段AB的长的比恒为定值，求这个定值（用含的式子表示），并说明理由． 20．（26-27七年级上·江苏常州·期中）综合与实践： 【新定义】数轴上，点A表示数，点B表示数，把叫做A、B的“距离”．若数轴上存在点P，使，则称点P是A、B的“连心点”． 【理解应用】 （1）若点A、B表示的数分别为、，下列各点中，是A、B的“连心点”的有______（填序号）：①表示的点；②表示的点；③表示的点；④表示的点； （2）若点A、B表示的数分别为、，求所有“连心点”所表示的数组成的范围． 【拓展提升】 （3）若点A、B表示的数分别为、，动点M从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点N从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒，当点A是点M、N的“连心点”时，求的值． 题型6　有理数的实际应用题 【考法透视】 这类题的关键是把文字中的“正负规定”找准：先确认哪个方向（或哪个标准）记为正，再把各量相加或相减。涉及“分段计价（阶梯收费）”时，要判断所给数据落在哪一段，分段计算，切勿整体套用同一单价。 21．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据以下素材完成任务： 【素材1】为鼓励学生阅读，某班准备购买一种图书，现有两种购书渠道。 渠道一（线上）：图书单价为每本元，单笔订单满元减元，另收取快递费元； 渠道二（线下）：到实体书店购买，图书单价为每本元，无其他优惠，但需先办理一张会员卡，会员卡费用为元（仅收一次）． 【素材2】该班需要购买这种图书共本（）． 【任务1】 （1）用含的代数式表示通过渠道一购书所需的总费用； （2）用含的代数式表示通过渠道二购书所需的总费用． 【任务2】 （3）当时，通过哪种渠道购书更省钱？请计算说明； （4）若两种渠道购书的总费用相等，求的值． 22．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）某出租车司机10月1日上午的营运全是在东西走向的人民路上进行的．规定向东为正，向西为负，他这天上午的行车里程（单位：千米）依次为：，，，，，，，，，． （1）将最后一名乘客送到目的地时，该司机距出发点多远？在出发点的什么方向？ （2）若出租车每千米耗油升，求这天上午共耗油多少升； （3）若出租车的收费标准为：起步价元（行车里程不超过千米均付元），超过千米的部分每千米另收元．求该司机这天上午的营业额（每趟均计费，不考虑空驶）． 23．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）某公司对员工开展“健步走”统计活动，以步为标准，超过的步数记为正，不足的步数记为负．某部门5名员工某天的步数与该标准的差值（单位：步）记录如下：，，，，． （1）这5名员工中，步数最多者与最少者相差多少步？ （2）这5名员工平均每人走了多少步？ （3）规定每超过标准步可获元奖励，不足标准的不予奖励，且超过部分不足步的尾数不计．求这5名员工当天共获得多少元奖励． 24．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）综合与实践： 【问题背景】某市实行阶梯水价：每户每月用水量不超过吨的部分，每吨元；超过吨但不超过吨的部分，每吨元；超过吨的部分，每吨元． 【解决问题】 （1）某户某月用水吨，应交水费多少元？ （2）某户某月用水吨，应交水费多少元？ （3）某户某月共交水费元，求该户这个月的用水量． 题型7　有理数运算的新定义问题 【考法透视】 新运算题的套路是“代入定义式，按原式中的运算顺序计算”。遇到多步复合运算，务必按题目规定的顺序（通常从左到右）逐步代入；求未知字母时，先把新运算化成含字母的普通方程，再解方程；判断两个运算结果是否恒相等，可取特殊值检验并说明理由。 25．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【新定义】规定一种新的运算“”：对于任意有理数、，都有．例如：． （1）计算：的值； （2）计算：（按从左到右的顺序计算）； （3）若，求的值； （4）小明说：“与一定相等．”你认为对吗？请举例说明． 26．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）【新定义】我们规定：对于两个有理数、，用符号表示、中较小的数，用表示、中较大的数．例如，． （1）计算：______，______； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围； （4）求与的和（结果用含的式子表示）． 27．（26-27七年级上·江苏常州·期中）【新定义】对于有理数（），把叫做的“差倒数”．例如，的差倒数为． （1）求的差倒数； （2）若的差倒数是，求的值； （3）若，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，求的值． 28．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）综合与实践： 【探究新知】定义一种新运算“”：对任意有理数、，规定．例如：． 【解决问题】 （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值； （4）小丽说：“与的值一定不相等．”你认为对吗？若对，请说明理由；若不对，请举出反例． 模块二　整式加减与规律探究（题型8—14） 题型8　整式加减的化简求值 【考法透视】 化简求值的标准流程是“先去括号、再合并同类项、最后代入求值”。去括号时括号前是负号，括号内各项都要变号；代入负数或分数时，要先加括号再乘方，避免符号出错。若题目先给出非负性条件（绝对值、平方和为 ），要先把字母的值求出来再代入。 29．（25-26七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 30．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，． 31．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）已知，，求的值，其中． 32．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知，求多项式的值． 题型9　整式加减的应用 【考法透视】 列代数式解应用题，先设字母表示未知量，再用含字母的式子把题中的“和差倍分”关系表达出来。求周长、面积这类几何量时，先写出各边的代数式再套公式；最后代入数值计算。注意结果要合并同类项、写成最简形式。 33．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某长方形操场的长为米，宽比长少米． （1）用含、的代数式表示操场的宽； （2）用含、的代数式表示操场的周长； （3）当，时，求操场的周长． 34．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某文具店销售甲、乙两种笔记本，甲种笔记本每本元，乙种笔记本每本比甲种贵元． （1）用含的代数式表示购买本甲种笔记本和本乙种笔记本的总费用； （2）当时，求（1）中的总费用； （3）该文具店举行促销活动，甲种笔记本打八折，乙种笔记本按原价销售．某班购买甲种笔记本本、乙种笔记本本，求用含、、的代数式表示的总费用． 35．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）有一块长为、宽为的长方形土地，中间挖去一个边长为的正方形用作花坛，其余部分用来种草． （1）用含、的代数式表示种草部分的面积； （2）当，时，求种草部分的面积． 36．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【问题情境】学校计划给一块长方形草坪铺设围栏，草坪的长为米，宽为米． 【解决问题】 （1）用含、的代数式表示草坪的周长； （2）若围栏每米的价格为元，用含、的代数式表示铺设围栏所需的总费用； （3）当，时，求铺设围栏所需的总费用； （4）若草坪的长不变、宽增加米（），请说明草坪的周长增加了多少米． 题型10　整式加减中整体性思维解题 【考法透视】 当题目给出“某个式子的值”而所求式子中含有相同的式子结构时，应把整个式子（如 、、）当作一个整体代入，避免逐一求出各个字母。把所求式变形为“已知整体”的组合，是这类题的核心技巧。 37．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知，，求代数式的值． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，求多项式的值． 39．（26-27七年级上·江苏常州·期中）已知，求的值． 40．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）； （3）． 题型11　整式加减的无关型问题（几何类） 【考法透视】 含参整式“与某字母取值无关”，本质是去括号、合并同类项后，让该字母各次项的系数都为 ，从而求出参数。用于几何问题时，先按面积、周长公式列出整式，再令相关项系数为零。 41．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知多项式，，若的值与字母的取值无关，求、的值． 42．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，，若的值与字母的取值无关，求、的值，并求此时的值（用含的式子表示）． 43．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）已知，． （1）求； （2）若的值与的取值无关，求的值． 44．（26-27七年级上·江苏常州·期中）综合与实践： 【问题背景】某劳动实践基地有一块长方形试验田，长为米，宽为米；旁边有一块正方形试验田，边长为米． 【解决问题】 （1）用含、的代数式表示这两块试验田的面积之和； （2）当，时，求这两块试验田的面积之和； （3）若长方形试验田的长、宽保持不变，而正方形试验田的边长改为米，试说明面积之和增加了多少平方米． 题型12　整式加减的新定义问题 【考法透视】 整式新定义题的关键，是把定义中的“运算”落到“整式的加减”上：先照定义写出式子，再去括号合并。若定义涉及“结果与某字母无关”“结果为常数”，则回到无关型问题的解法——令相应系数为零。 45．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【新定义】对于两个整式、，若的值与字母的取值无关（即是一个常数），则称整式与“恒差为常数”，并把这个常数叫做它们的“差值”． （1）判断整式与是否“恒差为常数”？请说明理由； （2）若整式与“恒差为常数”，求、的值及它们的“差值”； （3）若整式与“恒差为常数”，且差值为，求的值． 46．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【新定义】对于两个整式，规定一种运算“”：．例如，当，时，． （1）若，，求； （2）若，，且的值与的取值无关，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 47．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）【新定义】对于两个整式、，我们把叫做与的“和式”，把叫做与的“差式”． （1）若，，求与； （2）若，，求整式、； （3）若，且，求整式． 48．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）综合与实践： 【新定义】在整式运算中，把两个整式、的“组合式”（为常数）中不含某字母的情形，叫做该组合式对这个字母“稳定”． 【理解应用】 （1）若，，求； （2）若，，且对字母“稳定”，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值（用含的式子表示）． 题型13　数字类规律探究综合 【考法透视】 数字规律题先“看变化”：把相邻两项的差、比、平方关系写出来，找出与序号 的对应；再用 、 回代检验。分式列则分别找分子、分母的规律。求和时优先考虑“裂项相消”“整数平方和”等技巧。 49．（25-26七年级上·江苏南京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； （1）写出第4个等式； （2）用含的等式表示第个等式的规律，并说明理由； （3）利用你发现的规律，求的算术平方根． 50．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）观察下列一组数：，，，，， （1）写出第6个数； （2）用含的式子表示第个数； （3）判断是这组数中的第几个数，并说明理由． 51．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； （1）写出第5个等式； （2）用含的等式表示上述规律； （3）计算：． 52．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【阅读材料】观察下列等式：，，， 【理解应用】 （1）填空：______； （2）计算：； （3）计算：． 题型14　图形类规律探究综合 【考法透视】 图形规律题先数出前几个图形的“量”，转化成数列后再找通项；常见模型有：一排正方形的小棒数为 ，每层递增 个的正方形堆叠总数是 ，正三角形点阵总点数为 。看图时要盯住“每增加一个图形，多出来的部分”是什么。 53．（25-26七年级上·江苏南京·期中）用长度相同的小棒按下图所示的方式拼成一排正方形（相邻两个正方形共用一条边）： （1）第4个图形和第10个图形各用多少根小棒？ （2）用含的式子表示第个图形所用小棒的根数； （3）若某个图形用了根小棒，求这个图形中正方形的个数． 54．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）用同样的小正方形按下图所示的方式堆成金字塔形（自上而下第1层有1个，以后每层比上一层多2个）： （1）第4个图形共有多少个小正方形？ （2）用含的式子表示第个图形中小正方形的总数； （3）第个图形比第个图形多多少个小正方形（）？ 55．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）用大小相同的圆点按下图所示的方式排成三角形（每行圆点的个数自上而下依次为，，，）： （1）第5个图形共有多少个圆点？ （2）用含的式子表示第个图形中圆点的总数； （3）若某个图形共有个圆点，求它是第几个图形． 56．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【阅读材料】把从开始的连续奇数按如下规律排成三角形数表： 　 　　 　　　 【理解应用】 （1）第5行有几个数？第5行最后一个数是多少？ （2）第行有几个数？第行的第一个数与最后一个数各是多少（用含的式子表示）？ （3）求第行所有数的和． 参考答案与详解 题型1　数轴上的动点问题 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（）． （1）用含的代数式分别表示点P、点Q所表示的数； （2）求点P、点Q相遇时的值以及相遇点所表示的数； （3）在运动过程中，是否存在，使得线段PQ的长为个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点P表示，点Q表示；（2），相遇点表示的数是；（3）存在，或． 【分析】用“起点坐标加（减）速度乘时间”写出两动点的坐标，相遇即两坐标相等，求距离即两坐标之差的绝对值，最后把所得方程求解即可． 【详解】解：（1）点P从出发向右每秒个单位，故点P表示的数为；点Q从出发向左每秒个单位，故点Q表示的数为． （2）P、Q相遇时两坐标相等，即，移项得，，解得．此时点P表示的数为．所以相遇时，相遇点表示的数是． （3）由题意得．令，则或，解得或．所以存在这样的，或． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）数轴上A、B、C三点表示的数分别为、、．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为秒． （1）当时，求线段PB的长； （2）若点M为线段PQ的中点，试用含的代数式表示点M所表示的数； （3）当点B恰好是线段PQ的中点时，求的值． 【答案】（1）；（2）点M表示的数是；（3）． 【分析】写出P、Q的坐标后，求距离用坐标之差的绝对值，求中点用两坐标的平均数，把“B为PQ中点”翻译成等式即可求． 【详解】解：（1）时，点P表示的数为，而点B表示的数为，所以． （2）点P表示的数为，点Q表示的数为，所以点M表示的数为 ． （3）B为线段PQ的中点，则点B表示的数是P、Q两坐标的平均数，即，化简得，解得． 3．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为、，且满足．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）用含的代数式表示点P所表示的数；当点P运动到与点B重合时，求的值及此时点P所表示的数； （3）若在点P出发的同时，点Q从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点P、点Q两点间的距离为个单位长度时，求的值． 【答案】（1），；（2）点P表示，，此时点P表示的数是；（3）或． 【分析】由绝对值与平方的非负性求出、；两动点距离为，即坐标之差的绝对值为，列方程求解． 【详解】解：（1）因为，，且它们的和为，所以，，故，． （2）点P表示的数为．当点P与点B重合时，，解得，此时点P表示的数是． （3）点Q表示的数为，则．令，则或，解得或．所以或． 4．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）综合与实践： 【阅读材料】数轴上A、B两点表示的数分别为、，则A、B两点间的距离．例如，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是． 【理解应用】 （1）数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是______； （2）数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，则的值为______． 【拓展提升】 （3）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达点B后立即以原速返回向左运动；同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（），当点P、点Q第二次相遇时，求的值及相遇点所表示的数． 【答案】（1）；（2）或；（3），相遇点表示的数是． 【分析】（3）中P先向右、到达B后折返，需先求出折返时刻，再分段写出P的坐标，第二次相遇发生在P折返之后． 【详解】解：（1）． （2）由题意得，即，故或，解得或． （3）点P从到需秒．在内点P的坐标为，点Q的坐标为，第一次相遇时，解得（此时，符合题意）． 后点P折返向左，其坐标为．第二次相遇时，即，解得．此时点Q表示的数为，点P表示的数为，两者重合．所以第二次相遇时，相遇点表示的数是． 题型2　数轴上的恒值问题 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动．设运动时间为秒（）． （1）用含的代数式分别表示点P、点Q所表示的数； （2）求点P与点Q之间的距离（用含的代数式表示，并化简）； （3）设点O为原点，在运动过程中，是否存在某个时间段，使得点P、点Q到原点O的距离之和为定值？若存在，请求出相应的的取值范围以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点P表示，点Q表示；（2）；（3）存在，当时，点P、点Q到原点O的距离之和为定值． 【分析】两点同向且速度相同，距离恒定；而去绝对值要按动点相对原点的位置分段讨论． 【详解】解：（1）点P表示的数为，点Q表示的数为． （2）． （3）点P、点Q到原点O的距离之和为．因为恒成立，而在时为负、在时非负，故分两段讨论： 当时，原式，为定值； 当时，原式，随的增大而增大，不是定值． 所以存在这样的时间段：当时，点P、点Q到原点O的距离之和为定值． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知数轴上A、B两点表示的数分别为和．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． （1）用含的代数式表示点P、点Q所表示的数； （2）求点P、点Q相遇时的值； （3）在相遇之前（即），是否存在常数，使得的值始终为定值（其中表示点A与点P之间的距离）？若存在，求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点P表示，点Q表示；（2）；（3）存在，，定值为． 【分析】把整理成关于的一次式，令的系数为，即可使整个式子的值与无关． 【详解】解：（1）点P表示的数为，点Q表示的数为． （2）相遇时，移项得，解得． （3）在相遇之前，，，于是 ． 要使该式始终为定值，只需的系数为，即，解得，此时定值为．所以存在，使得时恒等于． 7．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为． （1）求线段AB的中点所表示的数； （2）若将数轴折叠，使点A与点B重合，求折痕处（即折叠点）所表示的数； （3）在（2）的条件下，数轴上点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．试说明在运动过程中，线段PQ的中点始终保持不动，并求出这个中点所表示的数． 【答案】（1）；（2）；（3）中点表示的数为，运动过程中始终保持不动． 【分析】折叠使两点重合时，折痕点就是这两点连线的中点；P、Q相向等速运动，其坐标之和不变，故中点不变． 【详解】解：（1）线段AB的中点表示的数为． （2）数轴折叠后A与B重合，折痕点即为AB的中点，故折叠点表示的数为． （3）点P表示的数为，点Q表示的数为，设线段PQ的中点为M，则 ． 故点M所表示的数与无关，线段PQ的中点始终保持不动，这个中点表示的数是． 8．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）综合与实践： 【发现问题】数轴是研究动点问题的重要工具．数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动． （1）用含的代数式表示点P所表示的数；当点P运动到点B时，求的值； 【探究应用】 （2）点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，与点P同时出发．求点P、点Q相遇时的值； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，设点M为线段PQ的中点，求点M所表示的数（用含的代数式表示）；点M所表示的数是否随着的变化而变化？若变化，请求出点M每秒移动多少个单位长度；若不变，请说明理由． 【答案】（1）点P表示，；（2）；（3）点M表示，随变化，点M每秒移动个单位长度． 【分析】中点坐标为两端点坐标的平均数，若结果中仍含有，说明中点在运动，的系数就是它每秒移动的单位长度． 【详解】解：（1）点P表示的数为．当点P与点B重合时，，解得． （2）点Q表示的数为．相遇时，解得． （3）．因为结果中含有，所以点M表示的数随的变化而变化，且的系数为，故点M每秒移动个单位长度． 题型3　绝对值的最值问题 9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）【阅读材料】对于形如的式子，它的几何意义是数轴上表示数的点到表示数的点的距离，因此当时取最小值；对于形如（）的式子，当时取最小值． 【理解应用】 （1）的最小值是______，此时______； （2）求的最小值及相应的的取值范围． 【拓展提升】 （3）求的最小值； （4）求的最小值及相应的的取值范围． 【答案】（1）；；（2）最小值是，；（3）；（4）最小值是，． 【分析】把每个绝对值看成一段距离，利用“零点分段”确定临界点，再判断在哪个区间上距离之和最小． 【详解】解：（1）由知最小值为，此时，即． （2）与两点间的距离是，当表示的点落在这两点之间时距离之和最小，即当时，取最小值． （3）三个零点、、中，居中者是，故当时取最小值：． （4）四个零点为、、、，居中的两个是与，故当时取最小值．取验证：．所以最小值为，此时． 10．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某检修小组在一条东西走向的公路上巡回检修，公路上依次有A、B、C、D四个检修点（看作数轴上的点），它们表示的数分别为、、、（单位：百米）．小组需要在公路上设置一个临时休息点P（表示的数为），使点P到这四个检修点的距离之和最小． （1）求点P到A、B、C、D四点距离之和的表达式（用含的绝对值表示）； （2）求这个距离之和的最小值，并指出此时的取值范围； （3）若休息点必须设在某个检修点上，问设在哪个检修点最合适？请说明理由． 【答案】（1）；（2）最小值是，；（3）设在B点（）或C点（）上均最合适，距离之和都是． 【分析】四个定点两两成对，当动点落在中间两点之间时各处距离互相抵消，总和不变，从而取得最小值． 【详解】解：（1）点P到四点的距离之和为 ． （2）四个零点、、、中，居中的两个是与，故当时取最小值．此时 ． 即最小值为，此时． （3）四个检修点中，和恰好落在最小值区间内，所以休息点设在B点或C点上，距离之和都能取到最小值，两者一样合适． 11．（26-27七年级上·江苏常州·期中）我们知道，数轴上表示数的点到表示数的点的距离可用表示．请利用这一结论解决以下问题： （1）当时，的值为______； （2）当取何值时，的值最小？最小值是多少？ （3）若为整数，求的最小值； （4）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）或；（2）当时最小，最小值是；（3）；（4），当时等号成立． 【分析】先找出各绝对值对应的零点，再看零点间的距离，判断使距离之和最小的落在哪个区间． 【详解】解：（1）表示到的距离为，故或，解得或． （2）与两点间的距离是，当时取最小值． （3）零点为、、，居中者是，故时取最小值：． （4）表示到与到的距离之和，而与两点间的距离是，由“两点之间线段最短”知该距离之和不小于，即；当时，动点落在两零点之间，距离之和恰好等于，此时取等号． 12．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【提出问题】某快递中转站位于一条笔直公路上，公路上依次设有甲、乙、丙、丁四个揽收点．为便于装卸，中转站应设在何处，才能使四个揽收点到中转站的距离之和最小？ 【建立模型】把公路看作数轴，设甲、乙、丙、丁四个揽收点表示的数分别为、、、，中转站表示的数为，则距离之和为． 【解决问题】 （1）若，，，，求的最小值及此时的取值范围； （2）若中转站恰好设在线段乙丙上（即），请用含、、、的式子表示，并判断是否为定值，说明理由； （3）若揽收点共个（为正整数），它们表示的数从小到大依次为，，，，试指出中转站设在哪一个揽收点处时最小（直接写出结论）． 【答案】（1）最小值是，；（2），是定值；（3）中转站设在处时最小． 【分析】把看成数轴上一点到若干个定点的距离之和；关键在于分段去掉绝对值后能否抵消． 【详解】解：（1）四个零点、、、中，居中的两个是与，故当时最小．此时 ． 所以最小值为，此时． （2）当时，有，，，，去掉绝对值： ． 结果与无关，故是定值，且． （3）当点数为奇数时，使距离之和最小的点应取正中间的那个点，即中转站设在处时最小． 题型4　绝对值的几何意义 13．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【阅读材料】数轴上表示数、的两点之间的距离为，所以表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 【理解应用】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离可表示为______； （2）若，则______； （3）若，求的值． 【答案】（1）；；（2）或；（3）或． 【分析】（3）中两零点间的距离为，小于，故应落在两零点外侧，分两段讨论． 【详解】解：（1）；表示与的距离为． （2）表示到的距离为，故或，解得或． （3）与两点间的距离为，而，说明必在两零点外侧．分两种情况： 若，则，，解得； 若，则，，解得． 所以或． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【阅读材料】数轴上两点A、B表示的数分别为、，则；式子表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 【初步理解】 （1）计算：______；______； （2）数轴上表示的点到表示的点的距离是，则______； （3）求的最小值． 【拓展延伸】 （4）定义：若数轴上点P到点M的距离是点P到点N的距离的倍，则称点P是点M、N的“倍距点”．已知数轴上点C表示的数是，点D表示的数是，求点C、D的“倍距点”所表示的数． 【答案】（1）；；（2）或；（3）；（4）或． 【分析】（4）把“点到两点的距离成倍关系”写成含绝对值的方程，再按点所在位置分段求解． 【详解】解：（1），． （2），则或，解得或． （3）与两点间的距离为，故当时，取最小值． （4）设点P表示的数为，由定义得，即． 当时，，即，解得，与矛盾，舍去； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得． 所以点C、D的“倍距点”所表示的数为或． 15．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）【阅读材料】数轴是数与形结合的桥梁．数轴上表示数的点与表示数的点的距离为． 【探究新知】 （1）的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； （2）若，则的取值范围是______； （3）若，求的值． 【拓展应用】 （4）数轴上有A、B、C三点，分别表示数、、．点P表示的数为，当取得最小值时，求的值及最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4），最小值是． 【分析】（2）两零点间距离恰为，解集是两零点之间的整段；（3）所给常数大于两零点间距离，解落在两端；（4）三个零点取中间者。 【详解】解：（1）表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离． （2）表示到与到的距离之和为．因为，只有当落在与之间时距离之和才等于，故． （3）与两点间的距离为，而，故在两零点外侧．若，则，，解得；若，则，，解得．所以或． （4）三个零点为、、，居中者是，故时取最小值：． 16．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）综合与实践： 【定义】在数轴上，数轴上表示数的点到表示数、（）的两点距离之和记为． 【初步探究】 （1）若，，求的最小值及此时的取值范围； （2）若，，且，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上依次有点M、N、K，分别表示数、、，且．若的最小值为，且，求的值，并说明理由． 【答案】（1）最小值是，；（2）或；（3）． 【分析】三点距离和的最小值出现在中间零点处，此时最外面的两段距离相加恰等于两端点的距离。 【详解】解：（1）与两点间的距离为，故当时取最小值． （2），说明在两零点外侧．若，则，，解得；若，则，，解得．所以或． （3）三个零点为、、，居中者是，所以当时取最小值，此时代入得．由最小值为，得． 题型5　数轴、绝对值中的新定义问题 17．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【新定义】在数轴上，点A、B表示的数分别为、（）．若数轴上一点P满足，则称点P是点A关于点B的“外延点”． 【初步理解】 （1）若点A表示，点B表示，求点A关于点B的“外延点”所表示的数； （2）若点A表示，点A关于点B的“外延点”表示的数是，求点B表示的数． 【深入探究】 （3）点A、B、C在数轴上表示的数分别为、、．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒（）．当点B是点C关于点P的“外延点”时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或． 【分析】“点P是点A关于点B的外延点”就是，点P可在点A的左右两侧各取一个。 【详解】解：（1）．由得点P表示的数为或，故为或． （2），由得，故点B表示的数为或，即或． （3）点P表示的数为，“点B是点C关于点P的外延点”即．由、表示、得，于是，即，解得或．所以或． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【新定义】对数轴上的点A、B，记为线段AB的中点所表示的数． 【初步理解】 （1）若点A、B表示的数分别为、，求的值； （2）若，且点A表示的数为，求点B表示的数． 【深入探究】 （3）若点A、B、C表示的数分别为、、，且，试探究、、之间满足的关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】就是、两个数的平均数；两次运算即先求平均数再与第三个数求平均数。 【详解】解：（1）． （2）由得，故，即点B表示的数为． （3），． 由两者相等得，两边消去并整理得，故，即点A与点C表示的数相同． 19．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）【新定义】在数轴上，点A表示数，规定“A的倍点”是数轴上表示的数为的点．例如，点A表示，则点A的倍点表示的数是． （1）若点A表示，求点A的倍点所表示的数； （2）若点A的倍点所表示的数是，求点A表示的数； （3）已知点A、B在数轴上表示的数分别为、，点C是点A的倍点，点D是点B的倍点（为有理数）．若线段CD的长与线段AB的长的比恒为定值，求这个定值（用含的式子表示），并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）线段CD与线段AB的长度之比恒为． 【分析】“倍点”就是把原坐标乘以；线段长短的比较用坐标之差的绝对值。 【详解】解：（1）点A表示，其倍点表示的数为． （2）设点A表示的数为，则，解得． （3）点C表示的数为，点D表示的数为，故．而，所以．因此线段CD的长与线段AB的长的比恒为，与具体位置无关． 20．（26-27七年级上·江苏常州·期中）综合与实践： 【新定义】在数轴上，点A、B表示的数分别为、．若数轴上一点P使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的倍（即），则称点P为点A、B的“三倍点”． 【理解应用】 （1）若点A表示，点B表示，求点A、B的“三倍点”所表示的数； （2）若点A表示，点A、B的“三倍点”表示的数是，求点B表示的数． 【拓展提升】 （3）点A、B在数轴上表示的数分别为、．动点P从点A出发，以每秒个单位长度向右运动，动点Q从点B出发，以每秒个单位长度向右运动，两点同时出发，设运动时间为秒．当点P是点A、Q的“三倍点”时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）． 【分析】把“”写成含绝对值的方程，按点P相对A、B的位置分类求解。 【详解】解：（1）设点P表示的数为，由得． 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得，不在范围内，舍去． 所以点A、B的“三倍点”表示的数为或． （2），由得，故点B表示的数为或，即或． （3）点P表示的数为，点Q表示的数为，则，．由“点P是点A、Q的三倍点”得，即，解得． 题型6　有理数的实际应用题 21．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据以下素材完成任务： 【素材1】为鼓励学生阅读，某班准备购买一种图书，现有两种购书渠道。 渠道一（线上）：图书单价为每本元，单笔订单满元减元，另收取快递费元； 渠道二（线下）：到实体书店购买，图书单价为每本元，无其他优惠，但需先办理一张会员卡，会员卡费用为元（仅收一次）． 【素材2】该班需要购买这种图书共本（）． 【任务1】 （1）用含的代数式表示通过渠道一购书所需的总费用； （2）用含的代数式表示通过渠道二购书所需的总费用． 【任务2】 （3）当时，通过哪种渠道购书更省钱？请计算说明； （4）若两种渠道购书的总费用相等，求的值． 【答案】（1）元；（2）元；（3）渠道二更省钱；（4）． 【分析】先按各行优惠规则写出总费用表达式，再作比较或令两式相等求。 【详解】解：（1）因，书款，可享满减，故渠道一总费用为元． （2）渠道二总费用为元． （3）当时，渠道一需（元），渠道二需（元）．因为，所以渠道二更省钱． （4）由得，解得．故当时两种渠道费用相等． 22．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）某出租车司机10月1日上午的营运全是在东西走向的人民路上进行的．规定向东为正，向西为负，他这天上午的行车里程（单位：千米）依次为：，，，，，，，，，． （1）将最后一名乘客送到目的地时，该司机距出发点多远？在出发点的什么方向？ （2）若出租车每千米耗油升，求这天上午共耗油多少升； （3）若出租车的收费标准为：起步价元（行车里程不超过千米均付元），超过千米的部分每千米另收元．求该司机这天上午的营业额（每趟均计费，不考虑空驶）． 【答案】（1）距出发点千米，在出发点以东；（2）升；（3）元． 【分析】（1）求所有里程的代数和；（2）耗油按总路程（绝对值和）计算；（3）逐趟计费后求和。 【详解】解：（1），故司机距出发点千米，在出发点以东． （2）总路程为（千米），故耗油（升）． （3）各趟收费依次为：千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）；千米收（元）． 合计（元）．故这天上午的营业额为元． 23．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）某公司对员工开展“健步走”统计活动，以步为标准，超过的步数记为正，不足的步数记为负．某部门5名员工某天的步数与该标准的差值（单位：步）记录如下：，，，，． （1）这5名员工中，步数最多者与最少者相差多少步？ （2）这5名员工平均每人走了多少步？ （3）规定每超过标准步可获元奖励，不足标准的不予奖励，且超过部分不足步的尾数不计．求这5名员工当天共获得多少元奖励． 【答案】（1）步；（2）步；（3）元． 【分析】差值最大者步数最多，差值最小者步数最少；平均数等于标准加上差值的平均数；奖励只计超过者的整千部分。 【详解】解：（1）最多为，最少为，相差（步）． （2）差值的和为，平均差值为，故平均步数为（步）． （3）超过标准的员工中，步含个整千，获元；步含个整千，获元；其余员工未超标准或超过不足步，不予奖励．合计（元）． 24．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）综合与实践： 【问题背景】某市实行阶梯水价：每户每月用水量不超过吨的部分，每吨元；超过吨但不超过吨的部分，每吨元；超过吨的部分，每吨元． 【解决问题】 （1）某户某月用水吨，应交水费多少元？ （2）某户某月用水吨，应交水费多少元？ （3）某户某月共交水费元，求该户这个月的用水量． 【答案】（1）元；（2）元；（3）吨． 【分析】分段计价要判断用水量落在哪一段：先算各段“封顶”费用，再比较实际费用确定所在区间。 【详解】解：（1），水费为（元）． （2）用水吨中，前吨每吨元，余下吨每吨元，水费为（元）． （3）用水吨时水费为（元）．因为，故该户用水超过吨．设用水吨（），则，解得，．故该户这个月用水吨． 题型7　有理数运算的新定义问题 25．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【新定义】规定一种新的运算“”：对于任意有理数、，都有．例如：． （1）计算：的值； （2）计算：（按从左到右的顺序计算）； （3）若，求的值； （4）小明说：“与一定相等．”你认为对吗？请举例说明． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）不对，举例见解析． 【分析】把当作公式逐一代入；多步运算从左到右依次进行。 【详解】解：（1）． （2）先算，再算．所以． （3），令，解得． （4）不对．因为，，两者相等需要，即，并非对任意有理数都成立．例如取，，则，而，两者不相等． 26．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）【新定义】我们规定：对于两个有理数、，用符号表示、中较小的数，用表示、中较大的数．例如，． （1）计算：______，______； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围； （4）求与的和（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）． 【分析】取较小值，取较大值；把结果还原成关于字母的不等式即可确定取值范围。 【详解】解：（1），故，． （2）表示是与中较小的数，故不小于，即． （3）表示是与中较大的数，故不小于，即． （4）因为，所以，，两者之和为． 27．（26-27七年级上·江苏常州·期中）【新定义】对于有理数（），把叫做的“差倒数”．例如，的差倒数为． （1）求的差倒数； （2）若的差倒数是，求的值； （3）若，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（3）依次算出前几项，发现数列以为周期循环，再用除以的余数定位。 【详解】解：（1）的差倒数为． （2）由得，即，解得． （3），，，．可见从起每项循环一次，即周期为．因为，所以． 28．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）综合与实践： 【探究新知】定义一种新运算“”：对任意有理数、，规定．例如：． 【解决问题】 （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值； （4）小丽说：“与的值一定不相等．”你认为对吗？若对，请说明理由；若不对，请举出反例． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）不对，举例见解析． 【分析】把当作公式代入；判断“一定不相等”只需找到一组使两者相等的数据即可否定。 【详解】解：（1）． （2）先算，再算．所以． （3），令，解得． （4）不对．当时，，，两者相等．例如取，则，与相等，故“一定不相等”的说法不成立． 题型8　整式加减的化简求值 29．（25-26七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简得，代入求值得． 【分析】先去括号（注意括号前是负号时各项变号），再合并同类项，最后代入数值。 【详解】解：原式． 当，时，原式． 30．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简得，代入求值得． 【分析】先去括号、合并同类项；代入负数时用括号括起来，防止符号遗漏。 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 31．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）已知，，求的值，其中． 【答案】，代入求值得． 【分析】先代入、的表达式，去括号合并后再代入的值。 【详解】解： ． 当时，原式． 32．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知，求多项式的值． 【答案】多项式的值为． 【分析】先由非负性求出、，再化简多项式并代入求值。 【详解】解：因为，，且它们的和为，所以，，解得，． 多项式． 当，时，原式． 题型9　整式加减的应用 33．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某长方形操场的长为米，宽比长少米． （1）用含、的代数式表示操场的宽； （2）用含、的代数式表示操场的周长； （3）当，时，求操场的周长． 【答案】（1）米；（2）米；（3）米． 【分析】宽 = 长 ；周长 。 【详解】解：（1）宽为（米）． （2）周长为（米）． （3）当，时，周长（米）． 34．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某文具店销售甲、乙两种笔记本，甲种笔记本每本元，乙种笔记本每本比甲种贵元． （1）用含的代数式表示购买本甲种笔记本和本乙种笔记本的总费用； （2）当时，求（1）中的总费用； （3）该文具店举行促销活动，甲种笔记本打八折，乙种笔记本按原价销售．某班购买甲种笔记本本、乙种笔记本本，求用含、、的代数式表示的总费用． 【答案】（1）元；（2）元；（3）元． 【分析】乙种每本为元；打折时按折后单价乘数量。 【详解】解：（1）乙种笔记本每本元，总费用为（元）． （2）当时，（元）． （3）甲种打八折后每本为元，故总费用为（元）． 35．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）有一块长为、宽为的长方形土地，中间挖去一个边长为的正方形用作花坛，其余部分用来种草． （1）用含、的代数式表示种草部分的面积； （2）当，时，求种草部分的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】种草面积 = 长方形面积 正方形面积，注意正方形边长 平方后为 。 【详解】解：（1）长方形面积为， 正方形面积为， 故种草面积为． （2）当，时，种草面积． 36．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【问题情境】学校计划给一块长方形草坪铺设围栏，草坪的长为米，宽为米． 【解决问题】 （1）用含、的代数式表示草坪的周长； （2）若围栏每米的价格为元，用含、的代数式表示铺设围栏所需的总费用； （3）当，时，求铺设围栏所需的总费用； （4）若草坪的长不变、宽增加米（），请说明草坪的周长增加了多少米． 【答案】（1）米；（2）元；（3）元；（4）周长增加米． 【分析】周长先由长宽算出，总费用 = 单价 周长；宽增加时周长增加 。 【详解】解：（1）周长为（米）． （2）总费用为（元）． （3）当，时，总费用（元）． （4）宽增加米后，周长变为（米），比原来增加了米． 题型10　整式加减中整体性思维解题 37．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】． 【分析】所求式中恰好含有与，直接整体代入。 【详解】解：． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，求多项式的值． 【答案】． 【分析】把作为整体，。 【详解】解：． 39．（26-27七年级上·江苏常州·期中）已知，求的值． 【答案】． 【分析】注意，把整体代入。 【详解】解：因为，所以 ． 40．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】把两个已知条件分别记为甲、乙，再把所求式表示成甲、乙的加减组合。 【详解】解：记为甲式，为乙式． （1）． （2）． （3）． 题型11　整式加减的无关型问题（几何类） 41．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知多项式，，若的值与字母的取值无关，求、的值． 【答案】，． 【分析】先算出，合并同类项后令含的各项系数都为。 【详解】解： ． 因为的值与的取值无关，所以且，解得，． 42．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，，若的值与字母的取值无关，求、的值，并求此时的值（用含的式子表示）． 【答案】，；此时． 【分析】同样先化简，再令项与项系数为零。 【详解】解： ． 由与无关得且，解得，． 此时． 43．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）已知，． （1）求； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）直接代入去括号合并；（2）化简结果中的系数为，令其为即可。 【详解】解：（1） ． （2），要使它的值与的取值无关，需的系数，故． 44．（26-27七年级上·江苏常州·期中）综合与实践： 【问题背景】某劳动实践基地有一块长方形试验田，长为米，宽为米；旁边有一块正方形试验田，边长为米． 【解决问题】 （1）用含、的代数式表示这两块试验田的面积之和； （2）当，时，求这两块试验田的面积之和； （3）若长方形试验田的长、宽保持不变，而正方形试验田的边长改为米，试说明面积之和增加了多少平方米． 【答案】（1）平方米；（2）平方米；（3）增加平方米． 【分析】长方形面积用平方差公式，正方形面积用完全平方公式，再求和、作差。 【详解】解：（1）长方形面积为，正方形面积为． 面积之和为（平方米）． （2）当，时，面积之和（平方米）． （3）边长改为后，正方形面积为，比原来增加了 （平方米）． 题型12　整式加减的新定义问题 45．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【新定义】对于两个整式、，若的值与字母的取值无关（即是一个常数），则称整式与“恒差为常数”，并把这个常数叫做它们的“差值”． （1）判断整式与是否“恒差为常数”？请说明理由； （2）若整式与“恒差为常数”，求、的值及它们的“差值”； （3）若整式与“恒差为常数”，且差值为，求的值． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2），，差值为；（3）． 【分析】“恒差为常数”即化简后不含，令各含项系数为零。 【详解】解：（1）．因为结果中含有的一次项，的值随变化，所以与不是“恒差为常数”． （2）． 要使其为常数，需且，解得，，此时差值为． （3）． 要使差值为，需，，，解得，，． 所以． 46．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【新定义】对于两个整式，规定一种运算“”：．例如，当，时，． （1）若，，求； （2）若，，且的值与的取值无关，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】照定义写出并化简；（2）中令的系数为零求。 【详解】解：（1）． （2）． 要使它与的取值无关，需，故． （3）当时，． 47．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）【新定义】对于两个整式、，我们把叫做与的“和式”，把叫做与的“差式”． （1）若，，求与； （2）若，，求整式、； （3）若，且，求整式． 【答案】（1），；（2），；（3）． 【分析】“和式”与“差式”是整式的加减，可理解为“’和式’加’差式’得，’和式’减’差式’得”。 【详解】解：（1）； ． （2）因为， ． （3）由得． 48．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）综合与实践： 【新定义】在整式运算中，把两个整式、的“组合式”（为常数）中不含某字母的情形，叫做该组合式对这个字母“稳定”． 【理解应用】 （1）若，，求； （2）若，，且对字母“稳定”，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】“稳定”即化简后不含字母，令的系数为零。 【详解】解：（1）． （2）． 要使其对“稳定”，需，解得． （3）当时，． 题型13　数字类规律探究综合 49．（25-26七年级上·江苏南京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； （1）写出第4个等式； （2）用含的等式表示第个等式的规律，并说明理由； （3）利用你发现的规律，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】观察每个等式中“乘号两边的数”与序号的关系：第一个因数就是，第二个因数是，右边是的平方。 【详解】解：（1）第4个等式为． （2）第个等式为．理由： ，等式成立． （3）由（2）知，所以它的算术平方根为． 50．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）观察下列一组数：，，，，， （1）写出第6个数； （2）用含的式子表示第个数； （3）判断是这组数中的第几个数，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是第个数． 【分析】分子是序号；分母为，，，，，，恰为。 【详解】解：（1）分母规律为，第6个数的分母为，故第6个数是． （2）第个数为． （3）令，得，此时，等式成立．所以是这组数中的第个数． 51．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； （1）写出第5个等式； （2）用含的等式表示上述规律； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】第个等式是前个连续奇数之和，其结果恰为。 【详解】解：（1）第1个等式含2个奇数、第2个含3个奇数，依此类推，第5个等式含7个奇数，即． （2）第个等式为． （3）是前个连续奇数之和，由（2）的规律知其值为． 52．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【阅读材料】观察下列等式：，，， 【理解应用】 （1）填空：______； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】利用“裂项相消”：相邻两式中的中间项一正一负恰好抵消，只剩首尾。 【详解】解：（1）． （2）原式． （3）因为，，，所以 原式． 题型14　图形类规律探究综合 53．（25-26七年级上·江苏南京·期中）用长度相同的小棒按下图所示的方式拼成一排正方形（相邻两个正方形共用一条边）： （1）第4个图形和第10个图形各用多少根小棒？ （2）用含的式子表示第个图形所用小棒的根数； （3）若某个图形用了根小棒，求这个图形中正方形的个数． 【答案】（1）根，根；（2）根；（3）个． 【分析】第1个用4根，此后每增加一个正方形只需再加3根（共用一条边新添三条边）。 【详解】解：（1）小棒根数依次为，，，，第4个为（根），第10个为（根）． （2）第个图形所用小棒根数为（根）． （3）令，解得，．所以这个图形中共有个正方形． 54．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）用同样的小正方形按下图所示的方式堆成金字塔形（自上而下第1层有1个，以后每层比上一层多2个）： （1）第4个图形共有多少个小正方形？ （2）用含的式子表示第个图形中小正方形的总数； （3）第个图形比第个图形多多少个小正方形（）？ 【答案】（1）个；（2）个；（3）个． 【分析】第层有个正方形，各层数相加即总数；相邻两个图形的差就是最后一层的个数。 【详解】解：（1）第4个图形共有（个）小正方形． （2）第个图形共有（个）小正方形． （3）第个图形有个，第个图形有个，两者相差 （个）． 55．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）用大小相同的圆点按下图所示的方式排成三角形（每行圆点的个数自上而下依次为，，，）： （1）第5个图形共有多少个圆点？ （2）用含的式子表示第个图形中圆点的总数； （3）若某个图形共有个圆点，求它是第几个图形． 【答案】（1）个；（2）个；（3）第个图形． 【分析】第个图形共行，各行圆点数依次为，，，，求和即可。 【详解】解：（1）第5个图形共有（个）圆点． （2）第个图形共有（个）圆点． （3）令，得．因为，所以，即它是第个图形． 56．（26-27七年级上·江苏南通·期中）综合与实践： 【阅读材料】把从开始的连续奇数按如下规律排成三角形数表： 　 　　 　　　 【理解应用】 （1）第5行有几个数？第5行最后一个数是多少？ （2）第行有几个数？第行的第一个数与最后一个数各是多少（用含的式子表示）？ （3）求第行所有数的和． 【答案】（1）个数；；（2）个数；第一个数，最后一个数；（3）． 【分析】前行共个数，第个奇数为；由此定位每一行的首、末两数，再求和。 【详解】解：（1）第5行有个数．前5行共有个数，故第5行最后一个数是第15个奇数，即． （2）第行有个数．前行共有个数，故第行的第一个数是第个奇数，即； 前行共有个数，故第行的最后一个数是第个奇数，即． （3）第行是首项为、末项为、共个数的等差数列，其和为 ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $