第十六章 整式的乘法（单元分层测试·能力提升卷）数学新教材人教版八年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十六章整式的乘法·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 0 A D D ⊙ C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.9-a21-a2+9 12.16 13.-3 14.b<c<a 15.5 16.-3或2或1 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分，第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】1)解：原式-27rr(x) =27x348-5 =27x6 3分 (2解：原式-少-(-4g+4y)+6r(-2x10ry+(-2r) =4x2-y2-x2+4y-4y2-3x2+5y2 =40 .6分 18 【详解】解： [(x-2y+(x-2yx+2y-2x(2x-y]+2x 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x2-4.xy+4y2+x2-4y2-4x2+2xy)）÷2x =（-2x2-2xy)÷2x =-x-y,3分 当x=-2026,y=-1时， =2026-（-1)=2026+1=2027 原式 6分 19. 【13+2j+好3+6-2a 72 -2a+b+3(a+b =4+4ab+6)+3(g2+2ab+) =6a2+6ab+3b2+3a2+6ab+3b 2 =9a2+12ab+9bm 2 /9a+12ab+9bm2 答：用于种花的面积为 2 3分 (2)解： (4a+2b4a-2b)+(4a+2b-2a2-9m2+12ab+9r】 2 =16a2-4h2+4a2+8ab+462-902-12ab-9b2 2 -Ilo-dab-28)m 当a=462时，1d2-4a-=14-4x4x2-}2=12s(@）】。 126×30=3780(元). 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：铺设草坪的总费用为3780元.6分 20. 【详解】(1)解：3*2-31=33-3*=2-31,32-3H=162, .23*1=162， 3*4=81=34, .x+1=4, 解得：x=3, .x的值为3.2分 (2)解：：m=2+l,n=4+2, ∴.2*=m-1, :n=(22）+2* =(2)2+2 =(m-1)2+m-1 =m2-2m+1+m-1 =m2-m .n=m2-m.4分 (3)解：.P=5”9=75 3535=(5×7)35=535x735=(5)×(7)7=pq .6分 21. 【详解】(1)解：x2+4x+5 =x2+4x+4+1 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x+2)2+1 (x+2}≥0 :(x+2}+1≥1 .x2+4x+5最小值为1.4分 (2)解：P有最大值， p=-(x2-2x)+5=-(x-102+6 (x-1≥0 .-(x-1}2s0 -(x-1+6s6 .P有最大值，为6.8分 22. 【详解】1)解，(a+b=a+5ab+10d+10a6+5a'+分.…2分 (2)解：(a+b=d+5ab+10a6+10a公+5ab+h5 :当b=-1时：(a+b=(a-l=0-5a+10d-10d+5a-l:5分 (3)解：3-6×3+15×34-20×32+15×32-6×3+1 =36+6×3°×(-1)+15×3×(-1)2+20x33×(-13+15×32×(-)°+6x3×(-°+(-1)° 符合(a+°展开式（系数为，6,15,20,15,6，l), ,36-6×3+15×34-20×33+15×32-6×3+1 =[3+(-] 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(3-1) =26 =64.8分 23. 【详解】(1)解：如图， -a- b b 图1 图2 在图1中， S阴影1=ad2-b 在图2中， S影=(a+b)(a-b) 图1中的阴影部分拼成图2的长方形， :8腿=和 .(a+bY(a-6)=a-b2 2分 (2)解：①m2=5+4n2 :m2-(2m2=5 :(m+2m0m-2m)=5 .m-2n=1, ∴.m+2n=5, .m+2n的值为5..4分 ②20272-2026x2028 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =20272-(2027-1)×(2027+1) =20272-(20272-1) =16分 .-+-+） 1×3×2×4×.×2026×2028 X...X 2233 20272027 12028 =一X 22027 1014 20278分 24. 【详解】(1)解：：A=x-2,B=x+3,C=x+8, B-AxC =(x+3)2-(x-2)(x+8) =x2+6x+9-(x2-2x+8x-16) =x2+6x+9-x2+2x-8x+16 =25」 多项式A=x-2,B=x+3,C=x+8是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25；4分 (2)解：：A=x+a,B=x+b,C=x+c, .B-AxC =(x+b)'-(x+a(x+c) =x2+2bx+b2-(x2+ax+cx+ac) =x2+2bx+b2-x2-ax-cx-ac =(2b-a-c)x+b2-ac 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :多项式A=x+a,B=x+b,C=x+C(a,b,c是常数)是一组平衡多项式， .2b-a-c=0,即2b=a+c:8分 (3)解：A=3x-1,B=3x+1,C=cx+1, B-AxC =(3x+1)2-(3x-1)(x+t) =9x2+6x+1-(3kx2-ac+3x-1 =9x2+6x+1-3a2+-3r+t =(9-3k)x2+(6+k-31)x+t+1 多项式A=3x-1,B=3x+1,C=c+1(k,t是常数)是一组平衡多项式， .9-3k=0,6+k-31=0, k=3,1=3, .1+1=4, ∴.该组平衡多项式的平衡值为4.12分 25. 【详解】(1)解：由题意得，可得等式为(a+b=d+2ah+B 由a2+b2=40,ab=12, 得（a+b}°=40+2x12=64 故a+b=8,a+b=-8(不符合要求，舍去)， 即该大正方形的边长为8；…4分 (2)解：(2-xx-5)=1 可设2-x=a,x-5=b,则ab=1,a+b=-3. (a+b)}2=a2+2ab+b2 .a2+b2=(a+b)-2ab 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d+6=(-3}-2x1=9-2=7:…8分 (3)解：设2026-x=a,2027-x=b, 则0+2=17，a-b=(2026-x-(2027-x)=2026-x-2027+x=-1 :(a-b)2=a2-2ab+b2 ∴.2ab=(a2+b2）-(a-b)2 b-@+）a-b_17-1_16-8 2 22 ∴.(2026-x)(2027-x)=8 (4)解：设AC=b,BC=a, 则a+b=12, :9+8=15玩 化b2er 2 2 b2 a2 .4+4=15, 22 .b2+a2=120 (a+b)2=a2+2ab+b2 .2ab=(a+b}2-(a2+b2） a+fg+】_2,0=12 2 2 h=6, 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABC的面积为6.12分 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十六章 整式的乘法·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．运用平方差公式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 5．若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 6．已知，，则的值为（     ） A．非负数 B．负数 C．非正数 D．正数 7．已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 8．新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（     ） A． B． C． D． 10．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算的结果是_________． 12．已知，则的值为________． 13．若展开后不含的二次项，则常数的值为________． 14．已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 15．发现：，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是_________． 16．如果等式，则等式成立的x的值为_____ ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中，． 19．如图，是某花园的平面示意图，其中四边形是正方形，四边形是长为，宽为的长方形，且，以长为半径作四分之一圆，以长为直径作半圆，园艺师计划在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪．（取3） (1)求用于种花的面积； (2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当，时，求铺设草坪的总费用． 20．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 21．【阅读材料】我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， 当时，有最小值－4． 【解答问题】 (1)求代数式的最小值； (2)若，有最大值还是最小值？求出这个最值； 22．课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 23．学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 24．定义：多项式、、，如果满足（为常数），则称多项式、、为一组平衡多项式，其中是该组平衡多项式的平衡值． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，9是该组的平衡值． (1)判断多项式，，是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平衡值；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，求，，之间的数量关系； (3)多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项式的平衡值． 25．理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________； (2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，，则________； (3)仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值； (4)【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十六章整式的乘法·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列运算结果为的是（) A.x2+x B.x2.x c.()' D.x5÷x3 2.下列运算正确的是() A.(x+2yx-2y=x2-2y2 B.x+2=x2+y2 c.（-'(←x)=-x0 D.(3ar-9ar)÷(-3ar)=3x2-d 3.运用平方差公式计算102×98正确的是() A.(100+2)×(100-2) B.(100+2)x98 c,102×100-2) D.(101+)x(101-3) 4.ug---0则6的预爷于() A.2 B.2 C.Z 5.若r-(2a+6)x+4 关于x的完全平方式，则“的值是() A.-1 B.-5 C.-1或2 D -1或-5 6.已知M=2x2+6x-2,N=x2-12,则M-W的值为() A.非负数 B.负数 C.非正数 D.正数 7.已知=3,2=6，x=12,则a,b,C满足的关系式是(). A.a+b=c B.2a+b=c C.a+c=2b D.a+b+c=6 116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b =ad-bc 8.新定义：对于任意的代数式a,b,c,d,我们规定一种新运算：cd ，根据这一规定， x+5x-2 计算x-3x+5的结果是() A.13x-9 B.15x+19 C.15x-19 D.13x+9 9.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形 (如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式() b b b 图甲 图乙 A.(a+b)}'=a2+2ab+b2 B.(a-b)'=a2-2ab+b2 c.（a+b(a-b)=a2-b D.(a+b)(a-26)=a2-ab-2b2 10.定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”，将它们 按熙从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：4=3-1,4=52-324=72-5… 有如下结论： @26 @+a++a 是8的倍数； ③，1为正整数，且m>m,若+7(m-7)+-2mm是“和诺数”，则m-n=7, 其中正确结论的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 216 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.计算3-a+3) 的结果是 12.己知2x+3y-4=0,则48”的值为 13.若（-k川？-3x+2列辰开后不含x的二次项，则常数k的值为 14.已知a=34,b=25,c=4,则a,b,c的大小关系为 15.发现： 4=4,42=16,43=64,44=256,43=10244°=40964=1638448=65536 依据上述规律， 通过计算判断3×4+(4+4+小-一(4+的结果的个位数字是 16如果等式2x-”=1,则等式成立的x的值为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： )-3x°(x÷(-x月 22x+y2x-y-(c-2y'+(6r-10ry）(-2x2） 18.先化简，再求值： [(x-2'+(x-2y(x+2y列-2x(2x-川÷2x,其中x=-2026,y=1. 19,如图，是某花园的平面示意图，其中四边形ABCD是正方形，四边形BFGC是长为4如+2b)m 宽为 (4a-2b)m 长方形，且ED=2m,以CD长为半径作四分之一圆，以FG长为直径作半圆，园艺师计划 在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪.（π取3） B 4a+2b 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求用于种花的面积： (2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当a=4,b=2时，求铺设草坪的总费用. 20.在幂的运算中规定：若a=a'(a>0且a≠1，x、y是正整数)，则x=y,利用上面规定解答下列问 题； (1)若3+2-31=162，求x的值； (2)若m=2”+1,n=4+2,用含m的代数式表示n: 3)2知P=579=7 用含D,9的式子表示355= 21.【阅读材料】我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值. x2+6x+5=x2+6x+9-4=(x+3)2-4, (x+3)220,.(x+3-4≥-4 当x=-3时，x2+6x+5有最小值-4. 【解答问题】 (1)求代数式x2+4x+5的最小值： ②若P=-(+2x+5,P有最大值还是最小值？求出这个最值： 22.课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）·此图揭 示了+b”(”为非负整数)展开式的项数及各项系数的相关提律 ,(a+b)(n为非负整数)辰开式的项 数及各项系数的有关规律如下： 杨辉三角 (a+b)°-1： (a+b)'=a+b: (a+b)2=a2+2ab+b2: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; 416 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据规律写出 a+b)3 的展开式： (2)根据规律写出(a-) 的展开式： (3)利用上述规律计算：3-6×3°+15×34-20×33+15×32-6×3+1， 23.学习了平方差公式后，就下面内容展开探究. -0- b 图1 图2 (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如 图2)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用 含a,b的等式表示). (2)①已知m2=5+4n2,m-2n=1,则m+2n的值为 ②计算：2027-2026×2028（使用乘法公式简便计算）. 8限据山的的遮能.直接5〔---》-s)(应)果 24.定义：多项式A、B、C,如果满足B2-A×C=m(m为常数)，则称多项式A、B、C为一组平 衡多项式，其中m是该组平衡多项式的平衡值， 例如：对于多顶式A=x-1,B=x+2,C=x+5,因为B-AxC=(x+2-(x-1x+5)=9,所以多项 式x-1,x+2,x+5是一组平衡多项式，9是该组的平衡值. (1)判断多项式A=x-2,B=x+3,C=x+8是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平 衡值；若不是，请说明理由； (2)多项式A=x+a,B=x+b,C=x+C(a,b,C是常数)是一组平衡多项式，求a,b,C之间的数量 关系； 516 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)多项式A=3x-1,B=3x+1,C=c+1(k,1是常数)是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项 式的平衡值. 25.理解图形，完成下列各题： b P B 图1 图2 (I)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a,b的正方形和两个长方形. 用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是 若a2+b2=40,ab=12,则该大 正方形的边长为一： (②)【能力提升】我们还可以利用（山）中的关系解决一些更复杂的问思，例如，若满足2-x-5)】 可设2-x=a,x-5=b,则ab=1,a+b=-3,则a2+b2= 3)仿照这个方法，请你尝试解决：若2026-+(2027-=17，求(2026-(2027- 的值： (4)【解决问题】如图2，△ABC是直角三角形，∠C=90°，分别以边AC,BC为直径向三角形外部作半 圆，已知AC+BC=12 S+S2=15π ,两半圆的面积和 ，求4ABC 的面积. 616 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十六章 整式的乘法·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项中与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B选项：，故本选项符合题意； C选项：，故本选项不符合题意； D选项：，故本选项不符合题意； 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，运算错误； B选项：，运算错误； C选项：，运算错误； D选项：，运算正确． 3．运用平方差公式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的结构应用，平方差公式要求将计算式变形为“两个数的和乘这两个数的差”的形式，即符合的结构，据此对原式变形即可得到结果． 【详解】解：，符合平方差公式的运用要求． 4．已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由非负数和为0的性质求出的值，再逆用积的乘方运算简化待求式. 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，. ∴ . 5．若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴，即或． 6．已知，，则的值为（     ） A．非负数 B．负数 C．非正数 D．正数 【答案】D 【分析】先求，再配方判断符号． 【详解】解： ， ∵， ∴． 7．已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，通过计算幂值，根据同底数幂值相等则指数相等，推导的关系式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】读懂新运算规则，按规则列出算式后，展开合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，得： ． 9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案． 【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为； 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的长方形面积，即为； ∵图甲和图乙中阴影部分面积相等， ∴． 10．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算的结果是_________． 【答案】/ 【详解】解：． 12．已知，则的值为________． 【答案】16 【分析】将所求代数式变形为以为底的幂，利用同底数幂的乘法法则得到指数为，结合已知等式即可计算出结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 13．若展开后不含的二次项，则常数的值为________． 【答案】 【分析】将多项式按乘法法则展开，合并同类项后，令二次项系数为0，即可求出常数的值． 【详解】解：展开原式得： ， ∵展开后不含的二次项， ∴， 解得． 14．已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 【答案】 【分析】将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数的大小，当底数大于1时，指数相同，底数越大，幂越大，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：， ， ， 因为，且指数都为， ， 所以 ，即． 15．发现：，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是_________． 【答案】 【分析】先用平方差公式补齐因式，对，连续化简，得到；再观察的个位数字周期：指数奇数时个位为4，指数偶数时个位为6，据此求出个位，再减1得到整个式子的个位数字． 【详解】解： …… 观察4的乘方个位：个位是4，个位是6，个位是4，个位是6，周期为2． 64是偶数，故个位数字为6． ， 即最终结果的个位数是5． 16．如果等式，则等式成立的x的值为_____ ． 【答案】或2或1 【分析】需分三种情况讨论：①指数为且底数不为；②底数为；③底数为且指数为偶数，分别计算验证即可． 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当且时， 由得， 此时，则，符合题意． （2）当时， 解得， 此时，则，符合题意． （3）当时， 解得， 此时，则，符合题意． 综上所述，等式成立的的值为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按单项式乘除混合运算的法则进行计算． （2）结合平方差，完全平方公式以及多项式除以单项式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为2027 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．如图，是某花园的平面示意图，其中四边形是正方形，四边形是长为，宽为的长方形，且，以长为半径作四分之一圆，以长为直径作半圆，园艺师计划在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪．（取3） (1)求用于种花的面积； (2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当，时，求铺设草坪的总费用． 【答案】(1) (2)3780元 【分析】（1）根据圆的面积公式计算即可得出结果； （2）先表示出铺设草坪的面积，再代入，，最后乘以30即可． 【详解】（1）解： ． 答：用于种花的面积为． （2）解： ． 当，时，． （元）． 答：铺设草坪的总费用为3780元． 20．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 21．【阅读材料】我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， 当时，有最小值－4． 【解答问题】 (1)求代数式的最小值； (2)若，有最大值还是最小值？求出这个最值； 【答案】(1) (2)有最大值，为 【分析】（1）先用配方法将多项式化为完全平方式加常数，再利用平方非负性求最小值； （2）先提取负号后配方，再根据完全平方非负判断代数式存在最大值并求值． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴最小值为． （2）解：有最大值， ∵ ∴ ∴ ∴有最大值，为． 22．课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)64 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可； （2）将代入（1）中的结论，即可得出结果； （3）根据算式的特点，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴当时：； （3）解： ， 符合展开式（系数为）， ∴ ． 23．学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 【答案】(1) (2)①5；② (3)． 【分析】（1）根据图1中的阴影部分拼成图2的长方形，得，根据图形分别求出、，即可得． （2）根据得，根据公式得，再根据即可求出的值． （3）先计算的乘方后，再根据计算，再约分后找到规律，计算即可． 【详解】（1）解：如图， 在图1中，， 在图2中，， ∵图1中的阴影部分拼成图2的长方形， ∴， ∴． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为5． ② （3）解：原式 24．定义：多项式、、，如果满足（为常数），则称多项式、、为一组平衡多项式，其中是该组平衡多项式的平衡值． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，9是该组的平衡值． (1)判断多项式，，是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平衡值；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，求，，之间的数量关系； (3)多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项式的平衡值． 【答案】(1)多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义判断即可得到答案； （2）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0即可得到答案； （3）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0求出k和t的值，进而求出常数项的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式， ∴，即； （3）解：∵，，， ∴ ， ∵多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式， ∴， ∴， ∴， ∴该组平衡多项式的平衡值为4． 25．理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________； (2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，，则________； (3)仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值； (4)【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】(1)，8 (2)7 (3)8 (4)6 【分析】（1）整体图形是一个边长为的正方形，其面积为；图形有一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为，宽为的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；再利用完全平方公式求解即可； （2）求解即可． （3）设，，则，，再由完全平方公式变形求解即可； （4）设，则，根据圆的面积公式，得，利用求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，可得等式为， 由，， 得， 故，（不符合要求，舍去）， 即该大正方形的边长为8； （2）解：∵， 可设，，则，． ， ， ； （3）解：设，， 则，． ， ， ； ； （4）解：设， 则， ∵， ， ， ， ， ， ； ， 的面积为6． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $