专题06 整式的乘法章末56道压轴题型专训（8大题型）-2026-2027学年人教版八年级数学上册重难点专题提升讲练

专题06 整式的乘法章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、幂的运算逆向求值 1 题型二、多项式乘积不含某项求参数 2 题型三、完全平方公式变形求代数式的值 3 题型四、乘法公式基础变形问题 4 题型五、多项式乘法中的规律性问题 5 题型六、乘法公式几何背景问题 6 题型七、整式的乘除整体代入综合问题 7 题型八、整式的乘除新定义问题 8 【经典例题一 幂的运算逆向求值】 1．（2026八年级上·全国·专题练习）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂乘法法则拆分指数，整体代入已知条件即可求值； （2）先把常数改写为，等式左边化为同底数幂，底数相同则指数相等，列方程解出． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①；    ②； (2)若，直接写出n的值． 【答案】(1)①1；② (2)2 【分析】（1）①根据积的乘方运算求解即可；②根据积的乘方运算及有理数的乘方运算求解即可； （2）根据幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法的运算建立方程求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】 【分析】按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算， （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算、的值，即可求解； （3）由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，3． （2）解：依题意，，、 ∴； （3）解：根据题意得： ，， ， ． 5．（25-26七年级下·江西抚州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 【答案】(1)2，2，4 (2) (3)，，， ，，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据定义直接求指数． （2）利用运算性质，将两个同底数的运算相加转化为指数相加． （3）根据新定义，得出，，，进而得出，即可说明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）设，，则，， ， ，即； （3）略 6．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）材料中把 写成 、把 写成 ，底数与指数同时变化，运用的是幂的乘方性质； （2）先由绝对值与平方的非负性求出 ， 的值，再把 化为 、 化为 ，化同指数后比较底数即可； （3）把新运算还原为幂的形式：设 ，，，则 ，，，由 逆用同底数幂的乘法得 ，从而求出 ． 【详解】（1）解：材料中 ，，都是把幂化为指数相同的形式，运用了幂的乘方性质， 故选： C． （2）解：，且 ，， ，， ，， ，， ， ， ． （3）解：设 ，，， 由新运算的定义，得 ，，， ， ， ， ， 即 ． 7．（25-26八年级上·山西·期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务． 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务 关于“复数”的研究报告 智慧小组 研究对象：复数 研究思路：类比，按“概念−−性质−−判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）−−猜想−−推理证明 研究内容： 【一般概念】如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a、b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：计算：． 【特例研究】根据商解方程的定义， ▲ ． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x、y为实数），求x、y的值． 【答案】(1)； (2)x的值为2，y的值为 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，二元一次方程组，掌握复数的概念和运算法则是解题关键． （1）逆用同底数幂乘法计算即可； （2）根据两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，得到关于x、y的二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 故答案为： （2）解：， ∴，解得 ∴x的值为2，y的值为． 【经典例题二 多项式乘积不含某项求参数】 8．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知代数式， ．与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； 【答案】，. 【分析】先计算A与B的乘积，根据积的二次项系数为0、常数项为列方程组求解． 【详解】解：， ∵积中不含x的二次项，且常数项为， ∴， 解得． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，进而根据，即可求解． （2）先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 10．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”． (1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值． 【答案】(1)解：B是整式A的“文脉增项式”，理由如下： ∵， ， ∴， ∵的项数为，的项数为，，符合“文脉增项式”的定义， ∴是整式的“文脉增项式”； (2)或 【分析】（1）计算乘积后对比项数即可判断； （2）先根据时求出的值，再计算乘积合并同类项后，根据定义要求分类得到系数为的情况，结合的条件求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：将，代入，得， 解得，满足 ∴， ∴， ∵的项数为，根据定义，的项数应为，该式共有项，其中的系数为，常数项为，均不为， ∴分两种情况： ①当时，解得，符合的要求， ②当时，解得，符合的要求， ∴的值为或． 11．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论； （2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出； （3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或． 【详解】（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“好多项式”； 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 12．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据题干提示列式计算即可； （3）根据给定的方法可得出一次项系数为，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 的一次项系数计算如下： ， 即的一次项系数为3． （2）的二次项系数计算如下： ， 即的二次项系数是5． （3）的一次项系数计算如下： ， 因为所得多项式中不含一次项，所以，解得． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： ，， ， 的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； (2)①（答案不唯一）；②乐乐同学的说法正确， 【分析】（1）首先计算、的乘积，再利用“友好多项式”的定义判断即可； （2）①根据“特别友好多项式”的定义，写出符合条件的二项式即可； ②利用多项式乘以多项式法则计算、的乘积，再利用“特别友好多项式”的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， 若， ∴， 此时的项数与的项数相同，是的“特别友好多项式”， ∴写出一个符合条件的二项式，即（答案不唯一）； ②乐乐同学的说法正确，理由如下： 若，（，是常数，，）， ∴ ∵， ∴， 若是的“特别友好多项式”， ∴的项数与的项数相同，即C是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为：将二次多项式的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式的一次项系数，二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项，二次多项式的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 【理解应用】： (1)若，经过小魔方后的多项式__________． (2)若，经过小魔方后的多项式记为，若的结果中不含一次项，求常数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式： （1）根据题目的定义即可； （2）根据题目的定义求出，计算得到，根据一次项的系数为求出． 【详解】（1）解：的二次项系数为，二次项的指数为，一次项的系数为，常数项为， 根据小魔方的规则：一次多项式的一次项系数是的二次项指数与二次项系数相乘，的常数项是的一次项系数， 一次多项式的一次项系数是，常数项是， ． 故答案为：． （2）解：， 的二次项系数为，二次项的指数为，一次项的系数为，常数项为， 一次多项式的一次项系数是，常数项是， 即：， ， 的结果中不含一次项， ， 解得：． 【经典例题三 完全平方公式变形求代数式的值】 15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知：▇． (1)求▇所表示的代数式； (2)求当，时，▇所表示的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得：▇ ； ∴▇所表示的代数式是； （2）解：当，时，▇． 16．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索代数式与代数式的关系． (1)当，时，分别计算两个代数式的值 (2)当，时，分别计算两个代数式的值 (3)你发现了什么规律请利用这个规律计算． 【答案】(1)， (2)，； (3)规律：无论，取何值，都有，1 【分析】（1）将a、b的值分别代入与计算可得； （2）将a、b的值分别代入与计算可得； （3）根据（1）（2）中的两式的计算结果可得；利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：当，时， ， （2）解：当，时， ， ； （3）解：规律：无论，取何值，都有． ． 17．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 例：用配方法求代数式的最小值． 解：原式． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： (1)用配方法求代数式的最小值； (2)若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】(1)最小值为 (2) 【分析】（1）将代数式配方为完全平方式与常数的和，利用平方的非负性求最小值； （2）将已知等式变形为用含的式子表示，代入后配方，利用平方的非负性求最小值． 【详解】（1）解： ． ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ． ， ， 的最小值为． 18．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为，长方形的长为，宽为． (1)则正方形的周长表示为________；长方形的周长表示为________． 由此可得，，之间的等量关系为________． (2)比较正方形面积和长方形面积的大小． 【尝试】：（用“”，“”或“”填空） ①当，时，________； ②当，时，________； ③当时，________； (3)【猜想验证】：对于任意实数，，代数式与有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，， (2)①；②；③ (3)猜想， 证明：，， ， ， ． 【分析】（1）根据正方形与长方形的周长列出代数式即可求解； （2）根据字母的值求、的值，进而比较大小即可求解； （3）根据完全平方公式变形进而即可证明． 【详解】（1）解：正方形的周长表示为， 长方形的周长表示， 由题意得，正方形和长方形的周长相等， ， ； （2）①当，时，，， ， ， ； ②当，时，，， ， ， ； ③当时，，， ， ， ； （3）略 19．（25-26七年级下·陕西西安·期中）我们已经学习了完全平方公式：．请利用完全平方公式，解答下列问题． (1)计算：______． (2)若满足，求代数式的值． (3)如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，且相对的两个面上两数之和都相等，标有数，，的面的对面的数分别为，，．求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式计算即可； （2）根据得出，两边同时平方，利用完全平方公式即可得出答案； （3）由题意可知，得出，，，把所求代数式配成完全平方式，整体代入，计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵正方体相对的两个面上两数之和都相等，标有数，，的面的对面的数分别为，，， ∴ ∴，，， ∴ ． 20．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是掌握各运算法则． （1）根据几何图形的面积公式列出代数式，并化简即可； （2）通过完全平方公式进行变形，然后代数求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：∵， ∴， ∴图中盲区的总面积为：． 21．（25-26八年级上·河南周口·期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）利用完全平方公式和整式的加减运算可得，再根据三角形的面积公式计算即可； （）设，，则，再根据已知条件得，然后根据完全平方公式的变形运算解答即可； （）①根据图形面积解答即可；②由①的结论得，即得，进而得到，再根据得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：①由图可得，； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 乘法公式基础变形问题】 22．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，，，可得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形，将转化为，代入已知条件整体计算； （2）先设，，算出的值，再对完全平方公式变形，通过和求出，进而求出． 【详解】（1）解：，， ，， ． （2）解：设，， 则，， ， ， ， ，即， 故 ． 23．（25-26七年级下·北京通州·期末）配方是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合平方的非负性来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若多项式，，试比较A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可； （2）先计算多项式，，再利用完全平方公式进行配方求出与0的大小关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴在横线上添加的常数项是9． （2）解：∵ ， ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 【答案】(1) 解：等式右边 ， ∴左边=右边， ∴式子正确； (2)①12；②93 【分析】此题考查整式的乘法公式—完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，等式的变形计算，正确掌握等式各项之间的关系是解题的关键． （1）利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论； （2）①根据题意可得，，，将其值代入变形后的式子计算即可； ②根据题意可得，，，根据，将其值代入变形后的式子计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ， ， ∴ ． ②根据题意可得， ，，， ． 25．（26-27八年级上·河北保定·阶段检测）配方法是数学中重要的一种方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数” 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”_____．（填“是”或“否”） 【综合运用】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值_____； (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”． 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）略 26．（25-26八年级下·河南洛阳·模拟预测）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式把两边同时平方，可得：，把代入即可求出的值； （2）由完全平方公式可得：，把整体代入计算即可； （3）设，，可得，根据完全平方公式可得：，根据，可知，代入可得，根据三角形的面积公式即可求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 解得：； （2）解：， ； （3）解：如下图所示，设， ， ， ， 整理得：， ，， ， ， 解得：， 四边形和四边形是正方形， ，， ． 27．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例：若，，求的值． 解：，， ， ．根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)已知，，则_________； (2)如图，点B、D、F、H在正方形的边上，，正方形和正方形的面积之和是128，求四边形的面积； (3)若m满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）根据完全平方公式得到，再由可得答案； （2）设，根据题意可得，，据此求出的值即可得到答案； （3）设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：设， ∵正方形和正方形的面积之和是128， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 【答案】（）；（）；（）的最大值为． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分成和即可； （）由，然后根据为“完美数”，从而求出的值； （）先求出，则，然后由，从而即可求解． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ， ∵为“完美数”， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【经典例题五 多项式乘法中的规律性问题】 29．（25-26七年级下·四川成都·期末）观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察已知等式的结果指数和结构，总结规律即可得到猜想结论； （2） 将所求算式变形为符合（1）结论的形式，根据（1）中规律即可求解； 【详解】（1）解：观察已知等式可得时，； 时，； 时，； ...， 因此可得猜想：（其中为正整数，且）； （2）解：根据（1）中规律可得： ． 30．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）观察下列各式： 在时， ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,） (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式归纳得到规律即可； （2）将所求式子结合规律变形，计算得到结果； （3）利用规律得到，再结合已知条件排除不符合的解，得到x的值． 【详解】（1）解：根据已知各式的规律，可得（n为正整数）． （2）解：由（1）可知，． ∴． （3）解：， 由规律可得， ， 解得或． 把代入原方程左边， 得左边， 不符合题意，舍去． 把代入原方程左边， 得左边， 符合题意． ． 31．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图所示的“三角形”是我国北宋数学家贾宪发现的．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中做了详细记载，被称为“杨辉三角形”，又称“贾宪三角形”，它揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据此规律解答下列问题： (1)的值为_________________； (2)根据上面的规律，写出的展开式：_________________； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可得出的值； （2）根据规律求出的展开式即可； （3）根据（2）中所得展开式，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， ∴． （2）解：由上面的规律得，， （3）解：∵， ∴ ． 32．（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)，证明： ， ， ． 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）略 33．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数． (2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】(1)6；4 (2)四 【分析】（1）由图可知，每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推，以此规律进行求解即可； （2）根据题意可得，则可得到，进而得到，则可证明一定是7的倍数，即再过天还是星期三，故再过天是星期四． 【详解】（1）解：由图可知，从左边起，每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推……， ∴， （2）∵， ， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵一定是7的倍数， ∴一定是7的倍数， ∴再过天还是星期三， ∴再过天是星期四． 34．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）七年级数学兴趣小组成员在《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． 【任务规划】 (1)任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式共有______项，的系数是______； ②展开式中共有______项；所有项的系数和为______； 【项目成效】 (2)①写出的展开式． ②成果展示：若，则的值为______． 【答案】(1)①5，4；②11， (2)①；②2 【分析】（1）①写出的展开式，即可得出答案；②根据已知条件即可得出答案； （2）①由（1）中规律解答即可；②当时，，当时，，进而得出答案． 【详解】（1）解：①根据已知可得，， 即展开式共有5项，的系数是4； ②根据题意得：展开式中共有1项，所有项的系数和为， 的展开式中共有2项，所有项的系数之和为， 展开式中共有3项，所有项的系数和为， 展开式中共有4项，所有项的系数和为， 展开式中共有5项，所有项的系数和为， ⋯， ∴展开式中共有11项；所有项的系数和为． （2）解：①； ②， 当时，， 当时，， ． 35．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1）； （2）我发现的结论是0，理由如下： 由（1）可知： ； （3）我发现的结论是，理由如下： 由（1）可知： ； （4） ； ； ∵， ∴； （5）m的所有可能的值为14、16、19、26 【分析】本题主要考查整式运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据月历特征可进行求解； （2）根据题（1）可进行求解； （3）根据题（1）可进行求解； （4）分别根据多项式乘以多项式得出x、y的值，然后问题可求解； （5）由题意易得48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，然后根据题意得出a、b所有可能的值，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）略 （3）略 （4）略 （5）由题意得：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， ∵a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31）， ∴当或24时，或2，此时； 当或16时，或3，此时； 当或12时，或4，此时； 当或8时，或6，此时； ∴m的所有可能的值为14、16、19、26． 【经典例题六 乘法公式几何背景问题】 36．（25-26七年级下·山东青岛·期中）计算阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：阴影部分的面积 ． 37．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 【答案】 【分析】根据题意可得这块长方形草坪的长为，宽为，再根据长方形的面积公式解答即可． 【详解】解：， 即这块长方形草坪的面积为． 38．（25-26八年级上·陕西安康·期末）为进一步推动“双减”工作落地生效，切实减轻学生课业负担，某校从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置，丰富各类教育资源，统筹整体时间安排．如图，该校园内有一块长为，宽为的长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为的长方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余部分进行绿化． (1)用含，的式子表示绿化部分的面积（结果需化简）； (2)若，，每平方米绿化的费用为元，求绿化所需要的总费用． 【答案】(1)绿化部分的面积为 (2)绿化所需要的总费用为元 【分析】（1）绿化部分的面积等于长方形场地的面积减去长方形的乒乓球场地面积； （2）将，代入（1）求出的代数式，求出绿化面积，再乘以每平方米的花费即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 绿化的面积为： 答：绿化部分的面积为； （2）解：当，时，， （元）， 答：绿化所需要的总费用为元． 39．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米． (2)13200平方米 【分析】（1）先计算长方形地的面积，再计算两块小正方形空地的面积，最后用长方形地的面积减去两块小正方形空地的面积，通过多项式乘法和完全平方公式展开式子，合并同类项得到最简形式； （2）直接将值代入，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算，即可得到具体的绿化总面积． 【详解】（1）解：绿化的总面积 ， 即绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 即绿化的总面积为13200平方米． 40．（2026八年级上·江西赣州·模拟预测）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 41．（25-26七年级下·湖南常德·期末）解答下列问题： (1)【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ (2)【猜想证明】无论、取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； (3)【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为，若阴影部分的面积为，求的最小值； ②已知、满足 ，求的最小值． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： ， ； (3)①的最小值为；② 【分析】（1）分别把每组，的值代入和算出结果，再比较大小； （2）先作差得到，利用平方的非负性判断差的正负，得到大小关系； （3）①设，，由阴影三角形面积得到，再利用求的最小值；②把看成，用完全平方非负性得出，代换得，得到最大值，即可求的最小值． 【详解】（1）解：当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 当，时，，，所以； （2）略 （3）解：①设，，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴的最小值为24；      ②解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵的值越大，的值越小， ∴当取最大值时，取得最小值，为． 42．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）综合与实践——借助图形面积探究代数恒等式 在项目式学习活动中，同学们利用分割大正方形的方式，通过面积法探究整式乘法相关恒等式，并借助所得恒等式进行代数式求值、判断三角形形状． (1)【观察发现】 任务：如图，大正方形边长为，用两种不同思路表示大正方形的面积，推导恒等式． ①推导出恒等式：________． 【类比迁移】 任务：如图，大正方形边长为，类比任务，用两种不同思路表示大正方形的面积，推导恒等式． ②推导出恒等式：_________． (2)【结论应用】 已知，，请利用上面得到的恒等式完成计算： ③求代数式的值； ④拓展求值：（请写出完整解答过程） (3)【几何拓展】 若，，为三角形的三边长，且它们满足上面【结论应用】的条件，请直接判断该三角形的形状． 【答案】(1)①；② (2)③27；④0 (3)等边三角形 【分析】（1）根据图1和图2中大正方形面积的两种求法即可得到结论； （2）③根据②的恒等式变形可得： ，代入已知条件计算即可； ④展开，代入已知条件计算即可； （3）平方数具有非负性和【结论应用】的条件三者相加等于0，可得，因此三边长相等，该三角形是等边三角形； 【详解】（1）解：①图1的大正方形： 整体算面积：边长为，面积为； 分割算面积：大正方形被分成2个小正方形（面积分别为、）和2个相同的长方形（面积均为），总面积为， 因此推导出恒等式：； ②图2的大正方形： 整体算面积：边长为，面积为； 分割算面积：大正方形被分成3个小正方形（面积分别为、、）和6个长方形（面积分别为），合并后总面积为， 因此推导出恒等式：； （2）解：③根据②的恒等式变形可得： ， ∵，， ∴； ④ ， ∵，， ∴原式； （3）解：∵，，，， ∴，，， ∴， ∴三边长相等，该三角形是等边三角形． 【经典例题七 整式的乘除整体代入综合问题】 43．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算单项式乘以多项式可得原式等于，再根据积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用可得，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 44．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． （1）利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． （2）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； 故答案为：；． （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 45．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）把已知变形可得，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 变形整理可得：， ∴． 【点睛】本题考查了整体代入计算整式的加减，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 46．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 47．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值； （2）根据整体的思想，将代数式变形为含的式子，代入求值即可. 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ； （2）解：∵， ∴， 原式 ． 48．（25-26八年级上·天津河西·期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛 例如：把看作一个整体，计算 解：设，则原式 可参考以上想法解答下面问题： (1)计算： (2)计算：利用分配律，试计算的结果； (3)求值：已知，，，求的值 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）把看作一个整体，进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）由已知求得，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：设， 原式； （2）解：原式； （3）解：，，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，化简求值，解题的关键是整体代入思想的运用，注意去括号时符号的变化． 49．（26-27八年级上·全国·课后作业）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，再整体代入求值即可； （2）根据，得出，再将进行化简，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， 原式． （2）解：， ， 原式 ． 【经典例题八 整式的乘除新定义问题】 50．（25-26七年级下·江苏常州·期中）定义一种新运算∶． (1)求的值（结果保留幂的形式）； (2)求，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据定义，计算即可； （2）根据定义可知，，从而知道，然后解出答案即可． 【详解】（1） （2） 51．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）定义新运算∶，例： (1)求的值； (2)试说明与是否相等． 【答案】(1) (2)不相等 ，，二者不相等 【分析】（1）把、代入新运算的定义式计算； （2）分别按定义计算与，利用同底数幂相乘的运算性质比较两个结果． 【详解】（1）解：☆． （2）略 52．（2026·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以将，化简； （2）根据（1）中的结果，求出的值，然后与0比较大小，即可得到与的大小关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ； （2）由（1）知：，， ∴ ， ∴． 53．（25-26八年级上·全国·期中）新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及一元一次方程的求解，解题的关键是先利用完全平方公式化简新定义运算“”的表达式，再进行后续计算或解方程． （1）先通过完全平方公式化简，得到简化表达式后，代入、计算； （2）利用化简后的表达式，代入得到关于x的一元一次方程，求解方程即可得x的值． 【详解】（1）解：，   ∴． （2）由（1）知， 则，且，   ∴，   解得． 54．（25-26八年级上·山东烟台·期末）用“”，“”定义两种新运算：对于两个整数，，规定，．例如：，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）根据“”的新运算，使用同底数幂的乘法运算求解即可； （2）根据“”的新运算，使用同底数幂的除法运算求解即可； （3）分别列出与的值，由相等这一条件求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，； （3）解：根据题意，得，， ， ，即， 解得， 当为10时，的值与的值相等． 55．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列各式的运算是一种新定义运算： ；； ；． 请你按照上述的运算方法，完成下列各题． (1)填空：______； (2)计算：； (3)若，求的值． (4)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”对于不相等的两个有理数是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)不具有，过程见解析 【分析】（1）根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则，即可进行解答； （2）根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则，即可进行解答； （3）先计算出，再把整体代入，即可求解； （4）分别求出，，再比较，是否相等即可，若相等，则具有交换律，否则，不具有． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3）∵， ∴，整理得：， 由（2）可得， 把代入得：． （4）设， 则，， ∵ ∴， ∴， ∴这种新运算“”对于不相等的两个有理数不具有交换律． 【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新运算的运算法则和运算顺序． 56．（25-26八年级上·江西赣州·期中）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作：，读作“的圈次方”，特别地，规定：． 另外我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； (3)计算：． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，同底数幂的除法， （1）根据题意转化为有理数的除法运算即可； （2）先化为除法，然后根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘以一个数等于除以这个数的倒数转化为乘方运算，再根据“同底数幂相除，底数不变指数相减”化简即可； （3）利用（2）题结论先求出和的值，再代入求值即可； 【详解】（1）解：， ， （2）解： （3）解：， ， 原式 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式的乘法章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、幂的运算逆向求值 1 题型二、多项式乘积不含某项求参数 2 题型三、完全平方公式变形求代数式的值 3 题型四、乘法公式基础变形问题 4 题型五、多项式乘法中的规律性问题 5 题型六、乘法公式几何背景问题 6 题型七、整式的乘除整体代入综合问题 7 题型八、整式的乘除新定义问题 8 【经典例题一 幂的运算逆向求值】 1．（2026八年级上·全国·专题练习）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 2．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①；    ②； (2)若，直接写出n的值． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 4．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 5．（25-26七年级下·江西抚州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 6．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 7．（25-26八年级上·山西·期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务． 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务 关于“复数”的研究报告 智慧小组 研究对象：复数 研究思路：类比，按“概念−−性质−−判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）−−猜想−−推理证明 研究内容： 【一般概念】如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a、b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：计算：． 【特例研究】根据商解方程的定义， ▲ ． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x、y为实数），求x、y的值． 【经典例题二 多项式乘积不含某项求参数】 8．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知代数式， ．与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 10．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”． (1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值． 11．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 12．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为：将二次多项式的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式的一次项系数，二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项，二次多项式的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 【理解应用】： (1)若，经过小魔方后的多项式__________． (2)若，经过小魔方后的多项式记为，若的结果中不含一次项，求常数的值； 【经典例题三 完全平方公式变形求代数式的值】 15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知：▇． (1)求▇所表示的代数式； (2)求当，时，▇所表示的代数式的值． 16．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索代数式与代数式的关系． (1)当，时，分别计算两个代数式的值 (2)当，时，分别计算两个代数式的值 (3)你发现了什么规律请利用这个规律计算． 17．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 例：用配方法求代数式的最小值． 解：原式． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： (1)用配方法求代数式的最小值； (2)若实数，满足，则的最小值为 ． 18．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为，长方形的长为，宽为． (1)则正方形的周长表示为________；长方形的周长表示为________． 由此可得，，之间的等量关系为________． (2)比较正方形面积和长方形面积的大小． 【尝试】：（用“”，“”或“”填空） ①当，时，________； ②当，时，________； ③当时，________； (3)【猜想验证】：对于任意实数，，代数式与有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明． 19．（25-26七年级下·陕西西安·期中）我们已经学习了完全平方公式：．请利用完全平方公式，解答下列问题． (1)计算：______． (2)若满足，求代数式的值． (3)如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，且相对的两个面上两数之和都相等，标有数，，的面的对面的数分别为，，．求代数式的值． 20．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 21．（25-26八年级上·河南周口·期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【经典例题四 乘法公式基础变形问题】 22．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，，，可得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若满足，求的值． 23．（25-26七年级下·北京通州·期末）配方是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合平方的非负性来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若多项式，，试比较A，B的大小． 24．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 25．（26-27八年级上·河北保定·阶段检测）配方法是数学中重要的一种方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数” 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”_____．（填“是”或“否”） 【综合运用】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值_____； (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 26．（25-26八年级下·河南洛阳·模拟预测）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 27．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例：若，，求的值． 解：，， ， ．根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)已知，，则_________； (2)如图，点B、D、F、H在正方形的边上，，正方形和正方形的面积之和是128，求四边形的面积； (3)若m满足，求的值． 28．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 【经典例题五 多项式乘法中的规律性问题】 29．（25-26七年级下·四川成都·期末）观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 30．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）观察下列各式： 在时， ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,） (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求x的值． 31．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图所示的“三角形”是我国北宋数学家贾宪发现的．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中做了详细记载，被称为“杨辉三角形”，又称“贾宪三角形”，它揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据此规律解答下列问题： (1)的值为_________________； (2)根据上面的规律，写出的展开式：_________________； (3)利用上面的规律计算：． 32．（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 33．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数． (2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期______． 34．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）七年级数学兴趣小组成员在《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． 【任务规划】 (1)任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式共有______项，的系数是______； ②展开式中共有______项；所有项的系数和为______； 【项目成效】 (2)①写出的展开式． ②成果展示：若，则的值为______． 35．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 【经典例题六 乘法公式几何背景问题】 36．（25-26七年级下·山东青岛·期中）计算阴影部分的面积． 37．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 38．（25-26八年级上·陕西安康·期末）为进一步推动“双减”工作落地生效，切实减轻学生课业负担，某校从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置，丰富各类教育资源，统筹整体时间安排．如图，该校园内有一块长为，宽为的长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为的长方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余部分进行绿化． (1)用含，的式子表示绿化部分的面积（结果需化简）； (2)若，，每平方米绿化的费用为元，求绿化所需要的总费用． 39．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化的总面积． 40．（2026八年级上·江西赣州·模拟预测）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 41．（25-26七年级下·湖南常德·期末）解答下列问题： (1)【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ (2)【猜想证明】无论、取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； (3)【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为，若阴影部分的面积为，求的最小值； ②已知、满足 ，求的最小值．  42．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）综合与实践——借助图形面积探究代数恒等式 在项目式学习活动中，同学们利用分割大正方形的方式，通过面积法探究整式乘法相关恒等式，并借助所得恒等式进行代数式求值、判断三角形形状． (1)【观察发现】 任务：如图，大正方形边长为，用两种不同思路表示大正方形的面积，推导恒等式． ①推导出恒等式：________． 【类比迁移】 任务：如图，大正方形边长为，类比任务，用两种不同思路表示大正方形的面积，推导恒等式． ②推导出恒等式：_________． (2)【结论应用】 已知，，请利用上面得到的恒等式完成计算： ③求代数式的值； ④拓展求值：（请写出完整解答过程） (3)【几何拓展】 若，，为三角形的三边长，且它们满足上面【结论应用】的条件，请直接判断该三角形的形状． 【经典例题七 整式的乘除整体代入综合问题】 43．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 44．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 45．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 46．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 47．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 48．（25-26八年级上·天津河西·期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛 例如：把看作一个整体，计算 解：设，则原式 可参考以上想法解答下面问题： (1)计算： (2)计算：利用分配律，试计算的结果； (3)求值：已知，，，求的值 49．（26-27八年级上·全国·课后作业）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【经典例题八 整式的乘除新定义问题】 50．（25-26七年级下·江苏常州·期中）定义一种新运算∶． (1)求的值（结果保留幂的形式）； (2)求，求的值． 51．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）定义新运算∶，例： (1)求的值； (2)试说明与是否相等． 52．（2026·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． 53．（25-26八年级上·全国·期中）新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 54．（25-26八年级上·山东烟台·期末）用“”，“”定义两种新运算：对于两个整数，，规定，．例如：，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 55．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列各式的运算是一种新定义运算： ；； ；． 请你按照上述的运算方法，完成下列各题． (1)填空：______； (2)计算：； (3)若，求的值． (4)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”对于不相等的两个有理数是否具有交换律？请写出你的探究过程． 56．（25-26八年级上·江西赣州·期中）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作：，读作“的圈次方”，特别地，规定：． 另外我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $