专题01 数据的分析（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

专题01 数据的分析 （题型突破·举一反三） 题型01 数据的集中趋势——平均数 题型02 数据的集中趋势——中位数、众数 题型03 数据的离散程度 题型04 箱线图 题型05 统计量的选择 ▌题型01 数据的集中趋势——平均数 （1）算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。 公式：平均数== 【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。 （2）加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫作这个数的加权平均数。 【典例1】小聪期末语文、数学、英语三科的平均分为122分，已知语文成绩是118分，英语成绩是125分，则他的数学成绩是（    ） A．122分 B．123分 C．124分 D．125分 【答案】B 【分析】由三科的总成绩减去语文成绩和英语成绩即可得到答案。 【详解】解：由题意可得，他的数学成绩为：（分）， 故选：B． 【变式1-1】为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，随机抽查了若干名居民，得分情况如表所示： 得分 6 7 8 9 10 人数 4 10 15 11 10 则抽查的居民得分的平均分为 （　　） A．8 B．8.26 C．9.2 D．10 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案。 【详解】解：根据题意，得 =8.26(分). 故选B. 【变式1-2】一次演讲比赛中，小明的成绩如下：演讲内容为70分，演讲能力为60分，演讲效果为88分。若演讲内容、演讲能力、演讲效果的成绩按4∶2∶4计算，则他的平均分为（　　） A．74.2分 B．75.2分 C．76.2分 D．77.2分 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算公式列出式子，再进行计算即可. 【详解】解：根据题意得： (分)， 答：他的平均分为75.2分； 故答案为：B. 【变式1-3】若一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a等于 （　　） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式即可求出a即可解题. 【详解】解：由题意，得a=3×5-4-2-5-1=3。 故选：B. 【变式1-4】右面是某市五所小学学生人数的情况统计图，不计算，估计这五所小学学生的平均人数大约是（    ）    A．1910 B．2800 C．2100 D．2300 【答案】D 【分析】根据统计图取中间2个数，估算即可求解． 【详解】解：依题意，估计这五所小学学生的平均人数大约是人， 故选：D． 【变式1-5】在数据4，5，6，5中去掉个数据，若平均数没有发生变化，则的值是（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或2或3 D．1或2 【答案】C 【分析】先计算这四个数的平均数，再根据在数据4，5，6，5中去掉个数据，平均数没有发生变化，即可得到去掉的数据，从而可以得到的值． 【详解】解：根据题意得： 数据4，5，6，5的平均数为：， 在数据4，5，6，5中去掉个数据，平均数没有发生变化， 去掉的数可能是一个5或两个5或4和6或三个4、5、6， 或2或3， 故选：C． 【变式1-6】若一组数据，，，，的平均数为，那么数据，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数据，，，，的平均数为可知，据此可得出的值． 【详解】解：数据，，，，的平均数为， ， ， 数据，，，，的平均数为． 故选：B． 【变式1-7】我校为推荐一项作品参加人工智能的“思创杯”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（满分100）如上表，如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） 项目 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四项候选作品的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可得到答案． 【详解】解：甲的平均成绩（分）， 乙的平均成绩（分）， 丙的平均成绩（分）， 丁的平均成绩（分）， ∵， ∴乙的平均成绩最高， ∴应推荐乙． 故选：B． 【变式1-8】某校规定学生综合素质评价成绩满分为100分，其中思想品德占，学业水平成绩占，艺术素养占，身心健康占，社会实践占，劳动教育占．小兵这学期的六项成绩依次为80分，90分，85分，95分，90分，85分，则小兵这学期的综合素质评价成绩是（    ） A．85分 B．分 C．分 D．90分 【答案】C 【分析】按思想品德占，学业水平成绩占，艺术素养占，身心健康占，社会实践占，劳动教育占计算学期综合成绩即可． 【详解】解：小兵这学期的综合素质评价成绩是 （分）． 故选C． 【变式1-9】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【变式1-10】已知：x1，x2，x3...x10的平均数是a,x11，x12，x13...x50的平均数是b,则x1，x2，x3...x50的平均数是（        ） A．a＋b B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数及加权平均数的定义解答即可. 【详解】∵x1，x2，x3...x10的平均数是a，x11，x12，x13...x50的平均数是b, ∴x1，x2，x3...x50的平均数是：. 故选D. ▌题型02 数据的集中趋势——中位数、众数 1.中位数 （1）中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。 （2）确定中位数的一般步骤： 第1步：排序，由大到小或由小到大。 第2步：确定是奇数个数据（位的数为中位数）或偶数个数据（位的数和位的数的平均数为中位数）。 第3步：如果是奇数个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数个数据，中位数是中间两个数据的平均数。 2.众数 （1）众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。 （2）众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。 【典例2】《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．2，2 B．2， C．2，3 D．3，3 【答案】C 【分析】根据众数和中位数的定义，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵2出现的3次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为2， 将这组数据按大小排序为：2，2，2，3，3，4，5， ∴这组数据中位数为3， 故选：C． 【变式2-1】已知一组数据1，3，0，x，2，2，3有唯一的众数3，则这组数据的平均数、中位数分别是（　　） A．2，3 B．3，2 C．2，2 D．3，3 【答案】C 【分析】根据题意由有唯一的众数3，可知，然后根据平均数、中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数3， ∴， 将数据从小到大排列为：0，1，2，2，3，3，3， 则平均数， 中位数为：2． 故选：C． 【变式2-2】五名同学进行投篮练习，规定每人投次，统计他们每人投中的次数，得到个数据，若这个数据的中位数是，唯一众数是设另外两个数据分别是，，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，，一定是小于的非负整数，且不相等，由此判断即可． 【详解】解：中位数是，唯一众数是， 两个较小的数一定是小于的非负整数，且不相等， ∴两个较小的数最大为和， 的值不可能是． 故选D． 【变式2-3】五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得最大的三个数的和是，再求出这五个数据另外2个数的和的取值范围，再写出五个学生投中的次数可能的一组数即可． 【详解】解：∵中位数是6，唯一众数是7， ∴最大的三个数的和是：， 则另外两个数中，最大也只能为5，最小也只能为0，且不重复 ∴另外2个数的和或另外2个数的和， ∴五个学生投中的次数的和或五个学生投中的次数的和， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率或， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是， 故选：B． 【变式2-4】伴随着2022年北京冬奥会的热度以及国家政策的大力支持，我国冰雪旅游业已经驶入快车道，在游客需求及高品质冰雪旅游供给的刺激下，2020-2021年冰雪季，我国冰雪旅游收入大幅回升并突破3900亿元，预计未来几年我国冰雪旅游收入将保持增长态势，下图是2017-2021年我国冰雪旅游收入情况． 则2017-2021年我国冰雪旅游收入的中位数和众数分别是（    ） A．3580亿元，没有众数 B．2660亿元，没有众数 C．3580亿元，3900亿元 D．2660亿元，3900亿元 【答案】A 【分析】众数是出现次数最多的数据，将一组数据按照大小排列后，最中间的数据或中间两个数据的平均数是中位数，根据众数和中位数的定义解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排序后，第2个和第3个数的平均数为（亿元）， ∴中位数为3580亿元， 四个数据均不相等， ∴没有众数， 故选A． 【变式2-5】某射击运动员进行5次射击训练，成绩分别是：5，6，8，8，9（单位：环），这组数据的众数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用众数的定义求解即可． 【详解】解：在这一组数据中8是出现次数是2次，是最多的，故众数是8． 故选：C． 【变式2-6】一组数据由5个正整数组成，其中位数是3．如果这组数据的唯一众数是4，那么这组数据的和为(    ) A．13 B．14 C．15 D．14或15 【答案】B 【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案． 一组数据中出现次数最多的数据叫作众数；将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：五个整数从小到大排列后，其中位数是3，这组数据的唯一众数是4， 则：比3大的两个数都是4，比3小的两个数是1和2， 即这5个数据分别是1，2，3，4，4． ∴这组数据的和为：． 故选：B． 【变式2-7】已知一组数据分别为，，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据叫作众数得出的值，将数据从小到大（或从大到小）排列可得出中位数． 【详解】解：∵这组数据有一个众数是， ∴， ∴这组数据从小到大排序为：，，，，， ∴这组数据的中位数为， 故选：C． 【变式2-8】某志愿者团队10名成员本年参加公益活动情况统计如表，关于活动次数的数据统计，描述正确的是（　　） 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 A．中位数是8，众数是3 B．中位数是3，众数是3 C．中位数是3，众数是8 D．中位数是8，众数是8 【答案】D 【分析】根据中位数和众数定义解答． 【详解】解：由表格得：次数为8的人数有4人，出现的次数最多，故众数为8， 把这10个数据从小到大排列，排在中间的两个数都是8，故这组数据的中位数为． 故选：D． 【变式2-9】某水果店“五一”假期每天销售某种水果的数量（单位：）分别为：，，，，．则这组数据的众数、中位数分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】首先把所给数据按从小到大排序，然后利用中位数和众数定义即可确定结果． 【详解】解：数据从小到大排列为：，，，，， 所以中位数为； 数据出现了次，最多， 所以这组数据的众数为． 故选：A． 【变式2-10】某校九年级1班10名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：88，90，75，88，90，91，92，100，80，88则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（　　） A．88，90 B．90，90.5 C．90，89 D．88，89 【答案】D 【分析】将数据按照从小到大的顺序排序后，中间两个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为众数． 【详解】解：出现次数最多的数据为， ∴众数为； 将数据排序后，中间两位数据分别为， ∴中位数为； 故选D． 【变式2-11】在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分分别为：，，，，，，（单位：分）去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，这五个有效评分的平均数和众数分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据题意，得到五个有效评分，再根据平均数和众数的定义即可解答． 【详解】解：去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分为：，，，，， ∴平均数为：， 众数为：； 故选：C． 【变式2-12】一家汽车零售店 9名销售人员 5月份销售的汽车数量(单位：辆)如下：2，3，9，10，5，11，12，12，14，则汽车销售数量的第一四分位数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据四分位数的定义以及计算方法进行计算即可. 【详解】解：将这组数据从小到大排列为2，3，5，9，10， 11， 12， 12， 14， ∴汽车销售数量的第一四分位数是5， 故答案为：C. 【变式2-13】为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度(单位：厘米)如下： 8， 8， 9， 9， 10， 11， 12， 12， 13， 14. 则这组数据的下四分位数是　 　，中位数是　 　，上四分位数是　 　. 【答案】8.75；10.5；12.25 【分析】先根据下四分位数、中位数、上四分位数的定义，确定下四分位数、中位数、上四分位数的位置，再根据下四分位数、中位数、上四分位数的意义求出结果即可. 【详解】解：这组数据的下四分位数位置 = ， 中位数位置 = ， 上四分位数位置 = ， 下四分位数 = ， 中位数 = ， 上四分位数 = ， 故答案为： . 【变式2-14】数学兴趣小组对圆周率π小数点后90位数字进行统计，结果如下表，该组数据的上四分位数、下四分位数依次为： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为(　　) A．8， 3 B．9， 2 C．7， 3 D．8， 2 【答案】D 【分析】根据上四分位数、下四分位数的定义解答即可. 【详解】解：把90位数字从小到大排列，排在第67和68个数分别是8、8， 故上四分位数为， 排在第22和 23个数分别是 2、2，故下四分位数为. 故选：D. 【变式2-15】已知一组数据从小到大排列为：1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18，则这组数据的第一四分位数为　 　. 【答案】4 【分析】根据四分位数的定义，先确定其位置，再计算求 第一四分位数 . 【详解】解：=3.25，=4， ∴ 这组数据的第一四分位数为 4. 故答案为：4 . 【变式2-16】小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图所示的统计图，这20位同学本学期购买课外书的花费的中位数是　 　，下四分位数是　 　。 【答案】50元；40元 【分析】根据中位数和下四分位数的定义解答即可. 【详解】解：排列后中位数应为该数据的50%，即在C组中，故为50元， 下四分位数是第5个数据与第6个数据的平均数， 第5个数据为30元，第6个数据位50元， ∴下四分位数为元， 故答案为：50元；40元. 【变式2-17】如图所示为某市某段时间内8个整点时刻的气温预报图，则这8个整点时刻气温数据的中位数是　 　，上四分位数是　 　。 【答案】16；21 【分析】根据中位数和上四分位数的定义解答即可. 【详解】解：从小到大的顺序排列为9，9，9，15，17，19，23，23， 中位数为 16， 上四分位数为 故答案为：16，21. ▌题型03 数据的离散程度 1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大. 2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫作这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 3）标准差：方差的算术平方根叫作这组数据的标准差，用“s”表示，即 4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性. 【典例3】某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（　　） A．平均数是9.5 B．中位数是9.5 C．众数是9 D．方差是1 【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A选项：平均数，故本选项不符合题意； B选项：该组成绩的中位数是，故本选项不符合题意； C选项：∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意； D选项：该组成绩数据的方差，故本选项符合题意； 故选：D 【变式3-1】小金在计算一组较大的数据的平均数和方差时，他先将原数据中的每一个数都减去某个相同的正数，然后对所得的新数据进行统计分析，新数据与原数据相比（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变小，方差不变 D．平均数变小，方差变大 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都减去同一个正数后，方差不变，平均数变小，即可得出答案． 【详解】解：一组数据的每一个数都加上减去同一正数a， 则新数据的平均数减小，但是数据的波动情况不变，即方差不变. 故选：C． 【变式3-2】小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径（单位：），他将得到的数据进行分析并列出方差公式为：，则该组数据的平均数与众数分别（    ） A．60，50 B．60，60 C．70，60 D．70，70 【答案】B 【分析】先根据方差的计算公式得出这组数据分别为50、50、60、60、60、70、70，再利用平均数和众数的概念求解即可． 【详解】解：由方差的计算公式得出这组数据分别为50、50、60、60、60、70、70， ∴这组数据的平均数为，众数为60， 故选：B． 【变式3-3】学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：4，5，6，5，10．这组数据的中位数、方差是（    ） A．5， B．5， C．6， D．6， 【答案】A 【分析】根据方差和中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大排列为：4，5，5，6，10， ∴这组数据的中位数为5 ； ∵这组数据的平均数为， ∴这组数据的方差为， 故选A． 【变式3-4】在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为，且方差分别为，，，，则这四队女演员的身高最整齐的是（　　） A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队 【答案】D 【分析】根据方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．判断选择即可． 【详解】解：∵，，，， ∴丁队的方差最小， ∴这四队女演员的身高最整齐的是丁队， 故选：D． 【变式3-5】甲、乙、丙、丁四名学生进行体育训练，近期10次测试的立定跳远成绩的平均数和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均成绩/米 方差/米2 则成绩既好又稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】分析数据，乙和丙的成绩最好，根据方差越小越稳定，比较出乙、丙方差的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴乙和丙的成绩最好， ∵，方差越小越稳定， ∴乙成绩既好又稳定， 故选：B． 【变式3-6】A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A． ＞且SA2＞SB2 B．＞且SA2＜SB2 C．＜且SA2＞SB2 D．＜且SA2＜SB2 【答案】B 【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可． 【详解】解：A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，当A的平均数大于B，且方差比B小时，能说明A成绩较好且更稳定． 故选：B． 【变式3-7】已知两个样本，甲样本的方差是，乙样本的方差是，则下列说法正确的是（        ） A．甲的样本容量小 B．乙的样本容量小 C．甲的波动较小 D．乙的波动较小 【答案】D 【分析】根据方差是反映数据波动大小的量可以得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴乙的波动小， 故选：D． 【变式3-8】小聪的妈妈在网上销售装饰品。最近一周，每天销售某种装饰品的个数为2，4，8，11，10，12，15，按照组内离差平方和最小分为两组为（　　） A．（2，4），（8，11，10，12，15） B．（2，4，8），（10，11，12，15） C．（2，4，8，10），（11，12，15） D．（2，4，8，10，11），（12，15） 【答案】A 【分析】分别计算各选项中 组内离差平方和，然后比较解答即可. 【详解】解：A：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； B：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； C：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； D：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； 故答案为：A. 【变式3-9】一支仪仗队队员的身高（单位：cm）：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179，这支仪仗队队员身高数据的离差平方和为　 　，方差为　 　。 【答案】6；0.6 【分析】先求出平均数，然后根据方差公式计算解答即可. 【详解】解：这支仪仗队队员身高的平均数为：(178+177+179+179+178+178+177+178+177+179)÷10 (厘米) 这支仪仗队队员身高数据的离差平方和为 ： =6 ∴ 方差为， 故答案为：6；0.6. ▌题型04 箱线图 【典例4】体育老师统计了八 (1)班和八(2)班学生的1min跳绳次数，并绘制成如下的箱线图.下列说法正确的是(　　) A．八(1)班1min跳绳次数更集中 B．1min跳绳次数最小值出现在八(2)班 C．两个班级1min跳绳次数的中位数相等 D．八(2)班的第三四分位数比八(1)班的第三四分位数大 【答案】D 【分析】根据箱线图中的五个数据“最大值、上四分位数、中位数、下次分位数和最小值”逐项判断即可. 【详解】解：根据箱线图可知八（1）班：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值； 八（2）班：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值； A选项：数据的离散程度越小越集中，八（1）班的极差为，四分位距为，都大于八（2）班，因此八（2）班跳绳次数更集中，A错误； B选项：最小值为，出现在八（1）班，B错误； C选项：八（1）班中位数为，八（2）班中位数为，不相等，C错误； D选项：八（2）班第三四分位数大于八（1）班的，D正确． 故答案为：D. 【变式4-1】观察一组数据的箱线图，发现箱子的上限离中位数更远而离最大值更近，这表明该组数(　　) A．数据分布比较均匀 B．大部分数据集中在中位数到最大值之间 C．存在较多较大的极端值 D．下四分位数和中位数差距较大 【答案】B 【分析】根据箱线图的有关知识解答即可. 【详解】解：箱线图的箱子部分，下沿是第一四分位数( 上沿是第三四分位数中间线是中位数下半截箱子是 上半截箱子是如果上半截箱子比下半截箱子 短，说明更靠近也就是较大值到中位数的数据更密集，大部分数据集中在较大值一端. 故选： B. 【变式4-2】学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图(如图)，下列说法错误的是(　　) A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征，利用中位数、众数和平均数的定义解答即可． 【详解】解：由箱线图可知： 男生跳绳个数最多为208个，故选项A说法正确； 女生跳绳成绩波动更小，更稳定，不符合题意； 男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，故选项C说法正确； 男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数，故选项D说法错误； 故选：D． 【变式4-3】甲、乙两支仪仗队队员人数相同的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是　 　仪仗队填“甲”或“乙” 【答案】甲 【分析】本题考查箱线图的意义与数据离散程度的判断，箱线图可以直观展示数据的分布范围与集中程度。身高是否匀称对应数据的波动大小，数据分布范围越窄、越集中，说明波动越小、整齐度越高。从图中可以看出甲队的身高整体分布区间更小，离散程度更低，因此甲仪仗队的身高更为匀称。 【详解】解：身高匀称代表身高数据的波动程度小，从箱线图来看，数据分布范围越窄，波动越小。 观察图像可知，乙仪仗队的身高极差更大，数据分布更分散；甲仪仗队的身高数据分布更集中，波动更小，因此身高更匀称。 故答案为：甲 【变式4-4】在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的　 　部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数　 　中位数（填“大于”或“小于”）. 【答案】前半；大于 【分析】根据箱线图和四分位数的定义解答即可. 【详解】解：在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的前半部分越集中，这组数据的平均数大于中位数， 故答案为：前半，大于. 【变式4-5】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98。 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95。 （1）求甲组数据的四分位数。 （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图。 （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法。 【答案】(1)m25=70， m50= ；（2）见详解；（3）甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大 【分析】(1)先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； (2)根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； (3)根据箱线图和四分位数比较两组数据即可. 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80， 89， 91， 92， 96， 98， 100， ∴ m25=70， m50= （2）解：如图。 ​​​​​​​ （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大。(合理即可) 【变式4-6】在某场女排决赛中，A队战胜B队获得冠军。下图反映了两队队员拦网高度情况，　 　队拦网高度更高。 【答案】A 【分析】直接通过观察箱线图分析即可. 【详解】解：观察图形可知，A队箱线图的整体位置明显高于B队，A队中位数、最大值、最小值均高于B队，所以A队拦网高度更高. 【变式4-7】观察如图所示的箱线图，下列说法不正确的是(　　) A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的上四分位数是15 C．这组数据的中位数是10 D．这组数据的最小值是3，最大值是18 【答案】C 【分析】根据“箱线图”确定数据的四分位数及中位数、数据最值. 【详解】解：根据“箱线图”知， 数据的下四分位数是4 ， 数据的上四分位数是15 ， 数据的中位数是10 .5， 数据的最小值是3，最大值是18 ， 综上所述，C选项描述不正确， 故答案为：C . 【变式4-8】体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（　　） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【分析】先明确箱线图的结构，清楚它每个部分代表的实际意义，再逐个对选项进行判断分析就可以得出结论. 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 故答案为：D. 【变式4-9】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】本题结合两个图中的信息和条件，结合箱线图、四分位数的定义逐项进行分析即可得出答案。 【详解】】解：A，由图2可知，一班成绩的极差(最大值减最小值)更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； B，一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端(下四分位数)，因此B错误； C，一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； D，由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误； 故答案为：C. 【变式4-10】在某手机评测机构的一项手机续航能力研究中，针对市场上两种新型手机，正在进行续航能力测试.研究人员对使用这两种手机的用户进行了跟踪观察，每种手机各选取了 10 组不同的用户样本，每组样本包含一定数量的用户，经过一段时间的使用后，记录下每组用户的手机续航时间，请问本次测试中，这批手机续航时间的上四分位数是　 　，下四分位数是　 　，最大值是　 　，最小值是　 　. 【答案】10.875；8.625；13；7 【分析】根据箱线图中从上到下得五个数据分别为最大值、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值解答即可. 【详解】解：由箱线图知，该批次手机续航时间数据的第一四分位数是8.625，第三四分位数是10.875，最大值是13， 最小值是7， 中位数是9.75. 故答案为：10.875；8.625；13； 7. 【变式4-11】如图为某地区2025年5月和6月的空气质量指数（AQI）的箱线图，AQI值越小，空气质量越好． （1）该地区在这两个月中，哪个月的AQI值分布比较集中？ （2）你认为该地区哪个月的空气质量更好，请说明理由． 【答案】（1）解：观察箱线图，5月的箱形更窄，数据更集中，6月的箱形更宽，数据更分散，∴该地区5月的AQI值分布比较集中 （2）解：观察箱线图，5月AQI值更小，故5月空气质量更好 【分析】本题以空气质量指数（AQI）的箱线图为背景，考查了统计图中数据分布集中程度及数据大小的比较。 (1) 观察箱线图的箱体宽度，箱体越窄说明数据越集中。 (2) 比较两个箱线图的整体位置（AQI值大小），AQI值越小空气质量越好。 【详解】（1）解：观察箱线图，5月的箱形更窄，数据更集中，6月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区5月的AQI值分布比较集中． （2）观察箱线图，5月AQI值更小，故5月空气质量更好． 【变式4-12】根据国家卫生健康委员会发布的《7岁以下儿童生长标准》，3岁和4岁儿童年龄别身高的部分百分位数值如下表. 3岁和4岁儿童年龄别身高的百分位数值表 单位：厘米 性别 年龄 m25 m50 m75 男童 3岁 95.1 97.5 99.9 4岁 102.3 104.9 107.5 女童 3岁 93.9 96.2 98.5 4岁 101.1 103.7 105.3 （1）上表中，4岁男童m25的数值为102.3厘米，其实际意义是什么? （2）女童小丽3周岁，身高98.6厘米.她至少比百分之几的同龄女童长得高? 【答案】（1） 在4岁男童中，有25%的男童身高低于或等于102.3厘米，75%的男童身高高于102.3厘米；（2）小丽至少比75%的同龄女童长得高. 【分析】（1）理解百分位数值的含义，即 表示有25%的儿童身高低于该数值，75%的儿童身高高于该数值； （2）需要根据小丽的身高和同龄女童的百分位数值表，判断她至少比百分之几的同龄女童长得高. 【详解】（1）解：4岁男童m25的数值为102.3厘米的实际意义是 在4岁男童中，有25%的男童身高低于或等于102.3厘米，75%的男童身高高于102.3厘米； （2）解：小丽的身高98.6厘米大于 厘米，这意味着小丽的身高高于75%的同龄女童。 答：小丽至少比75%的同龄女童长得高. ▌题型05 统计量的选择 【典例5】某中学八年级有名同学参加了“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，他们的初赛成绩各不相同，要取前名同学参加决赛，其中小智同学已经知道了自己的初赛成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】由于有名同学参加“感恩最美逆行者”演讲比赛，要取前名参加决赛，故应考虑中位数的大小． 【详解】解：共有名学生参加“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，取前名，所以小智需要知道自己的成绩是否进入前，我们把所有同学的成绩按大小顺序排列， 第名的成绩是这组数据的中位数，所以小智知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛． 故选：C． 【变式5-1】九年级某班准备从班上名女生中，挑选名身高较高的同学参加校排球比赛，若这名女生的身高各不相同，其中女生小红想知道自己能否入选，只需知道这名女生身高数据的（　） A．中位数 B．平均数 C．最小值 D．方差 【答案】A 【分析】由于共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的大小． 【详解】解：共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，所以小红需要知道自己是否入选． 我们把所有同学的身高按大小顺序排列，第名学生的身高是这组数据的中位数， 所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选． 故选：A． 【变式5-2】为落实“双减”，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（    ） A．最大数据 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】分别求得各选项中的统计量，结合中位数的意义可作出选择． 【详解】解：这组数据的最大数据是19，众数是8，中位数是10，平均数为， 根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，说明大约有一半同学可以完成10道数学题，其依据是统计数据中的中位数， 故选：C． 【变式5-3】农历五月初五是端午节，为继承和发扬民族优秀传统文化，某班组织“粽享文化”为主题的演讲比赛，比赛成绩由高到低设立一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名，甲同学参加了演讲比赛，并且比赛成绩进入了前19名（比赛成绩都不相同），该同学想知道自己能否获奖，需比较自己的成绩与前19名同学成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：该同学比赛成绩进入了前19名，想知道自己能否获奖，即成绩需排在前9名， 需比较自己的成绩与前19名同学成绩的中位数， 故选：C． 【变式5-4】运动鞋的鞋底柔软而富有弹性，能起到一定的缓冲作用，防止脚踝受伤，某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如表所示．在下列统计量中，对该运动鞋品牌店店主下次进货最具有参考意义的是（    ） 鞋的尺码/cm 24 25 26 销售量/双 3 8 16 10 6 2 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数． 【详解】解：对鞋店再次进货来说，店主最关注的是哪一型号的卖得最多，即这组数据的众数． 故选：C． 【变式5-5】某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如下： 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店决定本月多进一些23.5尺码的鞋，这一决定运用了统计量中刻画数据特征的量为（    ） A．平方数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数，据此即可得到答案． 【详解】解：观察表格可知，23.5尺码的鞋的销售量最多，即这组数据的众数为23.5， ∴该鞋店决定本月多进一些23.5尺码的鞋，这一决定运用了统计量中刻画数据特征的量为众数， 故选B． 【变式5-6】某鞋店试销一种新款皮鞋，试销期间卖出情况如下表所示： 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量/双 3 5 10 15 8 3 2 店主再进这款皮鞋时，打算多进尺码为皮鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】最值得关注的应该是哪种尺码喜欢的人数最多，即众数可解答此题． 【详解】由表知这组数据中出现的次数最多，即这组数据的众数为 所以他做这个决定是重点关注了这组数据的众数 故选B． 【变式5-7】一段时间内，一家童装店为了解某种童装的销售情况，对各种尺码童装的销量进行了统计分析．童装店老板最关心的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据题意，应该关注哪种尺码销量最多． 【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故应该关注这组数据中的众数． 故选：C． 【变式5-8】年3月日，黄岩小将黄雨婷在射击世界杯印度博帕尔站女子米气步枪比赛中获得金牌．现某校也开展了射击的兴趣小组活动，有甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵， ∴丁发挥稳定， ∴选择丁参加比赛． 故选：D． 【变式5-9】全国花样滑冰锦标赛是中国花样滑冰传统三大赛事之一，吸引众多国内名将亮相．为选择合适的运动员参赛，将甲、乙、丙、丁四位运动员4次单人滑冰的自由滑比赛成绩进行统计，得到的平均成绩和方差如下表所示：你认为派谁去参赛更合适（　　）． 甲 乙 丙 丁 平均成绩（分） 76 75 76 75 方差 A．丁 B．甲 C．乙 D．丙 【答案】D 【分析】需要选择平均成绩大且方差小的运动员即可． 【详解】解：根据表格可知，甲、丙的平均成绩大，即甲、丙的自由滑比赛成绩好， 丙的方差小于甲的方差， 丙的成绩稳定， 应该选择丙运动员参赛更合适， 故选：D． 【变式5-10】价格、配置皆相同的甲、乙两种品牌电脑，各抽取五台同时开机进行质量测试，测试结果量化分值如下：，，，，若顾客要从甲、乙两种品牌电脑中选购一台，你应该推荐的品牌是（    ） A．甲品牌 B．乙品牌 C．甲、乙品牌都一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方差越小，波动性越小，进行判断；通过比较两种品牌电脑量化分值的平均数与方差，即可得到结论． 【详解】由于两种品牌电脑量化分值的平均分相等，且甲品牌电脑的方差小于乙的方差， 所以应该推荐的是甲品牌． 故选：A． 【变式5-11】如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：，，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】利用平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】解：由折线统计图可知，甲、丙的平均成绩高于乙、丁的平均成绩，并且甲成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙成绩相对于平均成绩的波动幅度， 这四人中甲的成绩好又发挥稳定， 故选：A    ． 【变式5-12】黄河是中华民族的母亲河，保护黄河是事关中华民族伟大复兴的千秋大计．2023年4月1日，《中华人民共和国黄河保护法》施行，为响应“保护黄河青春行”系列主题活动，在黄河岸边的某校特举行“黄河小小讲解员”选拔比赛、选拔赛主要从主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象四方面进行打分，小宇、小叶、小珍的成绩如下，下面判断正确的是（    ） 评分细则 选手 小宇 小叶 小珍 主题内容 8 9 7 语言表达 8 7 7 仪态形象 8 7 9 综合印象 7 6 8 A．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按1:1:1:1打分、小珍将会获得胜利 B．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，30%，20%，10%计算平均分，则小叶将会获得胜利 C．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，20%，20%，20%计算平均分，则小宇将会获得胜利 D．若你认为主题内容和语言表达都很重要，所以将主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象的得分比例设计为4:3:2:1 【答案】C 【分析】根据加权平均数的定义分别计算即可判断． 【详解】A选项，按照，就是把各自四项得分相加，小宇和小珍都是31分，所以A错误； B选项，按计算得分，就是每一项乘这个相应的“权”，例如小宇的得分为分，同理计算小叶和小珍分别为7.7和7.5，小宇会获胜，所以B错误； C选项，同上计算，C正确； D选项，主题内容和语言表达都很重要，需要这两项的“权”最大且相等，所以按照不正确． 【变式5-13】在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（    ）    A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的极差相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D．男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 【答案】D 【分析】先分别求出男生、女生投篮命中次数的平均数、方差、中位数、极差，再逐项判断即可得． 【详解】解：男生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 女生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 则男生投篮命中次数的平均数为， 男生投篮命中次数的方差为， 女生投篮命中次数的平均数为， 女生投篮命中次数的方差为， 男生投篮命中次数的极差为，女生投篮命中次数的极差为， 所以选项B说法错误； 男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5， 所以选项C说法错误； 由平均数相等可知男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定，故选项A说法错误，选项D说法正确； 故选：D． 【变式5-14】在统计学中，我们用方差来衡量一组数据波动的大小．下列说法正确的有（　　） ①有一组数据：a，b，c，d（）．将这组数据改变为：，b，c，．设这组数据改变前后的方差分别是，，则； ②若40个数据的平方和是40，平均数是，则这组数据的方差为； ③已知一组数据，，…的平均数为1，方差为，若在这组数据中加入另一个数据，重新计算，平均数无变化，则这10个数据的方差为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据这组数据改变后，数据的波动变大了可知方差变大了，然后可得①正确；设这40个数据分别为，，，…，，根据题意和平均数的计算方法得出，，然后整体代入方差公式进行计算，即可得到②正确；根据方差的计算公式求出，然后整体代入计算，即可得到③正确． 【详解】解：①∵这组数据改变后，数据的波动变大了， ∴，说法正确； ②设这40个数据分别为，，，…，， ∴，， ∴这组数据的方差为 ，说法正确； ③∵一组数据，，…的平均数为1，加入另一个数据，平均数无变化， ∴， ∵一组数据，，…的方差为， ∴， ∴， ∴这10个数据的方差为，说法正确； ∴说法正确的有3个， 故选：D． 【变式5-15】下列说法正确的是（    ） A．已知一组数据：2，2，3，4，该组数据的众数是2，中位数是2.5 B．要了解一批烟花的燃放时间，应采用全面调查的方法 C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定 D．打开电视机，正在播放“永州新闻”是必然事件 【答案】A 【分析】利用众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及随机事件的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确，符合题意； B、要了解一批烟花的燃放时间，适合抽样调查，故错误，不符合题意； C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故错误，不符合题意； D、打开电视机，正在播放“永州新闻”是随机事件，故错误，不符合题意； 故选：A． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据的分析 （题型突破·举一反三） 题型01 数据的集中趋势——平均数 题型02 数据的集中趋势——中位数、众数 题型03 数据的离散程度 题型04 箱线图 题型05 统计量的选择 ▌题型01 数据的集中趋势——平均数 （1）算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。 公式：平均数== 【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。 （2）加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫作这个数的加权平均数. 【典例1】小聪期末语文、数学、英语三科的平均分为122分，已知语文成绩是118分，英语成绩是125分，则他的数学成绩是（    ） A．122分 B．123分 C．124分 D．125分 【变式1-1】为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，随机抽查了若干名居民，得分情况如表所示： 得分 6 7 8 9 10 人数 4 10 15 11 10 则抽查的居民得分的平均分为 （　　) A．8 B．8.26 C．9.2 D．10 【变式1-2】一次演讲比赛中，小明的成绩如下：演讲内容为70分，演讲能力为60分，演讲效果为88分。若演讲内容、演讲能力、演讲效果的成绩按4∶2∶4计算，则他的平均分为（　　） A．74.2分 B．75.2分 C．76.2分 D．77.2分 【变式1-3】若一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a等于 （　　） A．0 B．3 C．4 D．5 【变式1-4】右面是某市五所小学学生人数的情况统计图，不计算，估计这五所小学学生的平均人数大约是（    ）    A．1910 B．2800 C．2100 D．2300 【变式1-5】在数据4，5，6，5中去掉个数据，若平均数没有发生变化，则的值是（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或2或3 D．1或2 【变式1-6】若一组数据，，，，的平均数为，那么数据，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-7】我校为推荐一项作品参加人工智能的“思创杯”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（满分100）如上表，如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） 项目 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-8】某校规定学生综合素质评价成绩满分为100分，其中思想品德占，学业水平成绩占，艺术素养占，身心健康占，社会实践占，劳动教育占．小兵这学期的六项成绩依次为80分，90分，85分，95分，90分，85分，则小兵这学期的综合素质评价成绩是（    ） A．85分 B．分 C．分 D．90分 【变式1-9】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【变式1-10】已知：x1，x2，x3...x10的平均数是a,x11，x12，x13...x50的平均数是b,则x1，x2，x3...x50的平均数是（        ） A．a＋b B． C． D． ▌题型02 数据的集中趋势——中位数、众数 1.中位数 （1）中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。 （2）确定中位数的一般步骤： 第1步：排序，由大到小或由小到大。 第2步：确定是奇数个数据（位的数为中位数）或偶数个数据（位的数和位的数的平均数为中位数）。 第3步：如果是奇数个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数个数据，中位数是中间两个数据的平均数。 2.众数 （1）众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。 （2）众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。 【典例2】《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．2，2 B．2， C．2，3 D．3，3 【变式2-1】已知一组数据1，3，0，x，2，2，3有唯一的众数3，则这组数据的平均数、中位数分别是（　　） A．2，3 B．3，2 C．2，2 D．3，3 【变式2-2】五名同学进行投篮练习，规定每人投次，统计他们每人投中的次数，得到个数据，若这个数据的中位数是，唯一众数是设另外两个数据分别是，，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】伴随着2022年北京冬奥会的热度以及国家政策的大力支持，我国冰雪旅游业已经驶入快车道，在游客需求及高品质冰雪旅游供给的刺激下，2020-2021年冰雪季，我国冰雪旅游收入大幅回升并突破3900亿元，预计未来几年我国冰雪旅游收入将保持增长态势，下图是2017-2021年我国冰雪旅游收入情况． 则2017-2021年我国冰雪旅游收入的中位数和众数分别是（    ） A．3580亿元，没有众数 B．2660亿元，没有众数 C．3580亿元，3900亿元 D．2660亿元，3900亿元 【变式2-5】某射击运动员进行5次射击训练，成绩分别是：5，6，8，8，9（单位：环），这组数据的众数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-6】一组数据由5个正整数组成，其中位数是3．如果这组数据的唯一众数是4，那么这组数据的和为(    ) A．13 B．14 C．15 D．14或15 【变式2-7】已知一组数据分别为，，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-8】某志愿者团队10名成员本年参加公益活动情况统计如表，关于活动次数的数据统计，描述正确的是（　　） 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 A．中位数是8，众数是3 B．中位数是3，众数是3 C．中位数是3，众数是8 D．中位数是8，众数是8 【变式2-9】某水果店“五一”假期每天销售某种水果的数量（单位：）分别为：，，，，．则这组数据的众数、中位数分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2-10】某校九年级1班10名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：88，90，75，88，90，91，92，100，80，88则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（　　） A．88，90 B．90，90.5 C．90，89 D．88，89 【变式2-11】在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分分别为：，，，，，，（单位：分）去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，这五个有效评分的平均数和众数分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2-12】一家汽车零售店 9名销售人员 5月份销售的汽车数量(单位：辆)如下：2，3，9，10，5，11，12，12，14，则汽车销售数量的第一四分位数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 【变式2-13】为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度(单位：厘米)如下： 8， 8， 9， 9， 10， 11， 12， 12， 13， 14. 则这组数据的下四分位数是　 　，中位数是　 　，上四分位数是　 　. 【变式2-14】数学兴趣小组对圆周率π小数点后90位数字进行统计，结果如下表，该组数据的上四分位数、下四分位数依次为： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为(　　) A．8， 3 B．9， 2 C．7， 3 D．8， 2 【变式2-15】已知一组数据从小到大排列为：1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18，则这组数据的第一四分位数为　 　. 【变式2-16】小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图所示的统计图，这20位同学本学期购买课外书的花费的中位数是　 　，下四分位数是　 　。 【变式2-17】如图所示为某市某段时间内8个整点时刻的气温预报图，则这8个整点时刻气温数据的中位数是　 　，上四分位数是　 　。 ▌题型03 数据的离散程度 1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大. 2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫作这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 3）标准差：方差的算术平方根叫作这组数据的标准差，用“s”表示，即 4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性. 【典例3】某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（　　） A．平均数是9.5 B．中位数是9.5 C．众数是9 D．方差是1 【变式3-1】小金在计算一组较大的数据的平均数和方差时，他先将原数据中的每一个数都减去某个相同的正数，然后对所得的新数据进行统计分析，新数据与原数据相比（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变小，方差不变 D．平均数变小，方差变大 【变式3-2】小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径（单位：），他将得到的数据进行分析并列出方差公式为：，则该组数据的平均数与众数分别（    ） A．60，50 B．60，60 C．70，60 D．70，70 【变式3-3】学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：4，5，6，5，10．这组数据的中位数、方差是（    ） A．5， B．5， C．6， D．6， 【变式3-4】在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为，且方差分别为，，，，则这四队女演员的身高最整齐的是（　　） A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队 【变式3-5】甲、乙、丙、丁四名学生进行体育训练，近期10次测试的立定跳远成绩的平均数和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均成绩/米 方差/米2 则成绩既好又稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3-6】A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A． ＞且SA2＞SB2 B．＞且SA2＜SB2 C．＜且SA2＞SB2 D．＜且SA2＜SB2 【变式3-7】已知两个样本，甲样本的方差是，乙样本的方差是，则下列说法正确的是（        ） A．甲的样本容量小 B．乙的样本容量小 C．甲的波动较小 D．乙的波动较小 【变式3-8】小聪的妈妈在网上销售装饰品。最近一周，每天销售某种装饰品的个数为2，4，8，11，10，12，15，按照组内离差平方和最小分为两组为（　　） A．（2，4），（8，11，10，12，15） B．（2，4，8），（10，11，12，15） C．（2，4，8，10），（11，12，15） D．（2，4，8，10，11），（12，15） 【变式3-9】一支仪仗队队员的身高（单位：cm）：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179，这支仪仗队队员身高数据的离差平方和为　 　，方差为　 　。 ▌题型04 箱线图 【典例4】体育老师统计了八 (1)班和八(2)班学生的1min跳绳次数，并绘制成如下的箱线图.下列说法正确的是(　　) A．八(1)班1min跳绳次数更集中 B．1min跳绳次数最小值出现在八(2)班 C．两个班级1min跳绳次数的中位数相等 D．八(2)班的第三四分位数比八(1)班的第三四分位数大 【变式4-1】观察一组数据的箱线图，发现箱子的上限离中位数更远而离最大值更近，这表明该组数(　　) A．数据分布比较均匀 B．大部分数据集中在中位数到最大值之间 C．存在较多较大的极端值 D．下四分位数和中位数差距较大 【变式4-2】学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图(如图)，下列说法错误的是(　　) A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 【变式4-3】甲、乙两支仪仗队队员人数相同的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是　 　仪仗队填“甲”或“乙” 【变式4-4】在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的　 　部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数　 　中位数（填“大于”或“小于”）. 【变式4-5】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98。 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95。 （1）求甲组数据的四分位数。 （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图。 （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法。 【变式4-6】在某场女排决赛中，A队战胜B队获得冠军。下图反映了两队队员拦网高度情况，　 　队拦网高度更高。 【变式4-7】观察如图所示的箱线图，下列说法不正确的是(　　) A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的上四分位数是15 C．这组数据的中位数是10 D．这组数据的最小值是3，最大值是18 【变式4-8】体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（　　） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【变式4-9】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【变式4-10】在某手机评测机构的一项手机续航能力研究中，针对市场上两种新型手机，正在进行续航能力测试.研究人员对使用这两种手机的用户进行了跟踪观察，每种手机各选取了 10 组不同的用户样本，每组样本包含一定数量的用户，经过一段时间的使用后，记录下每组用户的手机续航时间，请问本次测试中，这批手机续航时间的上四分位数是　 　，下四分位数是　 　，最大值是　 　，最小值是　 　. 【变式4-11】如图为某地区2025年5月和6月的空气质量指数（AQI）的箱线图，AQI值越小，空气质量越好． （1）该地区在这两个月中，哪个月的AQI值分布比较集中？ （2）你认为该地区哪个月的空气质量更好，请说明理由． 【变式4-12】根据国家卫生健康委员会发布的《7岁以下儿童生长标准》，3岁和4岁儿童年龄别身高的部分百分位数值如下表. 3岁和4岁儿童年龄别身高的百分位数值表 单位：厘米 性别 年龄 m25 m50 m75 男童 3岁 95.1 97.5 99.9 4岁 102.3 104.9 107.5 女童 3岁 93.9 96.2 98.5 4岁 101.1 103.7 105.3 （1）上表中，4岁男童m25的数值为102.3厘米，其实际意义是什么? （2）女童小丽3周岁，身高98.6厘米.她至少比百分之几的同龄女童长得高? ▌题型05 统计量的选择 【典例5】某中学八年级有名同学参加了“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，他们的初赛成绩各不相同，要取前名同学参加决赛，其中小智同学已经知道了自己的初赛成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式5-1】九年级某班准备从班上名女生中，挑选名身高较高的同学参加校排球比赛，若这名女生的身高各不相同，其中女生小红想知道自己能否入选，只需知道这名女生身高数据的（　） A．中位数 B．平均数 C．最小值 D．方差 【变式5-2】为落实“双减”，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（    ） A．最大数据 B．众数 C．中位数 D．平均数 【变式5-3】农历五月初五是端午节，为继承和发扬民族优秀传统文化，某班组织“粽享文化”为主题的演讲比赛，比赛成绩由高到低设立一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名，甲同学参加了演讲比赛，并且比赛成绩进入了前19名（比赛成绩都不相同），该同学想知道自己能否获奖，需比较自己的成绩与前19名同学成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式5-4】运动鞋的鞋底柔软而富有弹性，能起到一定的缓冲作用，防止脚踝受伤，某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如表所示．在下列统计量中，对该运动鞋品牌店店主下次进货最具有参考意义的是（    ） 鞋的尺码/cm 24 25 26 销售量/双 3 8 16 10 6 2 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式5-5】某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如下： 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店决定本月多进一些23.5尺码的鞋，这一决定运用了统计量中刻画数据特征的量为（    ） A．平方数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式5-6】某鞋店试销一种新款皮鞋，试销期间卖出情况如下表所示： 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量/双 3 5 10 15 8 3 2 店主再进这款皮鞋时，打算多进尺码为皮鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式5-7】一段时间内，一家童装店为了解某种童装的销售情况，对各种尺码童装的销量进行了统计分析．童装店老板最关心的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式5-8】年3月日，黄岩小将黄雨婷在射击世界杯印度博帕尔站女子米气步枪比赛中获得金牌．现某校也开展了射击的兴趣小组活动，有甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式5-9】全国花样滑冰锦标赛是中国花样滑冰传统三大赛事之一，吸引众多国内名将亮相．为选择合适的运动员参赛，将甲、乙、丙、丁四位运动员4次单人滑冰的自由滑比赛成绩进行统计，得到的平均成绩和方差如下表所示：你认为派谁去参赛更合适（　　）． 甲 乙 丙 丁 平均成绩（分） 76 75 76 75 方差 A．丁 B．甲 C．乙 D．丙 【变式5-10】价格、配置皆相同的甲、乙两种品牌电脑，各抽取五台同时开机进行质量测试，测试结果量化分值如下：，，，，若顾客要从甲、乙两种品牌电脑中选购一台，你应该推荐的品牌是（    ） A．甲品牌 B．乙品牌 C．甲、乙品牌都一样 D．无法确定 【变式5-11】如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：，，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式5-12】黄河是中华民族的母亲河，保护黄河是事关中华民族伟大复兴的千秋大计．2023年4月1日，《中华人民共和国黄河保护法》施行，为响应“保护黄河青春行”系列主题活动，在黄河岸边的某校特举行“黄河小小讲解员”选拔比赛、选拔赛主要从主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象四方面进行打分，小宇、小叶、小珍的成绩如下，下面判断正确的是（    ） 评分细则 选手 小宇 小叶 小珍 主题内容 8 9 7 语言表达 8 7 7 仪态形象 8 7 9 综合印象 7 6 8 A．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按1:1:1:1打分、小珍将会获得胜利 B．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，30%，20%，10%计算平均分，则小叶将会获得胜利 C．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，20%，20%，20%计算平均分，则小宇将会获得胜利 D．若你认为主题内容和语言表达都很重要，所以将主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象的得分比例设计为4:3:2:1 【变式5-13】在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（    ）    A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的极差相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D．男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 【变式5-14】在统计学中，我们用方差来衡量一组数据波动的大小．下列说法正确的有（　　） ①有一组数据：a，b，c，d（）．将这组数据改变为：，b，c，．设这组数据改变前后的方差分别是，，则； ②若40个数据的平方和是40，平均数是，则这组数据的方差为； ③已知一组数据，，…的平均数为1，方差为，若在这组数据中加入另一个数据，重新计算，平均数无变化，则这10个数据的方差为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-15】下列说法正确的是（    ） A．已知一组数据：2，2，3，4，该组数据的众数是2，中位数是2.5 B．要了解一批烟花的燃放时间，应采用全面调查的方法 C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定 D．打开电视机，正在播放“永州新闻”是必然事件 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据的分析 （题型突破·举一反三） ▌题型01 数据的集中趋势——平均数 【典例1】 【答案】B 【分析】由三科的总成绩减去语文成绩和英语成绩即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，他的数学成绩为：（分）， 故选：B． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案. 【详解】解：根据题意，得 =8.26(分). 故选B. 【变式1-2】 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算公式列出式子，再进行计算即可. 【详解】解：根据题意得： (分)， 答：他的平均分为75.2分； 故答案为：B. 【变式1-3】 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式即可求出a即可解题. 【详解】解：由题意，得a=3×5-4-2-5-1=3。 故选：B. 【变式1-4】 【答案】D 【分析】根据统计图取中间2个数，估算即可求解． 【详解】解：依题意，估计这五所小学学生的平均人数大约是人， 故选：D． 【变式1-5】 【答案】C 【分析】先计算这四个数的平均数，再根据在数据4，5，6，5中去掉个数据，平均数没有发生变化，即可得到去掉的数据，从而可以得到的值． 【详解】解：根据题意得： 数据4，5，6，5的平均数为：， 在数据4，5，6，5中去掉个数据，平均数没有发生变化， 去掉的数可能是一个5或两个5或4和6或三个4、5、6， 或2或3， 故选：C． 【变式1-6】 【答案】B 【分析】根据数据，，，，的平均数为可知，据此可得出的值． 【详解】解：数据，，，，的平均数为， ， ， 数据，，，，的平均数为． 故选：B． 【变式1-7】 【答案】B 【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四项候选作品的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可得到答案． 【详解】解：甲的平均成绩（分）， 乙的平均成绩（分）， 丙的平均成绩（分）， 丁的平均成绩（分）， ∵， ∴乙的平均成绩最高， ∴应推荐乙． 故选：B． 【变式1-8】 【答案】C 【分析】按思想品德占，学业水平成绩占，艺术素养占，身心健康占，社会实践占，劳动教育占计算学期综合成绩即可． 【详解】解：小兵这学期的综合素质评价成绩是 （分）． 故选C． 【变式1-9】 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【变式1-10】 【答案】D 【分析】根据平均数及加权平均数的定义解答即可. 【详解】∵x1，x2，x3...x10的平均数是a，x11，x12，x13...x50的平均数是b, ∴x1，x2，x3...x50的平均数是：. 故选D. ▌题型02 数据的集中趋势——中位数、众数 【典例2】 【答案】C 【分析】根据众数和中位数的定义，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵2出现的3次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为2， 将这组数据按大小排序为：2，2，2，3，3，4，5， ∴这组数据中位数为3， 故选：C． 【变式2-1】 【答案】C 【分析】根据题意由有唯一的众数3，可知，然后根据平均数、中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数3， ∴， 将数据从小到大排列为：0，1，2，2，3，3，3， 则平均数， 中位数为：2． 故选：C． 【变式2-2】 【答案】D 【分析】根据题意，，一定是小于的非负整数，且不相等，由此判断即可． 【详解】解：中位数是，唯一众数是， 两个较小的数一定是小于的非负整数，且不相等， ∴两个较小的数最大为和， 的值不可能是． 故选D． 【变式2-3】 【答案】B 【分析】根据题意可得最大的三个数的和是，再求出这五个数据另外2个数的和的取值范围，再写出五个学生投中的次数可能的一组数即可． 【详解】解：∵中位数是6，唯一众数是7， ∴最大的三个数的和是：， 则另外两个数中，最大也只能为5，最小也只能为0，且不重复 ∴另外2个数的和或另外2个数的和， ∴五个学生投中的次数的和或五个学生投中的次数的和， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率或， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是， 故选：B． 【变式2-4】 【答案】A 【分析】众数是出现次数最多的数据，将一组数据按照大小排列后，最中间的数据或中间两个数据的平均数是中位数，根据众数和中位数的定义解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排序后，第2个和第3个数的平均数为（亿元）， ∴中位数为3580亿元， 四个数据均不相等， ∴没有众数， 故选A． 【变式2-5】 【答案】C 【分析】利用众数的定义求解即可． 【详解】解：在这一组数据中8是出现次数是2次，是最多的，故众数是8． 故选：C． 【变式2-6】 【答案】B 【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案． 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：五个整数从小到大排列后，其中位数是3，这组数据的唯一众数是4， 则：比3大的两个数都是4，比3小的两个数是1和2， 即这5个数据分别是1，2，3，4，4． ∴这组数据的和为：． 故选：B． 【变式2-7】 【答案】C 【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据叫做众数得出的值，将数据从小到大（或从大到小）排列可得出中位数． 【详解】解：∵这组数据有一个众数是， ∴， ∴这组数据从小到大排序为：，，，，， ∴这组数据的中位数为， 故选：C． 【变式2-8】 【答案】D 【分析】根据中位数和众数定义解答． 【详解】解：由表格得：次数为8的人数有4人，出现的次数最多，故众数为8， 把这10个数据从小到大排列，排在中间的两个数都是8，故这组数据的中位数为． 故选：D． 【变式2-9】 【答案】A 【分析】首先把所给数据按从小到大排序，然后利用中位数和众数定义即可确定结果． 【详解】解：数据从小到大排列为：，，，，， 所以中位数为； 数据出现了次，最多， 所以这组数据的众数为． 故选：A． 【变式2-10】 【答案】D 【分析】将数据按照从小到大的顺序排序后，中间两个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为众数． 【详解】解：出现次数最多的数据为， ∴众数为； 将数据排序后，中间两位数据分别为， ∴中位数为； 故选D． 【变式2-11】 【答案】C 【分析】先根据题意，得到五个有效评分，再根据平均数和众数的定义即可解答． 【详解】解：去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分为：，，，，， ∴平均数为：， 众数为：； 故选：C． 【变式2-12】 【答案】C 【分析】根据四分位数的定义以及计算方法进行计算即可. 【详解】解：将这组数据从小到大排列为2，3，5，9，10， 11， 12， 12， 14， ∴汽车销售数量的第一四分位数是5， 故答案为：C. 【变式2-13】 【答案】8.75；10.5；12.25 【分析】先根据下四分位数、中位数、上四分位数的定义，确定下四分位数、中位数、上四分位数的位置，再根据下四分位数、中位数、上四分位数的意义求出结果即可. 【详解】解：这组数据的下四分位数位置 = ， 中位数位置 = ， 上四分位数位置 = ， 下四分位数 = ， 中位数 = ， 上四分位数 = ， 故答案为： . 【变式2-14】 【答案】D 【分析】根据上四分位数、下四分位数的定义解答即可. 【详解】解：把90位数字从小到大排列，排在第67和68个数分别是8、8， 故上四分位数为， 排在第22和 23个数分别是 2、2，故下四分位数为. 故选：D. 【变式2-15】 【答案】4 【分析】根据四分位数的定义，先确定其位置，再计算求 第一四分位数 . 【详解】解：=3.25，=4， ∴ 这组数据的第一四分位数为 4. 故答案为：4 . 【变式2-16】 【答案】50元；40元 【分析】根据中位数和下四分位数的定义解答即可. 【详解】解：排列后中位数应为该数据的50%，即再C组中，故为50元， 下四分位数是第5个数据与第6个数据的平均数， 第5个数据为30元，第6个数据位50元， ∴下四分位数为元， 故答案为：50元；40元. 【变式2-17】 【答案】16；21 【分析】根据中位数和上四分位数的定义解答即可. 【详解】解：从小到大的顺序排列为9，9，9，15，17，19，23，23， 中位数为 16， 上四分位数为 故答案为：16，21. ▌题型03 数据的离散程度 【典例3】 【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A选项：平均数，故本选项不符合题意； B选项：该组成绩的中位数是，故本选项不符合题意； C选项：∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意； D选项：该组成绩数据的方差，故本选项符合题意； 故选：D 【变式3-1】 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都减去同一个正数后，方差不变，平均数变小，即可得出答案． 【详解】解：一组数据的每一个数都加上减去同一正数a， 则新数据的平均数减小，但是数据的波动情况不变，即方差不变. 故选：C． 【变式3-2】 【答案】B 【分析】先根据方差的计算公式得出这组数据分别为50、50、60、60、60、70、70，再利用平均数和众数的概念求解即可． 【详解】解：由方差的计算公式得出这组数据分别为50、50、60、60、60、70、70， ∴这组数据的平均数为，众数为60， 故选：B． 【变式3-3】 【答案】A 【分析】根据方差和中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大排列为：4，5，5，6，10， ∴这组数据的中位数为5 ； ∵这组数据的平均数为， ∴这组数据的方差为， 故选A． 【变式3-4】 【答案】D 【分析】根据方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．判断选择即可． 【详解】解：∵，，，， ∴丁队的方差最小， ∴这四队女演员的身高最整齐的是丁队， 故选：D． 【变式3-5】 【答案】B 【分析】分析数据，乙和丙的成绩最好，根据方差越小越稳定，比较出乙、丙方差的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴乙和丙的成绩最好， ∵，方差越小越稳定， ∴乙成绩既好又稳定， 故选：B． 【变式3-6】 【答案】B 【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可． 【详解】解：A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，当A的平均数大于B，且方差比B小时，能说明A成绩较好且更稳定． 故选：B． 【变式3-7】 【答案】D 【分析】根据方差是反映数据波动大小的量可以得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴乙的波动小， 故选：D． 【变式3-8】 【答案】A 【分析】分别计算各选项中 组内离差平方和，然后比较解答即可. 【详解】解：A：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； B：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； C：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； D：两组的平均数为或， 组内离差平方和为； 故答案为：A. 【变式3-9】 【答案】6；0.6 【分析】先求出平均数，然后根据方差公式计算解答即可. 【详解】解：这支仪仗队队员身高的平均数为：(178+177+179+179+178+178+177+178+177+179)÷10 (厘米) 这支仪仗队队员身高数据的离差平方和为 ： =6 ∴ 方差为， 故答案为：6；0.6. ▌题型04 箱线图 【典例4】 【答案】D 【分析】根据箱线图中的五个数据“最大值、上四分位数、中位数、下次分位数和最小值”逐项判断即可. 【详解】解：根据箱线图可知八（1）班：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值； 八（2）班：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值； A选项：数据的离散程度越小越集中，八（1）班的极差为，四分位距为，都大于八（2）班，因此八（2）班跳绳次数更集中，A错误； B选项：最小值为，出现在八（1）班，B错误； C选项：八（1）班中位数为，八（2）班中位数为，不相等，C错误； D选项：八（2）班第三四分位数大于八（1）班的，D正确． 故答案为：D. 【变式4-1】 【答案】B 【分析】根据箱线图的有关知识解答即可. 【详解】解：箱线图的箱子部分，下沿是第一四分位数( 上沿是第三四分位数中间线是中位数下半截箱子是 上半截箱子是如果上半截箱子比下半截箱子 短，说明更靠近也就是较大值到中位数的数据更密集，大部分数据集中在较大值一端. 故选： B. 【变式4-2】 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征，利用中位数、众数和平均数的定义解答即可． 【详解】解：由箱线图可知： 男生跳绳个数最多为208个，故选项A说法正确； 女生跳绳成绩波动更小，更稳定，不符合题意； 男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，故选项C说法正确； 男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数，故选项D说法错误； 故选：D． 【变式4-3】 【答案】甲 【分析】本题考查箱线图的意义与数据离散程度的判断，箱线图可以直观展示数据的分布范围与集中程度。身高是否匀称对应数据的波动大小，数据分布范围越窄、越集中，说明波动越小、整齐度越高。从图中可以看出甲队的身高整体分布区间更小，离散程度更低，因此甲仪仗队的身高更为匀称。 【详解】解：身高匀称代表身高数据的波动程度小，从箱线图来看，数据分布范围越窄，波动越小。 观察图像可知，乙仪仗队的身高极差更大，数据分布更分散；甲仪仗队的身高数据分布更集中，波动更小，因此身高更匀称。 故答案为：甲 【变式4-4】 【答案】前半；大于 【分析】根据箱线图和四分位数的定义解答即可. 【详解】解：在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的前半部分越集中，这组数据的平均数大于中位数， 故答案为：前半，大于. 【变式4-5】 【答案】(1)m25=70， m50= ；（2）见详解；（3）甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大 【分析】(1)先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； (2)根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； (3)根据箱线图和四分位数比较两组数据即可. 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80， 89， 91， 92， 96， 98， 100， ∴ m25=70， m50= （2）解：如图。 ​​​​​​​ （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大。(合理即可) 【变式4-6】 【答案】A 【分析】直接通过观察箱线图分析即可. 【详解】解：观察图形可知，A队箱线图的整体位置明显高于B队，A队中位数、最大值、最小值均高于B队，所以A队拦网高度更高. 【变式4-7】 【答案】C 【分析】根据“箱线图”确定数据的四分位数及中位数、数据最值. 【详解】解：根据“箱线图”知， 数据的下四分位数是4 ， 数据的上四分位数是15 ， 数据的中位数是10 .5， 数据的最小值是3，最大值是18 ， 综上所述，C选项描述不正确， 故答案为：C . 【变式4-8】 【答案】D 【分析】先明确箱线图的结构，清楚它每个部分代表的实际意义，再逐个对选项进行判断分析就可以得出结论. 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 故答案为：D. 【变式4-9】 【答案】C 【分析】本题结合两个图中的信息和条件，结合箱线图、四分位数的定义逐项进行分析即可得出答案。 【详解】】解：A，由图2可知，一班成绩的极差(最大值减最小值)更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； B，一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端(下四分位数)，因此B错错误； C，一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； D，由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误； 故答案为：C. 【变式4-10】 【答案】10.875；8.625；13；7 【分析】根据箱线图中从上到下得五个数据分别为最大值、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值解答即可. 【详解】解：由箱线图知，该批次手机续航时间数据的第一四分位数是8.625，第三四分位数是10.875，最大值是13， 最小值是7， 中位数是9.75. 故答案为：10.875；8.625；13； 7. 【变式4-11】 【答案】（1）解：观察箱线图，5月的箱形更窄，数据更集中，6月的箱形更宽，数据更分散，∴该地区5月的AQI值分布比较集中 （2）解：观察箱线图，5月AQI值更小，故5月空气质量更好 【分析】本题以空气质量指数（AQI）的箱线图为背景，考查了统计图中数据分布集中程度及数据大小的比较。 (1) 观察箱线图的箱体宽度，箱体越窄说明数据越集中。 (2) 比较两个箱线图的整体位置（AQI值大小），AQI值越小空气质量越好。 【详解】（1）解：观察箱线图，5月的箱形更窄，数据更集中，6月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区5月的AQI值分布比较集中． （2）观察箱线图，5月AQI值更小，故5月空气质量更好． 【变式4-12】 【答案】（1） 在4岁男童中，有25%的男童身高低于或等于102.3厘米，75%的男童身高高于102.3厘米；（2）小丽至少比75%的同龄女童长得高. 【分析】（1）理解百分位数值的含义，即 表示有25%的儿童身高低于该数值，75%的儿童身高高于该数值； （2）需要根据小丽的身高和同龄女童的百分位数值表，判断她至少比百分之几的同龄女童长得高. 【详解】（1）解：4岁男童m25的数值为102.3厘米的实际意义是 在4岁男童中，有25%的男童身高低于或等于102.3厘米，75%的男童身高高于102.3厘米； （2）解：小丽的身高98.6厘米大于 厘米，这意味着小丽的身高高于75%的同龄女童。 答：小丽至少比75%的同龄女童长得高. ▌题型05 统计量的选择 【典例5】 【答案】C 【分析】由于有名同学参加“感恩最美逆行者”演讲比赛，要取前名参加决赛，故应考虑中位数的大小． 【详解】解：共有名学生参加“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，取前名，所以小智需要知道自己的成绩是否进入前，我们把所有同学的成绩按大小顺序排列， 第名的成绩是这组数据的中位数，所以小智知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛． 故选：C． 【变式5-1】 【答案】A 【分析】由于共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的大小． 【详解】解：共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，所以小红需要知道自己是否入选． 我们把所有同学的身高按大小顺序排列，第名学生的身高是这组数据的中位数， 所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选． 故选：A． 【变式5-2】 【答案】C 【分析】分别求得各选项中的统计量，结合中位数的意义可作出选择． 【详解】解：这组数据的最大数据是19，众数是8，中位数是10，平均数为， 根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，说明大约有一半同学可以完成10道数学题，故其依据是统计数据中的中位数， 故选：C． 【变式5-3】 【答案】C 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：该同学比赛成绩进入了前19名，想知道自己能否获奖，即成绩需排在前9名， 需比较自己的成绩与前19名同学成绩的中位数， 故选：C． 【变式5-4】 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数． 【详解】解：对鞋店再次进货来说，店主最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：C． 【变式5-5】 【答案】C 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数，据此即可得到答案． 【详解】解：观察表格可知，23.5尺码的鞋的销售量最多，即这组数据的众数为23.5， ∴该鞋店决定本月多进一些23.5尺码的鞋，这一决定运用了统计量中刻画数据特征的量为众数， 故选B． 【变式5-6】 【答案】B 【分析】最值得关注的应该是哪种尺码喜欢的人数最多，即众数可解答此题． 【详解】由表知这组数据中出现的次数最多，即这组数据的众数为 所以他做这个决定是重点关注了这组数据的众数 故选B． 【变式5-7】 【答案】C 【分析】根据题意，应该关注哪种尺码销量最多． 【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故应该关注这组数据中的众数． 故选：C． 【变式5-8】 【答案】D 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵， ∴丁发挥稳定， ∴选择丁参加比赛． 故选：D． 【变式5-9】 【答案】D 【分析】需要选择平均成绩大且方差小的运动员即可． 【详解】解：根据表格可知，甲、丙的平均成绩大，即甲、丙的自由滑比赛成绩好， 丙的方差小于甲的方差， 丙的成绩稳定， 应该选择丙运动员参赛更合适， 故选：D． 【变式5-10】 【答案】A 【分析】根据方差越小，波动性越小，进行判断；通过比较两种品牌电脑量化分值的平均数与方差，即可得到结论． 【详解】由于两种品牌电脑量化分值的平均分相等，且甲品牌电脑的方差小于乙的方差， 所以应该推荐的是甲品牌． 故选：A． 【变式5-11】 【答案】A 【分析】利用平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】解：由折线统计图可知，甲、丙的平均成绩高于乙、丁的平均成绩，并且甲成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙成绩相对于平均成绩的波动幅度， 这四人中甲的成绩好又发挥稳定， 故选：A    ． 【变式5-12】 【答案】C 【分析】根据加权平均数的定义分别计算即可判断． 【详解】A选项，按照，就是把各自四项得分相加，小宇和小珍都是31分，所以A错误； B选项，按计算得分，就是每一项乘这个相应的“权”，例如小宇的得分为分，同理计算小叶和小珍分别为7.7和7.5，小宇会获胜，所以B错误； C选项，同上计算，C正确； D选项，主题内容和语言表达都很重要，需要这两项的“权”最大且相等，所以按照不正确． 【变式5-13】 【答案】D 【分析】先分别求出男生、女生投篮命中次数的平均数、方差、中位数、极差，再逐项判断即可得． 【详解】解：男生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 女生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 则男生投篮命中次数的平均数为， 男生投篮命中次数的方差为， 女生投篮命中次数的平均数为， 女生投篮命中次数的方差为， 男生投篮命中次数的极差为，女生投篮命中次数的极差为， 所以选项B说法错误； 男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5， 所以选项C说法错误； 由平均数相等可知男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定，故选项A说法错误，选项D说法正确； 故选：D． 【变式5-14】 【答案】D 【分析】根据这组数据改变后，数据的波动变大了可知方差变大了，然后可得①正确；设这40个数据分别为，，，…，，根据题意和平均数的计算方法得出，，然后整体代入方差公式进行计算，即可得到②正确；根据方差的计算公式求出，然后整体代入计算，即可得到③正确． 【详解】解：①∵这组数据改变后，数据的波动变大了， ∴，说法正确； ②设这40个数据分别为，，，…，， ∴，， ∴这组数据的方差为 ，说法正确； ③∵一组数据，，…的平均数为1，加入另一个数据，平均数无变化， ∴， ∵一组数据，，…的方差为， ∴， ∴， ∴这10个数据的方差为，说法正确； ∴说法正确的有3个， 故选：D． 【变式5-15】 【答案】A 【分析】利用众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及随机事件的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确，符合题意； B、要了解一批烟花的燃放时间，适合抽样调查，故错误，不符合题意； C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故错误，不符合题意； D、打开电视机，正在播放“永州新闻”是随机事件，故错误，不符合题意； 故选：A． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $