精品解析：北京市第一六六中学2026-2027学年高一第一学期期中考试数学试题

北京市第一六六中学2026-2027学年度第一学期期中考试试题 高一年级数学学科 班级：__________姓名：__________ 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设，，，若，则（     ） A. B. 1 C. 1或 D. 或0 2. 下列函数中，是奇函数，且在区间上单调递减的是（     ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则对任意实数，有（     ） A. B. C. D. 4. 若且，则下列不等式中必然成立的一个是（     ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（     ） A. B. C. D. 6. 设，，，那么，，的大小关系为（     ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数（     ） A. 有最小值，且不等式的解集为 B. 有最小值，且不等式的解集为 C. 无最小值，且不等式的解集为 D. 无最小值，且不等式的解集为 8. 设全集，集合，集合，若，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 9. 已知函数的定义域为，其图象是一条光滑连续的曲线，设集合，，则“当时，总有”是“函数单调递增”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数在上单调递增，且，函数，则满足不等式的实数的取值集合是（     ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共8小题，每小题5分，共40分． 11. 函数的定义域是_____. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_______． 13. 计算_______． 14. 已知且，，，则_______，_______． 15. 研究人员欲净化一处密闭水池中的水质，向其中加入某种化学药品．加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：小时）的变化关系为，则经过_______小时后，池水中该药品的浓度达到最大值，最大值等于_______． 16. 已知函数满足，，且，又知当时，，则_______，当时，_______． 17. 已知函数的定义域为，满足下列条件： ①图象关于坐标原点呈中心对称； ②在上单调递增； ③最大值为1． 请构造一个满足以上条件的函数_______． 18. 设全集，对于，定义上的函数． 定义运算：集合的模，． 已知，，现有下列说法： ①若，则； ②若，都有，则； ③若，都有，则； ④若，都有，则． 则正确说法的序号为______． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，直接写出实数的取值范围； （3）若，，使得，求实数的取值范围． 20. 已知函数，． （1）求关于的不等式的解集； （2），都有，求实数的取值范围． 21. 已知函数，． （1）利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （2）求解不等式：． 22. 已知函数的图象经过点． （1）求实数的值； （2）解不等式：； （3）求证：方程有解，且所有解之积小于1． 23. 设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自邻集．对于集合，记为的子集中自邻集的个数． （1）直接写出的所有是自邻集的子集； （2）若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六六中学2026-2027学年度第一学期期中考试试题 高一年级数学学科 班级：__________姓名：__________ 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设，，，若，则（     ） A. B. 1 C. 1或 D. 或0 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性与绝对值的非负性，通过元素对应关系建立方程并验证排除不符合的解. 【详解】已知，，由元素的互异性得，当时，，因此，此时，， 因为，，，可得， 当时，，，满足，且元素满足互异性，故. 2. 下列函数中，是奇函数，且在区间上单调递减的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个函数的奇偶性与在上的单调性. 【详解】选项A，函数的定义域为，关于原点对称，而，不是奇函数，故A错误. 选项B，函数的定义域为，关于原点对称，且，满足奇函数的定义； 根据反比例函数的性质，当时，函数在上单调递减，故B正确. 选项C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，不是奇函数，故C错误. 选项D，函数的定义域为，关于原点对称，且，满足奇函数的定义； 但根据幂函数的基本性质，在上单调递增，所以在上也单调递增，故D错误. 3. 已知函数，则对任意实数，有（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数，定义域为，所以对任意的有，， 所以，. 4. 若且，则下列不等式中必然成立的一个是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题设条件明确a、b的符号与绝对值关系，再通过举反例、代数式变形逐一验证各选项的必然性 【详解】由可知，a与b异号；由可知，两数中正数的绝对值大于负数的绝对值，接下来逐一分析选项 对于A项，取满足条件，但是，故A错误； 对于B项，当a为负数时，无实数意义，如，不存在，故B错误； 对于C项，对代数式因式分解可得，因为且，所以，故C错误； 对于D项，对代数式通分可得，因为且，所以，故D正确； 5. 已知，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，B，通过举反例判断错误；选项C，D，由基本不等式求解，可判断C正确D错误. 【详解】选项A：取反例，此时，与选项的结论矛盾，故A错误； 选项B：取反例，此时，，满足，与选项的结论矛盾，故B错误； 选项C：由基本不等式，对，有，当且仅当时等号成立， 由于，故，因此，结合不等式的传递性可得， 即对任意恒成立，故C正确； 选项D：由基本不等式，对，有，当且仅当时等号成立， 与选项中的不等号方向矛盾，故D错误. 6. 设，，，那么，，的大小关系为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判断三个数与0、1的大小关系，即可比较三者的大小. 【详解】由指数函数在上单调递增，所以，即， 由指数函数在上单调递增，所以，即， 由对数函数在上单调递增，所以，即，所以. 7. 已知函数，则函数（     ） A. 有最小值，且不等式的解集为 B. 有最小值，且不等式的解集为 C. 无最小值，且不等式的解集为 D. 无最小值，且不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，因此，该函数在上单调递增， 所以，对应值域为， 不等式等价于，整理得， 对左侧多项式因式分解可得：，由于二次式的判别式， 因此对任意实数恒成立，不等式等价于， 又，所以； 当时，，因此， 任取，且， 则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数无最小值， 又 所以不等式在上无解； 故不等式的解集为. 8. 设全集，集合，集合，若，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解集合、集合的取值范围，再根据的条件建立关于的不等式，求解即可. 【详解】令，则. 又在上单调递减，所以，因此. 函数在上单调递增，值域为. 当时，，不等式无解，故，此时，不满足题设条件； 当时，令，则，即，因此. 又，则 . 因为在单调递增，所以不等式等价于， 故的取值范围为. 9. 已知函数的定义域为，其图象是一条光滑连续的曲线，设集合，，则“当时，总有”是“函数单调递增”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 当时，若，则恒成立，即， 即对于任意定义域为的函数，当时，都有． 即“当时，总有”，不能推出“函数单调递增”，故充分性不成立； 若“函数单调递增”，必然满足“当时，总有”，故必要性成立． 所以“当时，总有”是“函数单调递增”的必要不充分条件． 10. 已知函数在上单调递增，且，函数，则满足不等式的实数的取值集合是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时,,则,； 当时,,则； 当时,,也满足. 所以为奇函数,原不等式可化为,即,所以与同号. 由在上单调递增,且,得当时,当时. 结合的定义,当时;当时;当时. 当时,.若,则,所以,从而;若,则,所以,从而;而. 当时,且,原不等式成立;当时,且,原不等式也成立. 当时分母为,不等式无意义; 当时,不满足不等式; 当时,且,原不等式不成立; 当时,原不等式不成立. 当时,且,所以,原不等式成立. 综上可得实数的取值集合为. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共8小题，每小题5分，共40分． 11. 函数的定义域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接令真数大于0可得定义域. 【详解】函数，由，得， 所以定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，属于基础题. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】因为函数是幂函数，所以， 且函数图象经过，所以，即， 因此，. 13. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题为同底数对数的混合运算，直接运用对数的运算性质将各项合并化简，即可求得结果. 【详解】 14. 已知且，，，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质：，，进行计算. 【详解】； 15. 研究人员欲净化一处密闭水池中的水质，向其中加入某种化学药品．加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：小时）的变化关系为，则经过_______小时后，池水中该药品的浓度达到最大值，最大值等于_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为，当时，； 当时，，当且仅当即时等号成立. 16. 已知函数满足，，且，又知当时，，则_______，当时，_______． 【答案】 ①. ②. （） 【解析】 【分析】先结合奇函数性质与对称轴条件求出函数的周期，再利用函数的奇偶性、对称性、周期性，将待求的函数值与区间解析式转化到已知表达式求解即可. 【详解】对任意，，故为奇函数，图像关于原点对称； 又，故的图像关于直线对称. 由，得，，即. 又，所以. 则  ，故是周期为的周期函数. 当时，，故， 所以 . 当时，，故. 又，，所以 . 所以，故，. 17. 已知函数的定义域为，满足下列条件： ①图象关于坐标原点呈中心对称； ②在上单调递增； ③最大值为1． 请构造一个满足以上条件的函数_______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【详解】由条件①,的图象关于原点对称,即为奇函数,因此可先构造时的解析式,再利用奇性延拓到. 由条件②,要求在上单调递增;由条件③,可让最大值在处取得,令. 取时,,它在上单调递增,且. 取时,,则,且. 利用奇性,当时,,故. 当时,,故. 检验:该函数定义域为,图象关于原点对称;在上单调递增. 又,其余函数值均不超过,故最大值为,满足题设三个条件. 18. 设全集，对于，定义上的函数． 定义运算：集合的模，． 已知，，现有下列说法： ①若，则； ②若，都有，则； ③若，都有，则； ④若，都有，则． 则正确说法的序号为______． 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】对任意，特征函数，集合的模，即为集合的元素个数， 对各个说法逐一分析. 【详解】①：根据集合容斥原理，对任意，有， 若，则，因此， 当时，， 举反例：取，，，满足， 但，故①错误； ②：若存在，则，此时， 而，不满足， 因此要使对任意，成立，必须不存在属于的元素， 即，故②正确； ③：若对任意，，则对任意，， 这意味着：等价于，等价于，等价于， 等价于，因此，故③正确； ④：若对任意，，任取， 则，代入不等式得， 由于的取值只能为0或1，因此，即， 这说明集合中的所有元素都属于集合，即，故④正确； 综上，正确说法的序号为②③④. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，直接写出实数的取值范围； （3）若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）实数的取值范围为 （3）实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式与一元二次不等式得，，所以； （2）解绝对值不等式得，再结合，得到； （3），，使得，可得需满足，于是，解得实数的取值范围为. 【小问1详解】 ， 当时，，所以， 于是，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以. 【小问3详解】 由上可知，，， 因为，，使得， 所以，所以，解得， 即实数的取值范围为. 20. 已知函数，． （1）求关于的不等式的解集； （2），都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据因式分解得到的两根，进而根据二次函数根的分布分类讨论即可求解； （2）先将题中条件转化为二次函数在指定区间上的最小值非负问题，进而根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分类讨论即可求解． 【小问1详解】 由是开口向上的二次函数， 则的两根为和． 当时，，则的解集为； 当时，，则的解集为； 当时，，则的解集为． 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【小问2详解】 由对，都有， 将的表达式代入，化简得，， 令，等价于，， 由是开口向上，且对称轴为的二次函数， 当时，，解得； 当时，，即，解得． 综上，实数的取值范围为． 21. 已知函数，． （1）利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （2）求解不等式：． 【答案】（1）任取，且设， ， ， ， ， ， 因为，所以且， 因此，，从而， 所以，， 又因为，所以， 因此：， 即， 所以，函数在上单调递增，证毕. （2） 【解析】 【分析】（1）通过通分和因式分解将转化为易于判断符号的乘积形式，从而严格遵循定义完成单调性递增的证明； （2）先将分式不等式等价转化为关于的一元二次不等式求出其值域，再利用第（1）问得出的单调性“脱去”函数符号，进而解出的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对原不等式进行移项、通分： ， ， ， 这等价于：， 即：， 解得：， 即：， 令，得：， 两边同乘，化简得：， 因式分解：， 解得：（舍去，因为）或， 再令，得， 两边同乘：， 解得：或（舍去，因为）， 因为是单调递增函数，所以： ，， 要求，即， 又因为函数在上单调递增， 所以， 故原不等式的解集为. 22. 已知函数的图象经过点． （1）求实数的值； （2）解不等式：； （3）求证：方程有解，且所有解之积小于1． 【答案】（1） （2） （3）， 所以有解即方程有解， 在同一个坐标系中，作出函数和的大致图象，如图： 由图知，函数和的图象有且只有两个交点， 且， 当时，由， 得，又，所以. 【解析】 【分析】（1）由对数的运算可得； （2）整理后设，分和结合对数的运算可得； （3）利用数形结合，取特殊值结合零点存在定理即可证明. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点， 所以； 【小问2详解】 因为，及， 所以， 整理可得， 设，则不等式变为， 因为，所以，得或， 当时，不等式为，得， 即，得； 当时，不等式为，得 即，得； 综上，不等式的解集为． 【小问3详解】 略 23. 设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自邻集．对于集合，记为的子集中自邻集的个数． （1）直接写出的所有是自邻集的子集； （2）若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集. 因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数. （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集. 此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为， 含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以， 故时，得证. 【解析】 【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可； （2）取的一个含5个元素的自邻集，判定集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论； （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可. 【小问1详解】 由题意可得，的所有自邻集有： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：第二问取自邻集，和集合，，，，，先由定义判定，且集合也是自邻集，.即可证明结论；第三问记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，有，再分三类①自邻集含有，，这三个元素的自邻集的个数为，②自邻集含有，这两个元素的集合共有个，③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明：即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $