精品解析：山东省临沂市部分县区2026-2027学年高三上学期普通高中学科素养水平监测(期中)数学试卷

2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2026.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】∵，， ∴， 解得. 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦定理求得，结合且，即可得. 【详解】由题设及，则， 又，故为锐角，且，所以. 故选：B 4. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【详解】令，即，解得. 令，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数单调性结合对数运算性质可比较大小. 【详解】因在上单调递增，，则. 因在上单调递减，则， 从而，又注意到， 在上单调递增，则. 从而，即. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ， ， . 7. 已知函数的最小值为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同构法将原函数化为，令，利用导数可知在处取得最小值，因此只需存在正实数使得，再利用分离参数法即可求解． 【详解】， 令，则，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故在处取得最小值，即恒成立， 因此只需存在使得，即方程有正实数解， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 故在处取得极大值，亦即最大值为， 又当时，当时， 因此的值域为，故的最大值为． 8. 已知正项数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为严格递减数列 B. 数列从第项开始，各项均满足 C. 数列中存在某一项为最大项 D. 任意正整数，均有 【答案】D 【解析】 【分析】对两边取自然对数，化简后结合对数不等式以及选项结论，对递推关系进行放缩、迭代、构造函数等方法处理，去逐一验证选项. 【详解】因为对任意的正整数，均有，所以， 所以，即， 所以. 对选项D：用导数可证明当时，（当时取等号）. 由得， 整理可得. 则有，… ，， 所以， 因为，所以，则， 即.又，所以对任意的正整数，.选项D正确； 对选项A：由上面推导可知，且 所以，，即， 所以数列为严格递增数列. 选项A错误； 对选项B：由得， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，从而. 令，则，不一定满足.选项B错误； 对选项C：因为已推得数列为严格递增数列，且，所以数列中不存在某一项为最大项. 选项C错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的共轭复数 B. C. 是实系数方程的一个根，则 D. 若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据求出及其共轭复数；进行复数的运算；是实系数方程的一个根，则的共轭复数也是该方程的根，利用韦达定理求出的值；设，若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形为圆环，其中大圆半径为，小圆半径为. 【详解】，故的共轭复数，A错误； ，B正确； 是实系数方程的一个根，则的共轭复数也是该方程的根， 故，即，故C错误； 设，则，若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形为圆环，其中大圆半径为，小圆半径为， 故该圆环面积为，D正确. 10. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. 是的极大值点 B. 过点可作曲线的条切线 C. 方程有个不同的实数解 D. ，使得成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据是函数的零点，求出的值，进而求出函数解析式，对于A，通过求导确定极值点即可判断对错；对于B，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，求出切线的方程，代入点，通过导数即可判断方程解的个数，即可判断对错；对于C，将方程解的个数问题转化为函数的零点问题，通过求导确定函数的单调性，即可判断函数的零点个数；对于D，设，通过求导确定函数在上的单调性，再根据端点值即可判断对错. 【详解】为函数的一个零点， 所以， 解得， 所以， 对于A，, 所以， 所以不是的极值点，故A错误； 对于B，设过点的切线切点为， 则，斜率为， ， 所以切线方程为， 将代入得：， 即， 设， ， 令， 解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以极大值，极小值， 所以仅在上有1个零点， 即方程只有1个解， 即过点可做曲线的条切线，故B正确； 对于C，， 即， 设， ， 令，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ，， 所以当时，从递增到1，所以在上存在1个解； 当时，从1递减到-3，所以在上存在1个解； 当时，从-3递增到，所以在上存在1个解； 所以方程有个不同的实数解，故C正确； 对于D，设， ， 因为， 所以， 所以在上单调递减， ， 所以，使得成立，故D正确. 11. 悬链线原理是力学中的一个基本原理，是指任何一个物体都可以看作是一条悬链线的一个部分，它的重力可以被等效地分布在整个悬链线上．莱布尼兹等科学家得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 函数的值域为 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的表达式，然后定义法判断奇偶性，即可判断A选项， 求出的表达式并化简即可判断B选项， 求出的表达式，然后分离常数，利用不等式的性质求解值域，即可判断C选项， 先根据基本不等式可得到，再令，然后构造函数，求解函数的单调性即可判断D选项. 【详解】选项A，， 记，的定义域为， ，是奇函数，A选项正确， 选项B，， B选项错误， 选项C， ， ，，，，， 即，C选项正确， 选项D，，， 令，则，构造函数， ，故在单调递增， ，即， ，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，公差，已知，，构成等比数列，为数列的前项和，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列通项公式与前项和公式结合题设可得答案. 【详解】因，，构成等比数列，则 从而，结合，可得，又， 则. 13. 已知函数，，，且，都有，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件变形得到，结合，得到函数在区间上单调递增，再利用正弦函数单调递增区间列不等式求解的范围即可. 【详解】因为，，由， 可得，设. 因为，时，，所以在上单调递增. 当时，. 可得，化简得到， 因为，当时，，结合，得到； 当时，不等式无解，所以的取值范围是. 14. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图像，令，先确定对于不同，方程对应的实数解个数，再把原方程转化为关于的二次方程，利用二次方程根的分布，使得两个根都大于2，此时一共得到6个不同的实数根，列出不等式组求解的范围即可. 【详解】函数的图象如下： 当时，，函数单调递减，值域为，所以当时，在上有1个解；当时，在上无解. 当时，，当时，有2个解；当时，有1个解；当时，无解. 综上所得： 当时，有2个不同实数解； 当时，有3个不同实数解； 当时，最多1个解. 原方程有6个不同实数根，令，则方程要有两个不相等实数根，且两根都不小于，此时个解. 设，则 解得. 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的图象过点． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值及相应x的值． 【答案】（1）； （2）当时，取得最大值；当时，取得最小值. 【解析】 【小问1详解】 将点代入中， ， 即， 所以或， 所以或， 因为， 所以. 【小问2详解】 ， 所以 ， 已知，则， 所以当时，即，取最大值： ， 当时，即，取最小值： . 16. 已知数列的首项，且满足，． （1）证明：数列为等比数列，并求； （2）设，． （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意正整数n都成立，求λ的取值范围． 【答案】（1）证明：由得，即， 即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，可得 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时减1，可证明等比数列. （2）（i）利用裂项相消法计算数列的前n项和； （ii）先利用上边分析的结果代入不等式进行化简整理把条件转化为再计算的最大值，即可得到λ的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，所以， （i）数列的前n项和 ； （ii）若不等式对任意正整数n都成立， 不等式， 即 两边同乘可得：， 展开化简可得对任意正整数n都成立，即， 令，求的最大值，当时，； 当时，；当时，； 当时，； 当时，，当时，， 即，此时单调递减；所以的最大值为，即 综上所述λ的取值范围为． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减； （2）证明：若，，求导， 由（1）可知，在单调递增，在单调递减；所以极值点在. 因为，不妨设，所以， ， 令，则， 代入上式， 要证，即证， 因为，两边乘以可得， 所以即证时，， 求导，令，， 当时，，，所以在上单调递减； 于是，即，在上单调递增； 因此，也就是， 反向推导可得. 【解析】 【分析】（1）利用函数导数对进行分类讨论判断函数单调性； （2）先根据函数单调性判断范围，令计算推导证得答案； 【小问1详解】 函数的定义域为，求导：， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得， 若，，单调递增； 若，，单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 略 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设点在边上，，设为定值，点是边上的中线与的交点． （i）求面积的最大值； （ii）若，求． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和关系替换角并消去公因式，由辅助角公式求解； （2）（i）利用相似三角形推导比例关系可得，再利用余弦定理和基本不等式即可求解； （ii）用作为基底表示出，结合可得为等边三角形，再根据即可求解． 【小问1详解】 由，结合正弦定理， 可得， 其中， 化简得， 又，故，即， 因为是三角形的内角，所以． 【小问2详解】 （i）如图，由题意可知，为边的中点，过点作，交于点， 因为为的中位线，所以，， 又，所以， 又，所以， 故， 所以，因此， 又，所以， 故， 结合和余弦定理， 可得， 当且仅当时取等号，所以， 因此面积的最大值是． （ii）证明：由（i）知， 所以， 两边平方，可得， 即， 又由，有， 整理得，所以， 因此为等边三角形， 由（i）可知，， 所以，所以． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围； （3）若，设是在上的唯一零点，证明：． （4）已知数列满足，其前项和为，运用本题结论，证明：对任意正整数，． 【答案】（1） （2） （3）证明：当时，是在上的唯一零点， 即，即， ∵，∴， 要证明，即证明， 令，，即在 上单调递减，又，，∴， ，即成立， 要证明，即证， 设， ，∵分母恒为正数，记， 在上恒成立，，， 存在使得，即在上单调递减，在上单调递增， 此时时，有最小值， 将代入化简可得， ，分母大于0，分子部分， ∵，，∴恒成立， 即在上单调递减，， ∴恒成立，即， 综上所述，当时，. （4）证明：由本题可得，当时，， ，当时，，即 在上单调递增，即， 即，令， 则取自然对数得，，代入上式可得， ∵，∴，记，又∵当时， ，则其前项和为 ， ∴对任意正整数，. 【解析】 【分析】（1）代入求导，算出处函数值与导数值，利用点斜式写出切线方程即可；（2）利用二阶导数判断的单调性，以作为分界讨论即可；（3）利用零点等式化简，锁定零点范围，利用单调性分别证明两边不等式即可；（4）借用本题衍生出的对数不等式放缩通项，转化为，再利用裂项相消证明和小于2即可. 【小问1详解】 当时，，， ，，即切点，切线斜率为， ∴切线方程为，即. 【小问2详解】 ∵，，令， ，∵，∴， 当时，，在上单调递增， 即，即，∴，满足条件； 当时，令，解得，当时， ，在上单调递减，即， 即在上单调递减，，不满足条件； 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略. 【小问4详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2026.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 4. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小值为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为严格递减数列 B. 数列从第项开始，各项均满足 C. 数列中存在某一项为最大项 D. 任意正整数，均有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的共轭复数 B. C. 是实系数方程的一个根，则 D. 若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. 是的极大值点 B. 过点可作曲线的条切线 C. 方程有个不同的实数解 D. ，使得成立 11. 悬链线原理是力学中的一个基本原理，是指任何一个物体都可以看作是一条悬链线的一个部分，它的重力可以被等效地分布在整个悬链线上．莱布尼兹等科学家得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 函数的值域为 D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，公差，已知，，构成等比数列，为数列的前项和，，则_________． 13. 已知函数，，，且，都有，则的取值范围是_________． 14. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的图象过点． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值及相应x的值． 16. 已知数列的首项，且满足，． （1）证明：数列为等比数列，并求； （2）设，． （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意正整数n都成立，求λ的取值范围． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，证明：． 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设点在边上，，设为定值，点是边上的中线与的交点． （i）求面积的最大值； （ii）若，求． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围； （3）若，设是在上的唯一零点，证明：． （4）已知数列满足，其前项和为，运用本题结论，证明：对任意正整数，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $