专题5.2 解二元一次方程组（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册
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精品
内容正文：
专题5.2 解二元一次方程组
教学目标
1.理解代入消元法的含义，会运用代入消元法解二元一次方程组。
2.理解加减消元法的含义，会运用加减消元法解二元一次方程组。
3.体会“消元”的化归思想，理解把二元转化为一元的基本思路。
4.能根据方程组中方程的特点，合理选择代入法或加减法求解。
教学重难点
重点：
1.掌握代入消元法与加减消元法的步骤，能正确求出方程组的解。
2.会根据方程组的结构特点，选择简便的方法进行消元求解。
3.理解“消元”思想，掌握由二元转化为一元方程组的化归思路。
难点：
1.代入变形时准确移项变号，回代代入时正确处理去括号和符号。
2.加减消元时化系数使相等或相反，两式相减时注意各项符号变化。
3.根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法，提高求解准确度。
知识点01 代入消元法解二元一次方程组
1.概念：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
2.代入消元法的步骤：
①变形：选系数较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②代入：把所得代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③求解：解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：把求得的未知数值代入变形所得的关系式，求出另一个未知数的值；
⑤写解：用大括号联立写出方程组的解。
【即学即练】
1．解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】用代入消元法解二元一次方程组．
【详解】解：已知，
把②代入①得：，
解得，
把代入②，可得，
∴方程组的解为．
知识点02 加减消元法解二元一次方程组
1.概念：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
2.加减消元法的步骤：
①化系数：若某未知数的系数不相等也不相反，先给某方程两边同乘适当数，化为相等或相反；
②加减消元：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③求解：解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：把求得的未知数值代入原方程组中任一方程，求出另一个未知数的值；
⑤写解：用大括号联立写出方程组的解。
【即学即练】
2．解下列方程组：
【答案】
【分析】本题考查的是加减消元法解二元一次方程组．直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
由得，；
由得，，
解得：，
把代入式可得，，
解得：；
∴原方程组的解为：．
题型01 代入消元法
【例1】已知方程，用含的代数式表示，则_________
【答案】
【分析】利用等式的性质对方程进行变形，再用含的代数式表示即可求解．
【详解】解：，
移项得：．
【例2】用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
【答案】D
【分析】利用等式的基本性质，对方程组中的两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果．
【详解】解：对①移项变形，可得，
∴，故A、B错误；
对②移项变形，可得，故C错误，D正确．
【变式1-1】把方程写成用含x的代数式表示y的形式，则_____．
【答案】/
【分析】把看作已知数，根据等式的性质变形即可．
【详解】解：用含x的代数式表示y的形式为：．
【变式1-2】方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
由得，
将代入，
得，
，
，
，
把代入，
得，
即方程组的解为．
【变式1-3】解方程组：．
【答案】
【分析】将第一个方程变形得到y关于x的表达式，代入第二个方程消元求解．
【详解】解：，
由①得 ，
把③代入②得，
解得，
把代入③得，
因此原方程组的解为．
题型02 加减消元法
【例3】以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先解二元一次方程组得到的值，再根据各象限点的坐标特征判断点所在的象限．
【详解】解：
得：
解得
把代入②得：
解得
∴点的坐标为
∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0，，
∴点在第二象限．
【例4】用加减法解方程组，由可得________．
【答案】
【分析】对①和②左右两边分别作差，化简即可得到结果．
【详解】解：计算的左边：，
计算的右边：，
因此可得．
【变式2-1】小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（ ）
A．2，3 B．2， C．3，2 D．3，
【答案】A
【详解】解：观察方程组中的系数之间的关系可知，①②可以消去，
则，的值可能是2，3．
【变式2-2】如果、满足，则______．
【答案】
【分析】由绝对值的非负性求出x,y的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵、满足，
∴，解得，
∴．
【变式2-3】解二元一次方程组：
【答案】
【详解】解：
得，
将代入①得
解得，
∴方程组的解为．
题型03 二元一次方程组中错解复原问题
【例5】甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可．
【详解】解：把甲的解代入方程可得：，
把乙的解代入方程可得：，
联立可得：，
解得：；
故选C．
【例6】小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出的值，即可求出的值．
【详解】解：把代入，
得，
解得．
把代入，
得，
即，
所以．
【变式3-1】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可．
【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解，
∴，
解得：，
∴一元一次方程可化为，
解得：．
故选：A．
【变式3-2】用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①-②，得……
解法二：由②，得．③
把①代入③，得……
(1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正．
(2)请选择一种你喜欢的解法解方程组．
【答案】(1)解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得．
(2)
（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得．
把代入①，得，解得．
故原方程组的解是
解法二：由②，得．③
把①代入③，得，解得．
把代入①，得，解得．
故原方程组的解是
【分析】（1）解法一是错误的；
（2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式3-3】甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？
【答案】能，，．
【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案．
【详解】解：能．
甲看错了b，把甲求得的解代入①，得，
得，
乙看错了a，把乙求得的解代入②，得，
得，
即，．
关键是分清每组解分别满足哪个方程。把各组解代入对应正确的方程，列出关于参数的方程求解。解满足两方程则代入两方程，只满足一个则只代入该方程，再回代验证。
题型04 已知二元一次方程组的解的情况求参数
【例7】关于，的方程组的解满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程组中的两个方程相减整理得到，然后根据题意得到，然后求解即可．
【详解】解：
得，，
∴，
∵关于，的方程组的解满足，
∴，
∴．
【例8】方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意得到x与y的关系，联立不含k的方程求出的值，再代入含k的方程求解即可．
【详解】解：∵方程组的解中，x的值比y的值大1，
∴，
联立得，
解得，
把代入中，
得
解得．
【变式4-1】若方程组的解满足，则k的值为（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】C
【分析】把两个方程相加得到与的关系式，再结合已知条件求解的值．
【详解】解：
得，
两边同除以得，
，
，
．
【变式4-2】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-2
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的解的定义，将解代入原方程，依次求出和的值，再计算即可.
【详解】解：∵ 二元一次方程组的解是，
∴ 将，代入方程得： ，
解得，
再将，代入方程得： ，
解得，
∴.
【变式4-3】若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________．
【答案】14
【分析】将与组成一个新的二元一次方程组，解这个方程组，得到和的值，代入中，即可求出的值．
【详解】解：将与组成一个新的二元一次方程组，
得到
解得
将， 代入中，
可得．
可先把方程组解出，用含参数的式子表示x、y。将解代入题目给定的条件关系式，建立关于参数的一元一次方程，解出参数。解出后可回代原方程组验证。若解以具体数值给出，则直接代入方程组求参数，无需先解方程组。
题型05 二元一次方程组的同解问题
【例9】若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____．
【答案】
【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：根据题意，
解得，，
将代入得，，
解得，，
∴．
【例10】已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值．
【答案】
【分析】先解关于，的方程组，再解关于，的方程组，然后代入计算即可．
【详解】解：由题意，联立，
解得，
将代入得：，
解得，
则．
【变式5-1】已知关于x、y的方程组与关于x、y的方程组有相同的解，则的立方根为________．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键．
依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可．
【详解】解：∵关于x、y的方程组与关于x、y的方程组有相同的解，
∴和，
解得：，
∴，
解得：，
∴，
∴的立方根为2．
故答案为：2
【变式5-2】若方程组的解与方程的一组解相同，则为______．
【答案】
【分析】根据题意，原方程组的解同时满足，因此先联立与求出公共解，再将公共解代入含的方程，即可求出的值．
【详解】解：原方程组的解与的解相同，
联立，
解得，
将，代入，
得，
解得．
【变式5-3】已知关于的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可；
（2）把代入，得，再运算求解即可．
【详解】（1）解：∵方程组和有相同的解，
∴
①②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：把，代入，得，
解得，
∴．
可先把不含参数的方程组解出，得到公共解，再代入含参数的方程组求参数。
也可利用公共解同时满足多个方程，将含参数的方程组与已知方程组联立列式。求出参数后代入原方程组检验。
题型06 二元一次方程组无解问题
【例11】如果关于x，y的方程组无解，则k值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可．
【详解】解：两方程相加得：，
∵方程组无解，
∴，
解得，
故选：B．
【例12】若方程组无解（其中），则的值为___________．
【答案】/0.5
【分析】先将二元一次方程组化为关于x的一元一次方程，由二元一次方程组无解，得到，求出k的值即可．
【详解】解：由方程组，得
，
，
∵原方程组无解，且，
∴，
解得．
【变式6-1】若关于的方程组无解，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解．
根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可．
【详解】整理得，
∵关于的方程组无解，
∴，
解得：，
故选：A
【变式6-2】若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
【答案】
【分析】根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解；
【详解】由得，
代入得，
整理得：，
当时，即时，无解，
∴当时，原方程组无解．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
【变式6-3】已知关于x，y的二元一次方程组：．
（1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______；
（2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______．
【答案】 6 且
【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键．
（1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值；
（2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解．
【详解】解：（1）∵x与y互为相反数，
∴，
代入第一个方程得，，
∴；
（2），
当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例，
即，
由得，，
由得，，
解得，
故需要满足的条件为且。
故答案为：（1）6；（2）且．
用加减消元把两方程化为同一未知数系数相同的方程，相减后若未知数被消去、得到矛盾等式（如0等于非零常数），则无解。
题型07 解二元一次方程组的特殊解法
【例13】若方程组的解是，则方程组的解为________．
【答案】
【分析】对比两个方程组的结构特征，将新方程组的未知项组合与原方程组的已知解建立等量对应关系，通过整体代换求解．
【详解】解： ∵ 原方程组的解为 ，方程组变形为，
∴
解得．
【例14】已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____．
【答案】
【分析】利用换元法将待解方程组转化为与已知结构相同的方程组，结合已知解求解新方程组．
【详解】解：设，，
则方程组可化为，
∵已知方程组的解是，
∴代入换元关系式得，
解得．
【变式7-1】已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为__________ ．
【答案】
【分析】设，，对比两个方程组的结构，利用换元法得到关于的方程组，求解即可．
【详解】解：设，，
则方程组可化为方程组，
∵关于的二元一次方程组的解为，
∴关于的二元一次方程组的解为，
∴关于的二元一次方程组的解满足，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴方程组的解为，
∴关于的二元一次方程组的解为．
【变式7-2】若方程组的解是，则方程组的解是___________．
【答案】
【分析】将待求方程组变形，使其与已知解的原方程组形式一致，对比对应项即可求出结果．
【详解】解：将待求方程组两边同时乘，变形得，
∵原方程组的解是，
∴对比两个方程组的结构可得，
解得．
【变式7-3】仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题．
材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法：
解：②−①，得：，所以③，
将③，得④，
①−④，得，从而可得，
所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组：；
(2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，
理由如下：，
①−②，得：，
∵，
∴ ③，
将③，得④，
①−④，得，解得，从而可得，
所以原方程组的解为．
【详解】（1）解：，
①−②，得：，所以③，
将③，得④，
④−②，得，解得，从而可得，
所以原方程组的解为．
（2）略
当方程组具有特殊结构，如两式相加能得到整式、含相同结构式或整体对称时，可用整体代入、整体加减、换元等技巧简化。
常见技巧：把x+y看作整体、两式直接相加求整体、设新元换元。先观察结构再选简便方法，避免盲目套一般步骤。
题型08 新定义的二元一次方程组问题
【例15】我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”．
(1)若为“和谐点”，求的值；
(2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据“和谐点”的定义建立关于k的一元一次方程并求解，即可获得答案；
（2）解方程组，结合“和谐点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：为“和谐点”，
∴根据题意，得，
解得；
（2）解：存在，理由如下：
解方程组，
得，
点是“和谐点”，
，
即，
解得，
综上所述，当时，点是“和谐点”．
【例16】定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
(1)点在的“逆反函数”图象上，则_________；
(2)图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解二元一次方程组，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键．
（）根据定义得到“逆反函数”为，把点代入即可求得；
（）根据题意得到关于的方程组，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，的“逆反函数”图象为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，解得：，
故答案为：；
（2）解：由题意得的“逆反函数”图象为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，解得：，
∴点的坐标．
【变式8-1】定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________．
【答案】1
【分析】根据定义得出，整理并用代入法解二元一次方程组，得出a和b的值，然后再代入计算即可．
【详解】解：根据定义可知：，
整理得：，
解得：，
∴．
【变式8-2】新定义：我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
(1)若二元一次方程中、的值满足下列表格：
2
0
2
3
则这个方程的共轭二元一次方程是______________．
(2)探究：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
理由：∵共轭方程组的解是，
∴ ，
得：，即，
∵，则，
∴．
【分析】（1）先求出k和b，再写出共轭二元一次方程即可；
（2）将解代入方程组，进行求解即可．
【详解】（1）解：将；，代入方程中，得，
解得：，
∴二元一次方程是，
∴这个方程的共轭二元一次方程是，
（2）略
【变式8-3】定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为．
(1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果；
（2）根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得，再代入，得到结果；
（3）根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果．
本题考查了新定义，解二元一次方程组的应用，熟练解二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：方程的“友好方程”为，
∴，
①﹣②，得，
解得，
把代入①中，得，
∴方程组的解为；
（2）方程的“友好方程”为，
∴，
①②得，
由
∴，
把代入①式，得，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（3）∵关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，
∴，
由①得，代入②中，得：
，
则，
∴．
1．已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相减即可得到答案．
【详解】解：
得．
2．若方程组的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：将代入，
得，
由①得，
代入②中，得，
，
，
，
则．
3．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】根据消元的结果可得，据此逐一验证即可．
【详解】解：∵ 要利用消去，
∴项的系数和为，即，
当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
当时，，故C不符合题意；
当时，，故D符合题意．
4．若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同类项的定义可得到a，b的值，即可求解．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：，
∴这两个单项式分别为和，
则两式相乘得．
5．已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【分析】先解关于，的二元一次方程组，把，用含的代数式表示为和，得是和的公约数，再结合为正整数求解．
【详解】解：
得：，
，
把代入得：，
，均为整数，
是和的公约数，
或，
为正整数，
符合条件的只有，
解得，
．
6．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；正确的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】使用加减消元法将、用含的代数式表示，逐一验证各结论的正确性．
【详解】解：，
，得 ，
解得；
将代入②，得，
解得；
∵、互为相反数 ，
∴，
∴，解得，
故①正确；
当时 ， ，
方程的右边为 ，
左边 ，左边=右边 ，
故②正确；
由于 值为定值，与的取值无关，
故③正确；
由移项得，即，
故④正确；
综上，正确的结论有个，故答案为．
7．把二元一次方程化成用表示的形式：_________．
【答案】/
【分析】移项后将的系数化为1即可求解．
【详解】解：∵，
移项得：，
∴．
8．已知关于，的方程组的解满足，则__________．
【答案】
【分析】将方程组的两个方程作差，用表示出，结合已知的建立关于的方程，即可求解的值．
【详解】解：，
由得，，
∵方程组的解满足，
∴，
解得．
9．已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______．
【答案】
【分析】因为两个方程组解相同，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求解、的值，最后计算的值．
【详解】解：两个关于，的二元一次方程组的解相同，
解方程组，
可得：，
把代入方程和，
可得：，
解得：，
．
10．已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列方程组求解得到点坐标，再利用关于轴对称点的坐标规律计算对称点坐标．
【详解】解∶ ∵，，且
∴，解得，
∴点的坐标为，
∵关于轴对称的点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴关于轴的对称点坐标是．
11．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两方程中x的系数相等，通过两式相减消去x求解；
（2）先将含分母的方程去分母整理为整式方程，再通过加减消元求解．
【详解】（1）解：，
得，
解得：，
将代入②得，
解得，
因此该方程组的解为
（2）解：
对第一个方程去分母，两边同乘6得 ，
整理得；
将第二个方程整理得，
得，
将代入②得，
解得，
因此该方程组的解为．
12．已知关于、的方程组和有相同的解．
(1)求这两个方程组相同的解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）将和联立方程组求解即可；
（2）把代入后相减即可．
【详解】（1）解：由题意可得
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴这两个方程组相同的解为．
（2）解：把代入，得，
得，．
13．甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲、乙的错误分别写出对应的整式乘法算式，利用多项式相等时对应项系数相等列方程，联立求解，的值；
（2）将，的值代入原式计算，得到正确的整式乘法结果．
【详解】（1）解：∵甲抄错的符号，
∴甲计算的整式为，
，
∵甲的结果为，
∴①，
∵乙漏抄第二个多项式的系数，即第二个多项式变为，
∴乙计算的整式为，
，
∵乙的结果为，
∴②，
②①得：，
解得，
将代入②得，
解得，
∴；
（2）解：将，代入原式，
．
14．定义：若关于、的二元一次方程组的解满足，则称这个方程组为“单位差方程组”．
（1）下列方程组中是“单位差方程组”的是________（填正确的序号）．
①；②；③．
（2）对于任意不为的数，关于、y的方程组都是“单位差方程组”，则________．
【答案】 ①② 或
【分析】（1）先根据新定义，分别求解每个方程组，验证是否为1；
（2）根据“单位差方程组”的定义可知，然后分和两种情况求解．
【详解】（1）①解：解方程组，
可得：，
，
方程组是单位差方程组；
②解：解方程组：，
可得：，
，
方程组是单位差方程组；
③解：解方程组，
可得：，
，
方程组不是单位差方程组；
综上所述，是“单位差方程组”的是①②；
（2）解：对任意方程组都是单位差方程组，
，
当时，
解方程组，
解得：，
把代入，
可得：，
整理得：，
为任意非的数，
，
解得：，
；
当时，
解方程组，
解得：，
把代入，
可得：，
为任意非的数，
，
解得：，
，
综上所述，或．
15．已知是关于，的二元一次方程组的解，则关于，的二元一次方程组的解是________．
【答案】
【分析】根据两个方程组中各项系数的对应关系可知，即可求出方程组的解．
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程组的解，
关于、的二元一次方程组的解为，
解得：.
16．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________．
【答案】
【分析】首先根据甲、乙的解求出、的值，即可得到正确的方程组，解方程组求出方程组的正确解．
【详解】解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
原方程组为，
解方程组可得：．
17．已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________．
【答案】或
【分析】通过加减消元得到关于的表达式，根据解为整数得到是的约数，求出的所有可能值后验证是否为整数，即可得到符合条件的．
【详解】解：令，，
得，
得，
整理得，即 ，
∵方程组的解都是整数，是整数，
∴是的约数，的可能取值为，，
分别计算验证：
当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件；
当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件；
当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件；
当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件；
综上，整数的值为或．
18．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是___________（请填序号）．
①当时，方程组的解也是方程的解；
②无论取何值，恒成立；
③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1；
④无论取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【分析】先解方程组得到,关于的表达式，再逐个验证每个结论即可．
【详解】解：解方程组，
用①减去②得 ，解得 ，
把代入②，得 ，
因此方程组的解为，
①当时，，，
把,代入，
左边，右边，
左边右边，因此方程组的解也是该方程的解，故①正确；
②计算左边，
把，代入得，
，
，
因此，和右边相等，故②正确；
③若,都为自然数，即,都是非负整数，
当时，，，都是自然数，符合条件，
当时，，，都是自然数，符合条件，
当时，，，都是自然数，符合条件，
因此有多个取值，不是唯一值为，故③错误；
④，
，
，
无论取何实数，结果都为，故④正确，
综上，正确的结论是①②④．
19．已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的算术平方根．
【答案】
【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，利用加减消元的方法求出结果，再代入求出a，b的值，代入求出结果再求算术平方根．
【详解】解：由题可知，两个二元一次方程组的解也是方程组的解，
解方程组，
得：，
解得：，
将代入得：，
则方程组的解为，
把分别代入，，
得，
解得
，
的算术平方根为．
20．小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为．
(1)求出式子中的、值．
(2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果．
【答案】(1)，；
(2)化简；值为12；
【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程组，再求a、b的值；
（2）把a、b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可．
【详解】（1）解：由题得：
所以
解得
（2）解：把，代入得
当时，
原式
21．规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是________；
(2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________；
(3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②①得，所以③
③得④
①④得，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由共轭二元一次方程的定义直接求解即可；
（2）由共轭二元一次方程组的定义列方程组求解即可；
（3）由阅读材料中的方法类比求解即可．
【详解】（1）解：由共轭二元一次方程的定义可得方程的共轭二元一次方程是；
（2）解：关于，的方程组为共轭方程组，
则由共轭方程组定义可得，
；
（3）解：，
②①得，所以③，
③得④，
①④得，从而得，
所以原方程组的解是．
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专题5.2 解二元一次方程组
教学目标
1.理解代入消元法的含义，会运用代入消元法解二元一次方程组。
2.理解加减消元法的含义，会运用加减消元法解二元一次方程组。
3.体会“消元”的化归思想，理解把二元转化为一元的基本思路。
4.能根据方程组中方程的特点，合理选择代入法或加减法求解。
教学重难点
重点：
1.掌握代入消元法与加减消元法的步骤，能正确求出方程组的解。
2.会根据方程组的结构特点，选择简便的方法进行消元求解。
3.理解“消元”思想，掌握由二元转化为一元方程组的化归思路。
难点：
1.代入变形时准确移项变号，回代代入时正确处理去括号和符号。
2.加减消元时化系数使相等或相反，两式相减时注意各项符号变化。
3.根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法，提高求解准确度。
知识点01 代入消元法解二元一次方程组
1.概念：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
2.代入消元法的步骤：
①变形：选系数较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②代入：把所得代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③求解：解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：把求得的未知数值代入变形所得的关系式，求出另一个未知数的值；
⑤写解：用大括号联立写出方程组的解。
【即学即练】
1．解二元一次方程组：．
知识点02 加减消元法解二元一次方程组
1.概念：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
2.加减消元法的步骤：
①化系数：若某未知数的系数不相等也不相反，先给某方程两边同乘适当数，化为相等或相反；
②加减消元：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③求解：解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：把求得的未知数值代入原方程组中任一方程，求出另一个未知数的值；
⑤写解：用大括号联立写出方程组的解。
【即学即练】
2．解下列方程组：
题型01 代入消元法
【例1】已知方程，用含的代数式表示，则_________
【例2】用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
【变式1-1】把方程写成用含x的代数式表示y的形式，则_____．
【变式1-2】方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】解方程组：．
题型02 加减消元法
【例3】以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例4】用加减法解方程组，由可得________．
【变式2-1】小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（ ）
A．2，3 B．2， C．3，2 D．3，
【变式2-2】如果、满足，则______．
【变式2-3】解二元一次方程组：
题型03 二元一次方程组中错解复原问题
【例5】甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【例6】小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值．
【变式3-1】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①-②，得……
解法二：由②，得．③
把①代入③，得……
(1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正．
(2)请选择一种你喜欢的解法解方程组．
【变式3-3】甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？
关键是分清每组解分别满足哪个方程。把各组解代入对应正确的方程，列出关于参数的方程求解。解满足两方程则代入两方程，只满足一个则只代入该方程，再回代验证。
题型04 已知二元一次方程组的解的情况求参数
【例7】关于，的方程组的解满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例8】方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式4-1】若方程组的解满足，则k的值为（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【变式4-2】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-2
【变式4-3】若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________．
可先把方程组解出，用含参数的式子表示x、y。将解代入题目给定的条件关系式，建立关于参数的一元一次方程，解出参数。解出后可回代原方程组验证。若解以具体数值给出，则直接代入方程组求参数，无需先解方程组。
题型05 二元一次方程组的同解问题
【例9】若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____．
【例10】已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值．
【变式5-1】已知关于x、y的方程组与关于x、y的方程组有相同的解，则的立方根为________．
【变式5-2】若方程组的解与方程的一组解相同，则为______．
【变式5-3】已知关于的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解．
(2)求的值．
可先把不含参数的方程组解出，得到公共解，再代入含参数的方程组求参数。
也可利用公共解同时满足多个方程，将含参数的方程组与已知方程组联立列式。求出参数后代入原方程组检验。
题型06 二元一次方程组无解问题
【例11】如果关于x，y的方程组无解，则k值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【例12】若方程组无解（其中），则的值为___________．
【变式6-1】若关于的方程组无解，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【变式6-2】若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
【变式6-3】已知关于x，y的二元一次方程组：．
（1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______；
（2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______．
用加减消元把两方程化为同一未知数系数相同的方程，相减后若未知数被消去、得到矛盾等式（如0等于非零常数），则无解。
题型07 解二元一次方程组的特殊解法
【例13】若方程组的解是，则方程组的解为________．
【例14】已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____．
【变式7-1】已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为__________ ．
【变式7-2】若方程组的解是，则方程组的解是___________．
【变式7-3】仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题．
材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法：
解：②−①，得：，所以③，
将③，得④，
①−④，得，从而可得，
所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组：；
(2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由．
当方程组具有特殊结构，如两式相加能得到整式、含相同结构式或整体对称时，可用整体代入、整体加减、换元等技巧简化。
常见技巧：把x+y看作整体、两式直接相加求整体、设新元换元。先观察结构再选简便方法，避免盲目套一般步骤。
题型08 新定义的二元一次方程组问题
【例15】我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”．
(1)若为“和谐点”，求的值；
(2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【例16】定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
(1)点在的“逆反函数”图象上，则_________；
(2)图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标．
【变式8-1】定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________．
【变式8-2】新定义：我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
(1)若二元一次方程中、的值满足下列表格：
2
0
2
3
则这个方程的共轭二元一次方程是______________．
(2)探究：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由．
【变式8-3】定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为．
(1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值．
1．已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．若方程组的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
6．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；正确的有（ ）个
A． B． C． D．
7．把二元一次方程化成用表示的形式：_________．
8．已知关于，的方程组的解满足，则__________．
9．已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______．
10．已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________．
11．解方程组：
(1)
(2)
12．已知关于、的方程组和有相同的解．
(1)求这两个方程组相同的解；
(2)求的值．
13．甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
14．定义：若关于、的二元一次方程组的解满足，则称这个方程组为“单位差方程组”．
（1）下列方程组中是“单位差方程组”的是________（填正确的序号）．
①；②；③．
（2）对于任意不为的数，关于、y的方程组都是“单位差方程组”，则________．
15．已知是关于，的二元一次方程组的解，则关于，的二元一次方程组的解是________．
16．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________．
17．已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________．
18．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是___________（请填序号）．
①当时，方程组的解也是方程的解；
②无论取何值，恒成立；
③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1；
④无论取什么实数，的值始终为8．
19．已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的算术平方根．
20．小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为．
(1)求出式子中的、值．
(2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果．
21．规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是________；
(2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________；
(3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②①得，所以③
③得④
①④得，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
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