5.3 二元一次方程组与行程问题｜相遇、追及、流水、环形跑道 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

二元一次方程组与行程问题培优专题｜相遇、追及、流水、环形跑道（教师版·含解析） 一、课堂目标 1．会用“路程 = 速度 × 时间”搭建二元一次方程组模型：能从相遇、追及、顺流逆流、往返坡路等不同情境中准确找出两套等量关系，列出并解出方程组，且对结果作出符合实际意义的检验； 2．掌握“分段行程”的处理策略：会把全程拆成若干路段，分别表示各段的路程或时间后再相加，能利用“往返时各段路程不变、时间不等”的特点设间接未知数，化解直接设元的困难； 3．能区分并熟练运用两类基本模型：相遇问题抓住“路程之和 = 初始距离”，追及问题抓住“快者路程 − 慢者路程 = 初始距离（或路程差）”，并能把直线上的结论迁移到环形跑道——同向按追及、反向按相遇处理； 4．会用“时间方程”处理等间隔发车、折返再追及等非常规行程问题：把“迎面相遇”“背后追上”翻译成速度和、速度差参与的等式，体会设而不求与整体消元的技巧； 5．经历“审—找—设—列—解—验—答”的完整建模过程，学会用线段图、示意图把文字条件转化为直观图形，实现文字语言、图形语言与符号语言的三向转化，提升数形结合与数学建模素养。 二、知识讲解 （1）列方程组解应用题的通用流程 ① 审：圈出题中的速度、时间、路程，明确每个量属于哪个对象、哪个阶段； ② 找：找两个独立的等量关系（一个方程只能对应一个等量关系，二元方程组需要两个）； ③ 设：直接设元（求谁设谁）或间接设元（设路段长、速度差等便于列式的量）； ④ 列：把等量关系中的每个量都用含未知数的式子表示，列出方程组； ⑤ 解与验：解方程组，并检验解是否满足实际意义（速度、路程为正，时间合理）；⑥ 答：写清单位。 核心公式：路程 = 速度 × 时间；变形：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 易错警示：单位必须统一（千米/小时与米/秒、小时与分钟），必要时先换算再列式。 （2）变速问题（顺流逆流 / 上下坡往返） 顺流航速 = 船速 + 水速，逆流航速 = 船速 − 水速（水速是“助推”还是“阻力”，取决于方向）。 图1　顺流与逆流的速度合成：同向相加、逆向相减 上坡、平路、下坡速度各不相同；往返走同一路段时，去程的上坡就是回程的下坡， 因此“去程时间 = 上坡时间 + 平路时间，回程时间 = 下坡时间 + 平路时间”，两式相减即可消去平路。 图2　坡路＋平路的往返路线：同一段坡路，去程上坡、回程下坡 （3）相遇与追及（含环形跑道） 相遇问题：同时异地相向而行，相遇时两者路程之和等于初始距离，即“甲的路程 + 乙的路程 = 初始距离”； 追及问题：同时同地（或异地）同向而行，追上时快者比慢者多走初始距离，即“快者的路程 − 慢者的路程 = 初始距离”。 图3　相遇模型：路程和 = 初始距离 图4　追及模型：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 环形跑道变式：同向运动可看作追及问题（快者每多跑一圈就追上一次，路程差 = 圈长的整数倍）； 反向（背向）运动可看作相遇问题（每相遇一次，路程和增加一圈，路程和 = 圈长的整数倍）。 图5　环形跑道：同向是追及，反向是相遇 （4）非常规行程问题（等间隔发车 / 折返追及） 等间隔发车模型：相邻两车间距固定为 d。迎面来车时，人与车相向，相遇时间 = d ÷ (v人 + v车)； 背后超车时，车对人追及，追上时间 = d ÷ (v车 − v人)。两个时间都由题中“每隔几分钟”给出， 联立即可解出人与车的速度；发车间隔 = d ÷ v车。 图6　等间隔发车：迎面用时用速度和，背后追上用时用速度差 折返追及模型：快者到达相遇点后停留或折返，需分段计算——每段分别用“路程 = 速度 × 时间”， 以“相遇点”为界把全程切成两段，注意把停留时间从追及方的行走时间里剔除。 图7　折返追及：以相遇点为界分段列式 例题1 1．一艘轮船在两个码头之间航行，顺流航行全程需要 3 小时，逆流航行全程需要 4.5 小时。 已知水流速度为 3 千米/小时，求轮船在静水中的速度以及两个码头之间的距离？ 图示：顺流航速 = 船速 + 水速，逆流航速 = 船速 − 水速 【答案】 静水速度 15 千米/小时，两码头相距 54 千米。 【解析】 设轮船在静水中的速度为 千米/小时，两码头之间的距离为 千米， ∵ 顺流航速 = 船速 + 水速，逆流航速 = 船速 − 水速， ∴ 由“顺流用时 3 小时、逆流用时 4.5 小时”列方程组，得 ∴ 整理得 ，， ∴ ，即 ， ∴ ，。 ∵ 15 > 3，速度与路程均为正数，符合实际意义， ∴ 轮船在静水中的速度为 15 千米/小时，两码头之间的距离为 54 千米。 【结论】 静水速度 15 千米/小时，两码头相距 54 千米。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（顺流逆流问题） 2．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4 千米， 下坡每小时走 5 千米，那么从甲地到乙地需 54 分钟，从乙地到甲地需 42 分钟。求甲地到乙地全程是多少千米？ 图示：去程为“上坡＋平路”，回程为“下坡＋平路”，坡路长不变 【答案】 甲地到乙地全程是 3.1 千米。 【解析】 设甲地到乙地的上坡路长 千米，平路长 千米， ∵ 54 分钟 = 0.9 小时，42 分钟 = 0.7 小时， ∴ 去程用“上坡时间 + 平路时间”，回程用“下坡时间 + 平路时间”，得 ∵ 两式中 相同， ∴ 两式相减消去 ，得 ， ∴ ，， ∴ ，即 ，， ∴ 全程 （千米）。 ∴ 甲地到乙地全程是 3.1 千米。 【结论】 甲地到乙地全程是 3.1 千米。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（上下坡往返问题） 练习1 1．青岛和大连相距 360 千米，一轮船往返于两地之间，顺水行船用 12 小时，逆水行船用 18 小时。求船在静水中的速度和水流速度分别是多少？ 【答案】 船在静水中的速度是 25 千米/小时，水流速度是 5 千米/小时。 【解析】 设船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 千米/小时， ∵ 顺水航速为 千米/小时，逆水航速为 千米/小时， ∴ 由路程 360 千米不变，得 ∴ ，， ∴ 两式相加得 ，， ∴ 。 ∴ 船在静水中的速度是 25 千米/小时，水流速度是 5 千米/小时。 【结论】 船在静水中的速度是 25 千米/小时，水流速度是 5 千米/小时。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（顺流逆流问题） 2．小张从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路。他保持平路每分钟走 60 米，下坡每分钟走 100 米，上坡每分钟走 40 米。他从家到学校需 15 分钟，从学校回家需 19 分钟。 求小张家到学校的距离是多少米？ 【答案】 小张家到学校的距离是 1180 米。 【解析】 设平路长 米，下坡路长 米， ∵ 家→学校走“平路 + 下坡”，学校→家走“平路 + 上坡”， ∴ 得 ∴ 两式相减消去 ，得 ， ∴ ，， ∴ ，即 ，， ∴ 全程 （米）。 ∴ 小张家到学校的距离是 1180 米。 【结论】 小张家到学校的距离是 1180 米。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（上下坡往返问题） 例题2 1．A、B 两地相距 36 千米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发相向而行，2 小时后两人在途中相遇。 相遇后甲立即返回 A 地，乙继续向 A 地前进。甲回到 A 地时，乙离 A 地还有 8 千米。求甲、乙两人的速度？ 图示：相遇时路程和为 36 千米；返回阶段两人各走 2 小时 【答案】 甲的速度为 4 千米/小时，乙的速度为 14 千米/小时。 【解析】 设甲的速度为 千米/小时，乙的速度为 千米/小时， ∵ 相向而行 2 小时相遇， ∴ 相遇时两人路程之和等于全程，得 ， ∴ 相遇后甲返回 A 地仍需 2 小时，这段时间乙继续前行 2 小时， ∵ 甲回到 A 地时乙离 A 地还有 8 千米， ∴ 这 2 小时内乙走了 千米， ∴ 得方程组 ∴ 由第二式得 ，代入第一式得 。 ∴ 甲的速度为 4 千米/小时，乙的速度为 14 千米/小时。 【结论】 甲的速度为 4 千米/小时，乙的速度为 14 千米/小时。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（相遇问题） 2．甲、乙两人在 400 米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，25 秒后两人首次相遇。 随后重新计时，50 秒后乙追上甲（乙比甲快）。求甲、乙两人的速度？ 图示：环形跑道——背向为相遇（路程和为一圈），同向为追及（路程差为一圈） 【答案】 甲的速度为 4 米/秒，乙的速度为 12 米/秒。 【解析】 设甲的速度为 米/秒，乙的速度为 米/秒， 第一阶段：两人同时同地背向起跑，属于相遇问题， ∴ 首次相遇时两人路程之和恰为一圈，得 ， 第二阶段：两人同时同地同向出发，属于追及问题， ∴ 乙追上甲时，乙比甲恰好多跑一圈，得 ， ∴ 得方程组 ∴ 两式相加得 ，， ∴ 。 ∴ 甲的速度为 4 米/秒，乙的速度为 12 米/秒。 【结论】 甲的速度为 4 米/秒，乙的速度为 12 米/秒。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（环形跑道上的相遇与追及） 练习2 1．甲、乙两地相距 270 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时从两地出发，以各自的速度匀速相向而行，3 小时后相遇。相遇后拖拉机以原速继续前进，汽车在相遇处停留 0.5 小时后掉头以原速返回，汽车再次出发 0.5 小时后追上拖拉机。求此时汽车、拖拉机各自走了多少千米？ 图示：以相遇点为界分段——停留时间不计入行驶时间 【答案】 汽车共行驶 210 千米，拖拉机共行驶 120 千米。 【解析】 设汽车的速度为 千米/小时，拖拉机的速度为 千米/小时， 第一阶段：相向而行 3 小时相遇， ∴ 两车路程之和等于两地距离，得 ， 第二阶段：汽车停留 1 小时后折返，行驶 0.5 小时追上拖拉机； ∵ 追上时两车离相遇点的距离相等， ∴ 汽车折返行驶 0.5 小时的路程 = 拖拉机在 小时内行驶的路程，得 ， ∴ 得方程组 ，即 ， ∴ ，，。 ∴ 汽车行驶路程 （千米）， 拖拉机行驶路程 （千米）。 ∴ 汽车共行驶 210 千米，拖拉机共行驶 120 千米。 【结论】 汽车共行驶 210 千米，拖拉机共行驶 90 千米。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（相遇与折返追及） 2．某人沿公路匀速前进，每隔 6 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔 12 分钟就有一辆公共汽车从背后超过他。假定公共汽车等间隔发车、速度不变，且相邻两车的间距都相等。求此人的速度和公共汽车的速度之比，以及公共汽车每隔几分钟开出一辆？ 图示：迎面相遇用速度和，背后追上用速度差，发车间隔 = 间距 ÷ 车速 【答案】 此人的速度与公共汽车的速度之比为 1 : 3；公共汽车每隔 8 分钟开出一辆。 【解析】 设相邻两车的间距为 ，此人的速度为 ，公共汽车的速度为 ， 迎面遇到汽车时，人与车相向而行，共同“扫过”一个间距 d， ∴ ，即 ； 背后超过时，汽车对人追及，需要“抹平”一个间距 d， ∴ ，即 ； ∴ 两式相加得 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 发车间隔 （分钟）。 ∴ 此人与汽车的速度之比为 1 : 3，公共汽车每隔 8 分钟开出一辆。 【结论】 此人的速度与公共汽车的速度之比为 1 : 3；公共汽车每隔 8 分钟开出一辆。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（等间隔发车问题） 三、出门测 1．小蕾、大洋两人匀速在 600 米环形跑道上跑步，同时同地出发。如果相向而行，每隔 2 分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 6 分钟相遇一次，已知小蕾比大洋的速度快。设小蕾每分钟跑 米，大洋每分钟跑 米，则根据题意列出的方程组是（　　）。 图示：环形跑道——反向相遇、同向追及 A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ∵ 相向而行是相遇问题，路程和为一圈， ∴ ； ∵ 同向而行是追及问题，快者（小蕾）每多跑一圈相遇一次，路程差为一圈， ∴ 。 ∴ 选 A。 【结论】 A 【标注】 【知识点】环形跑道上的相遇与追及（列方程组） 2．某人步行 4 小时，先沿平坦道路走，然后上山，再沿原路线返回。若在平坦道路上每小时走 4 千米，上山每小时走 3 千米，下山每小时走 6 千米，那么这 4 小时共走了多少千米？ 【答案】 16 千米。 【解析】 设平路长 千米，上坡路长 千米， ∵ 往返各走一次平路，上坡与下坡各一次（去程上坡、回程下坡）， ∴ 总时间为 ∴ 整理得 ， ∴ ， ∴ 总路程 （千米）。 ∴ 这 4 小时共走了 16 千米。 【结论】 16 千米。 【标注】 【知识点】二元一次方程组的应用（上下坡往返问题） 3．（拓展）一轮船从 A 地顺流航行到 B 地需要 6 小时，从 B 地逆流航行返回 A 地需要 8 小时。 已知水流速度为 2 千米/小时。一只救生圈从 A 地漂向 B 地，需要多少小时漂到 B 地？ 【答案】 48 小时。 【解析】 设轮船在静水中的速度为 千米/小时，A、B 两地相距 千米， ∵ 顺流 6 小时、逆流 8 小时走过的都是同一段距离 S， ∴ ， ∴ ，， ∴ （千米）。 ∵ 救生圈只有水流速度 2 千米/小时， ∴ 漂到 B 地需要 （小时）。 【结论】 48 小时。 【标注】 【知识点】顺流逆流问题（顺水漂流模型） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组与行程问题培优专题｜相遇、追及、流水、环形跑道（学生版） 一、课堂目标 1．会用“路程 = 速度 × 时间”搭建二元一次方程组模型：能从相遇、追及、顺流逆流、往返坡路等不同情境中准确找出两套等量关系，列出并解出方程组，且对结果作出符合实际意义的检验； 2．掌握“分段行程”的处理策略：会把全程拆成若干路段，分别表示各段的路程或时间后再相加，能利用“往返时各段路程不变、时间不等”的特点设间接未知数，化解直接设元的困难； 3．能区分并熟练运用两类基本模型：相遇问题抓住“路程之和 = 初始距离”，追及问题抓住“快者路程 − 慢者路程 = 初始距离（或路程差）”，并能把直线上的结论迁移到环形跑道——同向按追及、反向按相遇处理； 4．会用“时间方程”处理等间隔发车、折返再追及等非常规行程问题：把“迎面相遇”“背后追上”翻译成速度和、速度差参与的等式，体会设而不求与整体消元的技巧； 5．经历“审—找—设—列—解—验—答”的完整建模过程，学会用线段图、示意图把文字条件转化为直观图形，实现文字语言、图形语言与符号语言的三向转化，提升数形结合与数学建模素养。 二、知识讲解 （1）列方程组解应用题的通用流程 ① 审：圈出题中的速度、时间、路程，明确每个量属于哪个对象、哪个阶段； ② 找：找两个独立的等量关系（一个方程只能对应一个等量关系，二元方程组需要两个）； ③ 设：直接设元（求谁设谁）或间接设元（设路段长、速度差等便于列式的量）； ④ 列：把等量关系中的每个量都用含未知数的式子表示，列出方程组； ⑤ 解与验：解方程组，并检验解是否满足实际意义（速度、路程为正，时间合理）；⑥ 答：写清单位。 核心公式：路程 = 速度 × 时间；变形：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 易错警示：单位必须统一（千米/小时与米/秒、小时与分钟），必要时先换算再列式。 （2）变速问题（顺流逆流 / 上下坡往返） 顺流航速 = 船速 + 水速，逆流航速 = 船速 − 水速（水速是“助推”还是“阻力”，取决于方向）。 图1　顺流与逆流的速度合成：同向相加、逆向相减 上坡、平路、下坡速度各不相同；往返走同一路段时，去程的上坡就是回程的下坡， 因此“去程时间 = 上坡时间 + 平路时间，回程时间 = 下坡时间 + 平路时间”，两式相减即可消去平路。 图2　坡路＋平路的往返路线：同一段坡路，去程上坡、回程下坡 （3）相遇与追及（含环形跑道） 相遇问题：同时异地相向而行，相遇时两者路程之和等于初始距离，即“甲的路程 + 乙的路程 = 初始距离”； 追及问题：同时同地（或异地）同向而行，追上时快者比慢者多走初始距离，即“快者的路程 − 慢者的路程 = 初始距离”。 图3　相遇模型：路程和 = 初始距离 图4　追及模型：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 环形跑道变式：同向运动可看作追及问题（快者每多跑一圈就追上一次，路程差 = 圈长的整数倍）； 反向（背向）运动可看作相遇问题（每相遇一次，路程和增加一圈，路程和 = 圈长的整数倍）。 图5　环形跑道：同向是追及，反向是相遇 （4）非常规行程问题（等间隔发车 / 折返追及） 等间隔发车模型：相邻两车间距固定为 d。迎面来车时，人与车相向，相遇时间 = d ÷ (v人 + v车)； 背后超车时，车对人追及，追上时间 = d ÷ (v车 − v人)。两个时间都由题中“每隔几分钟”给出， 联立即可解出人与车的速度；发车间隔 = d ÷ v车。 图6　等间隔发车：迎面用时用速度和，背后追上用时用速度差 折返追及模型：快者到达相遇点后停留或折返，需分段计算——每段分别用“路程 = 速度 × 时间”， 以“相遇点”为界把全程切成两段，注意把停留时间从追及方的行走时间里剔除。 图7　折返追及：以相遇点为界分段列式 例题1 1．一艘轮船在两个码头之间航行，顺流航行全程需要 3 小时，逆流航行全程需要 4.5 小时。 已知水流速度为 3 千米/小时，求轮船在静水中的速度以及两个码头之间的距离？ 图示：顺流航速 = 船速 + 水速，逆流航速 = 船速 − 水速 2．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4 千米， 下坡每小时走 5 千米，那么从甲地到乙地需 54 分钟，从乙地到甲地需 42 分钟。求甲地到乙地全程是多少千米？ 图示：去程为“上坡＋平路”，回程为“下坡＋平路”，坡路长不变 练习1 1．青岛和大连相距 360 千米，一轮船往返于两地之间，顺水行船用 12 小时，逆水行船用 18 小时。求船在静水中的速度和水流速度分别是多少？ 2．小张从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路。他保持平路每分钟走 60 米，下坡每分钟走 100 米，上坡每分钟走 40 米。他从家到学校需 15 分钟，从学校回家需 19 分钟。求小张家到学校的距离是多少米？ 例题2 1．A、B 两地相距 36 千米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发相向而行，2 小时后两人在途中相遇。 相遇后甲立即返回 A 地，乙继续向 A 地前进。甲回到 A 地时，乙离 A 地还有 8 千米。求甲、乙两人的速度？ 图示：相遇时路程和为 36 千米；返回阶段两人各走 2 小时 2.甲、乙两人在 400 米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，25 秒后两人首次相遇。 随后重新计时，50 秒后乙追上甲（乙比甲快）。求甲、乙两人的速度？ 图示：环形跑道——背向为相遇（路程和为一圈），同向为追及（路程差为一圈） 练习2 1．甲、乙两地相距 270 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时从两地出发，以各自的速度匀速相向而行，3 小时后相遇。相遇后拖拉机以原速继续前进，汽车在相遇处停留 0.5 小时后掉头以原速返回，汽车再次出发 0.5 小时后追上拖拉机。求此时汽车、拖拉机各自走了多少千米？ 图示：以相遇点为界分段——停留时间不计入行驶时间 2．某人沿公路匀速前进，每隔 6 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔 12 分钟就有一辆公共汽车从背后超过他。假定公共汽车等间隔发车、速度不变，且相邻两车的间距都相等。求此人的速度、公共汽车的速度，以及公共汽车每隔几分钟开出一辆？ 图示：迎面相遇用速度和，背后追上用速度差，发车间隔 = 间距 ÷ 车速 三、出门测 1．小蕾、大洋两人匀速在 600 米环形跑道上跑步，同时同地出发。如果相向而行，每隔 2 分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 6 分钟相遇一次，已知小蕾比大洋的速度快。设小蕾每分钟跑 米，大洋每分钟跑 米，则根据题意列出的方程组是（　　）。 图示：环形跑道——反向相遇、同向追及 A． B． C． D． 2．2．某人步行 4 小时，先沿平坦道路走，然后上山，再沿原路线返回。若在平坦道路上每小时走 4 千米，上山每小时走 3 千米，下山每小时走 6 千米，那么这 4 小时共走了多少千米？ 3．（拓展）一轮船从 A 地顺流航行到 B 地需要 6 小时，从 B 地逆流航行返回 A 地需要 8 小时。 已知水流速度为 2 千米/小时。一只救生圈从 A 地漂向 B 地，需要多少小时漂到 B 地？ 学科网（北京）股份有限公司 $