专题4.2 认识一次函数（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册
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内容正文：
专题4.2 认识一次函数
教学目标
1.理解一次函数、正比例函数的概念，熟记函数标准形式，分清二者之间从属关系。
2.能够依据定义识别一次函数与正比例函数，会根据条件求解解析式中的字母参数。
3.理解函数图象上点的意义，掌握将点坐标代入解析式进行计算的基本方法。
4.能结合简单实际情境，列写一次函数关系式，进行自变量与函数值相关计算。
教学重难点
重点：
1.掌握一次函数、正比例函数的定义，牢记这个核心限制条件。
2.分清正比例函数是特殊的一次函数，能正确辨别两类函数，完成概念判断题。
3.理解图象上点的性质，会把点的坐标代入函数式，求解参数或者函数表达式。
难点：
1.做题容易忽略隐含条件，求解参数后忘记检验，出现不符合定义的解。
2.区分一次函数和正比例函数，不能混淆概念，看清题目是否要求的条件。
3.已知点在函数图象上，代入计算时分清横、纵坐标，避免代入坐标顺序颠倒出错。
知识点01一次函数的定义
一般地，形如（，为常数，）的函数，叫做一次函数，其中是自变量，是的函数，称为比例系数。
【即学即练】
1．下列函数中，一次函数的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项与D选项的分母均含自变量，不符合一次函数是含自变量的整式的要求；
B选项中自变量的最高次数为2，不符合一次函数定义；
C选项符合一次函数（为常数，）的形式．
2．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：．
知识点02正比例函数的定义
特别地，在一次函数中，当时，函数变为（为常数，），此时叫做的正比例函数，为比例系数。
注意：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数；当时，只是普通一次函数，不是正比例函数。
【即学即练】
3．下列各函数中表示是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数，
∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A；
∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B；
∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C；
∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义；
∴ 选D．
4．若函数是正比例函数（为常数），则的值为________．
【答案】
【详解】解：∵ 正比例函数的一般形式为（，为常数），即常数项为，一次项系数不为，
又是正比例函数，
∴，且一次项系数，
∴．
知识点03函数图象上点的性质
函数图象上任意一点的横、纵坐标都满足函数解析式。
若点在函数图象上，则把代入解析式，等式成立；常用来求解析式中的参数。
【即学即练】
5．若点在直线上，则的值是______．
【答案】7
【详解】解：∵ 点在直线上，
∴ 将，代入直线解析式，
，
．
题型01正比例函数的概念辨析
【例1】如果x和y成正比例，y和z成正比例，那么x和z之间有什么关系？
【答案】x和z成正比例．
【详解】解：∵x和y成正比例，
∴存在不为0的常数，使得．
∵y和z成正比例，
∴存在不为0的常数，使得．
将代入，得．
∵且，
∴是不为0的常数，
∴x和z成正比例．
【例2】若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴常数项满足，
解得．
【变式1-1】下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（ ）
A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化
B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化
C．圆的面积随半径的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化
【答案】A
【详解】解：选项A，由质量公式，得，符合正比例函数定义，符合题意；
选项B，矩形周长为，可得，整理得，不符合正比例函数定义，不符合题意；
选项C，由圆的面积公式得，不符合正比例函数定义，不符合题意；
选项D，设单位路程耗油量为常数，可得，不符合正比例函数定义，不符合题意．
【变式1-2】已知函数是正比例函数，则常数的值是_____．
【答案】2
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴．
【变式1-3】已知函数是关于x的正比例函数，求m的值．
【答案】的值为
【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数，
，
∴，
∴，满足题意，
．
判断正比例函数，牢记标准形式，核心条件：为常数且，不含常数项，自变量次数为1。
遇到变形的式子，要先整理化简，再对照定义判断。
注意正比例函数属于特殊的一次函数，不要将两类函数概念相互混淆。
题型02一次函数的识别与判断
【例3】下列是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．中的次数为2，不是一次函数，不符合题意；
B．符合一次函数的定义，符合题意；
C．为分式，不是一次函数，不符合题意；
D．含二次根式，不是一次函数，不符合题意．
【例4】下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的和的值．
（1）；
（2）（为自变量）；
（3）；
（4）．
【答案】
一次函数有（1），（2），（4）．
（1），；
（2），；
（4），．
【详解】解：（1），是一次函数，其中，；
（2）中是常数，是一次函数，其中，；
（3）分母含有自变量，不是一次函数；
（4）中是常数，是一次函数，其中，．
【变式2-1】下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义；
B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义；
C、不是整式形式，不符合一次函数定义；
D、不是整式形式，不符合一次函数定义．
【变式2-2】若与x成正比例，则y是x的（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系
【答案】B
【详解】解：∵与x成正比例，
∴设（，k为常数），
∴，
∵，符合一次函数（，b为常数）的定义，
∴y是x的一次函数．
【变式2-3】下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（ ）
A．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
8
6
6
8
…
B．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
12
10
7
3
…
C．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
…
D．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
…
【答案】D
【详解】解：对于一次函数，当每增加1时，的变化量始终相等，
分别计算各选项的变化量：
选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意；
选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意；
选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意.
D选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，从3到4，变化量为，变化量恒定相等，因此是的一次函数，符合题意．
一次函数标准形式为，关键条件：为常数，，自变量的次数必须是1。
遇到带有括号、分式的式子，先整理化简为标准形式，再进行判断。
时式子变为常数函数，不属于一次函数，审题时留意隐藏条件。
题型03依据一次函数定义求解字母参数
【例5】函数是关于的一次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】A
【详解】解：函数是关于的一次函数
一次项系数满足
解得，
因此的取值范围是．
【例6】如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意，
解得．
【变式3-1】已知函数（是常数）是正比例函数，则_________．
【答案】
【详解】解：由正比例函数的定义得：且，
解方程得，即，
由得，
因此．
【变式3-2】函数是一次函数，则m的值为______．
【答案】
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且，
由可得，
由可得，
∴．
【变式3-3】已知函数是关于的一次函数，则的值为__________．
【答案】
【详解】解：根据一次函数的定义，若是关于的一次函数，需满足：
且，
因此．
题型04求一次函数的自变量与对应函数值
【例7】下列各点不在函数上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将代入，得，
∴ 点不在函数图象上，故A选项符合题意；
将，，分别代入解析式，得对应值为，，，均与对应选项纵坐标一致，
∴ 选项B，C，D中的点均在函数图象上，均不符合题意．
【例8】若点在函数的图象上，则代数式的值是______．
【答案】
【详解】解：点在函数的图象上，
将代入解析式得：，
整理得：，
∴，
代入得：．
【变式4-1】已知四个点的坐标分别为，，，，其中哪些点在直线上？
【答案】
在直线上的点为，
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴在直线上的点为，.
【变式4-2】若点在函数的图象上，则的值是______．
【答案】
2
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
∴．
【变式4-3】，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
【答案】A
【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点，
∴，，
∴，
∴，
∵A、B是不同两点，
∴，
∴，
∴，
即．
已知自变量求函数值，直接将数值代入函数解析式，按照代数式运算规则计算即可。
已知函数值求自变量，把函数值代入解析式，转化为一元一次方程求解。
若是实际问题，算出结果要核对自变量取值范围，舍去不符合实际意义的解。
题型05利用正比例函数定义求函数解析式
【例9】已知函数（为常数）是正比例函数，则该函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 由题知： ，
解得： ，
∴该函数的表达式是 ，
故选：A．
【例10】已知y与x成正比例关系，且时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】
【详解】（1）解：∵y与x成正比例关系，
∴设，
当时，，
代入得：．
y与x的函数解析式为：；
（2）当时，，
∴．
【变式5-1】已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________．
【答案】
【详解】与成正比例，
设，
将,代入解析式得
，
解得 ，
将代入所设解析式得，
故答案为 ．
【变式5-2】已知铁的质量与体积成正比例，当时，，则铁的质量关于体积的函数解析式是________．
【答案】
【详解】解：设这个函数解析式为，
，解得，
故这个函数解析式是．
【变式5-3】已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)y的值为
【分析】
【详解】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，
∴，
∴；
（2）把代入，得．
∴当时，y的值为．
【点睛】本题考查求函数解析式以及求函数值．熟练掌握正比例函数的定义，求出函数解析式，是解题的关键．
题型06列一次函数解析式并求值
【例11】自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______．
【答案】（且x为整数）
【详解】解：由题意可知，小丽初始体重为千克，平均每天减掉千克，则天一共减掉的体重为千克，
根据等量关系：天后体重初始体重天减掉的体重可得：
，
又∵天数为非负整数，且题目给出，
∴自变量范围为且x为整数，
即与的关系式为（且x为整数）．
【例12】如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据．
双层部分长
0
2
8
14
20
单层部分长度
152
148
136
112
(1) ；
(2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式；
(3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度．
【答案】(1)124
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，
∴；
（2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，
∴，
即与之间的关系式为．
（3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为，
背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，
，
解得，
故此时双层部分的长度．
【变式6-1】子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ）
x
…
0
1
…
y
…
14
11
8
5
3
…
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设该一次函数的解析式为，
当时，，
当时，，
∵，
∴x的值每增加1，y的值就增加k，
由表格可知，当时，x的值每增加1，y的值就减少3，
而时的函数值相对于时的函数值减少2，
∴点不在该一次函数的图象上，
故这组错误的数据是．
故选：A．
【变式6-2】一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为．
(1)写出用表示的函数表达式．
(2)当时，求的值．
【答案】(1)（）
(2)
【分析】
【详解】（1）解：∵一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
【变式6-3】北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本（元/件）
生产提成（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
32
5
45
“雪容融”
28
6
40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
【答案】(1)
(2)4400
【分析】
【详解】（1）解：由题意得： ，
即y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：
答：该厂一天所获得的总利润是4400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法．
一、单选题
1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①，③，⑤均为一次函数；
②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个；
2．下列各点在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将各点横坐标代入计算：
当时，，A不符合题意；
当时，，B符合题意；
当时，，C不符合题意；
当时，，D不符合题意．
3．已知，若是的正比例函数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得且，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴.
4．若与成正比例，且当时，，则与函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：与成正比例，
设，
把，代入得，
解得，
．
5．阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵每台饮水机800元，购买台饮水机的费用为元，安装费为一次性固定收取1000元，
∴总金额与购买台数之间的关系式为．
6．我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设所求“特殊点”坐标为，
∵“特殊点”满足到轴距离是到轴距离的倍，
∴，
∵该点在的图象上，
∴．
①当时，解得，代入得，得到点坐标为；
②当时，化简得，方程无解；
∴一次函数图象上的“特殊点”坐标为．
二、填空题
7．若一次函数的图象过点，则________．
【答案】
【详解】解：一次函数的图象过点，
将，代入得
计算得．
8．若函数是一次函数，则m的值为________．
【答案】
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴，
解得或，
∵一次项系数不为，即，得，
∴的值为．
9．点在的函数图像上，则代数式________．
【答案】
【详解】解：点在函数的图像上，
，即，
．
三、题
10．下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】一次函数为（1）（3）（4）（5）．
（1），；
（3），；
（4），；
（5），．
【详解】解：（1），自变量x的次数是1次，且自变量x不在分母上、也没有带根号，
所以是一次函数，其中，；
（2），自变量在分母上，所以不是一次函数；
（3），自变量t的次数是1，且自变量t不在分母上、也没有带根号，
所以是一次函数，其中，；
（4），自变量x的次数是1次，且自变量x不在分母上、也没有带根号，
所以是一次函数，其中，；
（5），自变量t的次数是1次，且自变量t不在分母上、也没有带根号，
所以是一次函数，其中，；
（6），其中自变量x的次数是2次，所以不是一次函数．
11．已知函数，
(1)当时，求函数的值；
(2)当x取何值时，函数的值为0．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将代入，得；
（2）解：令，解得．
12．已知一次函数．
(1)若点在该一次函数图象上，求的值；
(2)小亮说：“不论取除1外的任何值，该一次函数图象恒过定点．”请通过计算说明小亮的说法是否正确．
【答案】(1)
(2)解：小亮的说法正确．理由如下：
∵，
，
这个关于k的一元一次方程有无数解，
，
解得，
∴当时，恒成立，与的取值无关；
又∵时该函数为一次函数，
∴不论取除1外的任何值，该一次函数图象恒过定点．
【分析】
【详解】（1）解：把点代入解析式，得，
整理，得，
解得．
（2）略
1．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（ ）
A．y不是x的函数
B．y是x的函数，且是正比例函数
C．y是x的函数，且是一次函数
D．当时，
【答案】C
【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到，
∴，
A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意．
B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意．
C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意．
D．将代入解析式： ，故本选项错误，不符合题意．
2．根据如图所示的程序计算函数 的值，若输出 的值是 ，则输入的值为__________．
【答案】0或28
【详解】解：当时，，
由题意得，
解得；
当时，，
由题意得，
解得；
综上，输入的值为0或28．
3．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”，如：，等都是“2倍点”．当时，若一次函数的图象上总存在“2倍点”，则的取值范围是_______．
【答案】
【详解】解：由题意可知，一次函数的图象上总存在“2倍点”，
设这个一次函数上的存在点，
代入一次函数中，
，
整理得，，
∵，
∴，
∴，即
4．已知直角边长分别为和，为斜边长，我们把关于的形如的函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为6，则的值为______．
【答案】5
【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
，
中，为直角边，为斜边，
由勾股定理得，
∵的面积为6，
∴，
，
，
，
整理得，
解得或（舍去）．
5．定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________．
【答案】或
【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ，
点在这个“衍生函数”的图象上，
分两种情况讨论：
当时，将点坐标代入得 ，
解得，满足，符合题意.
当时，将点坐标代入得
解得，满足，符合题意.
综上：的值为或.
6．已知与成正比例关系，且当时，．
(1)求出与之间的函数解析式；
(2)若点在这个函数的图象上，求的值．
(3)若的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：设，
当时，，
，解得，
，
与之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）知，与之间的函数解析式为，
把点代入，得，
解得；
（3）解：由（2）知，当时，，
当时，，
解得，
当的取值范围为时，的取值范围为．
7．在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标：
(1)横坐标是；
(2)与轴的距离是2个单位长度．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）解：∵ 所求点在直线 上，且横坐标为 ，
∴ 将 代入解析式得：
，
∴ 满足条件的点坐标为 ．
（2）解：∵ 所求点到轴的距离是2个单位长度，
∴ ，即 或 ，
当 时，代入 得：
，解得 ，
此时点坐标为 ；
当 时，代入 得：
，解得 ，
此时点坐标为 ；
∴ 满足条件的点坐标为 和 ．
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专题4.2 认识一次函数
教学目标
1.理解一次函数、正比例函数的概念，熟记函数标准形式，分清二者之间从属关系。
2.能够依据定义识别一次函数与正比例函数，会根据条件求解解析式中的字母参数。
3.理解函数图象上点的意义，掌握将点坐标代入解析式进行计算的基本方法。
4.能结合简单实际情境，列写一次函数关系式，进行自变量与函数值相关计算。
教学重难点
重点：
1.掌握一次函数、正比例函数的定义，牢记这个核心限制条件。
2.分清正比例函数是特殊的一次函数，能正确辨别两类函数，完成概念判断题。
3.理解图象上点的性质，会把点的坐标代入函数式，求解参数或者函数表达式。
难点：
1.做题容易忽略隐含条件，求解参数后忘记检验，出现不符合定义的解。
2.区分一次函数和正比例函数，不能混淆概念，看清题目是否要求的条件。
3.已知点在函数图象上，代入计算时分清横、纵坐标，避免代入坐标顺序颠倒出错。
知识点01一次函数的定义
一般地，形如（，为常数，）的函数，叫做一次函数，其中是自变量，是的函数，称为比例系数。
【即学即练】
1．下列函数中，一次函数的式子是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
知识点02正比例函数的定义
特别地，在一次函数中，当时，函数变为（为常数，），此时叫做的正比例函数，为比例系数。
注意：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数；当时，只是普通一次函数，不是正比例函数。
【即学即练】
3．下列各函数中表示是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数是正比例函数（为常数），则的值为________．
知识点03函数图象上点的性质
函数图象上任意一点的横、纵坐标都满足函数解析式。
若点在函数图象上，则把代入解析式，等式成立；常用来求解析式中的参数。
【即学即练】
5．若点在直线上，则的值是______．
题型01正比例函数的概念辨析
【例1】如果x和y成正比例，y和z成正比例，那么x和z之间有什么关系？
【例2】若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（ ）
A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化
B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化
C．圆的面积随半径的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化
【变式1-2】已知函数是正比例函数，则常数的值是_____．
【变式1-3】已知函数是关于x的正比例函数，求m的值．
判断正比例函数，牢记标准形式，核心条件：为常数且，不含常数项，自变量次数为1。
遇到变形的式子，要先整理化简，再对照定义判断。
注意正比例函数属于特殊的一次函数，不要将两类函数概念相互混淆。
题型02一次函数的识别与判断
【例3】下列是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的和的值．
（1）；
（2）（为自变量）；
（3）；
（4）．
【变式2-1】下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】若与x成正比例，则y是x的（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系
【变式2-3】下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（ ）
A．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
8
6
6
8
…
B．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
12
10
7
3
…
C．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
…
D．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
…
一次函数标准形式为，关键条件：为常数，，自变量的次数必须是1。
遇到带有括号、分式的式子，先整理化简为标准形式，再进行判断。
时式子变为常数函数，不属于一次函数，审题时留意隐藏条件。
题型03依据一次函数定义求解字母参数
【例5】函数是关于的一次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【例6】如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知函数（是常数）是正比例函数，则_________．
【变式3-2】函数是一次函数，则m的值为______．
【变式3-3】已知函数是关于的一次函数，则的值为__________．
题型04求一次函数的自变量与对应函数值
【例7】下列各点不在函数上的是（ ）
A． B． C． D．
【例8】若点在函数的图象上，则代数式的值是______．
【变式4-1】已知四个点的坐标分别为，，，，其中哪些点在直线上？
【变式4-2】若点在函数的图象上，则的值是______．
【变式4-3】，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
已知自变量求函数值，直接将数值代入函数解析式，按照代数式运算规则计算即可。
已知函数值求自变量，把函数值代入解析式，转化为一元一次方程求解。
若是实际问题，算出结果要核对自变量取值范围，舍去不符合实际意义的解。
题型05利用正比例函数定义求函数解析式
【例9】已知函数（为常数）是正比例函数，则该函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【例10】已知y与x成正比例关系，且时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求x的值．
【变式5-1】已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________．
【变式5-2】已知铁的质量与体积成正比例，当时，，则铁的质量关于体积的函数解析式是________．
【变式5-3】已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
题型06列一次函数解析式并求值
【例11】自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______．
【例12】如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据．
双层部分长
0
2
8
14
20
单层部分长度
152
148
136
112
(1) ；
(2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式；
(3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度．
【变式6-1】子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ）
x
…
0
1
…
y
…
14
11
8
5
3
…
A． B． C． D．
【变式6-2】一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为．
(1)写出用表示的函数表达式．
(2)当时，求的值．
【变式6-3】北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本（元/件）
生产提成（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
32
5
45
“雪容融”
28
6
40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
一、单选题
1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各点在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若是的正比例函数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．若与成正比例，且当时，，则与函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
6．我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若一次函数的图象过点，则________．
8．若函数是一次函数，则m的值为________．
9．点在的函数图像上，则代数式________．
三、题
10．下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
11．已知函数，
(1)当时，求函数的值；
(2)当x取何值时，函数的值为0．
12．已知一次函数．
(1)若点在该一次函数图象上，求的值；
(2)小亮说：“不论取除1外的任何值，该一次函数图象恒过定点．”请通过计算说明小亮的说法是否正确．
1．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（ ）
A．y不是x的函数
B．y是x的函数，且是正比例函数
C．y是x的函数，且是一次函数
D．当时，
2．根据如图所示的程序计算函数 的值，若输出 的值是 ，则输入的值为__________．
3．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”，如：，等都是“2倍点”．当时，若一次函数的图象上总存在“2倍点”，则的取值范围是_______．
4．已知直角边长分别为和，为斜边长，我们把关于的形如的函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为6，则的值为______．
5．定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________．
6．已知与成正比例关系，且当时，．
(1)求出与之间的函数解析式；
(2)若点在这个函数的图象上，求的值．
(3)若的取值范围为，求的取值范围．
7．在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标：
(1)横坐标是；
(2)与轴的距离是2个单位长度．
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