专题5.1 认识二元一次方程组（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

专题5.1 认识二元一次方程组 教学目标 1.理解二元一次方程的概念，能准确判断一个方程是否为二元一次方程。 2.理解二元一次方程的解的含义，并会求二元一次方程的几组解。 3.理解二元一次方程组及其解的概念，能判断一组数是否为方程组的解。 4.能根据实际问题中的等量关系列出二元一次方程组，体会模型思想。 教学重难点 重点： 1.掌握二元一次方程与二元一次方程组的概念，并理解其解的含义。 2.会判断二元一次方程与二元一次方程组，检验一组数是否为方程组的解。 3.理解二元一次方程的解与二元一次方程组的解两者的区别与联系。 难点： 1.从实际问题中抽象出等量关系并列出二元一次方程组，建立方程模型。 2.理解二元一次方程组的解必须同时满足两个方程，即两个方程的公共解。 3.能区分二元一次方程的解与二元一次方程组的解，明确前者不唯一。 知识点01 二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。 【理解要点】判断一个方程是否为二元一次方程，须同时满足三点：①是整式方程，分母、根号内不能含有未知数；②含有两个不同的未知数；③含有未知数的项的次数都是1。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 【即学即练】 1．若是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程的解代入原方程，化简后即可求解． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， ∴． 2．如果是关于，的二元一次方程，则的值为____________． 【答案】2 【分析】根据二元一次方程的定义，需满足含的项的次数为1，且含的项的系数不为0，据此求解的值. 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴需同时满足两个条件：含的项的次数为1，含的项的系数不为0， 即且， 由解得， 当时，，满足系数不为0的要求， ∴的值为2． 知识点02 二元一次方程组 1.方程组：把x+y=2和x-y=0合在一起，用大括号联立起来，就组成了一个方程组： 2.概念：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【判断要点】判断二元一次方程组抓住三点：①共含有两个未知数；②由两个方程组成；③每个方程都是一次方程（含有未知数的项的次数都是1）。 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即学即练】 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意． B． 将第一个方程整理为，方程组含有两个未知数，含未知数的项的次数均为1，且都是整式方程，是二元一次方程组，符合题意． C． 方程中，项的次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意． D． 方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 4．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入方程组，可得关于，的方程组，然后解方程组求出，后，代入即可求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ． 题型01 二元一次方程的定义 【例1】下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义，判定解答即可． 【详解】解： 选项A：方程含有三个未知数，不符合二元一次方程的定义， 故本选项不符合要求． 选项B：不是整式方程， 故本选项不符合要求． 选项C：最高次项的次数为2，不属于一次方程， 故本选项不符合要求． 选项D：符合定义， 故本选项符合要求． 【例2】若方程是二元一次方程，则的值为（     ）. A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程和不等式，解出后得m、n的值，代入计算即可得答案 【详解】解：∵ 方程为二元一次方程， ∴ ，，，解得：， 把代入得：，解得：或， 把代入得，解得：， ∴ ， ∴ 【变式1-1】下列方程：①；②；③；④中，_______是二元一次方程．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断给出的方程即可得到结果． 【详解】解：①中，项的次数为，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程； ② 是整式方程，含有两个未知数和，且含未知数的项的次数都是，符合定义，是二元一次方程； ③中，项的次数为，不符合定义，不是二元一次方程； ④ ，整理得，是整式方程，含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，符合定义，是二元一次方程． 【变式1-2】已知方程是关于x，y的二元一次方程，则____________． 【答案】1或25 【分析】因为该方程是二元一次方程，所以x和y的次数都为1，可列关于m、n的次数方程，同时未知数的系数不能为0，可列关于m、n的系数不等式．求解m的次数方程，再结合系数不等式，确定m的取值．求解n的次数方程，再结合系数不等式，确定n的取值．将确定的m、n代入计算即可． 【详解】针对x的项：， 解得 ； 同时 ， 也就是 ， ∴只能取 ． 针对y的项： ， 解得 ； 同时，， 这里都满足该条件． 把、代入，得； 把、代入，得． 综上，的值是1或25． 【变式1-3】若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 方程是二元一次方程， ∴ ， 即且， ∴ . 判定方程是否为二元一次方程，须同时满足三点：是整式方程，分母、根号内不含未知数；只含两个未知数，相同字母算一个；含未知数的项的次数都是1。 题型02 二元一次方程组的定义 【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【例4】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 【变式2-1】在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项方程组共含三个未知数，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意． 【变式2-2】若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【详解】解：原方程组是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 【变式2-3】已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 判断方程组是否属二元一次方程组，关键看整个方程组合起来共含几个未知数，总共两个即可。 再逐个检查组内方程，都必须是整式方程、含未知数的项次数为1；一个方程含两个未知数、另一个只含一个，也算。出现分式、三次项或三个以上未知数则排除。 题型03 二元一次方程的解 【例5】已知是方程的解，则a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：把代入， 得， ， ， ． 【例6】已知关于、的二元一次方程的一组解为，则一次函数（为常数）的图象不经过第___________象限． 【答案】二 【分析】将已知的方程解代入原二元一次方程求出k的值，再根据一次函数解析式的系数特征判断其图象经过的象限，确定不经过的象限． 【详解】解：∵二元一次方程的一组解为， ∴将，代入方程得，解得 ∴一次函数的解析式为 ∵一次项系数，函数值随的增大而增大，直线从左到右呈上升趋势． ∵常数项，直线与轴的交点在轴负半轴上． ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【变式3-1】如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴； ∴. 【变式3-2】若是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】7 【分析】把解代入方程，可得，观察所求式子，刚好构造出，将整体代入即可求解． 【详解】解：由题可知，， ∴原式 ． 【变式3-3】方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，是非负整数， ∴，即，且是2的倍数， ∴，且为偶数， ∴的可能取值为0，2，4，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴非负整数解共有4个． 使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，是方程的一个解。检验时把一组数分别代入方程左右两边，计算结果相等即是解。 二元一次方程一般有无数组解，给定一个未知数的值，可求出另一个的值。解成对出现，写成大括号联立形式；求部分整数解时，固定一个未知数逐个试值筛选。 题型04 二元一次方程组的解 【例7】已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每个方程，因此将已知的解代入各选项验证，等式成立的即为所求方程． 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 【例8】关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解”，分析表格中数据即可获得答案． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解， ∴对比表1与表2的对应值， 当时，两表的值均为， 即为方程组的解． 【变式4-1】已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 【变式4-2】在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 【变式4-3】若关于，的二元一次方程，的解的情况分别如表、表所示． 表 … … … … 表 … … … … 则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的解，因此只需找出两个二元一次方程的共同解即可． 【详解】解：∵ 方程组的解需要同时满足两个方程， ∴ 该既是方程的解，也必须是方程的解， 对比表和表的各组解，可知同时满足两个方程， ∴方程组的解是． 方程组的解是组内两个方程的公共解，即同时满足每一个方程的一组未知数的值。 检验时，把一组数值先后代入两个方程，都满足左右相等才是方程组的解，只满足其中一个不是。 它与二元一次方程的解不同，后者有无数组解，方程组一般只有一组公共解。给出候选解时，要依次代入两个方程双重检验。 题型05 已知二元一次方程组的解求参数 【例9】已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的计算，通过观察方程组两个方程的特点，将两式相加可整理出含的式子，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 得： 提取公因式得 整理得， 解得． 【例10】关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再代入所求式子计算算术平方根即可． 【详解】解：把代入原方程组，得 ， 解得：， 将代入，得：． 【变式5-1】若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 【变式5-2】在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 【答案】 【分析】先把方程组的解代入看错的方程组，解方程组求出，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 可得， 解得， ∴． 【变式5-3】若关于，的方程组的解为，其中的值被盖住了，但仍能求出的值，则的值为________________． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出y的值，再把x、y的值代入方程中，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 把代入方程中， ∴， ∴． 方程组的解可直接代入方程组替换未知数，得到含参数的新方程（组）求解。把x=a、y=b代入后，式子里只剩参数。 题型06 根据实际问题列二元一次方程组 【例11】我市某学校开展“525，我爱我”心理健康专题活动，需制作宣传展板．已知制作块型展板和3块型展板共需元，制作块型展板和块型展板共需元．设型展板单价为元，型展板单价为元，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵块A型展板和块B型展板共需元， ∴； ∵块A型展板和块B型展板共需元， ∴； ∴可得方程组． 【例12】根据题意列方程组： (1)2017年和2021年，我国成功完成航天发射共计69次，其中2021年成功完成航天发射的次数比2017年的3倍多1次，我国2017年和2021年成功完成航天发射各多少次？ (2)将一摞笔记本分给若干名学生．若每名学生5本，则剩下8本；若每名学生8本，则又差了7本．共有多少本笔记本、多少名学生？ 【答案】(1)解：设2017年成功完成航天发射次，2021年成功完成航天发射次，方程组为． (2)解：设共有名学生，个笔记本，方程组为． 【详解】（1）略 （2）略 【变式6-1】“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 【变式6-2】某校计划组织学生走进秦岭腹地的柞水溶洞景区，开启一场融合地质探索与人文寻踪的研学之旅．经了解：辆大客车和辆小客车可满载学生人，辆大客车和辆小客车可满载学生人．求每辆大客车和每辆小客车可分别满载学生多少人？设每辆大客车可满载学生人，每辆小客车可满载学生人，依题意列出方程组为________． 【答案】（形式不唯一） 【分析】根据辆大客车和辆小客车可满载学生人，辆大客车和辆小客车可满载学生人，列出方程组． 【详解】解：∵2辆大客车和1辆小客车可满载150人，每辆大客车满载人，每辆小客车满载人， ∴可得第一个方程， ∵1辆大客车和2辆小客车可满载135人， ∴可得第二个方程， 将两个方程联立，即为所求的方程组． 【变式6-3】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 【答案】 【分析】根据总马匹数和总瓦数两个等量关系，即可列出对应的方程组． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹．由题意可得 ． 先审题，找出两个关键未知量设为x、y；再圈出表示相等关系的语句，如“一共、总和、相差、倍比”等。 题型07 根据几何图形列二元一次方程组 【例13】如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是重叠部分的长度相等，二是拼接后的总长度为30，据此列出方程或方程组进行判断即可． 【详解】解： ∵甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起， ∴重叠部分的长度为，也为，即 变形可得，即或，也可得 ∵此时纸片总长为30 ∴总长可表示为：甲未重叠部分+乙全长，即即或表示为：甲全长+乙未重叠部分，即即， 对于A，符合题意，正确； 对于B，中第二个方程由变形得到，正确； 对于C，中第二个方程与推导出的不符，错误； 对于D，两个方程分别表示总长的两种计算方式，联立可解出满足题意的，正确． 【例14】一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，． 【变式7-1】如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 【变式7-2】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的周长公式可得，即，再根据题意可得小长方形的长为其宽的3倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得， ． 【变式7-3】如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是___________． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，折叠的性质． 根据折叠的性质得到，进而根据“，比大”列方程组即可． 【详解】解：∵将四边形中的一角折叠，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∵比大， ∴， 即． 故答案为：． 利用图形自带的等量关系建立两个等式，如矩形对边相等、拼接后总长相等、角度和、周长公式等。 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的判断，根据定义解答，即含有两个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程 ，即为二元一次方程． 【详解】解：A选项：只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项：含两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，是整式方程，是二元一次方程，符合题意； C选项：含未知数的项的最高次数为2，不符合题意； D选项：的分母含未知数，不是整式方程，不符合题意． 2．已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】A 【详解】解：把代入，得 ， 移项得， 解得． 3．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两次购买的总价列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：把代入得：， ∴． 5．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 【答案】D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 6．是方程的解，则_____． 【答案】 【分析】方程的解满足方程，将已知的，的值代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴ 将， 代入方程得： ， 化简得：， 解得：． 7．若是方程组的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，把两个新方程左右两边分别相加，合并化简后可直接求出的值． 【详解】解：把代入得， 得． 8．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个二元一次方程的图象．在同一个平面直角坐标系中，画出和的图象．如图，这两个二元一次方程的图象交于点，由图象可知，方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组和对应图象的关系，方程组的解就是两个方程图象的交点坐标，直接可得到方程组的解． 【详解】解：∵和的图象交点为， ∴方程组的解是． 9．在解方程组时，小明解得，求的值． 【答案】 【详解】解：把代入方程组， 得， 解得， 所以． 10．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】(1)； (2)； (3)千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 【详解】（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 11．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 12．若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，列关于，的方程和不等式，求解后代入计算的值． 【详解】解：∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴且 且且， ∵， 解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∵ ，解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∴ ． 13．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则根据题意可列出关于，的方程组为________． 【答案】或 【分析】根据甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，得到，根据形成长为65的纸条，可得或，即可得到方程组. 【详解】解：由题意，重叠部分的长可表示为或，故， 形成长为65的纸条，故可得或； 故可得方程组或. 14．某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出关于，，的方程，利用，为非负整数的性质，求解得到的可能值，再匹配选项即可． 【详解】解：∵原轨道长米，若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段， ∴， 整理得； ∵原轨道长米，若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段， ∴， 整理得； 可知， 整理得． ∵，为非负整数，且， 因此方程的非负整数解为，，， 将三组解分别代入计算： 当时，，不符合选项； 当时，，符合选项； 当时，，不符合选项； 因此可能为米． 15．某文创工作室需要分装580件文创盲盒，由甲、乙两名工人先后分工打包完成．工人甲每小时可打包60件盲盒，工人乙每小时可打包80件盲盒，两人从头到尾完成全部分装一共用时8小时．现有两名同学A，B根据题意列出的方程组如下所示，则下列判断正确的是（    ） 同学A解：设工人甲打包，工人乙打包． 由题意，得 同学B解：设工人甲打包m件，工人乙打包n件． 由题意，得 A．只有A列的方程组正确 B．只有B列的方程组正确 C．A和B列的方程组都正确 D．A和B列的方程组都不正确 【答案】C 【分析】根据两位同学不同的设元方式，结合总时间、总数量的等量关系，分别验证方程组是否正确即可． 【详解】解：同学A：∵设工人甲打包，工人乙打包，总用时为小时，总盲盒共件， ∴总时间满足， 甲打包总数量为，乙打包总数量为， ∴总数量满足， 即， 因此A列的方程组正确； 同学B：∵设工人甲打包件，工人乙打包件，总盲盒共件， ∴总数量满足， ∵甲打包用时为，乙打包用时为，总用时为小时， ∴总时间满足， 即， 因此B列的方程组也正确； 综上A和B列的方程组都正确． 16．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求解方程组整理为与已知解的方程组结构相同的形式，通过换元对应已知的解，进而求出的值． 【详解】解：令，，则原方程组可变形为， 方程组的解是， ，即， 解得． 17．已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二象限 D．坐标轴上 【答案】C 【分析】根据题意可得，可判断一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，结合题意可得点是一次函数的图象上的一个点，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 在一次函数中，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， ∵二元一次方程的一个解是， ∴点是一次函数的图象上的一个点， ∴点一定不在第二象限． 18．已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 19．已知关于，的二元一次方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程的解代入方程中求解即可； （2）将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得，，解之即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得. （2）解：， ． 当时，无论取何值，始终为2． 又∵当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解， ∴，， ∴这组公共解为． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 认识二元一次方程组 教学目标 1.理解二元一次方程的概念，能准确判断一个方程是否为二元一次方程。 2.理解二元一次方程的解的含义，并会求二元一次方程的几组解。 3.理解二元一次方程组及其解的概念，能判断一组数是否为方程组的解。 4.能根据实际问题中的等量关系列出二元一次方程组，体会模型思想。 教学重难点 重点： 1.掌握二元一次方程与二元一次方程组的概念，并理解其解的含义。 2.会判断二元一次方程与二元一次方程组，检验一组数是否为方程组的解。 3.理解二元一次方程的解与二元一次方程组的解两者的区别与联系。 难点： 1.从实际问题中抽象出等量关系并列出二元一次方程组，建立方程模型。 2.理解二元一次方程组的解必须同时满足两个方程，即两个方程的公共解。 3.能区分二元一次方程的解与二元一次方程组的解，明确前者不唯一。 知识点01 二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。 【理解要点】判断一个方程是否为二元一次方程，须同时满足三点：①是整式方程，分母、根号内不能含有未知数；②含有两个不同的未知数；③含有未知数的项的次数都是1。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 【即学即练】 1．若是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如果是关于，的二元一次方程，则的值为____________． 知识点02 二元一次方程组 1.方程组：把x+y=2和x-y=0合在一起，用大括号联立起来，就组成了一个方程组： 2.概念：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【判断要点】判断二元一次方程组抓住三点：①共含有两个未知数；②由两个方程组成；③每个方程都是一次方程（含有未知数的项的次数都是1）。 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即学即练】 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 4．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型01 二元一次方程的定义 【例1】下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【例2】若方程是二元一次方程，则的值为（     ）. A．2 B． C．0 D． 【变式1-1】下列方程：①；②；③；④中，_______是二元一次方程．（填序号） 【变式1-2】已知方程是关于x，y的二元一次方程，则____________． 【变式1-3】若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 判定方程是否为二元一次方程，须同时满足三点：是整式方程，分母、根号内不含未知数；只含两个未知数，相同字母算一个；含未知数的项的次数都是1。 题型02 二元一次方程组的定义 【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【例4】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【变式2-3】已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 判断方程组是否属二元一次方程组，关键看整个方程组合起来共含几个未知数，总共两个即可。 再逐个检查组内方程，都必须是整式方程、含未知数的项次数为1；一个方程含两个未知数、另一个只含一个，也算。出现分式、三次项或三个以上未知数则排除。 题型03 二元一次方程的解 【例5】已知是方程的解，则a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例6】已知关于、的二元一次方程的一组解为，则一次函数（为常数）的图象不经过第___________象限． 【变式3-1】如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式3-2】若是二元一次方程的一个解，求的值． 【变式3-3】方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，是方程的一个解。检验时把一组数分别代入方程左右两边，计算结果相等即是解。 二元一次方程一般有无数组解，给定一个未知数的值，可求出另一个的值。解成对出现，写成大括号联立形式；求部分整数解时，固定一个未知数逐个试值筛选。 题型04 二元一次方程组的解 【例7】已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【例8】关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【变式4-1】已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【变式4-3】若关于，的二元一次方程，的解的情况分别如表、表所示． 表 … … … … 表 … … … … 则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 方程组的解是组内两个方程的公共解，即同时满足每一个方程的一组未知数的值。 检验时，把一组数值先后代入两个方程，都满足左右相等才是方程组的解，只满足其中一个不是。 它与二元一次方程的解不同，后者有无数组解，方程组一般只有一组公共解。给出候选解时，要依次代入两个方程双重检验。 题型05 已知二元一次方程组的解求参数 【例9】已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【例10】关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 【变式5-1】若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 【变式5-3】若关于，的方程组的解为，其中的值被盖住了，但仍能求出的值，则的值为________________． 方程组的解可直接代入方程组替换未知数，得到含参数的新方程（组）求解。把x=a、y=b代入后，式子里只剩参数。 题型06 根据实际问题列二元一次方程组 【例11】我市某学校开展“525，我爱我”心理健康专题活动，需制作宣传展板．已知制作块型展板和3块型展板共需元，制作块型展板和块型展板共需元．设型展板单价为元，型展板单价为元，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【例12】根据题意列方程组： (1)2017年和2021年，我国成功完成航天发射共计69次，其中2021年成功完成航天发射的次数比2017年的3倍多1次，我国2017年和2021年成功完成航天发射各多少次？ (2)将一摞笔记本分给若干名学生．若每名学生5本，则剩下8本；若每名学生8本，则又差了7本．共有多少本笔记本、多少名学生？ 【变式6-1】“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】某校计划组织学生走进秦岭腹地的柞水溶洞景区，开启一场融合地质探索与人文寻踪的研学之旅．经了解：辆大客车和辆小客车可满载学生人，辆大客车和辆小客车可满载学生人．求每辆大客车和每辆小客车可分别满载学生多少人？设每辆大客车可满载学生人，每辆小客车可满载学生人，依题意列出方程组为________． 【变式6-3】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 先审题，找出两个关键未知量设为x、y；再圈出表示相等关系的语句，如“一共、总和、相差、倍比”等。 题型07 根据几何图形列二元一次方程组 【例13】如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 【例14】一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是___________． 利用图形自带的等量关系建立两个等式，如矩形对边相等、拼接后总长相等、角度和、周长公式等。 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 3．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 5．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 6．是方程的解，则_____． 7．若是方程组的解，则的值为___________． 8．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个二元一次方程的图象．在同一个平面直角坐标系中，画出和的图象．如图，这两个二元一次方程的图象交于点，由图象可知，方程组的解是________． 9．在解方程组时，小明解得，求的值． 10．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 11．已知是二元一次方程组的解，求的值． 12．若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 13．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则根据题意可列出关于，的方程组为________． 14．某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（    ）米． A． B． C． D． 15．某文创工作室需要分装580件文创盲盒，由甲、乙两名工人先后分工打包完成．工人甲每小时可打包60件盲盒，工人乙每小时可打包80件盲盒，两人从头到尾完成全部分装一共用时8小时．现有两名同学A，B根据题意列出的方程组如下所示，则下列判断正确的是（    ） 同学A解：设工人甲打包，工人乙打包． 由题意，得 同学B解：设工人甲打包m件，工人乙打包n件． 由题意，得 A．只有A列的方程组正确 B．只有B列的方程组正确 C．A和B列的方程组都正确 D．A和B列的方程组都不正确 16．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 17．已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二象限 D．坐标轴上 18．已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 19．已知关于，的二元一次方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $