5.1 认识二元一次方程组 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.1认识二元一次方程组 知识归纳与题型总结 考点01 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 考向01 二元一次方程的定义 【例1】 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且， 解得． 【对点1】下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 考点02 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 考向01 二元一次方程的解 【例1】若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 【答案】D 【分析】将方程的解代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：将代入中，得 ， 解得． 【对点1】已知是方程的一个解，那么m的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】把方程的解代入原方程，得到关于字母的一元一次方程，求解得到的值，选出对应选项． 【详解】解：是方程的解， ， 解得 考点03 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 考向01 判断是否是二元一次方程组 【例1】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 【对点1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 考点04 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 考向01 判断是否是二元一次方程组的解 【例1】解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A，C选项的第一个方程不成立，排除A，C． ∵， ∴B选项的第二个方程不成立，排除B． ∵代入D选项，，，两个方程均成立， ∴D选项符合题意． 考向02 已知二元一次方程组的解求参数 【例2】若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 【对点1】若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中所有方程，因此将代入各选项验证即可． 【详解】解：把代入各选项逐一验证： 代入选项A，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故A错误； 代入选项B，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故B错误； 代入选项C，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都成立，故C正确； 代入选项D，第一个方程左边右边，故D错误． 【对点2】若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入方程组，可得关于，的方程组，然后解方程组求出，后，代入即可求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ． 考点05 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 考向01 根据实际问题列二元一次方程组 【例1】在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意直接列方程组即可． 【详解】解：∵八年级（1）班共有40名同学， ∴； 又∵八年级（1）班共捐款275元， ∴． ∴所列方程组为． 考向02 根据几何图形列二元一次方程组 【例2】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的周长公式可得，即，再根据题意可得小长方形的长为其宽的3倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得， ． 【对点1】每年的农历五月初五是端午节，某校开展了丰富多彩的传统文化活动．初一年级举行“端午文化知识竞赛”，一共有道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分．小舟回答了全部道题，最终得分为72分．设小舟答对了道题，答错或不答道题，则根据题意可列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共20道题， ∴． ∵答对每题得5分，答错或不答每题扣2分，最终得72分， ∴． 联立得方程组． 【对点2】一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，． 一、选择题 1．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 2．方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，是非负整数， ∴，即，且是2的倍数， ∴，且为偶数， ∴的可能取值为0，2，4，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴非负整数解共有4个． 3．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 4．关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解”，分析表格中数据即可获得答案． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解， ∴对比表1与表2的对应值， 当时，两表的值均为， 即为方程组的解． 5．为庆祝香港回归25周年，某校开展了以“爱我中华，强国有我”为主题的演讲庆祝活动．学校计划拿出180元钱全部用于购买A、B两种不同类别的奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知A奖品每件15元，B奖品每件10元，则购买方案有（     ） A．8种 B．7种 C．6种 D．5种 【答案】D 【分析】设购买x件A种奖品，y件B种奖品，根据题意列出二元一次方程，由x，y均为正整数列举所有符合条件的方程的解即可得出． 【详解】解：设购买x件A种奖品，y件B种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或或， ∴共有5种购买方案． 6．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】设截成长的彩绳x根，截成长的彩绳y根，根据总长度为且不造成浪费，列出二元一次方程，结合x，y均为非负整数的隐含条件，找出所有符合要求的解，统计解的个数即可得到截法数量． 【详解】解：设截成长的彩绳x根，截成长的彩绳y根， 根据题意，得， ∵x、y都是非负整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，（不符合题意）， ∴一共有3种不同的截法． 7．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住总人数、车辆数不变的特点，结合两种乘车方案列方程组即可． 【详解】解：设有个人，辆车． ∵每辆车坐3人，有2辆车空， ∴； ∵每辆车坐2人，有9人步行， ∴； ∴可得方程组． 8．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱；甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住“得到钱后总钱数”的两个等量关系，分别列方程联立即可． 【详解】解：∵甲得到乙所有钱的一半后共有钱50， ∴； ∵乙得到甲所有钱的后共有钱60， ∴； ∴联立得方程组． 9．对于无理数，若整数，满足 ，且是小于的最大整数，是大于的最小整数，则称为无理数的“相邻区间”．例如：，称为的“相邻区间”．已知为某无理数的“相邻区间”，整数，满足，且是关于，的二元一次方程的一组解，则整数的值是（     ） A．1或36 B．2或35 C．1或37 D．2或36 【答案】C 【分析】根据“相邻区间”的定义和二元一次方程的解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值． 【详解】解： 为某无理数的“相邻区间”， 由题意得， ， ， 是方程的解， ， 为整数， 为完全平方数， 时，，满足，即， 时，，满足，即， 的值可能是3或8．　 是方程的解， 当时则， 当时则， 或. 10．将一条长度为的绳子拉直铺平后，在绳子上依次任意取不与端点、重合的两点、，将、两点分别沿、两点折叠至绳子上的新位置、处．当时，的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题根据折叠的性质得到对应线段相等，分两种情况讨论和的位置关系，再利用线段的和差关系计算的长度即可． 【详解】设，，由折叠的性质可知，，， ， ， 可得. 分两种情况讨论： 情况1：折叠后落在的左侧，此时， ， ， 整理得， . 情况2：折叠后落在的左侧，此时， ， ，整理得， . 综上，的长度为或． 二、填空题 11．若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【详解】解：由可得， ∴ ． 12．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 【答案】 【分析】根据总马匹数和总瓦数两个等量关系，即可列出对应的方程组． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹．由题意可得 ． 13．若一个三位正整数的百位数字比十位数字大4，则称这个数是“佳数”．例如：，，是“佳数”；例如：，，不是“佳数”．则最小的“佳数”是________．若“佳数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，，，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的所有“佳数”的和是_______． 【答案】 【分析】对于第一空，要使“佳数”最小，则百位数字最小，根据“佳数”的定义可确定此时的百位数字和十位数字，再令个位数字为0，即可得到最小的“佳数”；根据“佳数”的定义可得，根据和都是整数推出是5的倍数，是4的倍数，根据c的取值范围，讨论c的值，进而确定a、b的值，从而确定所有满足题意的N，最后求和即可得到答案． 【详解】解：∵要使“佳数”最小， ∴首先要保证百位数字最小， ∵百位数字比十位数字大4，且十位数字最小为0， ∴百位数字最小为4， ∴当个位数字为0时，“佳数”最小，即最小的“佳数”为400； ∵“佳数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是整数，即是整数， ∴是5的倍数； ∵， ∴， ∵是整数，即是整数， ∴是4的倍数， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵是5的倍数， ∴， ∴， ∴， ∴此时N为842； 当时，， ∵， ∴， ∵是5的倍数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴此时N为406或956； 综上所述，N为406或842或956， ∴满足以上条件的所有“佳数”的和是． 14．如果，是关于，的二元一次方程的一组解，那么的值为______________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可； 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 15．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为元，利润率为，乙种粗粮的利润率为．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到，则该电商销售甲，乙两种袋装粗粮的数量之比是 _____． （商品的利润率=） 【答案】 【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）袋甲种粗粮的利润袋乙种粗粮的利润，列出方程进行整理即可得． 【详解】解：用表格列出甲、乙两种粗粮的成分： 品种类别 甲 乙 3 1 1 2 1 2 由题意可得甲的成本价为：（元）， 甲中A的成本为：（元）， 则甲中B、C的成本之和为：（元）， 根据乙的组成则可得乙的成本价为：（元）， 设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为，则有 ， 整理得：， ∴． 三、解答题 16．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．A，B两种食品每包质量分别为，，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】2，3 【分析】设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得到二元一次方程组，通过整理，解方程组即可． 【详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 整理，得：， 解得：， 答：应选用A种食品2包，B种食品3包． 17．某班开展了主题为“诗词古韵，书香校园”的诗词诵读活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，购买这两种奖品共花费28元，请通过计算说明共有哪几种购买方案？ 【答案】共有4种不同的购买方案，分别是：买2本笔记本，11支碳素笔；买4本笔记本，8支碳素笔；买6本笔记本，5支碳素笔；买8本笔记本，2支碳素笔 【分析】设购买笔记本数量为本，碳素笔数量为支，根据总花费列出二元一次方程，且均为正整数．对变形后的方程分析因为，所以必须是正偶数，由此确定的可能取值．将符合条件的逐一代入方程，求出对应的正整数，即可得到所有购买方案． 【详解】解：设购买x本笔记本，y支碳素笔， 依题意得：， ． 又x，y均为正整数， 共有4种不同的购买方案，分别是：买2本笔记本，11支碳素笔；买4本笔记本，8支碳素笔；买6本笔记本，5支碳素笔；买8本笔记本，2支碳素笔． 18．小红用110根长短相同的小木棍按照下图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边． (1)探究摆正方形的规律：如图，小红用m根小木棍摆出了p个小正方形，请探索正方形个数与木棍个数的关系： ①填写表格 小正方形个数p 1 2 3 4 …… 所需小木棍根数 …… ②找规律：从表中数据可知，p个正方形所需木棍数为：______（用含p的式子表示）． (2)探究摆六边形的规律：如图，小红用剩下的小木棍摆出了n个六边形（连续摆放，相邻六边形只有一条公共边）； 请仿照第（1）问，摆1个六边形需6根，摆2个需11根，摆3个需16根．．．．．．则连续摆n个六边形所需木棍数为：______（用含n的式子） (3)探究可能摆法：小红先用一部分小木棍摆正方形，再用剩下小木棍摆六边形，且两种图形都至少摆1个，最后恰好用完110根小木棍， ①按照上述规律，110根小木棍与正方形数p和六边形数n的关系是：______（用同时含有n和p的式子表示）； ②小红摆放的正方形数p和六边形数n可以各是多少个（找出满足条件2种摆法即可）? 【答案】(1)①表格 p 1 2 3 4 木棍 4 7 10 13 ②规律： (2) (3)①；②方案1：，；方案2：， 【分析】（1）①通过观察图形的变化得到小正方形的个数与木棍的数量关系求解；②依据表格，找出小正方形个数与所需木棍之间的相应公式； （2）根据图形特点及小木棍变化数量得每多1个六边形需加5根，由此得解； （3）①结合（1）与（2）得到，化简即可；②将①的结果变形，得到，根据，，且p、n均为正整数，据此得到对应值． 【详解】（1）①表格 p 1 2 3 4 木棍 4 7 10 13 ②根据表格可知，每多一个小正方形多加3根小木棍， ∴p个正方形所需木棍数为：； （2）六边形：1个六边形需6根，每多1个六边形需加5根，式子； （3）①总木棍：正方形木棍＋六边形木棍 ，化简： ②由①得， ∵，，且p、n均为正整数， ∴能被3整除，108是3的倍数，故5n是3的倍数， ∴n是3倍数， 取：，； 取：，∴； 取：；，；，；，；，； 两组示例： 方案1：， 方案2：，． 19．对于二元一次方程的解，若，则称为方程的“特征值”；若，则称为方程的“特征值”． (1)当时，求此时方程的“特征值”． (2)若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解． (3)若满足“特征值”为的两个解为和，且，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）因为已知，所以先代入二元一次方程求出对应的值，再计算的大小，根据特征值的定义判断特征值是还是； （2）首先分两种情况讨论：如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立；如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立，保留符合条件的解； （3）分两种情况讨论：如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合列方程求解，再验证此时是否满足；如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合与列方程求解，验证条件后保留符合的结果． 【详解】（1）解：当时，，此时，∴特征值为1． （2）解：当时，，此时，不合题意，舍去． 当时，，此时，所以解为. （3）解：①若两个解都满足，则， 代入方程得， ， ， ， ， 检验：当时， ，与前提矛盾，舍去 ②若两个解都满足，则， ， ， ， 检验：当时，， ，符合题意 ③若一个解满足，另一个解满足， 则一个解的“特征值”为，即，此时， 另一个解的“特征值”为，即， ， ， ， ， 检验：当时，第一个解， ，符合；第二个解， ，符合题意， 综上所述，的值为或． 20．数学活动 阅读：将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的长方形称为“网格长方形”，水平方向边长为，竖直方向边长为的网格长方形称为“长方形”，例如，图1、图2、图3、图4中的网格长方形分别称为“长方形”、“长方形”、“长方形”、“长方形”．数学兴趣小组对“长方形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究． 操作：画出图1、图2、图3、图4中网格长方形的一条对角线，制作了下表：（表示、最大公约数，表示“长方形”的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 1 2 2 3 1 4 4 2 2 4 6 4 2 探究： (1)①表格中______； ②由表格得出结论：_____________（用含、、的式子表示）； (2)在“长方形”中，求； (3)若，均为正整数，且，求满足的所有数对． 【答案】(1)①8；② (2)24 (3)所有数对为：，，，，，， 【分析】（1）通过画图和观察表格的数据规律即可获解； （2）根据（1）所得规律代入计算即可； （3）设，，，（其中、、均为正整数，，互质，且），用上述规律列方程整理可得，再讨论方程的整数解即可． 【详解】（1）解：①如图： 所以； ②观察表格数据规律可知： 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 由表格得出结论：． （2）解：， ． （3）解：设，，，（其中、、均为正整数，，互质，且）， ， 即． 当时，， ， 或或， 数对为：，，． 当时，， ， 或， 数对为：，． 当时，， ， ． 数对为：． 当时，， ， ． 数对为：． 综上，所有数对为：，，，，，，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.1认识二元一次方程组 知识归纳与题型总结 考点01 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 考向01 二元一次方程的定义 【例1】 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【对点1】下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 考点02 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 考向01 二元一次方程的解 【例1】若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 【对点1】已知是方程的一个解，那么m的值为（     ） A． B．2 C． D．3 考点03 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 考向01 判断是否是二元一次方程组 【例1】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【对点1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 考点04 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 考向01 判断是否是二元一次方程组的解 【例1】解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 考向02 已知二元一次方程组的解求参数 【例2】若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【对点1】若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【对点2】若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 考点05 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 考向01 根据实际问题列二元一次方程组 【例1】在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 考向02 根据几何图形列二元一次方程组 【例2】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【对点1】每年的农历五月初五是端午节，某校开展了丰富多彩的传统文化活动．初一年级举行“端午文化知识竞赛”，一共有道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分．小舟回答了全部道题，最终得分为72分．设小舟答对了道题，答错或不答道题，则根据题意可列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 【对点2】一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 一、选择题 1．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 2．方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 4．关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 5．为庆祝香港回归25周年，某校开展了以“爱我中华，强国有我”为主题的演讲庆祝活动．学校计划拿出180元钱全部用于购买A、B两种不同类别的奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知A奖品每件15元，B奖品每件10元，则购买方案有（     ） A．8种 B．7种 C．6种 D．5种 6．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 8．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱；甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 9．对于无理数，若整数，满足 ，且是小于的最大整数，是大于的最小整数，则称为无理数的“相邻区间”．例如：，称为的“相邻区间”．已知为某无理数的“相邻区间”，整数，满足，且是关于，的二元一次方程的一组解，则整数的值是（     ） A．1或36 B．2或35 C．1或37 D．2或36 10．将一条长度为的绳子拉直铺平后，在绳子上依次任意取不与端点、重合的两点、，将、两点分别沿、两点折叠至绳子上的新位置、处．当时，的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．若方程组，则的值是_____． 12．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 13．若一个三位正整数的百位数字比十位数字大4，则称这个数是“佳数”．例如：，，是“佳数”；例如：，，不是“佳数”．则最小的“佳数”是________．若“佳数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，，，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的所有“佳数”的和是_______． 14．如果，是关于，的二元一次方程的一组解，那么的值为______________． 15．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为元，利润率为，乙种粗粮的利润率为．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到，则该电商销售甲，乙两种袋装粗粮的数量之比是 _____． （商品的利润率=） 三、解答题 16．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．A，B两种食品每包质量分别为，，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 17．某班开展了主题为“诗词古韵，书香校园”的诗词诵读活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，购买这两种奖品共花费28元，请通过计算说明共有哪几种购买方案？ 18．小红用110根长短相同的小木棍按照下图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边． (1)探究摆正方形的规律：如图，小红用m根小木棍摆出了p个小正方形，请探索正方形个数与木棍个数的关系： ①填写表格 小正方形个数p 1 2 3 4 …… 所需小木棍根数 …… ②找规律：从表中数据可知，p个正方形所需木棍数为：______（用含p的式子表示）． (2)探究摆六边形的规律：如图，小红用剩下的小木棍摆出了n个六边形（连续摆放，相邻六边形只有一条公共边）； 请仿照第（1）问，摆1个六边形需6根，摆2个需11根，摆3个需16根．．．．．．则连续摆n个六边形所需木棍数为：______（用含n的式子） (3)探究可能摆法：小红先用一部分小木棍摆正方形，再用剩下小木棍摆六边形，且两种图形都至少摆1个，最后恰好用完110根小木棍， ①按照上述规律，110根小木棍与正方形数p和六边形数n的关系是：______（用同时含有n和p的式子表示）； ②小红摆放的正方形数p和六边形数n可以各是多少个（找出满足条件2种摆法即可）? 19．对于二元一次方程的解，若，则称为方程的“特征值”；若，则称为方程的“特征值”． (1)当时，求此时方程的“特征值”． (2)若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解． (3)若满足“特征值”为的两个解为和，且，求的值． 20．数学活动 阅读：将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的长方形称为“网格长方形”，水平方向边长为，竖直方向边长为的网格长方形称为“长方形”，例如，图1、图2、图3、图4中的网格长方形分别称为“长方形”、“长方形”、“长方形”、“长方形”．数学兴趣小组对“长方形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究． 操作：画出图1、图2、图3、图4中网格长方形的一条对角线，制作了下表：（表示、最大公约数，表示“长方形”的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 1 2 2 3 1 4 4 2 2 4 6 4 2 探究： (1)①表格中______； ②由表格得出结论：_____________（用含、、的式子表示）； (2)在“长方形”中，求； (3)若，均为正整数，且，求满足的所有数对． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $