专题5.3 二元一次方程组的应用（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册
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内容正文：
专题5.3 二元一次方程组的应用
教学目标
1.理解列二元一次方程组解应用题的基本思路，明确其关键环节。
2.掌握列二元一次方程组解应用题的一般步骤，能规范按步骤解答。
3.会分析实际问题中的数量关系，找准等量关系列出方程组。
4.掌握直译法、列表法等分析数量关系的方法，灵活运用解题。
教学重难点
重点:
1.根据题意正确设出未知数，找准两个等量关系列出方程组。
2.掌握列方程组解应用题的一般步骤，做到设、列、解、验完整。
3.能准确找出题目中的等量关系，正确建立二元一次方程组。
难点:
1.从复杂实际问题中分析数量关系，准确找出隐含的等量关系。
2.根据题意恰当地设未知数，正确处理单位统一与间接设元。
3.检验方程组的解是否符合实际意义，规范完成作答过程。
知识点01 列方程组解应用题步骤
1.列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2.解应用题的一般步骤：
①审题：弄清题意，找出题目中的数量关系（等量关系）；
②设元：设两个未知数，一般求什么设什么，也可根据方便间接设元；
③列方程：根据等量关系列出两个方程，组成方程组；
④解方程组：用代入法或加减法求出未知数的值；
⑤检验并作答：检验解是否符合题意与实际意义，再写出完整答案。
知识点02 分析数量关系的常用方法
1.直译法：把题目中关键性的数量关系语句译成含有未知数的代数式，并从中找出题目隐含的等量关系，翻译成含有未知数的等式（方程）。
2.列表法：当题目中条件较多、关系较复杂时，列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
【即学即练】
1．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用甲给乙10钱后两人钱数相等的关系排除错误选项，再验证倍数关系对应的方程．
【详解】解：由甲给乙10枚后两人钱币数相等，得，
由乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍，得，
∴可得方程组为．
2．某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送吨水果，甲型冷柜车每天运送量为吨，乙型冷柜车每天运送量为吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答．
【答案】解：根据题意得：，
原方程组整理得，
由①得，，
将代入②得，
解得，
将代入①得，
∴，
甲型冷柜车运送天数为（天），
乙型冷柜车运送天数为（天）．
答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天．
【分析】根据“租用甲乙两种型号的冷柜车运送吨水果”得到，然后根据“整个运送过程总共用时天”列出方程，即可得到方程组，再由代入消元法求解即可．
【详解】略
题型01 行程问题
【例1】大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮轮胎磨损程度比后轮严重，前轮轮胎报废要早于后轮．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，恰能使汽车的两对轮胎同时报废，那么汽车轮胎同时报废前最多行驶里程是______________（结果保留整数）．
【答案】68571
【分析】设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时，每个轮胎的磨损量均为1，可列出关于的二元一次方程组，进而求解.
【详解】解：设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废，
根据题意得，
解得，
∴，
∴，
∴汽车轮胎同时报废前最多行驶里程是.
【例2】已知A，B两地相距18千米，甲从A地出发，匀速步行到B地，乙从B地出发，匀速步行到A地．两人同时出发，3小时后相遇；出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍．求甲、乙的步行速度．
【答案】甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时
【分析】根据相遇时路程和等于总路程、剩余路程的倍数关系两个等量关系，列方程组求解．
【详解】解：设甲的步行速度为千米/时，乙的步行速度为千米/时
∵两人同时出发，3小时后相遇，A、B两地相距18千米
∴
∵出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍
∴
∴
解得
答：甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时．
【变式1-1】甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为，同向而行需分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，结合路程关系列方程求解.
【详解】解：设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为.
∵相向而行后相遇，
∴，
整理得.
同向而行分两种情况：
① 甲速度大于乙速度，甲追乙，后相遇，
∴，
整理得.
联立，
两式相加得，
解得，
∴甲走完全程的时间为，
② 乙速度大于甲速度，乙追甲，后相遇，
∴，
整理得.
联立，
两式相加得，
解得，
代入得，
∴甲走完全程的时间为；
【变式1-2】某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？
【答案】甲的速度为，乙的速度为．
【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，
∵反向而行时，两人相遇，总路程等于环形道路周长，
∴，
∵同向而行时，乙追上甲，路程差等于环形道路周长，
∴，
联立得，
解得，
答：甲的速度为，乙的速度为．
【变式1-3】爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示：
时刻
里程表
上的数
是一个两位数，它的两个数字之和是6
是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了
是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0
设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题：
(1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____；
(2)列方程组并求出时里程表上的数．
【答案】(1)；；；
(2)，时里程表上的数为51
【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数；
（2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程．
【详解】（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，
∴时里程表上的数可表示为；
∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了
∴十位数字为y，个位数字为x，
∴时看到里程表上的数表示为；
∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0，
∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，
∴时看到里程表上的数；
（2）解：根据题意，得，
解得：．
∴小靖在时看到里程表上的两位数．
答：小靖在时看到里程表上的两位数是51．
行程问题涉及路程、速度、时间三个量，基本关系为路程＝速度×时间。常画线段图辅助，把各段路程、时间标出，理清运动过程。
常见有相遇与追及两类。相遇问题两人路程和等于总路程；追及问题两人路程差等于起始距离。抓住路程或时间的等量关系列方程组。
题型02 工程问题
【例3】夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？
【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台．
【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答．
【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，
依题意得
解得
答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台．
【例4】为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度．
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________．
根据题意，得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路；
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程）
【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，．
(2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可；
（2）选择适当的方法解方程组即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数，
根据题意，得
（2）解：选小明同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，
根据题意，得
②，得．③
①，得．④
③－④，得．把代入①，得．
答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
选小华同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得
．
①，得．③
②－③，得，
．把代入①，得，
，．
答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【变式2-1】骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？
【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车
【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可．
【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．
由题意得．
解得．
一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．
【变式2-2】为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解）
【答案】
甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天
【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可.
【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天，
根据题意列方程组得，
解得，
答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天.
【变式2-3】甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成．
(1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________．
(2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数．
【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335
(2)方程组为，7天
【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题；
（2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成米公路的修建任务，列出关于、二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成，
则小红所列方程组为
∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是．
故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，．
（2）解：方程组为
解得
所以乙队修建了（天）．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
工程问题涉及工作总量、工作效率、工作时间，基本关系为工作总量＝工作效率×工作时间，常把工作总量看作1。
分别设两人（或两队）的工作效率为未知数，按完成时间列方程。合作完成时，效率和与时间之积等于总工作量。
注意“先单独后合作”等分段情形，把总工作量拆成几部分之和，分别列式相加。
题型03 和差倍分问题
【例5】手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示：
类别
原材料
成品率
陶杯
陶土E
陶碗
陶土F
第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？
【答案】第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为
【分析】设第一次两种陶土的用量分别为未知数，根据两次成品总数量的条件列出方程组，求解即可得到结果．
【详解】解：设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为．
根据题意可得，
整理方程组得，
将，得，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
即方程组的解为，
答：第一次制作时，陶土E的用量是，陶土F的用量是．
【例6】2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元．
(1)请你求出A，B两款门票的价格；
(2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案．
【答案】(1)A门票每张20元，B门票每张30元
(2)①购买A门票15张，B门票2张；②购买A门票12张，B门票4张；③购买A门票9张，B门票6张；
【分析】（1）设门票每张元，门票每张元，根据小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买门票张，门票张，根据准备花费360元购买A，B两款门票，列出二元一次方程，求方程的正整数解，再根据门票总数不少于15张，舍去不符合题意的解即可．
【详解】（1）解：设门票每张元，门票每张元．
由题意得：，
解得，
答：门票每张20元，门票每张30元．
（2）解：设购买门票张，门票张，由题意得：
，
，
∵都是正整数，
取
，
∴该校所有可能的购票方案如下：①购买门票15张，门票2张；
②购买门票12张，门票4张；
③购买门票9张，门票6张．
【变式3-1】有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨．
【答案】
【分析】设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨，由题意给出的甲、乙两堆煤的数量关系，列方程组求解即可得到总重量．
【详解】解：设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨，
由题意得，
得，解得，
将代入①得，
故原方程组的解为，
两堆煤总重量为（吨）．
【变式3-2】某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答）
【答案】选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人
【分析】设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人，根据总人数为人，徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，列出方程组并解方程组，即可得到答案．
【详解】解：设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人，
根据题意可列方程组：，
解得：，
答：选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人．
【变式3-3】某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？
(1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）：
(2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答．
【答案】(1)
(2)甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天
【分析】（1）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组即可；
（2）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵总运送时间共12天，总运送水果共80吨，
∴根据题意，得 ，
（2）解：根据题意，得 ，
解得，
甲型冷柜车运送天数为 （天） ，
乙型冷柜车运送天数为 （天） ，
答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天．
题型04 几何问题
【例7】用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________．
【答案】
【分析】设小长方形的长为m，宽为n，根据点B的坐标，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可得出和的值，再结合点所在的象限即可得出点的坐标．
【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n，
依题意，得，
解得，
∴，，
∴点的坐标为．
【例8】将一个长方形的长减少、宽增加后，得到一个正方形，并且这个正方形的面积与原长方形的面积相等．求原长方形的长和宽．
【答案】原长方形的长为，宽为．
【分析】根据正方形边长相等、面积与原长方形面积相等的两个等量关系，设未知数列方程组求解．
【详解】解：设原长方形的长为，宽为．
由题意得：，
解得，
答：原长方形的长为，宽为．
【变式4-1】如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小必相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设通道的宽为，，根据长方形场地的长和宽分别建立方程求解．
【详解】解：设通道的宽是，，
，
，
可得，
根据题意可得，
解得，
故通道的宽度为．
【变式4-2】现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积为；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则=____．
【答案】
【分析】先根据图形表示出，再根据方程组得到的关系，然后代入计算即可．
【详解】解：图2中阴影部分的周长，面积；
图3中阴影部分的周长，面积；
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴．
【变式4-3】如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知点坐标为，求点的坐标．
【答案】
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，可得关于x和y的二元一次方程组，求得x和y的数值，结合点B在平面直角坐标系中的位置，即可求得点B的坐标．
【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，依题意得
解得
，．
点B在第二象限，
∴点的坐标为．
几何问题常以周长、面积、角度、边长等关系为等量，先设相关几何量为未知数，如长、宽、半径。
用周长、面积公式建立方程，如长方形周长＝2×（长＋宽）、面积＝长×宽。两个方程须独立且真正反映题目条件。
注意单位统一，以及图形中边与边、角与角之间的关系，把几何性质转化为代数等式。
题型05 数字问题
【例9】用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下：
第一步：；
第二步：；
第三步：；
第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24．
若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】令较大的正整数为x，较小的正整数为y，则，然后分四步进行解答即可得到答案．
【详解】解：令较大的正整数为x，较小的正整数为y，
，
，，
第一步，，此时两个数为和y；
第二步，，此时两个数为和y；
第三步：，此时两个数为和y，
第四步有两种情况：
当时，，
两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，
，
解得；
当时，，
两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，
，
解得；
综上可得，这两个正整数中较大数是或．
【例10】一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？
【答案】原两位数是
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据个位数字和十位数字的关系以及新、旧两位数的关系建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到，的值，即可得到答案．
【详解】解：设原两位数的十位数字为，个位数字为，
依题意得：，
解得：，
∴．
答：原两位数是．
【变式5-1】“九宫图”也称为“三阶幻方”，每行的3个数、每列的3个数、斜对角线的3个数的和都相等，则图中______．
x
2
y
1
6
【答案】9
【分析】利用三阶幻方中每行、每列、斜对角线的和相等的性质，逐步推导得到和的值，再计算．
【详解】解：设三阶幻方每行、每列、斜对角线的和为，标注各位置未知数字为：第一行第二列，第二行第一列，第二行第三列，第三行第一列
∵ 左上到右下的斜对角线和为，
∴ ，得
∵ 右上到左下的斜对角线和为，
∴ ，得
∵ 第三行的和为，
∴
将代入上式得：，
整理得
∵ 三阶幻方所有数的和为，且中间行、中间列、两条对角线的总和为，
∴
将，
代入，得
∴ ．
【变式5-2】已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________．
【答案】62
【分析】设原两位数的个位数字为，十位数字为，根据数位数字之和、新数与原数的数量关系列方程组求解.
【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为，
根据题意列方程组：
，
整理第二个方程得 ，
解得 ，
因此原来的两位数为 .
【变式5-3】小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数．
是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7．
十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了．
比时看到的两位数中间多了个0．
【答案】小明在时看到的里程碑上的数是16．
【分析】设看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据两数字之和为7，匀速行驶1小时的路程相等列方程组求解．
【详解】解：设时看到的数的十位数字为，个位数字为．
根据题意，得，
解得：，
∴．
答：小明在时看到的里程碑上的数是16．
题型06 方案问题
【例11】打开A、B、C、D、E每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽，当A、B、C三个阀门都打开时，注满水槽需要7.5小时；打开A、C、E三个阀门，需要5小时完成注满水槽任务；打开A、C、D三个阀门，需要6小时注满水槽；打开B、D、E三个阀门，需要4小时注满水槽；若单开D阀门，需要多少小时注满水槽？
【答案】12小时
【分析】将注满水槽的工作总量视为单位“1”，根据给定的阀门组合及其注满水槽所需时间，可以建立关于阀门注水速率的方程组．通过观察方程组，发现阀门A和C的速率在多组方程中出现，因此引入中间变量s（s表示阀门A和C的速率之和），简化方程组．利用方程组消去其他变量，最终求解出阀门D的注水速率，进而求得单开D阀门注满水槽所需的时间．
【详解】解:设阀门A、B、C、D、E的注水速率分别为a、b、c、d、e（单位：1/小时）．根据题意，建立方程：
① A、B、C同时打开：，
② A、C、E同时打开：，
③ A、C、D同时打开：，
④ B、D、E同时打开：，
为简化计算，将方程统一为分母为60的分数：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
令，则方程转化为：
① ，
②，
③ ，
④ ，
由方程①得：，
由方程②得：，
代入方程④：，
化简得：，
即，
由方程③得：，
联立方程组：
，
将第二个方程变形为，
代入第一个方程：
，
，
，
解得，
代入，
，
，
因此，阀门D的注水速率为（1/小时），单开D阀门注满水槽所需时间为（小时）．
【例12】随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克．
(1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？
(2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案．
【答案】(1)
A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克
(2)
共有3种租赁方案：
方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架；
方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架；
方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架．
【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量；
（2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解．
【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克．
（2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架，
根据题意，得 ，
整理得，
∵，均为正整数，
∴，即，且是3的正倍数，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，共有3种租赁方案：
方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架；
方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架；
方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架．
【变式6-1】某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格．
【答案】羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元
【分析】设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案．
【详解】解：设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元，
根据题意，可得，解得，
答：羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元．
【变式6-2】某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座）
(1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？
(2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？
【答案】(1)七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆
(2)全租用60座客车更合算
【分析】（1）设七年级有名学生，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租这两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设七年级有名学生．
根据题意，得．
解得．
．
答：七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆．
（2）解：当全租用45座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）．
当全租用60座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）．
因为，
所以全租用60座客车更合算．
【变式6-3】某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题：
奖名
单价（元/件）
数量/件
金额/元
A
90
2
180
B
60
C
40
D
30
14
合计
32
1360
(1)购买D种奖品的金额为_______元；
(2)求购买的B，C两种奖品的数量；
(3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案．
【答案】(1)420元
(2)B奖品6件，C奖品10件
(3)共3种可能方案，方案一：再购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；方案二：再购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；方案三：再购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件
【分析】（1）由数据直接列式计算即可；
（2）由表格数据可知，B，C两种奖品的数量和为（件），总金额为（元），列方程组即可解答；
（3）设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件，根据题意列二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可．
【详解】（1）解：购买D种奖品的金额为：（元）．
（2）解：设B奖品数量为件，C奖品的数量为件，
解得
答：B奖品6件，C奖品10件．
（3）解：设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件．
由题意得：
因为为正整数，
所以：
当时，；
当时，；
当时，．
共有3种可能购买方案，分别为：
方案一：购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；
方案二：购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；
方案三：购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件．
方案问题一般给出若干可选方案，涉及费用、数量、盈利等。先设关键量为未知数，列出各方案对应的代数式或方程。
分别计算各方案的相应结果（如总费用、总利润），比较大小，选出最优方案。
若方案个数未定，需先确定可行的方案组合再逐一比较，注意题目对变量取值的限制，避免选出不可行方案。
题型07 分配问题
【例13】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？
【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只
(2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只
【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可；
（2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得．
【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B，
设竖式做个，横式做个，
则，解得：，
答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只；
（2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型，
设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），
已知竖式箱子做20只，总板材需求满足：
A型总数：，整理得：，即；
B型总数：，整理得：，
将代入，得：，
因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）；
代入得：，，是最小的正整数，
即的最小值为，此时能制作横式箱子只．
【例14】七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】(1)
每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
(2)
最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元.
【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案．
【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生
根据题意得
解得
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
（2）解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数
整理等式得 ，
变形得
因为为非负整数，
所以必须是4的倍数，
分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)；
当，时，租金为 (元)；
当，时，租金为 (元)；
当时，，不符合要求，
因为 ，
所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元
答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元．
【变式7-1】如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完．
【答案】60
【分析】设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完，根据竖式和横式两种无盖木箱与木板的数量关系列出方程组，求解即可．
【详解】解：设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完，
根据题意，得，
解得，
故，
故做竖式和横式木箱共60个恰好把这些木板用完．
【变式7-2】某宾馆的客房有单人间和双人间两种，单人间每间每天的住宿费是300元，双人间每间每天的住宿费是360元．一个30人的旅行团到该宾馆住宿，住了若干间客房，且每间客房正好住满，一天共花去住宿费6600元．这个旅行团分别住了多少间单人间和双人间？
【答案】这个旅行团住了10间单人间，10间双人间．
【分析】设这个旅行团住了x间单人间，y间双人间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可作答．
【详解】解：设这个旅行团住了x间单人间，y间双人间，
根据题意有：，
解得：，
答：这个旅行团住了10间单人间，10间双人间．
【变式7-3】工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答）
【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮
【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可．
【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，
由题意可得，
解得，
答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮．
分配问题涉及物品、人数等的分配，常含“若……则多（少）若干”的条件。设人数与物品数为未知数，按两次分配情况分别列方程。
同一批物品在两次分配中总量不变，可据此建立等量关系。分清“每人分几个”与“每人多分几个”对应的算式，避免重复或漏项。
题型08 销售问题
【例15】某商场正在热销2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”．小红想买“冰墩墩”和“雪容融”，根据下图提供的信息，请你来帮她算一算，买1个“冰墩墩”和1个“雪容融”各需多少元钱？
【答案】买1个“冰墩墩”需88元，1个“雪容融”需85元
【分析】设1个“冰墩墩”的价格为元，1个雪容融的价格为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
【详解】解：设1个“冰墩墩”的价格为元，1个雪容融的价格为元，
根据题意得，
解得：， ，
因此买1个“冰墩墩”需88元，1个“雪容融”需85元．
【例16】列方程（组）解下列问题：
某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元．
(1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？
(2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值．
【答案】(1)
每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元
(2)
的值为16
【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解；
（2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解．
【详解】（1）解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元，
根据题意，得
解得
答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元；
（2）解：8月总销售额为（元），
9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋，
根据题意，得
化简得
解得
答：的值为16．
【变式8-1】【综合与实践】：
背景
为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室．
素材
若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元．
问题解决
(1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？
(2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？
【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元；
(2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个．
【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可；
（2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可．
【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则
解得
答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元；
（2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则
解得，
则，
答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个．
【变式8-2】某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元．
(1)求这两种花卉的单价；
(2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式．
【答案】(1)
种花卉单价为元，种花卉单价为元
(2)
（为非负整数）
【分析】（1）设种花卉单价为元，种花卉单价为元，列二元一次方程组解题；
（2）根据题意分别求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：设种花卉单价为元，种花卉单价为元，
则有，
解得，
∴种花卉单价为元，种花卉单价为元；
（2）解：由题意知，（为非负整数）；
当，且为整数时，，
当，且为整数时，；
∴（为非负整数）；
．
【变式8-3】国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销．某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售束玫瑰和束百合共获利元，销售束玫瑰和束百合共获利元．
(1)该花店销售束玫瑰、束百合分别获利多少元？
(2)国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合．国庆假期后天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价元，结果玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长．为了使国庆天假期的总利润达到元，求的值．
【答案】(1)销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元
(2)
【分析】（1）根据问题设出未知数，由题中等量关系列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）中的结论，分别计算国庆假期前天和后天的获利，由等量关系列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元，则
，
解得，
答：销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元；
（2）解：由（1）知销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元，则国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合，获利共计（元）；
国庆假期后天，每束玫瑰降价元，每束百合降价元，则销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元；玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长，则此时该花店平均每天售出束玫瑰和束百合，获利共计元，
国庆天假期的总利润达到元，
，
解得．
销售问题围绕进价、售价、利润、利润率等量，基本关系为利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价，售价＝进价×（1＋利润率）。
涉及折扣时，实际售价＝标价×折扣率；涉及数量时，总利润＝单件利润×销售数量。设单价与数量为未知数。
题型09 古代问题
【例17】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键；根据题意，绳子比木长尺，所以；对折绳子后量木，木剩余尺，说明对折绳长比木长短尺，所以．
【详解】解：∵用绳子量长木，绳子剩余尺，
∴，
∵将绳子对折再量长木，长木剩余尺，
∴，
故得方程组．
【例18】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知一个竖直的算筹数是1，一个横着的算筹数是10，每一横行是一个方程，第一个数是的系数；第二个数是的系数；第三个数是第三个和第四个算筹数相加的结果，前面的表示十位，后面的表示个位．
【详解】解：观察图2可知，第一个方程的的系数是 1，的系数是3，结果是18；
第二个方程的的系数是 2，的系数是4，结果是26，
可得图2的方程为．
【变式9-1】北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若个人共用个盘子，则少个盘子；若个人共用个盘子，则多出来个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得．
【变式9-2】我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（ ）
小青：设人数有人，则；
小军：设鸡价有钱，则；
小萍：设人数有人，鸡价有钱，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】以鸡价不变、人数不变为等量关系，验证三人的解题方案是否正确．
【详解】解：设人数为x人，鸡价为y钱．
由每人出9钱多11钱，可得鸡价为钱，即；
由每人出6钱差16钱，可得鸡价为钱，即，
根据鸡价相等得到，故小青的方案正确；
也可得，故小萍的方案正确；
由每人出9钱多11钱，可得人数为，
由每人出6钱差16钱，可得人数为，
根据人数相等得到，与小军的式子不符，故小军的方案错误．
综上，正确的方案有2个．
【变式9-3】“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图是一个三阶幻方，其每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则的值为__________．
7
2
【答案】
【分析】根据三阶幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，先推导幻和，再通过对角线的等量关系建立关于、的二元一次方程组，求解后代入计算的值．
【详解】解：设幻和为，
∴三行的总和为，
即幻方中9个数的总和为，
∵ 中间行、中间列、两条对角线的和均为，这4组的和相加时，中心数2被计算4次，其余8个数各被计算1次，
∴，
解得；
记第一行第三列的数为，
∵ 第一行三个数的和为，
∴ ，
解得；
∵ 右上到左下的对角线三个数的和为，
∴ ，
将代入，得，
化简得①；
∵ 左上到右下的对角线三个数的和为，
∴ ，
化简得②，
联立①②，由①得，代入②，
，
解得，
将代入，得，
∴ ．
题型10 其他问题
【例19】相传，阿基米德在洗澡时发现了著名的阿基米德原理，并据此鉴定了纯金皇冠是否掺假．假设皇冠浸没在水中时排开的水的体积为，皇冠的质量是，这个皇冠是纯金的吗？如果掺入了白银，你知道皇冠中到底有黄金多少立方厘米，白银多少立方厘米吗？（，黄金的质量约为，白银的质量约为）
【答案】这个皇冠不是纯金的． 皇冠中黄金的体积为，白银的体积为．
【分析】计算体积为的纯金质量，与皇冠实际质量比较判断是否为纯金；根据皇冠的总体积与总质量列二元一次方程组，求解黄金和白银的体积．
【详解】解：∵ 皇冠排开水的体积为，且，
∴皇冠的体积为．
若皇冠为纯金，则其质量为，
∵ ，
∴ 这个皇冠不是纯金的．
设皇冠中黄金的体积为，白银的体积为．
根据题意，得，
解得，
答：这个皇冠不是纯金的，其中黄金的体积为，白银的体积为．
【例20】医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质．如果患者每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
分析：设每餐用甲原料、乙原料，则有
成分
甲原料
乙原料
所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
【答案】每餐用甲原料、乙原料可以恰好满足患者的需要
【分析】设每餐用甲原料、乙原料，根据患者每餐需要单位蛋白质和单位铁质，列方程即可求解．
【详解】解：设每餐用甲原料、乙原料，则有
成分
甲原料
乙原料
所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
根据题意得，，
解得，
答：每餐用甲原料、乙原料可以恰好满足患者的需要．
【变式10-1】今年暑假，世界树之巅·美洲古代文明大展作为上海博物馆“对话世界”系列展览之一，在上海博物馆人民广场馆举办．王小桃同学打算组织同学参观此次展览，为了安全起见部分同学的家长作为监护人随行，现在已知共有18人会参加社会实践活动（包括学生和家长），王小桃作为组长打算提前计划好购票工作，以下是场馆的购票信息：
A成人票：全价票，每张148元
B学生票：半价票，每张74元
(1)如果王小桃仅购买成人票和学生票，预计需要花费1554元，请问参与活动的学生有几人，家长有几人？（用二元一次方程组解决问题）
(2)王小桃同学在第一次参观展览后意犹未尽，希望再组织一次参观活动，恰好某旅行社推出优惠活动，有两种优惠方式：
一、每购买5张学生票就赠送1张成人票；
二、成人票和学生票按原价计算，但是总价打八折；
现在要为3个家长和9个学生购票，请问选择哪一种优惠方式更便宜，为什么？
【答案】(1)参与活动的学生有15人，家长有3人．
(2)选择第二种优惠方式更便宜．
【分析】（1）设学生、家长的人数为未知数，结合总人数与总购票费用列二元一次方程组求解；
（2）分别计算两种优惠方式下的总购票费用，比较费用大小得出结论．
【详解】（1）解：设参与活动的学生有人，家长有人．
根据题意，得，
解得：，
答：参与活动的学生有15人，家长有3人；
（2）解：计算第一种优惠方式的总费用：
购买9张学生票，每满5张赠送1张成人票，可赠送1张成人票．
需购买成人票数量为张．
总费用为（元）．
计算第二种优惠方式的总费用：
原价总费用为（元）．
打八折后费用为（元）．
∵，
∴选择第二种优惠方式更便宜．
答：选择第二种优惠方式更便宜．
【变式10-2】如图，某化工厂与，两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路的运价为元／（吨），铁路的运价为元／（吨）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨．
(1)这批原料从地运回，生产成产品运到地，若两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，问这批原料有多少吨？
(2)已知生产这批产品，其它成本费为元，每吨的生产费为元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费）
【答案】(1)吨
(2)元
【分析】（1）根据“两次运输共支出公路运费元，铁路运费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出的值．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得，
答：这批原料有吨．
（2）解：由（1）得，生产成的产品有吨．
根据题意得：
．
答：的值为元．
【变式10-3】某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，其中水稻超产，小麦超产．该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？
【答案】该专业户去年实际生产水稻t，小麦t．
【分析】设该专业户去年计划生产水稻，小麦，则该专业户去年实际生产水稻，小麦，根据计划总产量和实际总产量两个等量关系，列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设该专业户去年计划生产水稻，小麦，
由题意得，，
解得，
∴（t），
答：该专业户去年实际生产水稻t，小麦t．
1．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可．
【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得
．
2．我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要两金，一只羊需要两金．则可建立方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金”，即可列出关于、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意，可建立方程组为．
3．古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题中两个乘车条件，分别找出总人数、车辆数之间的等量关系，列出方程，即可得到正确的方程组．
【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得
．
4．广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（ ）
排名
球队
胜场
负场
积分
中山
…
…
…
…
…
珠海
…
…
…
…
…
江门
阳江
…
…
…
…
…
A．1分 B．2分 C．3分 D．4分
【答案】B
【分析】设胜一场和负一场的积分分别为未知数，根据表格中球队的积分关系列出方程组，求解即可得到结果．
【详解】解：设胜一场积分，负一场积分
根据中山队和阳江队的胜负场与总积分，可得
由第一个方程得，
将代入第二个方程得
解得
验证可知符合所有球队积分数据
因此胜一场的积分是2分．
5．如果与互余，且的度数比的度数小，则___________．
【答案】
【分析】根据余角的定义得到两角和为，结合题目给出的度数关系列方程组求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
6．中国古代利用“三分损益法”来确定音律．这种方法最早见于《管子·地员篇》，用于计算五音（宫、商、角、徵、羽）的弦长．其核心原理是通过增加或减少三分之一的长度来生律．在古琴制作中，假设我们要制作两根琴弦，一根是“宫”音，一根是“徵”音．已知：“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍；“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多15厘米．设“宫”音弦长为x厘米，“徵”音弦长为y厘米，则可列方程组为__________．
【答案】
【分析】根据题干描述找出两个等量关系，根据等量关系列出方程，联立即可得到方程组．
【详解】解：设“宫”音弦长为厘米，“徵”音弦长为厘米，由“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍，可得方程；
由“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多厘米，可得方程，
联立两个方程可得方程组．
7．在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随父母一同去某地旅游，在某景点购买门票时，小明与小亮的对话：问：
(1)小明他们一共去了几个成人几个学生？
(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱并说明理由．
【答案】(1)小明他们一共去了个成人，个学生
(2)购买团体票更省钱，理由如下：
若购买团体票张共需：（元） ，
因为，
所以他们购买团体票更省钱．
【分析】（1）设出未知数，根据题意建立等式求解二元一次方程组即可．
（2）计算团体票的价格进行比较求解即可．
【详解】（1）解：设共有个成人，名学生．
由题意得，解得，
答：小明他们一共去了个成人，个学生．
（2）略
8．垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？
【答案】一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨
【详解】解：设一台A型车每次清运垃圾x吨，一台B型车每次清运垃圾y吨，
根据题意得，，
解得，
答：一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨．
9．列二元一次方程组解应用题：
电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？
【答案】实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张．
【分析】本题根据总票数和总花费两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果．
【详解】解：设实践小组买了星光厅票张，银河厅票张，
根据题意可得，
解得，
即实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张．
10．4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少．
【答案】《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元
【分析】设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元，根据“购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元”列二元一次方程组求解．
【详解】解：设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元．
根据题意，得
解得
答：《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元．
11．某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动；某安全用品商店准备购进A，B两种头盔，已知：若购进个A种头盔和个B种头盔需要元；若购进个A种头盔和个B种头盔需要花费元；求每个A种头盔和B种头盔的进价．
【答案】每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元
【分析】设每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元，由题意得，进而求解即可．
【详解】解：设每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元．
12．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A、B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价每件多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．求A种材料和B种材料的单价．
【答案】A种材料的单价为每件9元，B种材料的单价为每件6元
【分析】设A种材料的单价为每件x元，B种材料的单价为每件y元，根据题意，列出方程组进行求解即可.
【详解】解：设A种材料的单价为每件x元，B种材料的单价为每件y元，
依题意，
解得，
答：A种材料的单价为每件9元，B种材料的单价为每件6元.
13．学校用偶数块同样的长方形花砖砌花坛边，每块砖的长和宽都是整厘米数，并且宽比长短8厘米，如果横着排（如图①），这些砖可以排700厘米长；如果按一竖、一横、一竖、一横……这样的规律排（如图②），这些砖只能排556厘米长，如果按图②这样排，竖着的砖共有（ ）块．
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】设每块砖的长为x，则宽为，全部砖的块数为k，根据题意列方程组可得，然后运用代入消元法求得k；由图②可知竖着的砖的块数是总块数的一半，据此解答即可．
【详解】解：设每块砖的长为x，则宽为，全部砖的块数为k，
由题意可得：，即，
将①代入②得，解得：，
所以按图②这样排，竖着的砖块数为．
14．若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“卓越数”，最小的“卓越数”为___________，交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以7余数为1，则满足条件的的最小值为___________．
【答案】
【分析】根据卓越数的定义，通过数位最小化找到最小的卓越数；设四位数的各数位，结合交换后A、B的差为两位数完全平方数的条件，推导出数位间的关系，再结合M除以7余1的要求，枚举a的取值找到最小的M．
【详解】解：∵ 卓越数是四位正整数，要找最小的卓越数，千位最小取1，百位尽可能小取0，此时千位与百位的差为，是正数，符合定义要求；
∴ 十位与个位的差也需为1，要使数最小，十位尽可能小取1，对应个位为0，得到最小的卓越数为；
设，其中，，
∵ 卓越数满足千位与百位的差等于十位与个位的差且为正数，
∴ ，即，，
交换M的千位和十位得到，
根据题意，去掉的十位和个位得到，去掉的千位和百位得到，
计算A与B的差：
，
∵ ，变形得，即，
∴ ，
∵ A与B的差是两位数且为完全平方数，
∴ 两位数的完全平方数中是9的倍数的有36、81，
若，则，即，由于c是个位数（最大为9），此时，不符合千位数字的取值要求，舍去，
若，则，即，
结合，得，即，
将c、d代入M的表达式：
，
∵ M除以7余数为1，
∴ 是7的倍数，即能被7整除，
将式子拆分：
，
，
，
∴ ，
∵ 是7的倍数，
∴ 必须是7的整数倍，
结合数位的限制条件：
，故，即，
，故，
，即，
要找M的最小值，需让a尽可能小，从最小的a开始枚举：
当时，b需满足，即，代入得，不是7的倍数，不符合；
当时，b需满足，即或1：
时，，不是7的倍数，
时，，不是7的倍数，不符合；
当时，b需满足，即、1、2；
时，，是7的倍数，符合条件；
此时，，；
验证：，交换千位和十位得到，，，，是两位数的完全平方数；3074除以7得商439，余数1，符合所有条件；
∵ 、时无符合条件的b，
∴ 满足条件的M的最小值为3074．
15．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以3个单位长度的速度沿方向匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．当点G的运动速度取值为______时，与在某一时刻会全等．
【答案】个单位长度或个单位长度或个单位长度
【分析】先证明得到，设运动时间为，点G的运动速度为v个单位长度，分以下几种情况：和，再分和分别求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
设运动时间为，点G的运动速度为v个单位长度，
由题意，分以下几种情况：
当时，点F由方向移动，则，，，
∴，，
当时，，，
则，解得；
当时，，，
则，解得，不符合题意，舍去；
当时，点F由方向移动，则，，，
∴，，
当时，，，
则，解得；
当时，，，
则，解得，
综上，当点G的运动速度取值为个单位长度或个单位长度或个单位长度时，与在某一时刻会全等．
16．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________．
【答案】
【分析】根据图1所表示的方程组可得出图2所表示的方程组，解之即可得出图2所表示的方程组的解．
【详解】解：依题意得：图2所表示的方程组为，
解得：．
17．如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇．
(1)若长方形周长为，求和的长度；
(2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间．
【答案】(1)，
(2)或．
【分析】（1）根据长方形周长以及，两点在点处首次相遇，可得，，再进一步求解即可；
（2）由（1）得：，设，则，可得长方形周长为，设的速度为，则的速度为，再分两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵长方形周长为，
∴，，，即，
∵点运动的速度是点运动速度的倍，
∴运动时间相同时点的运动路程是点P运动路程的倍，
∵，两点在点处首次相遇，
∴，即，
∴，
解得：，．
（2）解：由（1）得：，
设，则，
∴长方形周长为，
设的速度为，则的速度为，
当运动秒时，的运动路程为，的运动路程为，
如图，
∵线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，长方形是中心对称图形，
∴，
∴，
解得：，
∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为，
如图，
∵，，
当运动到的时间为：，
此时的运动路程为，
∴已经停止运动，
∴当运动秒时，停止，与重合，此时线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，
∵长方形是中心对称图形，
此时，
∴，
∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为，
综上：，两点从出发到首次相遇所用的时间为或．
18．如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
(1)若，求，，的值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据标准卡纸总数求出小正方形数量，再结合竖式、横式纸盒用料列出二元一次方程组，解方程组得到、的值；
（2）根据剪裁总量建立小长方形、小正方形数量与纸盒个数的等式，整理得到关于的二元一次方程，求出所有非负整数解，通过计算各组解中的数值，确定最大值．
【详解】（1）解：由题意得，，
，
解得：；
（2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形，
，
整数解为：或或或，
，
的最大值为．
19．项目化学习
项目主题：确定最省钱的租车方案
项目背景：为迎接“七一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往靖宇革命纪念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动．
数据收集：
①七、八年级师生共485人．
②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．
③下表是该公司租车记录单上的部分信息：
租用A型客车数量
租用B型客车数量
租金总费用
3
2
3800
1
3
3600
问题解决：利用以上数据完成下列问题．
(1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元．
(2)该学校本次研学准备租用平安出租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并从中选出最省钱的方案．
【答案】(1)A型号每辆客车租金为600元，B型号每辆客车租金为1000元
(2)满足条件的租车方案有2种：方案1：租用A型客车15辆，B型客车2辆；方案2：租用A型客车4辆，B型客车7辆；最省钱的方案为租用A型客车4辆，B型客车7辆，租金为9400元
【分析】（1）设A型号每辆客车租金为元，B型号每辆客车租金为元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设租用A型客车辆，B型客车辆，根据题意列出关于、的二元一次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设A型号每辆客车租金为元，B型号每辆客车租金为元，
由题意得，
解得，
∴A型号每辆客车租金为600元，B型号每辆客车租金为1000元；
（2）解：设租用A型客车辆，B型客车辆，
由题意可得，
整理得，
∴，
∵、均为正整数，
∴当时，，当时，，
∴满足条件的租车方案有2种：方案1：租用A型客车15辆，B型客车2辆；方案2：租用A型客车4辆，B型客车7辆；
方案1的费用为：（元），
方案2的费用为：（元），
∵，
∴最省钱的方案为租用A型客车4辆，B型客车7辆，租金为9400元．
20．杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流领域持续发力．某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务．现需采购两种型号的冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务．
素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续航里程80公里．
素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机总价为136万元．
素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里．
(1)任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？
(2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少．
【答案】(1)
甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元.
(2)
方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架；
方案一：甲型20架，乙型1架，总费用为（万元）；
方案二：甲型12架，乙型4架，总费用为（万元）；
方案三：甲型4架，乙型7架，总费用为（万元）；
，
采购甲型4架，乙型7架时总费用最少.
【分析】 （1）设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元，根据给定的两种采购总价信息列二元一次方程组，求解即可得到单价；
（2）设采购甲型a架，乙型b架，根据总续航里程要求列等式，结合a,b为非负整数，找出所有可行方案，再分别计算各方案的总费用，比较后得到费用最少的方案.
【详解】（1） 解 ：设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元，
根据题意得，解得；
答：甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元.
（2）解：设采购甲型无人机架，乙型无人机架，其中均为正整数，
根据题意得，
整理得，
∴，
又∵均为正整数，
∴当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
故有三种方案：方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架；
略.
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专题5.3 二元一次方程组的应用
教学目标
1.理解列二元一次方程组解应用题的基本思路，明确其关键环节。
2.掌握列二元一次方程组解应用题的一般步骤，能规范按步骤解答。
3.会分析实际问题中的数量关系，找准等量关系列出方程组。
4.掌握直译法、列表法等分析数量关系的方法，灵活运用解题。
教学重难点
重点:
1.根据题意正确设出未知数，找准两个等量关系列出方程组。
2.掌握列方程组解应用题的一般步骤，做到设、列、解、验完整。
3.能准确找出题目中的等量关系，正确建立二元一次方程组。
难点:
1.从复杂实际问题中分析数量关系，准确找出隐含的等量关系。
2.根据题意恰当地设未知数，正确处理单位统一与间接设元。
3.检验方程组的解是否符合实际意义，规范完成作答过程。
知识点01 列方程组解应用题步骤
1.列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2.解应用题的一般步骤：
①审题：弄清题意，找出题目中的数量关系（等量关系）；
②设元：设两个未知数，一般求什么设什么，也可根据方便间接设元；
③列方程：根据等量关系列出两个方程，组成方程组；
④解方程组：用代入法或加减法求出未知数的值；
⑤检验并作答：检验解是否符合题意与实际意义，再写出完整答案。
知识点02 分析数量关系的常用方法
1.直译法：把题目中关键性的数量关系语句译成含有未知数的代数式，并从中找出题目隐含的等量关系，翻译成含有未知数的等式（方程）。
2.列表法：当题目中条件较多、关系较复杂时，列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
【即学即练】
1．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送吨水果，甲型冷柜车每天运送量为吨，乙型冷柜车每天运送量为吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答．
题型01 行程问题
【例1】大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮轮胎磨损程度比后轮严重，前轮轮胎报废要早于后轮．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，恰能使汽车的两对轮胎同时报废，那么汽车轮胎同时报废前最多行驶里程是______________（结果保留整数）．
【例2】已知A，B两地相距18千米，甲从A地出发，匀速步行到B地，乙从B地出发，匀速步行到A地．两人同时出发，3小时后相遇；出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍．求甲、乙的步行速度．
【变式1-1】甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式1-2】某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？
【变式1-3】爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示：
时刻
里程表
上的数
是一个两位数，它的两个数字之和是6
是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了
是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0
设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题：
(1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____；
(2)列方程组并求出时里程表上的数．
行程问题涉及路程、速度、时间三个量，基本关系为路程＝速度×时间。常画线段图辅助，把各段路程、时间标出，理清运动过程。
常见有相遇与追及两类。相遇问题两人路程和等于总路程；追及问题两人路程差等于起始距离。抓住路程或时间的等量关系列方程组。
题型02 工程问题
【例3】夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？
【例4】为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度．
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________．
根据题意，得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路；
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程）
【变式2-1】骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？
【变式2-2】为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解）
【变式2-3】甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成．
(1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________．
(2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数．
工程问题涉及工作总量、工作效率、工作时间，基本关系为工作总量＝工作效率×工作时间，常把工作总量看作1。
分别设两人（或两队）的工作效率为未知数，按完成时间列方程。合作完成时，效率和与时间之积等于总工作量。
注意“先单独后合作”等分段情形，把总工作量拆成几部分之和，分别列式相加。
题型03 和差倍分问题
【例5】手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示：
类别
原材料
成品率
陶杯
陶土E
陶碗
陶土F
第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？
【例6】2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元．
(1)请你求出A，B两款门票的价格；
(2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案．
【变式3-1】有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨．
【变式3-2】某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答）
【变式3-3】某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？
(1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）：
(2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答．
题型04 几何问题
【例7】用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________．
【例8】将一个长方形的长减少、宽增加后，得到一个正方形，并且这个正方形的面积与原长方形的面积相等．求原长方形的长和宽．
【变式4-1】如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小必相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少？（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积为；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则=____．
【变式4-3】如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知点坐标为，求点的坐标．
几何问题常以周长、面积、角度、边长等关系为等量，先设相关几何量为未知数，如长、宽、半径。
用周长、面积公式建立方程，如长方形周长＝2×（长＋宽）、面积＝长×宽。两个方程须独立且真正反映题目条件。
注意单位统一，以及图形中边与边、角与角之间的关系，把几何性质转化为代数等式。
题型05 数字问题
【例9】用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下：
第一步：；
第二步：；
第三步：；
第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24．
若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（ ）
A． B． C． D．或
【例10】一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？
【变式5-1】“九宫图”也称为“三阶幻方”，每行的3个数、每列的3个数、斜对角线的3个数的和都相等，则图中______．
x
2
y
1
6
【变式5-2】已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________．
【变式5-3】小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数．
是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7．
十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了．
比时看到的两位数中间多了个0．
题型06 方案问题
【例11】打开A、B、C、D、E每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽，当A、B、C三个阀门都打开时，注满水槽需要7.5小时；打开A、C、E三个阀门，需要5小时完成注满水槽任务；打开A、C、D三个阀门，需要6小时注满水槽；打开B、D、E三个阀门，需要4小时注满水槽；若单开D阀门，需要多少小时注满水槽？
【例12】随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克．
(1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？
(2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案．
【变式6-1】某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格．
【变式6-2】某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座）
(1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？
(2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？
【变式6-3】某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题：
奖名
单价（元/件）
数量/件
金额/元
A
90
2
180
B
60
C
40
D
30
14
合计
32
1360
(1)购买D种奖品的金额为_______元；
(2)求购买的B，C两种奖品的数量；
(3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案．
方案问题一般给出若干可选方案，涉及费用、数量、盈利等。先设关键量为未知数，列出各方案对应的代数式或方程。
分别计算各方案的相应结果（如总费用、总利润），比较大小，选出最优方案。
若方案个数未定，需先确定可行的方案组合再逐一比较，注意题目对变量取值的限制，避免选出不可行方案。
题型07 分配问题
【例13】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？
【例14】七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【变式7-1】如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完．
【变式7-2】某宾馆的客房有单人间和双人间两种，单人间每间每天的住宿费是300元，双人间每间每天的住宿费是360元．一个30人的旅行团到该宾馆住宿，住了若干间客房，且每间客房正好住满，一天共花去住宿费6600元．这个旅行团分别住了多少间单人间和双人间？
【变式7-3】工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答）
分配问题涉及物品、人数等的分配，常含“若……则多（少）若干”的条件。设人数与物品数为未知数，按两次分配情况分别列方程。
同一批物品在两次分配中总量不变，可据此建立等量关系。分清“每人分几个”与“每人多分几个”对应的算式，避免重复或漏项。
题型08 销售问题
【例15】某商场正在热销2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”．小红想买“冰墩墩”和“雪容融”，根据下图提供的信息，请你来帮她算一算，买1个“冰墩墩”和1个“雪容融”各需多少元钱？
【例16】列方程（组）解下列问题：
某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元．
(1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？
(2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值．
【变式8-1】【综合与实践】：
背景
为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室．
素材
若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元．
问题解决
(1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？
(2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？
【变式8-2】某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元．
(1)求这两种花卉的单价；
(2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式．
【变式8-3】国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销．某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售束玫瑰和束百合共获利元，销售束玫瑰和束百合共获利元．
(1)该花店销售束玫瑰、束百合分别获利多少元？
(2)国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合．国庆假期后天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价元，结果玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长．为了使国庆天假期的总利润达到元，求的值．
销售问题围绕进价、售价、利润、利润率等量，基本关系为利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价，售价＝进价×（1＋利润率）。
涉及折扣时，实际售价＝标价×折扣率；涉及数量时，总利润＝单件利润×销售数量。设单价与数量为未知数。
题型09 古代问题
【例17】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
【例18】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若个人共用个盘子，则少个盘子；若个人共用个盘子，则多出来个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（ ）
小青：设人数有人，则；
小军：设鸡价有钱，则；
小萍：设人数有人，鸡价有钱，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式9-3】“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图是一个三阶幻方，其每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则的值为__________．
7
2
题型10 其他问题
【例19】相传，阿基米德在洗澡时发现了著名的阿基米德原理，并据此鉴定了纯金皇冠是否掺假．假设皇冠浸没在水中时排开的水的体积为，皇冠的质量是，这个皇冠是纯金的吗？如果掺入了白银，你知道皇冠中到底有黄金多少立方厘米，白银多少立方厘米吗？（，黄金的质量约为，白银的质量约为）
【例20】医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质．如果患者每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
分析：设每餐用甲原料、乙原料，则有
成分
甲原料
乙原料
所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
【变式10-1】今年暑假，世界树之巅·美洲古代文明大展作为上海博物馆“对话世界”系列展览之一，在上海博物馆人民广场馆举办．王小桃同学打算组织同学参观此次展览，为了安全起见部分同学的家长作为监护人随行，现在已知共有18人会参加社会实践活动（包括学生和家长），王小桃作为组长打算提前计划好购票工作，以下是场馆的购票信息：
A成人票：全价票，每张148元
B学生票：半价票，每张74元
(1)如果王小桃仅购买成人票和学生票，预计需要花费1554元，请问参与活动的学生有几人，家长有几人？（用二元一次方程组解决问题）
(2)王小桃同学在第一次参观展览后意犹未尽，希望再组织一次参观活动，恰好某旅行社推出优惠活动，有两种优惠方式：
一、每购买5张学生票就赠送1张成人票；
二、成人票和学生票按原价计算，但是总价打八折；
现在要为3个家长和9个学生购票，请问选择哪一种优惠方式更便宜，为什么？
【变式10-2】如图，某化工厂与，两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路的运价为元／（吨），铁路的运价为元／（吨）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨．
(1)这批原料从地运回，生产成产品运到地，若两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，问这批原料有多少吨？
(2)已知生产这批产品，其它成本费为元，每吨的生产费为元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费）
【变式10-3】某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，其中水稻超产，小麦超产．该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？
1．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要两金，一只羊需要两金．则可建立方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（ ）
排名
球队
胜场
负场
积分
中山
…
…
…
…
…
珠海
…
…
…
…
…
江门
阳江
…
…
…
…
…
A．1分 B．2分 C．3分 D．4分
5．如果与互余，且的度数比的度数小，则___________．
6．中国古代利用“三分损益法”来确定音律．这种方法最早见于《管子·地员篇》，用于计算五音（宫、商、角、徵、羽）的弦长．其核心原理是通过增加或减少三分之一的长度来生律．在古琴制作中，假设我们要制作两根琴弦，一根是“宫”音，一根是“徵”音．已知：“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍；“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多15厘米．设“宫”音弦长为x厘米，“徵”音弦长为y厘米，则可列方程组为__________．
7．在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随父母一同去某地旅游，在某景点购买门票时，小明与小亮的对话：问：
(1)小明他们一共去了几个成人几个学生？
(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱并说明理由．
8．垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？
9．列二元一次方程组解应用题：
电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？
10．4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少．
11．某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动；某安全用品商店准备购进A，B两种头盔，已知：若购进个A种头盔和个B种头盔需要元；若购进个A种头盔和个B种头盔需要花费元；求每个A种头盔和B种头盔的进价．
12．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A、B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价每件多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．求A种材料和B种材料的单价．
13．学校用偶数块同样的长方形花砖砌花坛边，每块砖的长和宽都是整厘米数，并且宽比长短8厘米，如果横着排（如图①），这些砖可以排700厘米长；如果按一竖、一横、一竖、一横……这样的规律排（如图②），这些砖只能排556厘米长，如果按图②这样排，竖着的砖共有（ ）块．
A．16 B．18 C．20 D．24
14．若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“卓越数”，最小的“卓越数”为___________，交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以7余数为1，则满足条件的的最小值为___________．
15．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以3个单位长度的速度沿方向匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．当点G的运动速度取值为______时，与在某一时刻会全等．
16．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________．
17．如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇．
(1)若长方形周长为，求和的长度；
(2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间．
18．如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
(1)若，求，，的值；
(2)求的最大值．
19．项目化学习
项目主题：确定最省钱的租车方案
项目背景：为迎接“七一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往靖宇革命纪念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动．
数据收集：
①七、八年级师生共485人．
②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．
③下表是该公司租车记录单上的部分信息：
租用A型客车数量
租用B型客车数量
租金总费用
3
2
3800
1
3
3600
问题解决：利用以上数据完成下列问题．
(1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元．
(2)该学校本次研学准备租用平安出租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并从中选出最省钱的方案．
20．杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流领域持续发力．某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务．现需采购两种型号的冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务．
素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续航里程80公里．
素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机总价为136万元．
素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里．
(1)任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？
(2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少．
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