5.3 二元一次方程组的应用 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.3二元一次方程组的应用 知识归纳与题型总结 考点01 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 考点02 二元一次方程组的应用 1. 利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 2. 增长率问题 ． 3. 数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 4. 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 5. 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 考向01 方案问题 【例1】某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 考向02 行程问题 【例2】小明购置一辆山地自行车进行户外越野骑行，同款轮胎安装在前轮磨损较慢，行驶后报废；安装在后轮磨损较快，行驶就报废．轮胎A在前，轮胎B在后，行驶到某一里程时交换A和B，又行驶一段里程后发现轮胎A完全磨损坏掉，但轮胎B还未完全磨损，此时总里程为．设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，把轮胎的磨损量看成“1”，由题意得自行车前后轮胎行驶1千米的磨损分别为和，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为， 由总里程为可得， 由题意得自行车前后轮胎行驶1千米的磨损量分别为和，则轮胎A在交换前的磨损量为，交换后的磨损量为，由此可得． 因此可列方程组为． 考向03 工程问题 【例3】骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 考向04 数字问题 【例4】一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？ 【答案】原两位数是 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据个位数字和十位数字的关系以及新、旧两位数的关系建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到，的值，即可得到答案． 【详解】解：设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原两位数是． 考向05 年龄问题 【例5】小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 【答案】小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁 【分析】设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，可得 解得 答：小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁． 考向06 分配问题 【例6】某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ 【答案】(1)5，5 (2)分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨 (3)m与n的关系为，当时，， 【分析】（1）因为已知、的取值，所以直接将数值分别代入A、B生产线的加工时间公式计算即可； （2）首先设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨，根据总吨数5吨和两条生产线加工时间相同，可以列二元一次方程组求解； （3）先根据第一天的分配结果，写出第二天A、B生产线各自的总加工吨数；因为加工时间相同，所以令两者的加工时间表达式相等，整理即可得到和的数量关系；再结合的条件，联立两个方程求解、的值． 【详解】（1）解：当时，A生产线加工时间为（小时）； 当时，B生产线加工时间为（小时）． （2）解：设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨， 根据题意得：，解得 ， 答：分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨． （3）解：由第（2）问可知第一天A分配了2吨、B分配了3吨，额外分配后A的总加工量为吨，B的总加工量为吨． 根据加工时间相同列等式： 展开化简：， 得，即， 当时，， 解得，则． 考向07 销售，利润问题 【例7】列方程或方程组解应用题 小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买根荧光笔和个笔记本需要元，若购买根荧光笔和个笔记本需要元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？ 【答案】 荧光笔的单价为元，笔记本的单价为元 【分析】根据两种购买方案的总费用等量关系，设未知数列二元一次方程组求解． 【详解】解：设荧光笔的单价为元，笔记本的单价为元， 根据题意，得 ， 解得． 答：荧光笔的单价是元，笔记本的单价是元． 考向08 和差倍分问题 【例8】现有甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共有9000人需要安置，设甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么依题意列出的方程组是________． 【答案】 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是甲乙帐篷总数量为2000顶，二是总安置人数为9000人，根据等量关系列方程组． 【详解】解：∵甲种帐篷顶，乙种帐篷顶，两种帐篷共2000顶， ∴可得方程， ∵甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，总共有9000人需要安置， ∴可得方程， 联立两个方程得方程组． 考向09 几何问题 【例9】某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 考向10 图表信息问题 【例10】在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据第一列、第二行及对角线上的数字和相等列出方程组即可求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 解方程组得， 则． 考向11 古代问题 【例11】《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 考向12 开放型问题 【例12】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2) 增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得： ， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）略 一、选择题 1．在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等得出，和为，进而得出每行第一个数分别为、、，即可得出，可得二元一次方程组，解方程组求出，的值即可得出答案． 【详解】解：∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等， ∴，每行每列及对角线上三个方格中的数字和为， ∴第一行第一个数为， 第二行第一个数为， 第三行第一个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得：． 2．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵甲得乙9只羊后，甲的羊数为只，乙的羊数为只，此时甲羊数是乙的2倍， ∴． ∵乙得甲9只羊后，乙的羊数为只，甲的羊数为只，此时两人羊数相等， ∴． 联立得方程组． 3．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】以鸡价不变、人数不变为等量关系，验证三人的解题方案是否正确． 【详解】解：设人数为x人，鸡价为y钱． 由每人出9钱多11钱，可得鸡价为钱，即； 由每人出6钱差16钱，可得鸡价为钱，即， 根据鸡价相等得到，故小青的方案正确； 也可得，故小萍的方案正确； 由每人出9钱多11钱，可得人数为， 由每人出6钱差16钱，可得人数为， 根据人数相等得到，与小军的式子不符，故小军的方案错误． 综上，正确的方案有2个． 4．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为， 由题意得， 两式相加，得，解得， 故甲乙两地公路长为． 5．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为，同向而行需分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，结合路程关系列方程求解. 【详解】解：设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为. ∵相向而行后相遇， ∴， 整理得. 同向而行分两种情况： ① 甲速度大于乙速度，甲追乙，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， ∴甲走完全程的时间为， ② 乙速度大于甲速度，乙追甲，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， 代入得， ∴甲走完全程的时间为； 6．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干?”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱?设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由7尺绫布与9尺罗布总价相等，得， 由每尺罗布单价比绫布少36文，得， 则可列方程组为 ． 7．如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案，若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为（    ） A． B． C．20 D．23 【答案】A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是x和y，根据题意列方程组求出x和y，设四个小正方形的重叠部分形成的小正方形的边长为m，根据题意列方程得到，然后求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别是x和y， 由题意得，， 解得：， ∴大正方形和小正方形的边长分别是6和2， 设四个小正方形的重叠部分形成的小正方形的边长为m， 由题意得，， 解得， ， ∴大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为． 8．费县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（     ） A．4000元，8000元 B．8000元，4000元 C．14000元，8000元 D．10000元，12000元 【答案】B 【分析】由题中两个费用等量关系，设未知数列二元一次方程组求解． 【详解】解：设购买一块电子白板需要元，一台投影机需要元， 根据题意得，解得， ∴购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元． 9．大约公元前2200年，在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．如图1，将九个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图2，数学综合实践课上，数学老师要求同学们将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入这个三阶幻方中且对角的数字为x，y．若点的坐标为，则满足条件的点有（     ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】求出中心数，再找出之间的关系，从而确定的值，再将的值代入点的坐标求值即可． 【详解】解：∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴最中间的数为这个数字的平均数， ∴九宫格最中间的数为， ∴每个横行、每个竖列和每条对角线上的剩下的两数之和为， 则， ∴数对有， 将组数对分别代入点， 点的坐标有， ∴满足点的共有8个． 10．在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点．若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，则该格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，例如图中是格点三角形，对应的，，．若某格点多边形对应的，，则值为（     ） A．120 B．110 C．105 D．100 【答案】A 【分析】根据题意，利用和四边形的，，值建立关于的二元一次方程组，求出的值，确定面积公式，最后代入，求解即可． 【详解】解：由题意及图形可知： 对于，，，， ∴ ，即 ① 对于四边形，其面积， 内部格点数（点），边界格点数（点，，，及中点，中点）， ∴ ，即 ②， 联立①②得 ， 解得， ∴ ， 当，时，． 二、填空题 11．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 【答案】 【分析】设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨，由题意给出的甲、乙两堆煤的数量关系，列方程组求解即可得到总重量． 【详解】解：设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨， 由题意得， 得，解得， 将代入①得， 故原方程组的解为， 两堆煤总重量为（吨）． 12．如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形）．若，则一个小长方形的面积为_____． 【答案】 【分析】设一个小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组，求解即可； 【详解】解：设一个小长方形的长为，宽为， ， ， 整理，得， 解得， 故； 13．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 【答案】 【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈， 若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 联立两个方程得：． 14．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据图1所表示的方程组可得出图2所表示的方程组，解之即可得出图2所表示的方程组的解． 【详解】解：依题意得：图2所表示的方程组为， 解得：． 15．用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进而可得出和的值，再结合点B所在的象限即可得出点B的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意，得， 解得， ∴，， ∴点B的坐标为． 三、解答题 16．某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 【答案】选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人 【分析】设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人，根据总人数为人，徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，列出方程组并解方程组，即可得到答案． 【详解】解：设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人， 根据题意可列方程组：， 解得：， 答：选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人． 17．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 【答案】(1) (2)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解方程得到a的值，再将其代入中，即可解答； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． （2）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元． 18．“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 【答案】(1)投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； (2)解：能得到一张奖券，理由如下： （分）， ∵， ∴根据这种得分规则，小红能得到一张奖券． 【分析】（1）设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分，根据小刚和小明的得分列二元一次方程组求解； （2）根据得分规则计算小红的得分，然后判断即可． 【详解】（1）解：设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分， 根据题意得：， 解得：， 答：投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； （2）略 19．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3950元，其中冰墩墩、雪容融的进价分别为35元/个、30元/个，求冰墩墩、雪容融各购进多少个？ 【答案】购进冰墩墩70个，雪容融50个 【分析】设购进冰墩墩x个，雪容融y个，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】解：设购进冰墩墩x个，雪容融y个， 依题意得， 解得， 故购进冰墩墩70个，雪容融50个． 20．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1) (2)加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个 (3)最多可以加工成个铁盒 【分析】（1）根据题意可知竖式铁容器由4个长方形铁片和1个正方形铁片组成，横式铁容器由3个长方形铁片和2个正方形铁片组成，即可得到答案； （2）根据竖式铁容器需要的长方形铁片数量加上横式铁容器需要的长方形铁片数量等于，竖式铁容器需要的正方形铁片数量加上横式铁容器需要的正方形铁片数量等于列二元一次方程组求解即可； （3）先假设35张铁板只有每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片这两种情况，再根据非整数的部分确定有几张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，从而解决问题． 【详解】（1）解：竖式铁容器由4张长方形铁片和1张正方形铁片组成， 横式铁容器由3张长方形铁片和2张正方形铁片组成， ∴加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张． （2）解：设加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个， 根据题意列式，得， 解得， ∴加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个． （3）解：设张铁板做张长方形铁片，张铁板做张正方形铁片， 则可列式为， 解得， 则张铁板可做长方形铁片（张）， 张铁板可做正方形铁片（张）， 剩下的1张铁板可做长方形铁片1张和正方形铁片2张， 此时，长方形铁片为（张），正方形铁片为（张）， 长方形的铁片数量刚好是正方形铁片数量的2倍， ∴最多可以做长方体铁容器（个）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.3二元一次方程组的应用 知识归纳与题型总结 考点01 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 考点02 二元一次方程组的应用 1. 利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 2. 增长率问题 ． 3. 数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 4. 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 5. 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 考向01 方案问题 【例1】某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 考向02 行程问题 【例2】小明购置一辆山地自行车进行户外越野骑行，同款轮胎安装在前轮磨损较慢，行驶后报废；安装在后轮磨损较快，行驶就报废．轮胎A在前，轮胎B在后，行驶到某一里程时交换A和B，又行驶一段里程后发现轮胎A完全磨损坏掉，但轮胎B还未完全磨损，此时总里程为．设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为，则可列方程组为________． 考向03 工程问题 【例3】骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 考向04 数字问题 【例4】一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？ 考向05 年龄问题 【例5】小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 考向06 分配问题 【例6】某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ 考向07 销售，利润问题 【例7】列方程或方程组解应用题 小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买根荧光笔和个笔记本需要元，若购买根荧光笔和个笔记本需要元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？ 考向08 和差倍分问题 【例8】现有甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共有9000人需要安置，设甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么依题意列出的方程组是________． 考向09 几何问题 【例9】某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 考向10 图表信息问题 【例10】在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 考向11 古代问题 【例11】《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 考向12 开放型问题 【例12】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 一、选择题 1．在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A． B． C． D． 3．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 6．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干?”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱?设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 7．如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案，若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为（    ） A． B． C．20 D．23 8．费县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（     ） A．4000元，8000元 B．8000元，4000元 C．14000元，8000元 D．10000元，12000元 9．大约公元前2200年，在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．如图1，将九个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图2，数学综合实践课上，数学老师要求同学们将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入这个三阶幻方中且对角的数字为x，y．若点的坐标为，则满足条件的点有（     ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 10．在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点．若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，则该格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，例如图中是格点三角形，对应的，，．若某格点多边形对应的，，则值为（     ） A．120 B．110 C．105 D．100 二、填空题 11．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 12．如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形）．若，则一个小长方形的面积为_____． 13．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 14．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________． 15．用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为____________． 三、解答题 16．某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 17．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 18．“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 19．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3950元，其中冰墩墩、雪容融的进价分别为35元/个、30元/个，求冰墩墩、雪容融各购进多少个？ 20．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $