专题12二元一次方程与一次函数及三元一次方程组精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二元一次方程与一次函数的对应关系、图像法解二元一次方程组及三元一次方程组的消元求解，构建从方程与函数转化、图像交点与方程组解的关联到三元降元的知识支架。 以数形结合和转化思想为核心，通过基础到拔高的分层题型（如直线交点求方程组解、三元消元步骤）培养几何直观与运算能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升知识应用与数学思维。

专题11二元一次方程与一次函数及三元一次方程组精讲学案 核心立意： 理清二元一次方程与一次函数的对应关系；掌握图像法解二元一次方程组；运用消元思想求解三元一次方程组，体会数形结合、转化的数学思想。 二元一次方程与一次函数 ❶任意一个二元一次方程都可以变形为一次函数 y=kx+b 的形式，二元一次方程的每一组解，对应一次函数图像上一个点的横、纵坐标； ❷两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； ❸图像法解方程组步骤： ①将两个方程统一化成 y=kx+b 的形式， ②在同一坐标系画出两条直线， ③读取交点坐标，该坐标即为方程组的解； ❹两直线平行（k 值相等，b 值不等）⇒对应二元一次方程组无解；两直线重合（k、b 均相等）⇒对应二元一次方程组有无数组解。 三元一次方程组 ❶三元一次方程组定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项次数均为1，方程组一共包含三个方程； ❷核心解题思想：消元转化，实现三元→二元→一元的降元求解； ❸解题步骤： ①选定同一个未知数，利用加减或代入消元，将三元方程组转化为二元一次方程组， ②求解得到二元方程组的两个未知数， ③把结果回代原方程求出第三个未知数， ④检验，写出方程组完整解。 重点辨析 ❶二元一次方程、一次函数描述同一数量关系，只是表达形式不同； ❷图像法得到的解为近似解，纸笔计算优先选用代入消元、加减消元法；❸解三元一次方程组，每一次消元必须消去同一个未知数，优先选择系数简单的未知数消元，降低计算难度。 1. 不会转换方程形式，混淆二元一次方程的解与函数图像点坐标的对应关系。 2. 不能根据直线的 k、b 参数，正确判断方程组无解、无数组解的情况。 3. 解三元一次方程组时，先后消去不同未知数，无法顺利降元，造成解题混乱。 4. 求出未知数的值，缺少回代检验步骤，计算出错不能及时发现。 题型 考察方向 难度 题型一 求一次函数解析式 ★★ 题型二 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★ 题型三 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型四 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型五 三元一次方程组的定义及解 ★ 题型六 三元一次方程组的应用 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：求一次函数解析式 解题思路：①设一次函数解析式y=kx+b(k≠0)；②将已知点坐标代入解析式，列出二元一次方程组；③解方程组，求出k、b；④将k、b回代，写出完整解析式。 1．函数的图象经过点，则k的值是______． 2．一次函数经过点，由直线平移得到，则此函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线的表达式为，点A的横坐标是，，与x轴所夹的锐角是，则直线的表达式是________________． 4．在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 题型二：两直线的交点与二元一次方程组的解 解题思路：①联立两条直线的函数解析式，得到二元一次方程组；②解方程组，方程组的解就是两直线交点的横、纵坐标；③已知交点坐标，可直接写出对应方程组的解。 5．已知一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的方程组的解是_________． 6．如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 7．如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 8．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：图象法解二元一次方程组 解题思路：①把方程组中两个方程变形为y=kx+b形式；②在同一坐标系画出两条对应直线；③读出两直线交点坐标；④交点坐标即为方程组的近似解。 9．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 11．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 12．下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) A． B． C． D． 题型四：求直线围成的图形面积 解题思路：①求出所有直线的交点，得到图形各个顶点坐标；②把坐标转化为线段长度，长度必须取正数；③优先选用坐标轴上线段做底或高；④代入面积公式计算图形面积。 13．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 14．如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 15．已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为____． 16．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 题型五：三元一次方程组的定义及解 解题思路：①判断定义：共3个未知数；含未知数的项次数都是1；一共3个整式方程；②满足以上三点才是三元一次方程组；③把数值代入每一个方程，全部等式成立，才是方程组的解。 17．三元一次方程组，则________ 18．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 19．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 20．已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________． 题型六：三元一次方程组的应用 解题思路：①读题找出3个等量关系；②设3个未知数，列出三元一次方程组；③消元：三元化为二元，二元化为一元，依次求解；④回代求出全部未知数；⑤检验结果是否符合实际意义，最后写答。 21．某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需______元 22．如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 23．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共300元；若购买甲4件、乙9件、丙1件，共420元，现在购买甲1件、乙2件，共需___________元． 24．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上数的和告诉给参与者，请参与者判断说法的正误．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 下列说法中，正确的有(    )个 ①，上的数字可能都是奇数； ②五张卡片上的数的总和为149； ③若将卡片上的数按从小到大的顺序排列，则结果为：． A．0 B．1 C．2 D．3 解答题 1．解方程组：． 2．某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用．场地费用b（元）固定不变，耗材费用与参赛人数x成正比例函数关系，这两部分的总费用为y（元）．已知当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛？ 3．已知关于x，y的方程组的解为． (1)写出一次函数和的图象交点P的坐标． (2)若这两个函数的图象与x轴分别交于点A，B，求． 4．某文具店为了庆祝“六一”儿童节，推出了笔记本、签字笔和荧光笔的组合优惠．下表是该文具店的促销内容信息． 项目 套餐价格（元） 比分开买省的费用（元） （一本笔记本）（一支签字笔） 11 4 （一支签字笔）（一支荧光笔） 7 3 （一本笔记本）（一支荧光笔） 12 5 （一本笔记本）（一支签字笔）（一支荧光笔） m 6 试根据要求回答问题： (1)若小明想买1本笔记本、2支签字笔和1支荧光笔，且以最省钱的方式购买，他需要付多少元？ (2)表中“m”处的数值是多少？ (3)已知笔记本的单价是11元/本，班级学习委员带了205元钱去采购，笔记本买了a本、签字笔买了b支、荧光笔买了c支，且a，b，c为正整数，求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二元一次方程与一次函数及三元一次方程组精讲学案 核心立意： 理清二元一次方程与一次函数的对应关系；掌握图像法解二元一次方程组；运用消元思想求解三元一次方程组，体会数形结合、转化的数学思想。 二元一次方程与一次函数 ❶任意一个二元一次方程都可以变形为一次函数 y=kx+b 的形式，二元一次方程的每一组解，对应一次函数图像上一个点的横、纵坐标； ❷两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； ❸图像法解方程组步骤： ①将两个方程统一化成 y=kx+b 的形式， ②在同一坐标系画出两条直线， ③读取交点坐标，该坐标即为方程组的解； ❹两直线平行（k 值相等，b 值不等）⇒对应二元一次方程组无解；两直线重合（k、b 均相等）⇒对应二元一次方程组有无数组解。 三元一次方程组 ❶三元一次方程组定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项次数均为1，方程组一共包含三个方程； ❷核心解题思想：消元转化，实现三元→二元→一元的降元求解； ❸解题步骤： ①选定同一个未知数，利用加减或代入消元，将三元方程组转化为二元一次方程组， ②求解得到二元方程组的两个未知数， ③把结果回代原方程求出第三个未知数， ④检验，写出方程组完整解。 重点辨析 ❶二元一次方程、一次函数描述同一数量关系，只是表达形式不同； ❷图像法得到的解为近似解，纸笔计算优先选用代入消元、加减消元法；❸解三元一次方程组，每一次消元必须消去同一个未知数，优先选择系数简单的未知数消元，降低计算难度。 1. 不会转换方程形式，混淆二元一次方程的解与函数图像点坐标的对应关系。 2. 不能根据直线的 k、b 参数，正确判断方程组无解、无数组解的情况。 3. 解三元一次方程组时，先后消去不同未知数，无法顺利降元，造成解题混乱。 4. 求出未知数的值，缺少回代检验步骤，计算出错不能及时发现。 题型 考察方向 难度 题型一 求一次函数解析式 ★★ 题型二 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★ 题型三 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型四 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型五 三元一次方程组的定义及解 ★ 题型六 三元一次方程组的应用 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：求一次函数解析式 解题思路：①设一次函数解析式y=kx+b(k≠0)；②将已知点坐标代入解析式，列出二元一次方程组；③解方程组，求出k、b；④将k、b回代，写出完整解析式。 1．函数的图象经过点，则k的值是______． 【答案】 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得． 2．一次函数经过点，由直线平移得到，则此函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数平移的性质，平移后一次项系数不变，先确定所求函数的值，再利用待定系数法，代入已知点坐标求出常数项，即可得到函数表达式 【详解】解：∵所求一次函数是由平移得到，一次函数平移不改变一次项系数， ∴设所求一次函数表达式为， ∵函数经过点， ∴将代入得， 解得， ∴此函数的表达式为 3．如图，直线的表达式为，点A的横坐标是，，与x轴所夹的锐角是，则直线的表达式是________________． 【答案】 【分析】将点A的横坐标代入得出A的坐标，过点B作轴，利用勾股定理可求出点B的坐标，设直线的表达式为，将A和B的坐标代入即可求出表达式． 【详解】解：在中，当时，， ∴ 点A坐标为， 过点B作轴，则，根据题意可知， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即， 解得， ∵ 点B在第四象限， ∴ 点B的坐标为， 设直线的表达式为， 将和代入得：， 解得， ∴ 直线的表达式为． 4．在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，先求出直线的解析式，找出两临界点即可得出答案，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设直线解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线过定点， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 将直线绕点旋转，当直线与直线平行时，； 当直线过点时，； ∴的取值范围为， 故选：． 题型二：两直线的交点与二元一次方程组的解 解题思路：①联立两条直线的函数解析式，得到二元一次方程组；②解方程组，方程组的解就是两直线交点的横、纵坐标；③已知交点坐标，可直接写出对应方程组的解。 5．已知一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的方程组的解是_________． 【答案】 【详解】解：将一次函数移项整理得， 将一次函数移项整理得， 因此题目给出的方程组就是由已知两个一次函数组成的方程组， ∵一次函数与的图象交点坐标为， ∴方程组的解是． 6．如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】先将横坐标为1代入解得两直线交点坐标，再结合图像得出关于，的方程组的解为． 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 故答案为：． 7．如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 【答案】 【分析】先求出点，再观察图象即可求解． 【详解】解：将点代入正比例函数中，得， ∴点， ∴观察图象可知，则关于，的二元一次方程组的解为． 8．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 题型三：图象法解二元一次方程组 解题思路：①把方程组中两个方程变形为y=kx+b形式；②在同一坐标系画出两条对应直线；③读出两直线交点坐标；④交点坐标即为方程组的近似解。 9．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 11．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 12．下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象． 【详解】∵2x-3y=6， ∴y=x-2， ∴当x=0，y=-2；当y=0，x=3， ∴一次函数y=x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（3，0）， 即可得出选项D符合要求， 故选D． 【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键． 题型四：求直线围成的图形面积 解题思路：①求出所有直线的交点，得到图形各个顶点坐标；②把坐标转化为线段长度，长度必须取正数；③优先选用坐标轴上线段做底或高；④代入面积公式计算图形面积。 13．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 求出一次函数与坐标轴交点的坐标，再利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：根据作出简图得： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 14．如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线向下平移8个单位长度后的解析式，故可得出C点坐标，再由直线得出B点坐标，联立两解析式得出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵直线向下平移8个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得：， ， ∵直线中，当时，， ， 联立方程， 解得， ， ． 故选：C． 15．已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题．求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时，， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 16．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 题型五：三元一次方程组的定义及解 解题思路：①判断定义：共3个未知数；含未知数的项次数都是1；一共3个整式方程；②满足以上三点才是三元一次方程组；③把数值代入每一个方程，全部等式成立，才是方程组的解。 17．三元一次方程组，则________ 【答案】14 【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ，得， ∴． 18．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 19．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，利用加减消元法得到，，据此计算的值即可． 【详解】解：，且，，所求为， ∴， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴． 20．已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________． 【答案】22 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， 当时， ． 题型六：三元一次方程组的应用 解题思路：①读题找出3个等量关系；②设3个未知数，列出三元一次方程组；③消元：三元化为二元，二元化为一元，依次求解；④回代求出全部未知数；⑤检验结果是否符合实际意义，最后写答。 21．某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需______元 【答案】 【分析】设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元”，可列出关于，的三元一次方程组，利用，即可求出结论． 本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 根据题意得：， 得：， 购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． 故答案为：． 22．如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c，根据天平列出等式求解即可． 【详解】解：设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∴一个B砝码和一个C砝码的质量比为． 23．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共300元；若购买甲4件、乙9件、丙1件，共420元，现在购买甲1件、乙2件，共需___________元． 【答案】 120 【分析】设出三种货物的单价，根据题意列出三元一次方程组，通过加减消元即可直接得到所求结果． 【详解】解：设购买1件甲需要元，购买1件乙需要元，购买1件丙需要元， 根据题意列方程组得， 得：， 化简得， 即购买甲1件、乙2件共需120元． 24．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上数的和告诉给参与者，请参与者判断说法的正误．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 下列说法中，正确的有(    )个 ①，上的数字可能都是奇数； ②五张卡片上的数的总和为149； ③若将卡片上的数按从小到大的顺序排列，则结果为：． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查方程组的应用，奇偶性判断和有理数大小比较，先设各卡片对应的数，根据相邻和列出等式，求解出各数后，逐一判断三个说法的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：设卡片对应的数分别为，根据题意得： 将五个等式相加得， ，故说法②正确． 由①得， 代入②得， 代入③得， 代入④得， 代入⑤得，解得， 解得． 判断说法①：是偶数，因此不可能都是奇数，说法①错误． 判断说法③：将五个数从小到大排序得，即，说法③正确． 综上，正确的说法共有个． 解答题 1．解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 将，得， 解得， 将，得④， 将代入④，得， 解得， 将，代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 2．某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用．场地费用b（元）固定不变，耗材费用与参赛人数x成正比例函数关系，这两部分的总费用为y（元）．已知当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛？ 【答案】(1) (2) 60人 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值即可. 【详解】（1）解：设耗材费用与参赛人数的正比例系数为，则总费用； 将，和，分别代入，得： ， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 答：有60人参加了比赛. 3．已知关于x，y的方程组的解为． (1)写出一次函数和的图象交点P的坐标． (2)若这两个函数的图象与x轴分别交于点A，B，求． 【答案】(1) 点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点的关系直接求解； （2）先代入方程组的解求出参数，再计算两函数与轴交点的距离，结合三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵ 一次函数和的图象交点的坐标，是对应二元一次方程组的解 又∵该方程组的解为， ∴交点的坐标为； （2）解：∵满足方程， ∴将，代入得：， ∴解得， ∴第二个一次函数的解析式为， ∵函数图象与轴交点的纵坐标为， ∴对于，令， 则， 解得，即点 对于，令， 则 解得，即点， ∴， ∵点到轴的距离为，即中边上的高为， ∴． 4．某文具店为了庆祝“六一”儿童节，推出了笔记本、签字笔和荧光笔的组合优惠．下表是该文具店的促销内容信息． 项目 套餐价格（元） 比分开买省的费用（元） （一本笔记本）（一支签字笔） 11 4 （一支签字笔）（一支荧光笔） 7 3 （一本笔记本）（一支荧光笔） 12 5 （一本笔记本）（一支签字笔）（一支荧光笔） m 6 试根据要求回答问题： (1)若小明想买1本笔记本、2支签字笔和1支荧光笔，且以最省钱的方式购买，他需要付多少元？ (2)表中“m”处的数值是多少？ (3)已知笔记本的单价是11元/本，班级学习委员带了205元钱去采购，笔记本买了a本、签字笔买了b支、荧光笔买了c支，且a，b，c为正整数，求的最大值． 【答案】(1)18元 (2) (3)57 【分析】（1）根据最省钱方案进行解答即可； （2）设笔记本单价为元，签字笔单价为元，荧光笔单价为元，根据题意列出三元一次方程组进行解答即可； （3）分情况讨论后得到，，，即可求出答案． 【详解】（1）解：购买“笔记本签字笔”套餐和“签字笔荧光笔”套餐最省钱． 所以，小明想买1本笔记本、2支签字笔和1支荧光笔， 且以最省钱的方式购买，他需要付18元． （2）设笔记本单价为元，签字笔单价为元，荧光笔单价为元， 根据题意可知“套餐价格节省的钱分开买的总价”， 所以可列方程组， 由可得，， 即分开买“笔记本签字笔荧光笔”的价格为21元，比分开买省6元， 所以套餐价格． （3）解：∵笔记本的单价为11元/本， ∴由题意计算可得签字笔单价为4元，荧光笔单价为6元．若购买2支签字笔需8元，而购买“签字笔荧光笔”套餐只需7元即可获得2支笔．所以考虑尽可能多地购买“签字笔荧光笔”套餐． ， ∴若购买29或28套“签字笔荧光笔”，则无法再购买笔记本； 若购买27套，则还剩16元，可再购买套餐“笔记本签字笔”和一支“签字笔”， 此时，，， 的最大值是57． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $