专题01 对数运算（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01对数运算 题型归纳 题型一对数的概念判断与求值 题型二指数式与对数式的互化 题型三对数的运算 题型四对数的运算性质的应用 题型五运用换底公式化简运算 题型六运用换底公式证明恒等式 题型专练 题型一：对数的概念判断与求值 一、单选题 1.已知m,n∈R,集合A={2,lgm,集合B={m,n,若AnB={0},则m+n=() A.1 B.2 C.4 D.8 2+log1(x+3),-2≤x≤0 2.已知函数f()= ,若 x2+x-1,x>0 fa)=1'则的值是(). A.-2 B.1 C.1或0 D.-2或0或1 3. 己知函数f(x)= x2-x+1,x≤0， Inx,x>0, A.7 B.10 C.13 D.16 4.“lna=lnb”是“a=b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 5.已知正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是() A.0<b<1 B.Ina<0 1+2≤3+22 D.a 题型二：指数式与对数式的互化 1/7 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.若a=lg,6:6=12:则b+日() 3 A.1 B.2 C.2 5-2 D.7 2.已知3°=2,5°=3，c=log,49,则a,b,c的大小关系是() A.b>c>a B.c>a>b C.b>axc D.c>b>a 3.已知正实数x,y,z满足3=5’=15，则下列说法中不正确的是() 1,11 A.xy z B.x+y>2z C.3x>5y>15z D.x.y>4z2 4.凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们 还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，己经对地震有了越来越清晰的认识与了解.例如：地震时 释放出的能量E(单位：J)与地震里氏震级M之间的关系为M=gE-1, 3 ，202年11月16日，凉山州 会理市发生里氏4.3级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏5.5级地震 所释放能量的约多少倍() A.1018倍 B.0.56倍 C.102倍 D.0.83倍 二、填空题 2+-2,则t= 5.设2°=30=1'且a+6 一；若1og23=m,log,2=n,则1og4256=—· (用m,n 表示) 6.若logx=165-6,则x= a 7.已知1og,b+4log.a=4,则b的值为 题型三：对数的运算 一、单选题 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 1.已知A=1ogx'B=1og,ya>0.a≠D则lo8. () A A.B B.2AB C.4AB D.248 2.1og,7-l1og,25=() A.1 B.2 C.5 D.7 3已知f)= log2(x+3),x>0 3+x2, x≤0' A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 -x2-4x+1,x<0 4.已知函数()og,x-1>0,则下列说法正确的有〈) A)-3 B.f()=2有3个实数根 C若∫+2a1:0有8个实数银.则a[2] 961 D.若f)=1有4个实数根，从小到大分别为5，'5'x则x+名++16 三、填空题 5.当a>0时，化简Vaa×[-22]÷2a3+(lg2}2+lg5×lg20= f(x+2),x<1 6.若f()-6g,(+),x2则f0) 四、解答题 7.求值： 3/7 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) ,求 in(π-a)-sin 3π tana=-2 题型四：对数的运算性质的运用 一、单选题 1.已知函数f(x)为奇函数，且f(x+1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=2-1,则f(og,36)的值为 () 7 7 A.9 B.9 c 2.已知x,y∈R,a>1,b>1,若a=b'=8,且ab=16,则x+y的最小值为() A. 3 B.2 C.2 D.3 3.若2-2'<3-3”，则() A.ln(x-y+1)<0 B.n(x-y+1)>0 C.In x-y>0 D.Inx-y<0 二、填空题 4.心理学家有时用函数L()=A1-e“)测定在时间t(单位：mi)内能够记忆的量L,其中A表示需要 记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间内该生能够记忆 的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为一·（结果保留四位小数） 5.已知3m=5,n=log23,则log690可用m,n表示为一. 6.己知函数f(x)=log,(x+以，若f(x)=0,则x=一；关于x的方程f()=m有两个不同的解， 11 x(:<x)当m变化时，无石的取值范围是 三、解答题 回答下列问题 7.求方程x2+3x=165-32e2的解集： 8.若f(2-x)=x-x2,求函数f(x)的单调区间. 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五：运用换底公式化简运算 一、单选题 日上+2=2，则k=（） 1.己知4=3y=k'且xy A.6 B.9 C.12 D.36 2.设a=l0g,5,b=1.49m,c=1og4924,则(） A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 二、多选题 3.已知m:neLo),满足m6-)=5,名=og”,则下列选项不正角的是《) h.me) B.m+n<4 c.m-1>1 D.m+1=logsn 4.已知正实数，少2满足2=3=6，则下列结论正确的是() A.x>y>z 。1,11 B.xy 2 c.1og2(2*+3）=1+z D.x+y>4z 三、解答题 5.计算下列各式： as0--3, (2)1g2.1g50+(1g5)+log,4.log 3. 6.计算： (-8x516-e-或： (2)log27+log23.log,8-10e3 7.计算： 32.2,。2 (1)2 +273 26 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1og,12-1og23+1og,35 (2） l0g,8 (3)g2)2+(0g5)2+ 2 l0g,10+logs 10 8.(1)计算：643-（π-2）°+(-8)5+16075. (2)计算：log,64+1gV2+lgV5 1.2 (3)已知2=3=18？求a+6的值. 题型六：运用换底公式证明恒等式 一、单选题 1.设4，b,c都是正数，且3=4=6，那么下列关系正确的是() A.a+2b=c 1+12 B.ac+bc=2ab 1+1-1 C.a2b c D.1 ab c 二、解答题 2.己知函数f(x)=log,x(a>0且a≠1). (1)若f(8)-log2a=2,求实数a的值： (2)若f(x)在区间[a,2a上的最大值与最小值之差为2，求实数a的值 3.设a,b,c,d均为正数，且a,c均不为1求证：log。b~log。d=log d.log。b. 1 4.设a、b是两个不等于1的正数，求证：loga= log。b1 1,11 5.设x=少=2，其中x’y,z均大于0，且都不为1：a+6。,求证：：= 6.设a>0,b>0,a≠0，且a≠1，b≠1，利用对数的换底公式证明： ()logo 1 (2)logb=- alog,a: (3)计算：若x1og,3=2,求3+3的值. 7.设a>0,b>0,a≠0，且a≠1，b≠1，利用对数的换底公式证明： 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)log 6=-1 alogi a: 2logb°-1og,b a 8.求满足下列条件的各式的值 (1)若xog,4=1,求4+4的值： 1+1=1 2)设3=4=6，求证：x2y2 9.(1)已知实数x满足r2-xi=3,求x-x的值. 1+1=1 (2)若3=4=6≠1？求证：x2y2· 7/7 专题01 对数运算 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 题型三 对数的运算 题型四 对数的运算性质的应用 题型五 运用换底公式化简运算 题型六 运用换底公式证明恒等式 题型一：对数的概念判断与求值 一、单选题 1．已知，，集合，集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因为，则，， ， 所以， 则． 2．已知函数，若，则的值是（    ）． A． B．1 C．1或0 D．或0或1 【答案】C 【详解】因为， 若，则，可得， 则，所以； 若，则，可得，解得或（舍去）； 综上所述：的值是1或0. 3．已知函数则（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 【答案】C 【详解】由题意可得：，所以. 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则； 当时，不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 二、多选题 5．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于AB，由题设结合可判断选项正误；对于CD，由题设结合基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，从而，又为正实数，可得，故A正确 类似上述方法可得，从而，故B正确； 对于CD，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故C正确； 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故D错误. 题型二：指数式与对数式的互化 一、单选题 1．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以. 2．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算性质化简的值，再借助对数函数的单调性，通过比较、与2的大小，判断与的大小关系. 【详解】， 由，得， ，而， 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即，因此， 由，得， ，而， 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即，因此， 综上，三者大小关系为. 3．已知正实数,,满足，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，将转化为对数形式，对A直接进行对数运算可得；对B由换底公式与基本不等式可得；对C由不等式性质等价转化为，并结合对数函数的单调性可得；对D由不等式性质等价转化为，并结合基本不等式可得. 【详解】设，由为正实数可知， 则可得，，， 继而，，. 选项A：，故A正确； 选项B：因为，所以，， 因为且，由基本不等式， 所以，即成立，故B正确； 选项C：因为，，， 由函数在上单调递增，且， 则，即， 又因为为正实数，则可得，即，故C错误； 选项D：因为且， 由基本不等式，， 即，因为为正实数，所以，故D正确. 4．凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，2022年11月16日，凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（     ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【详解】设凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量为，云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量为， 则①，②， ①②得， 化简可得，所以， 即. 二、填空题 5．设，且，则t＝________；若，则________．（用表示） 【答案】 【详解】由、，可得，，且， 则，， 故 即，即，因，则； 由，得，又， 所以. 6．若，则________. 【答案】 【分析】先利用分数指数幂的运算法则计算等式右侧，再根据对数的定义求出. 【详解】由，得. 根据对数的定义，得. 7．已知，则的值为________． 【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. 题型三：对数的运算 一、单选题 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则化简即可. 【详解】由题可得. 2．（    ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【详解】. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算最内层对数的值，再由内向外逐层代入对应分段的函数解析式计算即可. 【详解】，所以， 所以. 二、多选题 4．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 【答案】BD 【分析】先直接代入解析式求值，根据分段函数解方程，统计根的数量；然后，换元转化为二次方程根的分布问题，用判别式、对称轴、区间端点函数值列不等式；最后利用二次函数对称性、对数式解出四根，构造和的表达式，根据开区间范围判断总和的区间. 【详解】 ，，对称轴为，顶点为， ，，最小值为，在时取得， 选项：， 选项：当时：，解得：， 由于，所以， 当时：，解得：， 共有个实数根， 选项：令，则， 想要原方程有个实数根，需要方程关于有两个互不相同的根，，且满足，，由图可知，只有当时，恰好有个实数根，两个根各对应个根， 设，两根都落在内的条件：， 解得：或（舍去），，，， 合并得：， 选项：有个实数根， 当时，，由韦达定律得：， 当时：，得：，，， 所以， ，， 令，，，， 令，，， 所以在上单调递增， 当时，；当时，， 所以. 三、填空题 5．当时，化简__________. 【答案】 【详解】 6．若，则____________． 【答案】 【分析】需依据分段函数的定义即可求解. 【详解】将代入可得，， 再将代入可得，. 四、解答题 7．求值： (1)； (2)，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）. 题型四：对数的运算性质的运用 一、单选题 1．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合奇函数、为偶函数推出函数的周期，再利用对数运算化简自变量，再根据对称性转化到区间代入求值即可. 【详解】∵为偶函数，∴， ∴，即函数周期，且， ∴，又， 代入可得， 此时，∴． 2．已知，，，，若，且，则的最小值为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过对数换底公式将转化为关于的对数表达式，结合的定值条件，利用基本不等式可求解的最小值 【详解】因，则，， 结合，可得. 则， 当且仅当时取等号. 3．若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数，利用函数单调性推导与的大小关系，再结合对数函数性质判断各选项正误. 【详解】因为，则， 则构造函数，求导可得， 对于，，且，所以， 即是在上的单调递减函数，因为，则， 所以，则，则， 则，故B选项正确，A选项错误； 因为，若，则， 若，则，故C选项，D选项错误. 二、填空题 4．心理学家有时用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5 min内能够记忆20个单词，则的值约为_____．（结果保留四位小数） 【答案】0.0211 【分析】由题可得，当时，；代入函数关系式，结合指对互化运算即可求解. 【详解】根据题意可得：，当时，； 代入可得：，解得：，则，. 5．已知，，则可用，表示为_____． 【答案】 【分析】先将化为对应对数式，再通过换底公式与对数运算性质拆解目标对数，再代入已知关系化简可得. 【详解】由，根据对数定义可得； 由，根据换底公式，得. 再根据换底公式 . 因此. 6．已知函数，若，则______；关于的方程有两个不同的解，，当变化时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】先由绝对值为0的性质求解对应的；再根据对数方程的解得到，关于的表达式，代入，化简后结合的取值范围求值域. 【详解】由，可得，所以，解得； 函数，定义域为，值域为， 方程有两个不同的解，，故， 由，得，即，， ， ，令，，易知在上单调递增， 当时，，故； 当时，，故； 因此的取值范围为. 三、解答题 回答下列问题 7．求方程的解集； 8．若，求函数的单调区间． 【答案】7． 8．单调递增区间为，单调递减区间为和 【详解】7．，所以原方程等价于，解得或者， 所以方程的解集为. 8．因为，令，则，，即， 所以，令，解得，令，解得或， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. 题型五：运用换底公式化简运算 一、单选题 1．已知，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【详解】由，得，而， 因此，即， 则，又，所以. 2．设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数运算性质统一对数底数比较与的大小，再结合对数、指数函数的单调性判断、与1的大小关系，最终得出三者排序. 【详解】由题设有. 又，对数函数在上单调递增，且， 因此，即. 由对数函数单调性得； 指数函数在上单调递增， 因此，即. 综上可得. 二、多选题 3．已知，，满足，，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对做指对互化，换元变形，构造函数，利用单调性得到，利用零点存在性定理可求得，可判断A；根据可求得，可判断B；将代入可判断C；由可判断D. 【详解】已知，满足，． 对，指对互化得． 令，则，代入上式得：， 两边乘整理得． 构造函数， 求导得：． 因为，，，故恒成立． 这说明在上严格单调递增，方程最多一个解． 因为和都满足方程，所以， 同时． 对于A：，， ， 因为单调递增，所以，选项A错误． 对于B：由，，所以， 因此，不成立，选项B错误． 对于C：，代入， ． 因为，，， 所以恒成立，选项C正确． 对于D：由前面推导，，选项D为， 即，矛盾，选项D错误． 4．已知正实数满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设公共值换元简化计算，结合指数与对数的互化、对数运算性质、基本不等式判断选项即可. 【详解】设，由是正实数得， 指数对数互化可得：，，， 选项A：由对数换底公式可得：，，，因为， 且，分母越小分数值越大，因此，A选项正确； 选项B：代入换底结果：，B选项正确； 选项C：左边， 显然，因此等式不成立，C选项错误； 选项D：由，得，要证，即证， 等价于，即， 由A知，故恒成立，因此，D选项正确. 三、解答题 5．计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)15 (2)2 【详解】（1） （2） . 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）利用换底公式以及对数的运算性质求解即可； 【详解】（1）原式 （2）原式. （3）原式 . 8．（1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）把根式化成分数指数幂，注意、、； （2）用对数运算性质合并； （3）把、化成以为底的对数后相加. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由得，由得， 所以，， 故. 题型六：运用换底公式证明恒等式 一、单选题 1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 二、解答题 2．已知函数且. (1)若，求实数的值； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意结合对数运算整理可得，运算求解即可； （2）分和两种情况，结合对数函数的单调性和最值运算求解即可. 【详解】（1）因为， 整理可得， 解得或，所以或. （2）若在区间上的最大值与最小值之差为， ①当时，在区间上单调递增， 则， 即，所以； ②当时，在区间上单调递减， 则， 即，所以. 综上所述：实数的值为或. 3．设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】 由题意，根据换底公式，，命题得证. 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】略 4．设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】 因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】略 5．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明如下： 依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】略 6．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)因为，所以命题得证. (2)因为，所以命题得证. (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以， 故，即的值为. 7．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1) ，所以等式成立； (2)，所以等式成立. 【分析】利用换底公式，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 8．求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【详解】（1）， ， ， （2）略 9．（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：设，则且，，， ，，， ，. 【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值； （2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：，，， 又，，所以； （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $