微专题 对数函数12大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

微专题 对数函数 【题型1 对数函数的定义 】 规律与方法 1.对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). 2.判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2.（2026高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 3.（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)；(2)；(3)；(4)（）． 【题型2 对数函数的解析式 】 规律与方法 1.待定系数法：代入相关的点 2.反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 1.（25-26高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（第八单元对数运算与对数函数A卷�名校好题基础达标卷）函数与指数函数（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 3.（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【题型3 对数函数的图象 】 规律与方法 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 1.（24-25高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2.（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（25-26高一上·辽宁·练习）函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【题型4 对数函数图象的应用 】 规律与方法 1.图像的平移： 2.图像的翻折： 1．（多选 25-26高二下·河南·期末）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) 3.（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【题型5 对数函数的定义域】 规律与方法 函数的定义域 (写成集合或区间的形式)，对数函数定义域：x>0 (1)分式 ； (2)偶次根式：； (3)x0： (4)真数大于0 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 2.函数y＝的定义域是(　　) A．[1，2] B．[1，2) C． D． 3.（26-27高三上·云南保山·阶段检测）函数的定义域为__________. 【题型6 对数函数的定点问题 】 规律与方法 对数函数过定点1，0)， 其他形式： 令x+m=0即可以求出定点 1.（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数且的图像恒过定点，则______. 3.（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【题型7 对数函数的奇偶性 】 规律与方法 1.定义法：其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2.图象法：①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3.性质法：（1）加减同：奇+奇=奇 偶+偶=偶 （2）乘除：偶*偶=奇*奇=偶，奇*偶=奇 4.常见对数函数的奇偶性： (1)奇函数： ① 函数或函数 ②函数或函数． (2)偶函数：函数 1.（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【题型8 利用对数函数比较大小 】 规律与方法 1.同底利用单调性 2.不同底利用中间量 3.还可以利用作差法或者作商法 1.（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·四川泸州·阶段检测）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知，，，，，则（） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江西·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【题型9 对数函数的单调性 】 规律与方法 1.指数函数：a>1时在定义域R上是增函数, 0<a<1时在定义域R上是减函数。 2.指数型函数的单调性：同增异减 1.（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 2.（26-27高三上·湖北·阶段检测）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【题型10 对数函数的最值 】 规律与方法 1. 对数函数：利用单调性。 2. 对数型函数：换元变成对数函数，按照对数函数的求最值方法研究。 3. 二次型函数：换元变成二次函数，按照二次函数的求最值方法研究。 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 2.（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 4.（25-26高二下·江西萍乡·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 5.（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 6．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 7.（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数的最小值为0，则___________. 【题型11 对数函数的综合问题 】 规律与方法 对数函数综合问题：一般先判断奇偶性、单调性，再求最值（恒成立问题）。 1.（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； (3)若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 3.（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【题型12 同构问题】 规律与方法 通过指对互化，把函数化成同一类型 积型：，一般同构方式： 1.同左构造形式：，构造函数； 2.取对构造形式：，构造函数 和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 1.（26-27高一上·河南·期中）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 2.（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足：，，则______. 3.（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 对数函数 【题型1 对数函数的定义 】 规律与方法 1.对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). 2.判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 2.（2026高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式、对数函数的概念判断与求值 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 3.（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是(2)不是(3)不是(4)是 【难度】0.92 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义判断. 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【题型2 对数函数的解析式 】 规律与方法 1.待定系数法：代入相关的点 2.反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 1.（25-26高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 2.（第八单元对数运算与对数函数A卷�名校好题基础达标卷）函数与指数函数（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的解析式、求反函数、求指数函数解析式 【分析】思路一：首先求得，进一步得即可得解；思路二：由题意函数的图象过点，求得即可得函数表达式，进一步即可得解. 【详解】方法一：的图象过点，即，解得，故． 其反函数为，所以． 方法二：因为指数函数（且）的反函数为（且）， 的图象过点，故函数的图象过点， 所以，故，所以，所以． 故答案为：. 3.（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】将代入求得，进而可得的值. 【解答过程】因为函数的 图象过点， 所以， 则， 所以，， 故选：B. 【题型3 对数函数的图象 】 规律与方法 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 1.（24-25高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【解题思路】根据对数函数的图象和性质判断即可. 【解答过程】因为， 即当时, ， （3）是，（4）是， 又与关于轴对称， （1）是. 故选：B. 2.（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、由对数（型）的单调性求参数 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 3.（25-26高一上·辽宁·练习）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数函数的性质以及复合函数单调性逐项判断即可； 【解答过程】对于B、D，因为在其定义域上为单调增函数， 由复合函数的单调性可得在和上单调递减，故B、D错误； 对于C，由对数函数的性质，当时，，故C错误； 故选：A. 【题型4 对数函数图象的应用 】 规律与方法 1.图像的平移： 2.图像的翻折： 1．（多选 25-26高二下·河南·期末）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 2.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) 　【答案】B 由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B． 3.（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、由对数函数的单调性解不等式、对数函数图象的应用 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 【题型5 对数函数的定义域】 规律与方法 函数的定义域 (写成集合或区间的形式)，对数函数定义域：x>0 (1)分式 ； (2)偶次根式：； (3)x0： (4)真数大于0 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 2.函数y＝的定义域是(　　) A．[1，2] B．[1，2) C． D． 解析：选C．由即 解得x≥.故选C． 3.（26-27高三上·云南保山·阶段检测）函数的定义域为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【详解】由得. 【题型6 对数函数的定点问题 】 规律与方法 对数函数过定点1，0)， 其他形式： 令x+m=0即可以求出定点 1.（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 2.（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 3.（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立 【题型7 对数函数的奇偶性 】 规律与方法 1.定义法：其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2.图象法：①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3.性质法：（1）加减同：奇+奇=奇 偶+偶=偶 （2）乘除：偶*偶=奇*奇=偶，奇*偶=奇 4.常见对数函数的奇偶性： (1)奇函数： ① 函数或函数 ②函数或函数． (2)偶函数：函数 1.（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】对数函数的概念判断与求值、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 3（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 【题型8 利用对数函数比较大小 】 规律与方法 1.同底利用单调性 2.不同底利用中间量 3.还可以利用作差法或者作商法 1.（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】对数的运算、比较对数式的大小、对数的运算性质的应用 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 2.（26-27高三上·四川泸州·阶段检测）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、对数的运算、函数奇偶性的应用 【分析】利用指对函数的单调性及函数的性质求解. 【详解】是定义域为的偶函数，， 在上单调递增，且，， 因为在单调递减， 所以. 3.（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知，，，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、比较对数式的大小 【分析】利用对数性质化简；由知指数函数单调递减，比较指数得；再由判断且，最终得大小关系. 【详解】已知，且，则， ， 因为底数，所以指数函数在定义域上是单调递减的， 因为，所以， 所以，即， 因为且，所以 而，因此 综上可得：. 4．（26-27高三上·江西·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先利用对数运算性质统一对数底数比较与的大小，再结合对数、指数函数的单调性判断、与1的大小关系，最终得出三者排序. 【详解】由题设有. 又，对数函数在上单调递增，且， 因此，即. 由对数函数单调性得； 指数函数在上单调递增， 因此，即. 综上可得. 【题型9 对数函数的单调性 】 规律与方法 1.指数函数：a>1时在定义域R上是增函数, 0<a<1时在定义域R上是减函数。 2.指数型函数的单调性：同增异减 1.（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. 2.（26-27高三上·湖北·阶段检测）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】令，利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列出不等式，解出的取值范围． 【详解】令，∵，∴在上单调递减， ∵函数（且）在区间内单调递增， ∴函数是减函数，且在上恒成立， ∴，∴. 3.（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】判断函数奇偶性以及单调性，将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，只需要即可，并考虑函数定义域即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又定义域为， 且，所以是偶函数， 因为，所以， 又，所以，所以化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递减， 所以时，最小，且为， 所以，， 又时，，不符合题意， 所以或， 即的取值范围是. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【详解】由得，可知的定义域为，定义域关于原点对称， 且 ， 则是定义在上的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 5.（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 【题型10 对数函数的最值 】 规律与方法 1. 对数函数：利用单调性。 2. 对数型函数：换元变成对数函数，按照对数函数的求最值方法研究。 3. 二次型函数：换元变成二次函数，按照二次函数的求最值方法研究。 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求对数函数在区间上的值域、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【详解】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 2.（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】求对数函数在区间上的值域、求对数函数的最值、基本不等式求和的最小值、运用换底公式化简计算 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 3.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 【答案】C 【难度】0.51 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求对数型复合函数的值域 【分析】对于由两函数的乘积构成的函数，利用其单调性及值域的特点，可判断它们的零点重合，推得，代入所求式，计算即得. 【详解】因函数的定义域为， 函数与均为上的增函数，且两函数的零点分别为与， 为使函数的值恒为非负数，则两零点必须重合， 否则在两零点之间，两函数值会出现一正一负，不符合题意. 故. 于是 . 4.（25-26高二下·江西萍乡·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数函数在区间上的值域、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】分别求出和时值域，要使函数的值域为，则两部分值域的并集要覆盖所有实数，再列不等式求实数的取值范围即可. 【详解】当时，，因为对数函数在单调递增，所以在单调递减， 所以，因此当时，值域为； 当时，开口向上，对称轴为，所以； 因此当时，值域为； 要使函数的值域为，则，解得. 5.（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求对数型复合函数的定义域、根据二次函数的最值或值域求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】（1）由定义域为，得出，列出不等式求解即可； （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值，进而得出，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由的定义域为，知的解集为， 则，解得：， 所以a的取值范围为． （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值， 所以只要即可，其中， 所以，解得：或， 所以实数a的取值范围是． 6．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.63 【知识点】函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性、求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域 【分析】(1)首先利用对数运算法则化简的解析式，将其转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求得值域. (2)先将恒成立条件转化为，通过换元法将转化为关于的二次函数，求解在上的最小值，再代入不等式求解关于的一元二次不等式，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）由，化简可得 ． ， 因为，所以，即的值域为. （2）因为不等式对任意实数恒成立，所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 7.（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数的最小值为0，则___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】根据最值的定义及不等式的性质，对进行分情况讨论求解即可. 【详解】由题意知，定义域为. 当时，， 因为，所以，则， 因为对，，故都有，所以. 同理时，，所以，则，故. 当时，，恒成立， 综上，. 【题型11 对数函数的综合问题 】 规律与方法 对数函数综合问题：一般先判断奇偶性、单调性，再求最值（恒成立问题）。 1.（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、对数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数定义求出，根据给定条件，列出不等式并分离参数，构造函数并利用单调性求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为，由为偶函数，得恒成立， 即恒成立， 而不恒为0，则，由时，函数的图象恒在图象的上方， 得，恒成立，即， 则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 2.（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； (3)若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.53 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据对数的真数大于求解； （2）整理，设，利用二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，结合复合函数的单调性求解法则求出的单调性，利用单调性得到的最大值，从而求出的值； （3）整理，令，利用指数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质求出，利用二次函数的图象和性质结合对数函数的图象和性质求出，由存在，任意，都有成立，得到，通过计算得到的取值范围. 【详解】（1）， ，解得，故. （2）， 设，对称轴为，开口向下， 因为的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，          故时，函数取得最大值，且最大值为， 解得. （3）， 令， 因为，，所以，则， 则转为，， 因为对称轴为，且，函数的图象开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又因为，， 在上单调递减， 因为，所以，          因为存在，任意，都有成立，所以， 即，           解得，所以实数的取值范围为. 3.（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】求对数函数在区间上的值域、函数不等式能成立（有解）问题、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数、对数的运算性质的应用 【分析】(1)利用特殊值求出，再根据奇函数定义验证即可； (2)先分别求出的最小值，通过转化得到，求解即可. 【详解】（1）∵是奇函数，且定义域为，∴，即， 解得，将代入函数得， ，符合奇函数定义，∴. （2）∵，单调递增， ∴在定义域上单调递增，又， ，∴， ∵， ∴令，则， 又，，函数对称轴为， 开口向上，∴， ∵对任意的，总存在， 使得成立，即， 即，∴. 所以实数的取值范围为. 【题型12 同构问题】 规律与方法 通过指对互化，把函数化成同一类型 积型：，一般同构方式： 1.同左构造形式：，构造函数； 2.取对构造形式：，构造函数 和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 1.（26-27高一上·河南·期中）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】基本不等式求和的最小值、由指数（型）的单调性求参数 【详解】由可得， 因为均为递增函数，所以也为递增函数， 所以，即， 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为 2.（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足：，，则______. 【答案】3 【难度】0.5 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、指数式与对数式的互化 【分析】由同构思想和函数单调性得，结合已知即可得解. 【详解】∵，∴， 又，∴，即， 又函数在定义域上单调递增，所以，， ∴. 3.（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】指数式与对数式的互化、反函数的性质应用 【分析】由与的交点关于对称，结合，，从而有与关于对称得到且，即可求. 【详解】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $