第5章 周末练12 章末检测试卷四(第四～五章)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 以章末检测整合函数与对数知识，通过典例提炼代数运算、几何直观、逻辑推理等方法，构建概念-性质-应用的知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题（1-4题）|对数换底公式、零点求解、定义域求法、二分法|从对数运算、函数定义到零点存在性，形成概念生成链| |性质应用|5题（5-9题）|单调性判断、数形结合、分段函数分析|结合函数单调性与图象，构建性质推导与应用逻辑| |综合应用|6题（10-19题）|数学建模、分类讨论、恒成立问题转化|从实际问题抽象函数模型，实现知识拓展与迁移|

周末练12　章末检测试卷四(第四~五章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.计算：log225·log52等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　A 解析　原式＝×＝3. 2.函数f(x)＝x2－3x－4的零点是(　　) A.(1，－4) B.(4，－1) C.1，－4 D.4，－1 答案　D 解析　由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1. 3.函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得即 解得1≤x<.故此函数的定义域是. 4.若函数f(x)＝log3x＋x－3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下： f(2)≈－0.369 1 f(2.5)≈0.334 0 f(2.25)≈－0.011 9 f(2.375)≈0.162 4 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9 那么方程x－3＋log3x＝0的一个近似根(精确度为0.1)为(　　) A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 答案　C 解析　由参考数据可知f(2.25)·f(2.312 5)<0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 5<0.1，所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f(x)＝log3x＋x－3零点的近似值，也即方程x－3＋log3x＝0的根的近似值. 5.已知x0是函数f(x)＝的一个零点，且x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，则(　　) A.f(x1)<0，f(x2)<0 B.f(x1)>0，f(x2)>0 C.f(x1)<0，f(x2)>0 D.f(x1)>0，f(x2)<0 答案　D 解析　∵y＝在(－∞，0)上单调递减， y＝在(－∞，0)上单调递减， ∴f(x)＝在(－∞，0)上单调递减. ∵f(x0)＝0，x1<x0，x0<x2<0， ∴f(x1)>f(x0)＝0，f(x2)<f(x0)＝0. 6.某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间t(单位：月，t∈N)的关系为y＝8×，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1 000倍需要的时间为(　　) A.20个月 B.22个月 C.24个月 D.26个月 答案　C 解析　刚投放时的面积为y＝8×＝8， 设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1 000倍， 则8×＝8×1 000， 即t＝lo1 000＝≈＝24. 7.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 答案　B 解析　由函数y＝logax的图象过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝，则其函数图象错误；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象错误；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图象错误. 8.已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(0，3) D.(1，3) 答案　A 解析　函数f(x)＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示. 方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点. 根据图象可知，当0<a<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根， 则实数a的取值范围是(0，1). 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若ab>0，给出的下列四个等式，不一定成立的有(　　) A.lg(ab)＝lg a＋lg b B.lg＝lg a－lg b C.lg＝lg D.lg(ab)＝ 答案　ABD 解析　∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0， ∴AB中的等式不一定成立； ∵ab>0，∴>0，lg×2lg＝lg， ∴C中等式成立； 当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义， ∴D中等式不一定成立. 10.某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(单位：千元)、乙厂的总费用y2(单位：千元)与印制证书数量x(单位：千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　) A.甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1 B.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元 C.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋ D.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 答案　ABC 解析　甲厂的总费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故A正确； 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5(元)，故B正确； 易知当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝x＋，故C正确； 当x＝8时，y1＝0.5×8＋1＝5，y2＝×8＋， 因为y1>y2，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故D不正确. 11.关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4 D.函数f(x)有且仅有两个零点 答案　ABD 解析　函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示.由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确； 若取f(x1)＝f(x2)＝1，则存在x1∈(2，3)，x2>3，所以x1＋x2≠4，C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.不等式log2x<1的解集是　　　　　　　　.  答案　｛x|0<x<2｝ 解析　由题意得log2x<1＝log22， 解得0<x<2. 13.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝log2x－的零点，则g(x0)＝　　　　.  答案　1 解析　∵f(1)＝log21－＝－<0，f(2)＝log22－>0， 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故x0∈(1，2)， ∴g(x0)＝[x0]＝1. 14.已知f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数， ∴0<a<1，且f(1)＝0. ∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x<1)为减函数， ∴3a－1<0，解得a<. 又∵f(x)＝是R上的减函数， ∴(3a－1)×1＋4a≥0，解得a≥， 综上可得≤a<， 即实数a的取值范围是. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围. 解　函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2. 结合图象(图略)可知 解得－5<m<－4. 故实数m的取值范围是(－5，－4). 16.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－lo(x＋1). (1)求函数f(x)在(－∞，0)上的解析式；(6分) (2)求不等式f＋f(log2(2x－1))<0的解集.(9分) 解　(1)当x<0时，－x>0， 又f(x)为R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[－x－lo(－x＋1)] ＝x＋lo(－x＋1). 所以函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为 f(x)＝x＋lo(－x＋1). (2)当x≥0时，f(x)＝x＋log2(x＋1)为增函数， 所以f(x)在R上为增函数. 由f(lox)＋f(log2(2x－1))<0得 f(log2(2x－1))<－f(lox)＝f(－lox) ＝f(log2x)， 所以log2(2x－1)<log2x， 所以所以所以<x<1， 所以不等式f＋f(log2(2x－1))<0的解集为. 17.(15分)已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a>0且a≠1)，g(x)＝. (1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标；(5分) (2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1，2)上有唯一零点.(10分) (1)解　因为函数y＝logax的图象恒过点(1，0)， 所以函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a>0且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1). (2)证明　F(x)＝f(x)－g(x) ＝loga(x＋2)－1－， 因为函数F(x)的图象过点， 所以F(2)＝， 即loga4－1－， 所以a＝2. 所以F(x)＝log2(x＋2)－－1. 所以函数F(x)在(1，2)上单调递增. 又因为F(1)＝log23－2<0， F(2)＝>0，F(1)·F(2)<0， 所以函数F(x)在(1，2)上有零点， 故函数F(x)在(1，2)上有唯一零点. 18.(17分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/km)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60 km/h，研究表明：当20<x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的解析式；(8分) (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值.(精确到1辆/h)(9分) 解　(1)由题意得，当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20<x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)， 由已知得解得 故函数v(x)的解析式为 v(x)＝ (2)由题意和(1)可得 f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)单调递增， 故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x) ＝－(x－100)2＋， 故当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值， 综上可知，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333. 即当车流密度为100辆/km时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/h. 19.(17分)设f(x)＝lo为奇函数，a为常数. (1)求a的值； (5分) (2)证明：f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；(6分) (3)若在区间[3，4]上的每一个x，不等式f(x)>＋m恒成立，求实数m的取值范围.(6分) (1)解　∵f(x)是奇函数， ∴定义域关于原点对称， 由>0，得(x－1)(1－ax)>0. 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， ∴＝－1，解得a＝－1. 经验证，a＝－1满足题意. (2)证明　由(1)可知f(x)＝lo ＝lo(x>1)， 令u(x)＝1＋(x>1)， 对任意1<x1<x2， 有u(x1)－u(x2)＝ ＝. 因为1<x1<x2， 所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 所以>0，即u(x1)－u(x2)>0. 所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减. 又因为y＝lou(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增. (3)解　f(x)>＋m在[3，4]上恒成立， 即m<f(x)－在[3，4]上恒成立， 令g(x)＝f(x)－. 由(2)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在[3，4]上单调递增. 所以g(x)min＝g(3)＝f(3)－＝－， 所以m<－， 即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $