精品解析：青海西宁二中教育集团2026-2027学年上学期高三10月阶段性检测数学试卷

西宁二中教育集团2026—2027学年第一学期 高三年级数学学科阶段性检测试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（8*5=40分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A. 10 B. 16 C. 32 D. 64 6. 已知，则（　　） A. B. － C. －或0 D. 7. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、多选题（3*6=18分） 9. 已知点，点是上的动点，若 的面积为，则点的横坐标可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是以周期为4的函数 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（3*5=15分） 12. 数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 13. 已知集合，非空集合.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____. 14. 已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 分类 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为.若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，已知，． （1）证明：为锐角三角形； （2）若的周长为10，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； （2）若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的离心率； （2）设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； （3）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2026—2027学年第一学期 高三年级数学学科阶段性检测试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（8*5=40分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算，化简复数z，再由共轭复数的概念即可求其共轭复数． 【详解】根据除法运算，化简复数z得 ， 故的共轭复数,故选D. 【点睛】本题考查了复数的化简运算，共轭复数的概念，属于基础题． 2. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为和，，由，得， ．由圆柱的侧面积相等，得，即． ． 3. 等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，且，． 4. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据偶次根式有意义求出集合，根据对数函数的单调性求解集合，再根据集合的交并补运算即可. 【详解】由偶次根式有意义，得，即，解得. 所以. 由，得，所以. 又，所以. 所以. 5. 甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A. 10 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先把甲乙捆绑，丙丁捆绑，再把站队分成三步完成，第一步：第一排甲乙必须站在一起；第二步：丙丁必须站在一起；第三步：剩下2人全排列.三步方法数相乘即可. 【详解】第一排甲乙站一起有两种可能，同理第二排丙丁站一起也有两种可能， 甲乙和丙丁内部顺序分别为：，，其他人直接全排列， 所以有种． 6. 已知，则（　　） A. B. － C. －或0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简可得或，再求即可． 【详解】， 即， 或， 当时， ，时，， 当时， ， 解得，又，故符合， 综上，或． 7. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的图像与性质，结合基本不等式，即可求得最值. 【详解】由题知，的定义域为， 分别令，如图，两函数均在内单调递增， 因为当时，，当时，， 当时，，所以要使恒成立， 则与的符号相同， 所以，即， 所以(当且仅当时，等号成立)， 所以的最小值为. 故选：D 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 二、多选题（3*6=18分） 9. 已知点，点是上的动点，若 的面积为，则点的横坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先确定直线的方程，然后根据 的面积为确定点到直线的距离，从而在，上，最后求这两条直线与圆的交点横坐标即为点的横坐标． 【详解】因为点，所以直线的方程为：，， 又因为 的面积为，所以点到直线的距离为， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 则，解得：或， 所以点在直线，上， 联立解得：或 联立解得： 综上可得点的横坐标可能为：，，． 10. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断. 【详解】设公比为，，则 ， 两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确. ，因此公差 ，因此，选项A错误. ，指数函数增长速度远快于一次函数， 当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确. 则， 所以 ， 因此，选项D正确. 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是以周期为4的函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义可判断AB，利用赋值法结合对数运算判断C，根据周期性判断D. 【详解】由为奇函数得， 即，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 因为为偶函数得， 用替换可得， 在中将替换为，得， 进而有，则， 所以的周期为4，故B正确； 在中令可得，所以， ，，由， 即，解得，进而，所以当时，， 且， 所以，其中，所以， 所以. 在中令可得，又， 所以， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（3*5=15分） 12. 数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】累加法求数列通项公式，利用数列性质分析即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ， 累加得：， 又，所以， 当时，满足，， 所以数列的通项公式为：， 因为，所以随着的增大，逐渐减小，逐渐增大， 所以为递增的数列，且， 所以任意有恒成立，则有，故的取值范围是. 13. 已知集合，非空集合.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____. 【答案】或 【解析】 【分析】先求得或，由题意可得是的真子集，结合，列出不等式组求解即可. 【详解】不等式的解集为或， 所以或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 因为， 所以或， 解得或. 故实数的取值范围是或. 14. 已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 【答案】. 【解析】 【分析】方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题（共77分） 15. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 分类 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为.若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 2×2列联表如下： 分类 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，可以推断该校学生报名参加答题活动与性别有关. （2） X的分布列为： 1 2 3 4 数学期望. 【解析】 【小问1详解】 由，得愿意报名参加答题活动的人数为，不愿报名的人数为. 由，得愿意报名中男生人数为，愿意报名中女生人数为. 又男生共100人，女生共100人，故不愿报名中男生为人，不愿报名中女生为人. 补全列联表如下： 分类 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 假设：该校学生报名参加答题活动与性别无关. 由，其中，，，，，代入得： . 因为，所以拒绝，能推断该校学生报名参加答题活动与性别有关. 【小问2详解】 由题意，每道题答对概率为，答错概率为，各题答题结果相互独立. 一旦答对则停止答题，最多答道题，故的可能取值为1,2,3,4. ； ； ； （前道题全错，无论第道题对错均已答完道）. 的分布列为： . 16. 在中，已知，． （1）证明：为锐角三角形； （2）若的周长为10，求的面积． 【答案】（1）证明：由正弦定理得，， 又，所以. 又，则， 则，又且， 所以. 由余弦定理得， 所以. 由正弦定理有，， ，又，所以，所以， 所以为锐角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得和正弦定理边角互化求得，再结合三角形内角和证明； （2）由正弦定理求三边比例，结合周长求边长，再代入面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 又，所以， 则. 又，可得：， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）方法一：底面，平面，． 又∵四边形为正方形，． 又，，平面，平面． 平面，． ，为线段的中点，． 又，，平面，平面． 平面，． 方法二：底面，，平面，，． 又∵四边形为正方形，． 又，，平面，平面． 平面，． 当点与点重合时，在中，，为线段的中点， ，即． 当点与点不重合时，设，． 在等腰直角三角形中，； 在中，； 在中，． ，． 综上，． （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：由线面垂直判定定理证得平面，即可证明；方法二：先由线面垂直判定定理证得，再分点与点重合和点与点不重合两种情况讨论证明. （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用公式求二面角的余弦值；方法二：利用几何法得到二面角的平面角再在三角形中求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：底面，，平面， ，． ∵四边形是正方形，，，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设．，为线段的中点，为线段的中点， ，，，，，， ，，． 底面，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则即 令，则，，． 由题意知，二面角的平面角为锐角． 设二面角的大小为， 则， 即二面角的余弦值为． 方法二：如图，取的中点，连接，过点作于点，连接． 为线段的中点，为的中位线，． 底面，底面． ，平面，，． ，，，平面，平面． 平面，． 即为二面角的平面角． 设，则，． 由，得，即，解得． 在中，， ， 即二面角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； （2）若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 【答案】（1）①；② 单调递减区间是，单调递增区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数 ，利用导数求出最小值范围，进而求出整数的最大值. 【小问1详解】 ① 当时，函数定义域为，求导得， 则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 依题意，，不等式 恒成立， 令 ，求导得， 令 ，求导得 ，函数在上单调递增， 而 ，则存在，使得， 即， 当时，，即；当时，，即， 函数在 上单调递减，在上单调递增， ， 因此，而， 令，由，得， 由对勾函数性质得 在单调递减， 则，所以整数的最大值为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的离心率； （2）设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； （3）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且， 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到， 则，， . 所以当点T的坐标为时，为定值. 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程得到的值即可求离心率； （2）设， 由，得到，联立椭圆方程，即可求解点坐标； （3）先假设存在定点，由直线AB的斜率为0时，，直线AB的斜率不存在时，，则，得到，且，设直线AB的方程为，联立方程组利用韦达定理，再判断当点T的坐标为， 即可. 【小问1详解】 由椭圆，得到，即 所以 所以. 【小问2详解】 由题可得焦点， 设，则， 由，即 化简得到， 联立椭圆方程，消元得到， 因为，所以，代入，由解得， 所以 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $