精品解析：江苏省扬州市仪征市2026-2027学年度第一学期高二学情调研测试数学试题

2026-2027学年第一学期高二期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与相互垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 0 C. 3或0 D. 4. 已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 已知的顶点为，，，则的垂心坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 方程表示的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 是纯虚数 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的短轴长为4 B. 若，则 C. 存在点，使得 D. 面积的最大值为12 11. 在中，，，的内心，的外心为，则下列说法正确的是（ ） A. 的内切圆的半径为2 B. 的外接圆的方程为 C. 已知点是直线上任意一点，过作的外接圆的切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为 D. 已知点是直线上任意一点，过作的内切圆的切线，切点分别为，，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为________________________． 13. 已知复数满足，复数满足，则的最大值为________________________． 14. 已知定点，为椭圆上一动点，满足当取得最小值时点恰为椭圆的下顶点，则实数的取值范围为________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为（为虚数单位，）． （1）若点关于虚轴对称，求的值； （2）若为实数，求的值． 16. 已知的三个顶点为，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求的面积； （3）求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 17. 在平面直角坐标系中，点，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，，已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 19. 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知复数z满足， 则， 故的虚部为． 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程转化为斜截式，再根据直线的斜率求出倾斜角； 【详解】解：因为，所以，则直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以 故选：D 3. 已知直线与相互垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 0 C. 3或0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线与相互垂直， 所以，即，解得或． 4. 已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】曲线表示椭圆，可得，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 5. 已知的顶点为，，，则的垂心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出边AB上的高和边AC上的高所在直线的方程，联立解二元一次方程组，所得解即为垂心的坐标. 【详解】因为直线AB的斜率为，由两直线垂直斜率乘积为−1，得高线斜率为1， 所以边AB上的高所在直线的方程为，即． 因为直线AC的斜率为，由两直线垂直斜率乘积为−1，得高线斜率为3， 所以边AC上的高所在直线的方程为，即． 由解得故垂心的坐标为． 6. 若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间距离公式的几何意义将目标式的最小值转化为求.利用将军饮马结论求出点关于直线的对称点的坐标，即可求得最小值. 【详解】依题意，是点到点的距离，是点到点的距离， 则的最小值为. 如图，设点关于直线的对称点为，连接交直线于点， 则，由将军饮马结论，可知. 因直线是线段的垂直平分线， 则，解得，即， 故. 即的最小值为. 7. 方程表示的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原方程变形后分和两种情况转化为圆的方程，分别计算两段符合条件的弧长后求和. 【详解】由解得， 将方程两边平方得， 当时，方程变为，整理得， 其圆心为，半径； 当时，方程变为，整理得， 其圆心为，半径； 在方程中令，则， 解得或，则曲线交轴于. 连结，则， 因此，所以每段圆弧的长度为，所以曲线的长度为. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，由已知可得，可得为的中点，进而得，由，可得，利用勾股定理即可得出． 【详解】如图，过作于， 因为，所以，为的中点， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以，即， 所以， 所以， 在中，， 在中，， 所以， 化简整理得， 所以，解得或， 又，所以，所以椭圆C的离心率为. . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 是纯虚数 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，可知，所以，所以选项A错误； 对于选项B，，在复平面内对应的点为，所以选项B正确； 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，，所以选项D正确. 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的短轴长为4 B. 若，则 C. 存在点，使得 D. 面积的最大值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，定义以及相关性质，结合余弦定理，三角形面积公式逐一计算判断即可. 【详解】对于A，由可得椭圆焦点在轴上，且， 其短轴长为，故A错误； 对于B，由椭圆的定义，得， 则， 因为，则，故B正确； 对于C，由椭圆的性质，可知当点与短轴顶点（不妨取点）重合时，最大为， 在中，， 由余弦定理得，则为锐角， 故不存在点，使得，故C错误； 对于D，因的边的长度为定值6，故要使其面积最大，只需使该边上的高最长， 显然当点与短轴顶点重合时，高最长，故面积的最大值为，故D正确. 11. 在中，，，的内心，的外心为，则下列说法正确的是（ ） A. 的内切圆的半径为2 B. 的外接圆的方程为 C. 已知点是直线上任意一点，过作的外接圆的切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为 D. 已知点是直线上任意一点，过作的内切圆的切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，根据内切圆性质与点到直线的距离公式即可求解; 对于B选项，通过讨论求解两直线方程，进而求解得到点坐标，结合圆的一般方程即可求解； 对于C选项，根据圆的切线性质与勾股定理即可求解； 对于D选项，通过两圆的公共弦方程，即可求解直线所过定点. 【详解】对于A选项，设过点，的直线的方程为， 因此有，解得，， 故直线方程为， 根据点到直线的距离公式内切圆半径，故A选项错误； 对于B选项，当直线的斜率存在时设直线的方程为， 根据内切圆半径有，解得或， 因为时，直线与直线重合，故不满足条件，因此， 此时直线的方程为， 当直线的斜率不存在时，不满足内切圆的条件，故舍去. 同理当直线的斜率存在时，设直线的方程为 根据内切圆半径有， 解得，此时直线与直线重合，故不满足条件， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件. 因此两直线交点即为点坐标，即. 设外接圆的一般方程为， 代入三角形三点坐标，， 解得，，， 故B选项正确. 对于C选项，设四边形的面积为，设外接圆半径为， 根据勾股定理，易知，当最小时，最小， ， 而根据外接圆的方程可知，外接圆的圆心为，半径为， 因此， ，则， 故，故C选项正确. 对于D选项，由题意得，设点，因此，两点的中点坐标为， 因为，，因此，两点在以为直径的圆上， 此圆的半径为， 设该圆圆心为，则圆的标准方程为， 因为线段为圆与三角形内切圆的公共弦， 因此两圆的方程相减得， 对于，解得直线过定点， 故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为________________________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，最后代入弦长公式即可求得. 【详解】由得：圆心，半径， 则圆心到直线的距离为：， 所以弦长为. 13. 已知复数满足，复数满足，则的最大值为________________________． 【答案】18 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，把复数对应为复平面上的动点，两动点距离的最大值即为圆心距与两圆的半径之和. 【详解】因为，说明在复平面上是以为圆心，半径的圆上； ，说明是以为圆心，半径的圆上，则就是两圆上两点之间的距离. 圆心距为， 则两圆上点距离最大值为，即的最大值为18. 14. 已知定点，为椭圆上一动点，满足当取得最小值时点恰为椭圆的下顶点，则实数的取值范围为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设点是椭圆上的一动点，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设椭圆上的动点，可得，且， 则， 令， 可得函数的图象开口向上，且对称轴的方程为， 要使得取得最小值时点恰为椭圆的下顶点， 即函数在时取得最小值，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为（为虚数单位，）． （1）若点关于虚轴对称，求的值； （2）若为实数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出两点的坐标，然后根据对称关系可求出的值，从而可求得答案； （2）先计算，然后由其为实数可得，进而可求得结果. 【详解】（1）由题意有，， 因为点关于虚轴对称，所以，， 所以； （2）， 因为为实数，所以， 所以． 16. 已知的三个顶点为，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求的面积； （3）求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）记的中点为，利用中点坐标公式求得的坐标，进而利用点斜式可求得边上的中线所在直线方程； （2）利用两点间的距离求得，再利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，进而可求得的面积； （3）先设点的坐标为，再利用，列式计算求解即可. 【小问1详解】 记的中点为，则的坐标为， 所以直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即． 【小问2详解】 因为 所以直线的方程为，即， 因为， 点到直线的距离， 所以的面积为． 【小问3详解】 设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，即， 所以，，即. 故当为时，四边形为平行四边形． 17. 在平面直角坐标系中，点，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）因为，，由两点距离公式列出方程后化简即可求得轨迹的方程； （2）由点斜式设出直线的方程，因为与相切，且的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线的方程，再考虑直线的斜率不存在即可. 【小问1详解】 因为，由，得， 化简得，即， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，轨迹表示圆心为，半径为2的圆， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时圆心到直线的距离，等于圆的半径， 故直线与相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 于是圆心到的距离等于半径2， 即，解得， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，，已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到标准方程；（2）①设出的坐标，联立直线与椭圆方程，再结合韦达定理代入计算，即可求得；②由弦长公式以及点到直线的距离公式表示出三角形的面积，再由基本不等式即可求得其最大值以及直线的方程. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则． 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以 ，所以，， 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 ①设，，联立， 消去得， ，化简得， 所以，， 又的斜率，的斜率， 所以，化简得 ， 所以．又因为，即，又，所以 ②由①得，直线的方程为，且，， 又，所以．所以 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时， 的面积最大，所以，直线的方程为 19. 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）可知，，设，则 ，由题意知，直线的方程为， 令，得，所以， 由，得直线BP的方程为， 令，得，所以， 所以 所以为定值； （3）证明：设直线的方程为，，， 已知，联立，得， ，即， 所以，． 所以 ， 所以， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意． 所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立根据韦达定理得出，，再由建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【小问1详解】 由已知得圆的半径， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $