精品解析：江苏省扬州市仪征市精诚高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中调研数学试题

2025-2026年度第一学期期中调研试题 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 2. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. 或4 C. 6 D. 4 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 已知的三个顶点分别为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 与圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（ ） A. B. C. D. 8. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ） A. 7 B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 10. 已知不相等的复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则且 11. 过双曲线的右焦点的动直线为，则下列说法正确的是（ ） A. 动直线与双曲线最多有4个交点 B. 动直线与双曲线最少有1个交点 C. 存在动直线与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点 D. 存在动直线与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 圆与圆的位置关系为_____. 13. 已知复数且，若满足，则的取值范围为__________. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 17. 将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. （1）求曲线的方程； （2）若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 18. 已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. （1）求双曲线的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 19. 已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. （1）求圆的方程； （2）若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，若，求实数的取值范围； （3）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第一学期期中调研试题 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角. 【详解】因为，即，所以斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：D. 2. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. 或4 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念求的值. 【详解】由或， 由或. 因为复数是纯虚数，所以. 故选：D 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 4. 已知的三个顶点分别为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求点到直线的距离，即可求的面积. 【详解】易得，，直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为：. 所以的面积为：. 故选：B 5. 与圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求圆的圆心和半径，再求圆心关于直线的对称点，即可求得对称圆的方程. 【详解】圆：， 所以圆心为. 设关于直线的对称点为， 则. 故所求圆的方程为：. 故选：A 6. 双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长，所以双曲线方程为：. 故选：D 7. 已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【详解】将代入椭圆方程， 得：或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 8. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求椭圆上的点到点的最大距离，再加上即为所求. 【详解】设，则，代入到椭圆方程， 可得，整理得：. 由，所以. 即椭圆上的点到点的最大距离为. 所以圆上的点与椭圆的点的距离的最大值为. 故选：D 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 10. 已知不相等的复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则且 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则判断AB的真假；通过特例判断CD的真假. 【详解】设，. 对B：因为， 所以， 所以或，即或， 也就是或，故B正确； 对A：因为，所以或， 又因为，所以，所以，故A正确; 当，时，满足，但，，所以，故C不成立； 此时，满足，但不满足且，故D错误. 故选：AB 11. 过双曲线的右焦点的动直线为，则下列说法正确的是（ ） A. 动直线与双曲线最多有4个交点 B. 动直线与双曲线最少有1个交点 C. 存在动直线与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点 D. 存在动直线与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】数形结合，可直接判断各选项的正确性. 【详解】如图： 过右焦点的直线与双曲线最多有两个交点，故A错误； 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，且交点个数最少，只有1个，故BD正确； 过右焦点的直线不可能与双曲线相切，故C错误. 故选：BD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 圆与圆的位置关系为_____. 【答案】外切 【解析】 【分析】 根据两圆的方程，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由圆和圆， 可得两圆的圆心分别为，半径分别为， 所以，所以两圆相外切. 故答案为：外切. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及两圆的位置关系的判定，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 13. 已知复数且，若满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角不等式可求的取值范围. 【详解】因为，所以. 因为. 故答案为： 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 设则，可得，再结合 即可求得范围. 【详解】设，，， 则， 若存在点使三角形的面积为， 则，可得， 因为，所以， 即，可得， 整理可得：， 所以，解得：， 所以， 所以椭圆的离心率的取值范围是：， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是，设利用焦点三角形的面积公式表示出. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 16. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 17. 将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. （1）求曲线的方程； （2）若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】（1） （2）为定值 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【小问1详解】 设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以. 即曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图： 设，则，且，， 所以. 所以直线与直线斜率乘积为定值. 18. 已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. （1）求双曲线的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）为定值 【解析】 【分析】（1）根据条件，列式求的值，可得双曲线的标准方程. （2）中点弦的问题，可用“点差法”求解. （3）设直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理，表示出，，再结合，探索的值. 【小问1详解】 由题意可得：. 所以双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 设，， 则， 两式相减得：， 又线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； 【小问3详解】 如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又，， 所以 ，为定值. 19. 已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. （1）求圆的方程； （2）若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，若，求实数的取值范围； （3）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？ 【答案】（1）； （2）； （3）存在. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系求圆的方程. （2）先求的长度，转化为点到直线的距离的取值范围求的取值范围. （3）设直线：，与圆的方程联立，消去，利用韦达定理得到，，再利用恒成立，可求点坐标. 【小问1详解】 设圆心，， 由或（舍去）， 故圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 因为与圆相切，且， 所以在直角中，，，所以 所以问题转化为点到直线的距离不大于 由. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 如图： 若直线存在斜率，设直线：， 将直线方程与圆方程联立，得，消去，整理得. 设，，则， 假设存在点（）使得轴平分，则对恒成立， 所以， 所以对恒成立，则，故 若直线斜率不存在，则均在轴上，也可以认为轴平分 综上，在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $