精品解析：江西南昌市青山湖区南昌大学附属学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期中期阶段性练习 八年级（初二）数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将其代码填涂在答题卡相应位置，错选、多选或未选均不得分． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 6，7，12 C. 6，8，15 D. 4，4，9 【答案】B 【解析】 【分析】选取各选项中较短的两条线段求和，与最长线段比较大小，逐一判断． 【详解】解：A. ，C. ，D. ，均不能组成三角形，不符合题意； B. ，能组成三角形，符合题意． 3. 一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】结合最小内角度数与三角形内角和，推导最大内角的取值范围，判断三角形类型； 【详解】解：∵最小的角是，且三个内角度数各不相等， ∴另外两个内角均大于， ∴最大内角， ∵， ∴该三角形三个内角均为锐角，是锐角三角形． 4. 如图，，点在内，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，得到，再用减去，求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ． 5. 如图，在中，和的外角平分线交于点O，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和定理，得到，进而得到，再根据角平分线定义，得到，最后由三角形的内角和即可得到的度数． 【详解】解：, ， ，， ， 和的外角平分线交于点O， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，熟练掌握三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键． 6. 如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由三线合一定理和三角形的面积公式求出的长，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵等腰三角形的底边的长为4，D为底边的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积为12， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交于点E，F， ∴， ∴的周长， ∴当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，最小值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 空调外机支架一般会采用如图所示的方法固定，其利用的数学原理是三角形的__________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：根据题意得，其利用的数学原理是三角形的稳定性． 8. 在中，，，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】已知直角三角形的直角和两个锐角的度数比，利用三角形内角和定理计算即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，，，那么与全等的理由是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 10. 已知，，，则__________度． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ， ． 11. 如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为4，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分面积进行计算即可． 【详解】解：分别为的中线， ， ， 是的中线， ， ， ∵的面积为4， ． 12. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”．在中，，点P为直线上一点，若为“反直角三角形”，且，则的度数为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，然后分四种情况进行讨论，利用三角形的内角和定理以及三角形外角定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴． ①如图所示，当时， 又∵， 解得， ∴； ②如图所示，当时， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ③如图所示，当时， ∴， ∴， ∴； ④如图所示，当时， 又∵， 解得， ∴； 综上，的度数为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 在中，，求各内角的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】设，则，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则，根据三角形内角和可得： ， 解得：， ∴，． 14. 已知：如图，在中，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，． 求证：． 证明：平分（已知）， （ ）①． 是的外角（已知）， ②（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． （ ）③， ， 即（ ）④． （ ）⑤． （ ）⑥． 【答案】角平分线的定义；；已知；等式性质；等量代换；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】已知平分，得到，利用三角形外角性质得到，结合条件可推出，通过等量代换得到，这一组同位角相等，即可判定． 【详解】略 15. 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）根据，可得，由、可求出，再根据，即可求解． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16. 只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） （1）图①中，在上找一点，使点到和的距离相等． （2）图②中，，在上找一点，使得平分． 【答案】（1）如图点Q即为所求． （2）如图点D即为所求． 【解析】 【分析】（1）角平分线上的点到角两边距离相等，因此只需作出的平分线，它与的交点即为点Q； （2）由延长至点使，连接得到等腰，取的中点为，利用三线合一得到是等腰的角平分线，故与的交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 十九中趣味数学社的同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）证明：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，进而得到，根据证明即可； （2）根据题意及全等三角形的性质作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图中可得两堵木墙分别由3块、7块小木块垒成． ∴，， ∵， ∴，， ∴， 答：两堵木墙之间的距离为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出底边长度，结合中线定义得到为的一半算出线段长即可； （2）利用三角形内角和为，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可． 【小问1详解】 解：为边上的高，，的面积为， ， ， 为边上的中线， 点为的中点， ； 【小问2详解】 解：∵，为边上的高， ∴， ∴ 为的角平分线， ， ∵， ． ， ∵， ∴． 19. 如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． （1）若，，求的长； （2）求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】（1） （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 20. 【阅读理解】 （1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：延长至点，使，连接．在中，利用三角形的三边关系可得的取值范围是_________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长至点M，使，连接， 同（1）得， ∴． ∵， ． 在中，由三角形的三边关系，得，​​​​​​​ ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，再根据求出结论即可； （2）延长至点M，使，连接，同（1）证明得出，再根据得出结论． 【小问1详解】 解：是边上的中线， ． 在和中， ， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ，即， ； 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． （1）当，时，直接写出的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1） （2） ， 理由如下：因为，， 所以． 因为，所以． 因为，，所以是等边三角形， 所以， 所以， ， 所以，， 所以，． 因为D是边的中点，所以， 所以，在中，由知， 所以，． （3） ， 证明：如图，以为边在的右侧作等边三角形，连接， 延长至点F，使，连接． ∴，． ∵，， ∴是等边三角形． ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∵D是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，（即）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而得到，再由即可求解； （2）由题可知是等边三角形，进而得到，然后根据直角三角形中所对的边等于斜边一半即可求解； （3）以为边在的右侧作等边三角形，连接，延长至点F，使，连接，可得是等边三角形，再证、、，利用全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期中期阶段性练习 八年级（初二）数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将其代码填涂在答题卡相应位置，错选、多选或未选均不得分． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 6，7，12 C. 6，8，15 D. 4，4，9 3. 一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 4. 如图，，点在内，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，和的外角平分线交于点O，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 空调外机支架一般会采用如图所示的方法固定，其利用的数学原理是三角形的__________． 8. 在中，，，则______． 9. 如图，，，那么与全等的理由是_________ 10. 已知，，，则__________度． 11. 如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为4，则的面积为______． 12. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”．在中，，点P为直线上一点，若为“反直角三角形”，且，则的度数为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 在中，，求各内角的度数． 14. 已知：如图，在中，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，． 求证：． 证明：平分（已知）， （ ）①． 是的外角（已知）， ②（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． （ ）③， ， 即（ ）④． （ ）⑤． （ ）⑥． 15. 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 16. 只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） （1）图①中，在上找一点，使点到和的距离相等． （2）图②中，，在上找一点，使得平分． 17. 十九中趣味数学社的同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，求的度数． 19. 如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． （1）若，，求的长； （2）求证：所在直线是线段的垂直平分线． 20. 【阅读理解】 （1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：延长至点，使，连接．在中，利用三角形的三边关系可得的取值范围是_________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接．求证：． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． （1）当，时，直接写出的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $