专题05 正多边形与圆7大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题05 正多边形与圆7大题型 常考题型·精准突破 考点一 正多边形与圆 题型1 求正多边形的中心角 题型2 已知正多边形的中心角求边数 题型3 正多边形和圆的综合 题型4 尺规作图——正多边形 题型5 正多边形的实际问题 题型6 正多边形的面积问题 题型7 正多边形与圆的综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 正多边形与圆 ◆题型1 求正多边形的中心角 1．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的对角线平分对角的性质，即可求解． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． 2．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 【答案】 【分析】构造正八边形的外接圆，求出所对的圆心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图，取中点O，以点O为圆心作正八边形的外接圆， 则正八边形的各顶点都在圆O上， 连接、、， ∵正八边形的中心角为， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． ◆题型2 已知正多边形的中心角求边数 5．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 6．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 7．（2026·广东中山·二模）如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 8．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接，可得，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ∴这个正多边形的边数为． ◆题型3 正多边形和圆的综合 9．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由的周长等于，可得的半径，再求得正六边形的中心角，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵的周长等于， ∴的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长为6． 10．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【答案】(1) (2)正六边形的周长为18cm，面积为 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【详解】（1）解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 12．（26-27九年级下·全国·期末）如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结，，可得是等边三角形，，即可求解． （2）连结，根据M是的中点，利用等边三角形三线合一，求出的长度，再根据，得出，进一步得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结，． ∵六边形是正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为； （2）解：如图，连结， ∵M是的中点，， ∴，， ∴．                     ∵， ∴． ∴， ∴． ◆题型4 尺规作图——正多边形 13．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形． 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： 甲组方案 乙组方案 ①确定正方形的中心； ②分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与各边相交于点，，，，，，，； ③顺次连接点，，，，，，，，得八边形（如图2） ①连接、交于点； ②作的平分线交于点，延长交于点； ③作的平分线交于点，延长交于点； ④以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，； ⑤顺次连接点，，，，，，，，得八边形 (1)请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图． (2)【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形中，是边上的一点．用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提示画图即可； （2）连接、交于点，连接并延长交于点G，作的垂直平分线，分别交，于点H，F，顺次连接，，，，则四边形是菱形；根据矩形的性质可得，根据作图可得可得四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形，如图①所示． (1)若正方形的边长为a，则正八边形的边长是多少? (2)如图②，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形的八个顶点均在正方形四条边上）? (3)如图③，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上）? 【答案】(1) (2)如图，即为所求． (3)如图，即为所求． 【分析】（1）由是正八边形和四边形是正方形，可得，，，四个三角形均为等腰直角三角形，设，则，再由，即可求解； （2）连接，交于点，分别以，，，为圆心，，，，为半径画弧，分别交正方形的边于点，则即为所求； （3）连接，交于点，作，的垂直平分线，分别交正方形的边于点，再以为圆心，为半径作圆，分别交，于点，则即为所求． 【详解】（1）解：∵是正八边形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，，四个三角形均为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ， ， ， ∴正八边形的边长为． （2）略 （3）略 15．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知四边形是正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）    (1)如图①，在正方形中，点，分别在边，上，且，请在边，上分别确定点，，使四边形为矩形； (2)如图②，对角线，相交于点，，，，分别是对角线，上的点，且是内嵌于正方形的正八边形的四个顶点，请作出完整的正八边形． 【答案】(1)如图所示，矩形即为所求 (2)如图所示，正八边形即为所求 【分析】（1）连结对角线、交于点，连并延长交于点，连并延长交于点； （2）连、交于点，连、交于点，直线与、的交点即为、的中点；同理作出、的中点，顺次连结即可． 【详解】（1）解：连结、交于点，连并延长交于点，连并延长交于点． 理由：∵平分，，， ∴(， ∴． ∵是正方形的中心，、、共线，在上， ∴点是点关于点的对称点，；同理． ∴，且与互相平分， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． （2）解：连、交于点，连、交于点，作直线，分别交、于点、；连、交于点，连、交于点，作直线，分别交、于点、；顺次连结、、、、、、、，正八边形即为所求． 理由：正方形与点、、、构成的图形关于过点且平行于的直线成轴对称，其中与、与、与、与均为对称点， ∴直线与直线关于该对称轴对称，∴交点在对称轴上；同理也在该对称轴上， ∴直线就是过点且平行于的对称轴， ∴、分别落在、上，且由与、与关于对称轴对称得，，即、分别是、的中点； 同理，直线是过点且平行于的对称轴，、分别是、的中点． ∵点、、、是内嵌正八边形的四个顶点，∴，且相邻两条连线（如与）的夹角均为， ∴，八个顶点均匀分布，顺次连结即得内嵌正八边形． 【点睛】本题考查正方形的性质与无刻度直尺作图：第（1）问利用中心对称构造对角线互相平分、再由得对角线相等，从而判定矩形；第（2）问利用对称轴上的点到对称点距离相等，先作出四条边的中点，再结合对称性补全正八边形． 16．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在正五边形中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一条与边平行的线段． (2)在图2中作出线段，使得． 【答案】(1) 解：如图所示， 即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求， 【分析】（1）连接即为所求； （2）延长交于点，连接交于点，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型5 正多边形的实际问题 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 【答案】 【分析】如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，图②所示的是其部分示意图．已知司南中心为圆形，圆心为，根据八个方位将圆形八等分（图②中点）且顺次连接点构成正八边形，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由图及其对称性可知为的直径，，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵八边形是正八边形， ∴由图及其对称性可知为的直径，， ． 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 20．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解内切圆的面积，容易判断黑色部分的面积是内切圆的一半，从而求出黑色部分的面积． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴内切圆的直径为， ∴内切圆的面积为， 根据题意可知，黑色部分的面积是内切圆的一半， ∴黑色部分的面积为． ◆题型6 正多边形的面积问题 21．（2026·江苏苏州·二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 【答案】 【分析】先连接，作，设，则，再说明是等边三角形，然后求出，即可得外切正六边形的面积是，进而得出内接正六边形的面积，最后求出比即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作， 设，则， 根据题意可得，则是等边三角形， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得， ∴， ∴外切正六边形的面积是； 同理可得， 则内接正六边形的面积是， 所以的内接正六边形与外切的正六边形得面积比是． 22．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 23．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3， ∴正方形边长为6， 根据勾股定理，正方形对角线长度为： ， ∴正方形的外接圆半径为：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键． 24．（2026·山东菏泽·一模）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形内角公式求出的度数，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴． ◆题型7 正多边形与圆的综合 25．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，六边形是的内接正六边形． (1)求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分； (2)设的面积为，六边形的面积为，求的值（结果保留）． 【答案】(1)证明：如图，连接，，． 六边形是的内接正六边形， ， ， ， 过顶点的三条对角线四等分． (2) 【分析】（1）如图，连接，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论； （2）如图，过O作于G，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，连接． 设的半径为， ，， 是边长为的等边三角形， 六边形的周长． 在中，，， 由勾股定理，得， 正六边形的面积． 的面积， ． 26．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 【答案】 【分析】连接、、、、、、、，从而计算出各段弧所对应的圆心角，再结合弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， ∵正五边形和正方形内接于， ∴，， ∴，，，，，， ∴最长劣弧所对的圆心角为， 则最长劣弧的弧长为． 27．（2026·河北唐山·模拟预测）将一个正六边形和一个正八边形按如图所示方式拼在一起，，，，为顶点，连接交正六边形一边于点，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】设正六边形和正八边形的中心分别为，延长，交于点，则，根据正多边形的内角和，求出正六边形，正八边形的内角，根据等腰三角形的判定，可得是等腰直角三角形，求出，利用解直角三角形，求出，得到是角平分线，利用角平分线的性质，可得，根据勾股定理，求出，推出，根据，解出，即可． 【详解】解：如图，设正六边形和正八边形的中心分别为，是正六边形和正八边形的边， ∴， ∵正六边形的内角和为：， ∴； ∵， ∴， 延长，交于点，则， ∵正八边形的内角和为：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； ∵， ∴， ∵ ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 28．（2026·山西晋中·二模）下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 °， °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ，于是得到了新的作图方案． 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 °； ②= °，= °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ；（用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①；②，；③，， (2)如图所示，边即为所求． 【分析】（）①根据正多边形单个内角度数公式，进而得出正八边形的内角度数． ②根据题意得出，，，，作出辅助线得出，，从而得出． ③利用②的结论得出，，进而得出，再得出，进而得出，进而得出，，再利用勾股定理得出． （）利用（）得出的画图． 【详解】（1）①∵正边形单个内角度数公式为：（其中）， ∴代入可得，正八边形每个内角为． ②∵正方形和正八边形的中心重合为点， ∴，， ，． 如图，过点作于 ∴， ， ∴． ③由②知，，，． ∴，， ∴， ∴， ∵八边形是正八边形，内角为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴正方形的边长为， ∵（勾股定理）， ∴， ∴， ∴． 综上，正方形的边长为，． （2）利用（）得出的画图． 如图，连接，相交于点．以点为圆心，为半径画弧交于点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，则为正八边形的边． 【点睛】本题考查正多边形内角与中心角公式、正方形几何性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、尺规作图原理等知识点；解题用到数形结合、中心对称思想，关键是依托共中心的图形关系推导边角等量、利用等腰直角三角形边长比例代换线段． 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·青海西宁·二模）正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 【答案】C 【分析】根据正多边形中心角、内角、边心距、半径的定义并结合边长为2逐项判断即可． 【详解】解：A．∵ 正边形中心角和为，正六边形， ∴中心角为，故选项A正确； B．∵ 边形内角和为，正六边形， ∴ 内角和为，每个内角为，故选项B正确； C、D．∵ 正六边形的外接圆半径等于边长，已知边长为， ∴ 正六边形半径为，故选项D结论正确； ∵ 边心距是正六边形中心到边的距离，边长一半为，半径为，由勾股定理得：边心距， 故选项C错误，符合题意． 2．（2026·江苏扬州·二模）用若干个全等的正五边形按如图方式拼接一圈后，中间形成的正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先求出正五边形的内角度数，进而求出中间形成的正多边形的内角度数，再根据多边形内角和公式列出方程解答即可求解． 【详解】解：正五边形的内角度数为， ∴中间形成的正多边形的内角度数为， 设中间形成的正多边形的边数为， 则， 解得， ∴中间形成的这个正多边形的边数为． 3．（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【分析】先根据正多边形中心角和为求出正多边形边数，再结合正多边形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵该正多边形的中心角为， ∴边数， ∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 4．（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 6．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 7．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 8．（2026·江苏苏州·二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 【答案】 【分析】先连接，作，设，则，再说明是等边三角形，然后求出，即可得外切正六边形的面积是，进而得出内接正六边形的面积，最后求出比即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作， 设，则， 根据题意可得，则是等边三角形， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得， ∴， ∴外切正六边形的面积是； 同理可得， 则内接正六边形的面积是， 所以的内接正六边形与外切的正六边形得面积比是． 9．（2026·陕西安康·二模）如图，等边三角形和正方形均内接于．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接、、、，作，由题意得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：连接、、、，作，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴． 10．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，以正六边形的顶点B为圆心，为半径画扇形（阴影部分），并连接． （1）与扇形所在的圆是否相切？________（填“是”或“否”）； （2）已知正六边形的边长为3，若将扇形围成一个圆锥的侧面，则其底面圆的半径为________． 【答案】 是 1 【分析】（1）由正六边形的性质得出，，由等边对等角以及三角形内角和得出，由角的和差关系得出，进一步即可得出与扇形所在的圆相切． （2）先求出扇形的弧长，进而可求出圆锥的底面圆的半径． 【详解】解：（1）∵是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵B为圆心，为半径， ∴与扇形所在的圆相切． （2）∵，， ∴扇形的弧长为：， 设圆锥的底面圆的半径为r， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴． 11．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1) 正六边形如图所示， (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 平方米． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 【详解】解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 13．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 14．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 15．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1) 是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 正多边形与圆7大题型 常考题型·精准突破 考点一 正多边形与圆 题型1 求正多边形的中心角 题型2 已知正多边形的中心角求边数 题型3 正多边形和圆的综合 题型4 尺规作图——正多边形 题型5 正多边形的实际问题 题型6 正多边形的面积问题 题型7 正多边形与圆的综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 正多边形与圆 ◆题型1 求正多边形的中心角 1．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 2．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 4．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． ◆题型2 已知正多边形的中心角求边数 5．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 6．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 7．（2026·广东中山·二模）如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 8．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 ◆题型3 正多边形和圆的综合 9．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 12．（26-27九年级下·全国·期末）如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． ◆题型4 尺规作图——正多边形 13．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形． 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： 甲组方案 乙组方案 ①确定正方形的中心； ②分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与各边相交于点，，，，，，，； ③顺次连接点，，，，，，，，得八边形（如图2） ①连接、交于点； ②作的平分线交于点，延长交于点； ③作的平分线交于点，延长交于点； ④以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，； ⑤顺次连接点，，，，，，，，得八边形 (1)请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图． (2)【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形中，是边上的一点．用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写画法） 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形，如图①所示． (1)若正方形的边长为a，则正八边形的边长是多少? (2)如图②，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形的八个顶点均在正方形四条边上）? (3)如图③，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上）? 15．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知四边形是正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）    (1)如图①，在正方形中，点，分别在边，上，且，请在边，上分别确定点，，使四边形为矩形； (2)如图②，对角线，相交于点，，，，分别是对角线，上的点，且是内嵌于正方形的正八边形的四个顶点，请作出完整的正八边形． 16．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在正五边形中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一条与边平行的线段． (2)在图2中作出线段，使得． ◆题型5 正多边形的实际问题 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，图②所示的是其部分示意图．已知司南中心为圆形，圆心为，根据八个方位将圆形八等分（图②中点）且顺次连接点构成正八边形，连接，，求的度数． 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 20．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． ◆题型6 正多边形的面积问题 21．（2026·江苏苏州·二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 22．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 23．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 24．（2026·山东菏泽·一模）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． ◆题型7 正多边形与圆的综合 25．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，六边形是的内接正六边形． (1)求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分； (2)设的面积为，六边形的面积为，求的值（结果保留）． 26．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 27．（2026·河北唐山·模拟预测）将一个正六边形和一个正八边形按如图所示方式拼在一起，，，，为顶点，连接交正六边形一边于点，若，则的长为__________． 28．（2026·山西晋中·二模）下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 °， °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ，于是得到了新的作图方案． 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 °； ②= °，= °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ；（用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·青海西宁·二模）正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 2．（2026·江苏扬州·二模）用若干个全等的正五边形按如图方式拼接一圈后，中间形成的正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 4．（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 7．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 8．（2026·江苏苏州·二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 9．（2026·陕西安康·二模）如图，等边三角形和正方形均内接于．若，则的长为_______． 10．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，以正六边形的顶点B为圆心，为半径画扇形（阴影部分），并连接． （1）与扇形所在的圆是否相切？________（填“是”或“否”）； （2）已知正六边形的边长为3，若将扇形围成一个圆锥的侧面，则其底面圆的半径为________． 11．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 13．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 14．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 15．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $