专题17 弧长与扇形面积问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题17 弧长与扇形面积问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与弧长计算有关的问题 题型二、求某点的弧形运动路径长度 题型三、求扇形、弓形面积 题型四、求其他不规则图形的面积 题型五、与圆锥计算有关的问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：求弧长、扇形面积、阴影部分面积，常涉及圆锥侧面展开、旋转扫过面积及组合图形。 - 解题方法：弧长公式l = ，扇形面积S= = lr；阴影面积用割补或旋转转化；圆锥侧面展开扇形弧长等于底面周长。 - 易错提醒：混淆弧长与扇形面积公式中的分母（180与360）；圆心角单位用弧度制代入；圆锥问题中母线长与底面半径混用；组合图形割补时重复或遗漏。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与弧长计算有关的问题 典例1 （2026·吉林长春·中考真题）如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 题型模版 1.特征：圆中弧长与圆心角、半径有关，公式 l = ，常求弧长或半径。 2.方法：先确定圆心角和半径，代入弧长公式计算；逆向则已知弧长和圆心角求半径，注意单位统一。 变式1-1（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【答案】48 【分析】根据扇形弧长公式，将已知的弧长和圆心角代入扇形弧长公式，即可计算得到扇形半径． 【详解】解：设该扇形的半径为. 解得． 变式1-2（2026·甘肃平凉·二模）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图），该邮票的形状是扇形的一部分，延长、交于点，，其“下圆弧”的长为，“直边”的长为，则单枚邮票的周长为_________（结果保留） 【答案】 【分析】利用弧长公式求得该邮票的“下圆弧”的半径，再利用弧长公式求得该邮票的“上圆弧”的长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得：， ∴该邮票的“上圆弧”的半径为， 则该邮票的“上圆弧”的长为， ∴单枚邮票的周长为：． 变式1-3（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 题型二、求某点的弧形运动路径长度 典例2 （2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 题型模版 1.特征：动点绕定点旋转，路径为圆弧，求弧长，需确定旋转半径与圆心角。 2.方法：找旋转中心与半径，确定动点转过的圆心角，代入弧长公式 l = 计算。 变式2-1（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ． 变式2-2（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，根据题意求得点从开始到结束所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 依题意， ∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是 故答案为：． 变式2-3（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 题型三、求扇形、弓形面积 典例3 （2026·江苏苏州·一模）图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 【答案】 【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的面积． 题型模版 1.特征：扇形由圆心角和半径围成，弓形由弦与弧围成，求面积需用扇形面积公式。 2.方法：扇形 S= = lr；弓形面积=扇形面积－三角形面积，作弦心距求三角形面积。 变式3-1（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：设此扇形的半径为，由题意得，圆心角，弧长， 根据弧长公式得，解得． 根据扇形面积公式． 变式3-2（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 / 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 变式3-3（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 题型四、求其他不规则图形的面积 典例4 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 题型模版 1.特征：图形由圆、扇形、三角形等组合或重叠而成，不能直接用单一公式求面积。 2.方法：用割补法、等积变换或重叠相消，将不规则图形转化为规则图形面积的和或差来计算。 变式4-1（26-27九年级·全国·暑假作业）设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【答案】 【分析】根据解答即可； 【详解】 解：在矩形中， 则， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点， ∴， ∴， ∴ ． 变式4-2（2026·河南周口·三模）如图，中，，，，以A为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点E，以B为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】求解，，利用阴影部分的面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 设，， ∴，，， ∴图中阴影部分的面积为 ． 变式4-3（2026·河南平顶山·三模）如图，在扇形AOB中，，，交于点D，过点D作于点E，若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】解直角三角形求得，根据，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． ∴ ． 题型五、与圆锥计算有关的问题 典例5 （2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 题型模版 1.特征：圆锥的侧面展开图是扇形，底面圆周长等于扇形弧长，常求侧面积或圆心角。 2.方法：利用弧长等于底面周长 2πr= ，侧面积 S=πrl，结合勾股定理求高或母线。 变式5-1（2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． 变式5-2（2026·云南昆明·二模）编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 变式5-3（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 2．（2026·新疆喀什·二模）如图，是的直径，点C是上一点，连接，，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆周角定理求出，求出半径，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则勒洛三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，勒洛三角形的三条边长相等，为圆心角为60度，半径为6的弧长，根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意，勒洛三角形的边长为， 故勒洛三角形的周长为． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 5．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【答案】B 【分析】连接，交于，证明，根据角所对直角边等于斜边的一半得出，由即可得出点与点重合，进而得出结论． 【详解】解：由题意可得，点是的中点，连接，交于， ， ， ， 中，， A，B，C依次是的四等分点， ， ， ，即点与点重合． 二、填空题 6．（2026·西藏拉萨·模拟预测）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的半径为4，圆心角为，圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】1 【分析】先求出扇形弧长，再结合圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长计算底面圆半径即可； 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 由题意得，侧面展开图扇形的半径，圆心角， 根据弧长公式可得扇形弧长：， 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为1． 7．（2026·广东广州·三模）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴的长度为：． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期末）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，牢记公式是解题的关键．根据底面周长求得底面半径，然后利用勾股定理求出母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：底面周长为， ，解得， 高度为， 母线长为， 此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 9．（2026·吉林白山·二模）在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】/ 【分析】首先求出，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 10．（25-26九年级上·河南信阳·期末）古人的很多生活器具都是由玉雕成的，能常戴在身上的唯有玉佩．繁钦诗中“美玉”是指玉做的佩，或写作“佩”．古人对玉佩的热爱不是因为玉的贵重，而是源于玉的品格，所以古语有“君子无故，玉不去身”．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知，，则该平面图形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，掌握扇形面积的计算公式． 延长和交于O，判定，推出，得到，判定是等边三角形，得到，判定是等边三角形，求出的面积，扇形的面积，即可得到则该平面图形的面积． 【详解】解：延长和交于O， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， 的面积， 扇形的面积， 则该平面图形的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 12．（2026·辽宁大连·一模）如图，四边形内接于，且是的直径，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长． 【答案】(1) 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理： （1）证明后，即可得到； （2）利用切线性质和等边对等角得，再利用特殊角的三角函数值得到的半径，最后用弧长公式即可． 【详解】（1）略 （2）解：是的切线， ，即， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 在中，， 的半径， 由（1）知，， ， 的长． 13．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 14．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、图形旋转的性质、反比例函数的解析式以及扇形面积的计算，解题的关键是确定旋转后点的坐标，并利用旋转性质将阴影面积转化为两个扇形面积的差． （1）先求出、、的坐标，再根据旋转的性质求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求； （2）阴影部分的面积等于以为圆心、为半径的扇形面积减去以为圆心、为半径的扇形面积，利用扇形面积公式计算． 【详解】（1）解：在中， 当时，，解得，故； 当时，，故 ∵点为线段的中点， ∴． 将绕点顺时针旋转得到，作，垂足为点， ∵， ∴， ∴，， 故． ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵，，旋转角为， 通过下图所示的割补法可知： ∴阴影部分的面积 ． 15．（25-26六年级下·上海普陀·期末）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）根据纸杯上下面圆的直径求出周长，纸杯展开之后即是扇形弧长，根据，即可求出． （2）根据素材二和素材三内容判断出和直径的大小，结合题意求出制作的纸杯底面圆形纸片的直径，进行对比即可发现素材一中该型号纸杯的底面是圆． 根据结论结合可以求出，再根据，即可求出新型号纸杯的侧面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是， ∴，， ∵扇形圆心角， ∴，， ∴，， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知扇形中，，，， 根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面， ∴纸杯底面圆形纸片周长， ∴纸杯底面圆形纸片直径， ∵在扇形中裁剪出最大的圆， ∴根据素材二得，圆半径， ∴圆直径， ∵在扇环中裁剪出最大的圆， ∴根据素材三得，圆直径， ∵扇环为新纸杯的侧面， ∴新纸杯底面的， ∴即新纸杯底面圆形周长为， 设新纸杯底面圆形纸片直径为， ∴， ∴， ∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯， ∴素材一中该型号纸杯的底面是圆． 解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新型号纸杯的侧面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17弧长与扇形面积问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与弧长计算有关的问题 题型二、求某点的弧形运动路径长度 题型三、求扇形、弓形面积 题型四、求其他不规则图形的面积 题型五、与圆锥计算有关的问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：求弧长、扇形面积、阴影部分面积，常涉及圆锥侧面展开、旋转扫过面积及组合图形。 解题方法：弧长公式1= 180, 扇形面积Snnr2 360 =2: 阴影面积用割补或旋转转化：圆锥侧面展开 扇形弧长等于底面周长。 -易错提醒：混淆弧长与扇形面积公式中的分母(180与360)：圆心角单位用弧度制代入；圆锥问题中母 线长与底面半径混用：组合图形割补时重复或遗漏。 题型归纳 一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与弧长计算有关的问题 典例1(2026吉林长春中考真题)如图，点A,B在⊙0上，连接OA,OB,AB.若AB=OA=6,则 AB 的长是 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：圆中弧长与圆心角、半径有关，公式1- nπr ,常求弧长或半径。 180 2方法：先确定圆心角和半径，代入弧长公式计算；逆向则已知弧长和圆心角求半径，注意单位统一。 变式1-1(2026江苏无锡·一模)已知扇形的弧长为12π，圆心角为45°，则该扇形的半径为 变式1-2(2026甘肃平凉·二模)中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表 二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图）， 2π 该邮票的形状是扇形的一部分，延长AB、DC交于点0，∠AOD=15°，其“下圆弧”BC的长为3cm, “直边”AB的长为6cm,则单枚邮票的周长为 cm(结果保留π) 变式1-3(26-27九年级上·北京·单元测试)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分， 历来中国有“制扇王国”之称.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用 时须撒开，成半规形，聚头散尾.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC夹角为150°，AB的 18cm BD 9cm DE cm 长为 的长为，则的长为 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、求某点的弧形运动路径长度 典例2(2026河南周口·模拟预测)摩天轮示意图如图所示.该摩天轮高160m(即最高点离水面平台MN 的距离)，圆心O到MN的距离约为84m,摩天轮匀速旋转一圈大约用时24min,某轿厢从点A出发， 8min 后到达点B,此过程中，该轿厢所经过的路径《即4B)长度为m,《结果保留”) Bo 题型模版 1特征：动点绕定点旋转，路径为圆弧，求弧长，需确定旋转半径与圆心角。 2.方法：找旋转中心与半径，确定动点转过的圆心角，代入弧长公式1= nπr 计算。 180 变式2-1(2026广东茂名·一模)将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置.∠B=60°， AC=2,若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB上，则点A运动路径的长度为 B B 变式2-2(25-26九年级上·浙江绍兴期末)如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2,将△ABC沿 BC △AB2C 所在直线向右翻动（不滑动）至如图 位置，则点B从开始到结束所经过的路径（虚线部分） 长度是 (结果保留π) 、B B 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-3(2026浙江杭州二模)如图，一个长为8，宽为6的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块 上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在 水平桌面'上，则木板上点A滚动所经过的路径长为 (结果保留) 130 M 题型上、求扇形、弓形面积 典例3(2026江苏苏州一模)图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形AOB的面积.已知OA=3cm, ∠AOB=150°，则该银杏叶的面积约为cm2. (结果保留π) 题型模版 1.特征：扇形由圆心角和半径围成，弓形由弦与弧围成，求面积需用扇形面积公式。 1 2方法：扇形S= hnr2 弓形面积=扇形面积一三角形面积，作弦心距求三角形面积。 360 变式3-1(2026黑龙江哈尔滨·一模)若一个扇形的圆心角为150°，弧长为5π，那么此扇形的面积为 变式3-2(2026四川自贡中考真题)“剪纸”是自贡“小三绝”之一.学校劳动实践课上，要求用半径为 2m的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为ldm,剪去空白部分，则剩下部分面积 为 dm2 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-3(2026四川成都二模)如图是6×6的小正方形网格，小正方形的边长为1，点A和B是格点（小 正方形的顶点)，连接AB,在网格中画出以AB为直径的圆，圆心为点O,点C,D是格点且在圆上， 连接CD,则图中阴影部分的面积是 题型四、求其他不规侧图形的面积 典例4(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，分别以A,B,C为圆心作半径均为2的圆， 且三个圆两两不相交，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为， B 题型模版 1特征：图形由圆、扇形、三角形等组合或重叠而成，不能直接用单一公式求面积。 2方法：用割补法、等积变换或重叠相消，将不规则图形转化为规则图形面积的和或差来计算。 变式41(26-27九年级全国暑假作业)设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形ABCD中，AB=2BC, 且AB=8m,以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F,则商标图案的面积等于 cm2 D C B 变式4-2(2026河南周口·三模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=V2,AC=V3,以A为圆心， AB的长为半径的弧交AC的延长线于点E,以B为圆心，AB的长为半径的弧交BC的延长线于点D,则 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图中阴影部分的面积为 变式43(2026河南平顶山：三模)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，AC⊥AO,OC交AB于点D, 过点D作DE⊥OB于点E,若CD=OD=1,则图中阴影部分的面积是 题型五、与圆锥计算有关的问题 典例5 (2026江苏徐州中考真题)如图，用一张半径为30cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略 不计)，若做成的圆锥形帽子的底面半径为10cm,则该扇形纸板的面积为 cm2. 30cm 题型模版 1.特征：圆锥的侧面展开图是扇形，底面圆周长等于扇形弧长，常求侧面积或圆心角。 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：利用弧长等于底面周长2加= nπl 侧面积S=πl,结合勾股定理求高或母线。 180 变式5-1(2026江苏宿迁中考真题)用半径为3，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥 底面圆的半径为 变式5-2(2026云南昆明二模)编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草 帽当锅盖”的顺口溜。某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若 这种圆锥形草帽的母线长为36cm,底面圆的半径为20cm,该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度 数是 变式5-3(2025广东梅州一模)综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带. 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为1、圆心角为°的扇形.制作圆 锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料， 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， 【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8Cm,I=&cm,C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之 间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值， 图1 图2 同压轴挑战一或克高难压轴，突破思维上保 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2026湖南邵阳模拟预测)在⊙0中，如果108°的圆心角所对的弧长是3πCm,那么⊙0的半径是 () A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 2.(2026新疆喀什·二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，连接AC,BC,已知 ∠BAC=30°BC=4mBC ,则的长为() 0 π A.3 π B.4元 C.2π D.3 3.(25-26九年级上·云南昆明期中)如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另 两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为6，则勒洛 三角形的周长为() 2π-25 B6元 C.π-V5 D.2z 4.(2026黑龙江大庆中考真题)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4,将△ABC绕点C顺时 针旋转90°后得到△DC,点经过的路径为配，点1经过的路径为D,E与D交于点F,则图中阴 影部分的面积为() 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 20m-45 A. B.8π-4V3 C.12π-4W5 28π-45 D. 5.(25-26九年级下·河北衡水阶段检测)新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且MN是圆锥底面的直 径，连接PM,PN,其中A,B,C依次是PW的四等分点.沿PM将圆锥的侧面展开后得到图2（点M 是点M的对应点)，测得该扇形的圆心角为120°.若连接MM',则点A,B,C,N中能落在线段MM'上 的是() 120° M 图1 图2 A.点A B.点B C.点C D.点N 二、填空题 6.(2026西藏拉萨·模拟预测)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的半径为4，圆心角8为 90°，圆锥的底面圆的半径为 7.(2026广东广州三模)将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量 OA=6 角器的中心◇重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若 AB 厘米，则的 长度为厘米.（结果保留π） 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40130 B 不 8.(25-26九年级上·云南昆明期末)圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意 着希望、永恒、美满与团聚.如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为20π©m,高度为 24cm,则此圆锥的侧面积为 cm2(结果保留π) AOB 9.(2026:吉林白山二模)在如图所示的扇形 中，C为 上一点，连接OC交4B AB 于点P, 0C⊥0B,若OP=2,∠A0B=120°，则阴影部分的面积为 (结果保留根号和π)· 10.(25-26九年级上河南信阳期末)古人的很多生活器具都是由玉雕成的，能常戴在身上的唯有玉佩. 繁钦诗中“美玉”是指玉做的佩，或写作“佩”，古人对玉佩的热爱不是因为玉的贵重，而是源于玉的品 格，所以古语有“君子无故，玉不去身”.现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分 (如图2)，己知AD∥BC，AD=2AB=2CD=2BC=6,则该平面图形的面积为 图1 图2 三、解答题 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26九年级上甘肃临夏阶段检测)如图，在△ABC中，∠4CB=90°，∠B=20°，以点C为圆心， CA长为半径的圆交AB于点D,连接CD,且AC=4. B (1)求AD的长： (2)求扇形ACD的面积. ABCD AD=CD 12.(2026辽宁大连一模)如图，四边形 于o0,且BD是o0 内接 的直径， 图1 图2 (1)如图1，求证： AB=BC ②如图2，连接OC,过点C作©0的切线与D的延长线相交于点B,若CE=C=V5,求B的长. 13.(2026安徽马鞍山模拟预测)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AD是⊙0的直径，∠ABC=60°， ∠ACB=50°.请解答下列问题： B A 1)∠CAD的度数： (2)若AD=6,求图中阴影部分的面积 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26九年级上河南信阳期末)如图，一次函数y=-x+4的图象分别交x轴，y轴于点A,B,点C 为线段OA的中点，连接BC,，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△ABC'. 0)若反比例函数-女x<0的图象经过点C,求北的值； (2)请直接写出在△ABC旋转过程中边AC扫过的图形（阴影部分）的面积.（结果保留兀） 15.(25-26六年级下·上海普陀期末)综合与实践一一制作纸杯（结果保留兀）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型 号纸杯的尺寸（单位：Cm)如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于60°的扇形 纸片AOD裁去扇形纸片BOC后剩余的部分. A 9 B 0 图1 【素材二】如图2， 【素材三】如图3，从扇环ABCD中裁剪得到的最大的圆的直径 从圆心角为60°的扇 是扇环的宽度AB 形中裁剪得到的最大 的圆的半径是该扇形 1 半径的3· 图3 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 人60° 图2 请根据以上三个素材，完成两个任务： 四在图1中，可得D= cm AB= cm (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片AOD,先裁剪出扇环ABCD,用于制作素材一中该型号纸杯的 侧面；接着利用余下的扇形纸片BOC,继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面 和底面，扇形纸片BOC被裁剪成三部分：扇环BEHC、扇环EFGH和扇形FOG,在扇环BEHC中裁剪出 0 0 最大的圆、在扇形 FOG 中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）， D B G ①素材一中该型号纸杯的底面是圆 (填0”或 02”) ②求新型号纸杯的侧面积. 【说明：1，纸杯各接缝处不计耗材；2.裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 13/13