专题03 圆周角9大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题03 圆周角9大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆周角 题型一、圆心角概念辨析及简单运算 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 题型四、圆周角定理 题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 题型八、已知圆内接四边形求角度 题型九、求四边形外接圆的直径 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆周角 ◆题型一、圆心角概念辨析及简单运算 1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． ◆题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 4．（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 5．（2026·河北邯郸·三模）如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 6．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，且这四个扇形的圆心角的度数比为，则这四个扇形的圆心角的度数最大的是_______． ◆题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 7．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 8．（2024·河北邯郸·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于圆，点D在上，连接，，BD交于点P，则弦所对的圆周角可能是（     ） A． B． C． D． ◆题型四、圆周角定理 10．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________． 11．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：． (2)若，求和的长． 12．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． ◆题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 13．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 14．（2022·湖南衡阳·模拟预测）如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． ◆题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 16．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C在上，，连接并延长交于点D，连接、．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． ◆题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 19．（2026·四川成都·模拟预测）如图，正方形中，，若平面内存在一点满足，，则的面积为______． 20．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为________．    21．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． ◆题型八、已知圆内接四边形求角度 22．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数为_______． 23．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线分别相交于点E，F．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． ◆题型九、求四边形外接圆的直径 25．（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为_____．      26．（2024·吉林长春·模拟预测）两块直角三角板按如图方式放置，、相交于点，给出下面四个结论：①点、、、在同一个圆上；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 27．（25-26九年级下·广东河源·开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，内接于，，，，则的直径是(     ) A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·三模）如图，已知，以为直径的圆交于点，与相切于点，E是圆上一点，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 8．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 9．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 10．（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，是的直径，，点是半圆上靠近点的一个三等分点，点 是 的中点，点 是直径上的一个动点，则 的最小值是________． 11．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 13．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 14．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 15．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆周角9大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆周角 题型一、圆心角概念辨析及简单运算 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 题型四、圆周角定理 题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 题型八、已知圆内接四边形求角度 题型九、求四边形外接圆的直径 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆周角 ◆题型一、圆心角概念辨析及简单运算 1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． ◆题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 4．（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 5．（2026·河北邯郸·三模）如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 【答案】/60度 【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆心角是，由题意，得， 解得， ∴这个扇形的圆心角是． 6．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，且这四个扇形的圆心角的度数比为，则这四个扇形的圆心角的度数最大的是_______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形圆心角的计算，解题的关键是明确整个圆的圆心角是．据四个扇形圆心角的度数比为，求出总份数，进而求出最大圆心角占的份数，最后计算出最大圆心角的度数即可解答． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数比为， 总份数为（份）， ， 最大圆心角占份， 又整个圆的圆心角是， 这四个扇形的圆心角的度数最大的是， 故答案为：． ◆题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 7．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 8．（2024·河北邯郸·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 则， 故选：A． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于圆，点D在上，连接，，BD交于点P，则弦所对的圆周角可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交．二者缺一不可． 【详解】解：根据图形，可知弦所对的圆周角可能是． ◆题型四、圆周角定理 10．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 11．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：． (2)若，求和的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． 为直径，， ． ∵ ， 在和中， ， ． (2)； 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得，进而证明即可求解； （2）连接并延长交于点，可知，根据正切值可知，进而可求，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接并延长交于点， 点是的中点，， ， ， ∴ ， ∴在中，， ， ∴． ∴在中，， ， ∵， ∴． ∵是直径， ∴， ∴在中，， ． 12．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． ◆题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 13．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 14．（2022·湖南衡阳·模拟预测）如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 16．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． (2) 【分析】（1）由垂径定理，结合三角形中位线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C在上，，连接并延长交于点D，连接、．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，首先利用圆周角定理求出，然后由直径得到，然后利用平行线的性质求出，然后结合等边对等角求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵，， ∴， ∵是的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 18．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． ◆题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 19．（2026·四川成都·模拟预测）如图，正方形中，，若平面内存在一点满足，，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出，，由，所以点在以为直径的圆上运动，又，则点与点重合或点与点重合，然后讨论并计算三角形面积即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， 点在以为直径的圆上运动， ∵， 点与点重合或点与点重合， 如图，当点与点重合时，、、三点重合，不能构成，舍去； 如图，当点与点重合时，即为， ． 20．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为________．    【答案】/ 【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，    ∴连接交圆于点P，如图所示，此时的值最小    ∵矩形中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点． 21．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由得出点E在以为直径圆上，求出的长度，当A、O、E三点共线时，取得最小值，据此即可得出答案． 【详解】解：设的中点为点O，以O为圆心，为直径画圆，如图： ∵， ∴点E在以O为圆心，半径为的圆上， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当A、O、E三点共线时，取得最小值， 此时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点E在“以O为圆心，半径为的圆上”是解决问题的关键． ◆题型八、已知圆内接四边形求角度 22．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数为_______． 【答案】/115度 【分析】根据圆周角定理可求得的度数，根据圆内接四边形对角互补可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 23．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线分别相交于点E，F．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及三角形外角的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，，得到，计算即可． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 24．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)60；60 (2) 证明：延长至E，使，连接，如图所示： ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的内接四边形的性质，能够熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案； （2）延长至E，使，连接，如图所示：证明，可得，证明是等边三角形，即可得出结论． （3）过点E作于点F，求解，，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴. ◆题型九、求四边形外接圆的直径 25．（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为_____．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 26．（2024·吉林长春·模拟预测）两块直角三角板按如图方式放置，、相交于点，给出下面四个结论：①点、、、在同一个圆上；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，解直角三角形． 根据，即可判断①；根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据三角形的外角定理，即可判断②；易得为四边形外接圆直径，不是四边形外接圆直径，即可判断③；根据含30度直角三角形的特征得出，再推出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴点、、、在同一个圆上，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵点、、、在同一个圆上， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵，点、、、在同一个圆上， ∴为四边形外接圆直径， ∵不经过中点， ∴不是四边形外接圆直径， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④． 27．（25-26九年级下·广东河源·开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，内接于，，，，则的直径是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接，解直角三角形求出和，继而求出，从而用勾股定理求出，再在直角三角形中利用求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 解得：，即的直径是． 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 4．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河南周口·三模）如图，已知，以为直径的圆交于点，与相切于点，E是圆上一点，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理结合切线的性质，以及同角的余角相等，推出，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵以为直径的圆交于点，与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴. 6．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 8．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 9．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 10．（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，是的直径，，点是半圆上靠近点的一个三等分点，点 是 的中点，点 是直径上的一个动点，则 的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，判断出 的最小值为的长度，结合弧长的比例关系，得出，结合勾股定理可求解出答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，如下图所示： ∵根据轴对称的性质，可得， 故 的最小值为的长度， ∵是半圆上靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是 的中点， ∴是半圆的， ∴也是半圆的， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． 11．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的直径，于， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）首先利用垂径定理得到，然后利用圆周角定理证明即可； （2）连接，利用圆周角定理求出，证明是等边三角形，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，于， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 12．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； (2)半径为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，再得到，再进一步得到，再根据，得到，即可得出结论； （2）作于点，连接，如图：设的半径为，得到，，再根据勾股定理得到，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作于点，连接，如图： 设的半径为，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴半径为． 13．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． (2) 【分析】（1）由垂径定理，结合三角形中位线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 15．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $