4.2圆心角与圆周角（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

分层作业 4.2圆心角与圆周角 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用圆心角、弦、弧之间的关系求值或证明 题型02利用圆周角定理求值或证明 题型03利用圆周角定理推论1求值或证明 题型04利用圆周角定理推论2求值或证明 题型05利用圆周角定理推论3求值或证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用圆心角、弦、弧之间的关系求值或证明 1．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，则______． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，的半径= ． 5．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 6．（第二十九章圆高效同步练习29.2.2圆心角）如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． ( 题型0 2 )利用圆周角定理求值或证明 7．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 10．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 11．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为4，点为上一点，弦于点，，则___________． ( 题型0 3 )利用圆周角定理推论1求值或证明 12．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 13．（26-27九年级上·天津·期中）如图，为的直径，，则的度数为____________． 14．（2026·江苏常州·中考真题）如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，点M，N分别在，上，，，分别交于点C，D，且．求证：． ( 题型0 4 )利用圆周角定理推论2求值或证明 16．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 19．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 20．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． ( 题型0 5 )利用圆周角定理推论3求值或证明 21．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 23．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 24．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 25．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 1．（下册 第三章 追梦综合演练卷）如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径，是上半圆（，除外）上任一点，的平分线交于，弦过，的中点，，则的长是___________． 4．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，在劣弧上确定一点P，使； (3)在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 5．（2026·四川乐山·二模）如图，内接于，是的直径，点是上的一点，连结并延长与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，，，求． 6．（2026·四川成都·三模）如图，在中，，以为直径的交于点D，交延长线于点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求半径和的长． 1．（发散思维能力）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 2．（分类讨论思想）已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（实践操作能力）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 4．（网格问题）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于____________； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的__________________________． 1．（2026·西藏·中考真题）如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，内接于，，，，则的直径是(     ) A． B． C． D． 5．（2026·海南·中考真题）如图，，，，是上的点，，．则________；当点在劣弧上运动时，的最大值为________． 6．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 7．（2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小； (2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2圆心角与圆周角 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用圆心角、弦、弧之间的关系求值或证明 题型02利用圆周角定理求值或证明 题型03利用圆周角定理推论1求值或证明 题型04利用圆周角定理推论2求值或证明 题型05利用圆周角定理推论3求值或证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用圆心角、弦、弧之间的关系求值或证明 1．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】作的中点，连接、，将弧的倍数关系转化为等弧，利用等弧对等弦得到相等线段，再结合三角形三边关系比较大小． 【详解】解：如图，作的中点，连接、． ， ． ． 在中，， ，即． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，的半径= ． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 5．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：连接，如图 ，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， ，，垂足分别为，， ，， ， ，，， ， 四边形是正方形． 【分析】先由垂直条件证明四边形为矩形，再利用等弧对等弦及已知得出，再结合垂径定理以及勾股定理得到弦心距，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得证． 【详解】略 6．（第二十九章圆高效同步练习29.2.2圆心角）如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【答案】证明：过点作，交于点，交于点，如图， ∴，． ， ． 又， ， ∴． ． ， ． 【分析】过点作，交于点，交于点，由垂径定理得到，，然后由三线合一得到，推出，进而证明即可． 【详解】略 ( 题型0 2 )利用圆周角定理求值或证明 7．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ，利用半径相等可得等腰三角形，结合角的和差关系及圆周角定理求解． 【详解】解：连接 ，如图， ， ，， ， 由图可知， 又， . ， ． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 10．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 11．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为4，点为上一点，弦于点，，则___________． 【答案】 【分析】连接，求解，可得，再进一步可得答案. 【详解】解：连接， ∵的半径为4，弦于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. ( 题型0 3 )利用圆周角定理推论1求值或证明 12．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·天津·期中）如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（2026·江苏常州·中考真题）如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 【答案】/40度 【分析】首先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的角度，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，点M，N分别在，上，，，分别交于点C，D，且．求证：． 【答案】证明：连接，如图： ∵，且， ∴，， ∴， 又∵，，即， ∴， ∴． 【分析】连接，根据和可得，，再结合，，即可证明，进而即可证明． 【详解】略 ( 题型0 4 )利用圆周角定理推论2求值或证明 16．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用为的直径，，求出，根据得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到，最后，由两直线平行，内错角相等得出． 【详解】解：是的直径， ， 又， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 18．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 19．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 20．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． ( 题型0 5 )利用圆周角定理推论3求值或证明 21．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 22．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 23．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 24．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 25．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 1．（下册 第三章 追梦综合演练卷）如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过B作的直径，连接，则有，，由同角的余角相等得出，过O作于点E，则，求出，再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：过B作的直径，连接， 又， 则有，， ∴，， ． 过O作于点E， 在中，，． 由勾股定理得， ． ． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径，是上半圆（，除外）上任一点，的平分线交于，弦过，的中点，，则的长是___________． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由垂径定理的结论说明，从而说明是的中点，在中，由勾股定理得的长，即可求得． 【详解】解：连接交于点，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 直径， ， ， 在中，，由勾股定理得 ， ． 4．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，在劣弧上确定一点P，使； (3)在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 【答案】(1)解：如图，点O即为所求： (2)如图，点P即为所求： (3)如图，弦即为所求： 【分析】（1）连接与格线的交点O，即可； （2）取格点Q，连接交交圆于点P，即为所求点； （3）连接交格线于点F，连接并延长交圆于点E，连接，则． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 5．（2026·四川乐山·二模）如图，内接于，是的直径，点是上的一点，连结并延长与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，，，求． 【答案】(1)是的直径， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据，可证明； （2）先证明得，求出，再求出，最后根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）解：是的直径， ， ∴， ∵点是的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·四川成都·三模）如图，在中，，以为直径的交于点D，交延长线于点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求半径和的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的直径，在上， ∴， 即， 又∵， ∴； (2)的半径为， 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，结合， 即可证明； （2）由（1）得，，证明， 结合，得出，即可得，在中，求出， ， 则的半径为，证明，得出，证明，得出， 求出， ， 结合，即可求出，即，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵同弧所对圆周角， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴， 在和中，是公共角，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵在延长线上， ∴， ∵， ∴，即， ∵， 设，，得，解得：， ∴． 1．（发散思维能力）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 2．（分类讨论思想）已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 3．（实践操作能力）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，可推出，最后根据所画射线为的角平分线可求得答案． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 根据作图步骤可得：平分， ∴． 4．（网格问题）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于____________； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的__________________________． 【答案】 根据以点和点为顶点的的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心；连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即为的平分线 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据的圆周角所对的弦为直径，找到两条直径的交点即为圆心；根据垂径定理和弧、圆周角的关系即可作出的平分线． 【详解】解：（1）， ∴线段的长度等于； （2）如图，分别以点和点为顶点构造和， ∵， ∴和都是的直径， ∴和的交点是圆心，即为所要求作的点， 如图，连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接， 通过证明三角形全等易得点为小正方形一边的中点， ， 又∵ ∴ ， ， ， ， 平分， 点就是所要求作的点． 1．（2026·西藏·中考真题）如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，内接于，，，，则的直径是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接，解直角三角形求出和，继而求出，从而用勾股定理求出，再在直角三角形中利用求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 解得：，即的直径是． 5．（2026·海南·中考真题）如图，，，，是上的点，，．则________；当点在劣弧上运动时，的最大值为________． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理，结合圆心角、弧和弦的关系求得，，证明是等边三角形可得；过A作于E，过B作于F，设与相交于H，利用锐角三角函数得到，当最大时，最大，利用垂线段最短得到，，当即E、H、F重合时，同时取等号，则的最大值为6，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； 过A作于E，过B作于F，设与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∴，当最大时，最大， ∵，，当即E、H、F重合时，同时取等号， ∴，则的最大值为6， ∴的最大值为． 6．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 7．（2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小； (2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 【答案】(1)；； (2)证明：如图，连接， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，结合圆周角定理与直角三角形的两锐角互余可得答案． （2）如图，连接，表示，证明，可得，求解，证明，再进一步证明即可． （3）如图，连接，证明，，可得，证明，可得，设，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， 同理：， ∴， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 解得：（大于直径，舍去）， ∴的长为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.2圆心角与圆周角 参考答案 A组 巩固过关 题型01 利用圆心角、弦、弧之间的关系求值或证明 1.B 2.C 3.30° 4.5 5. 【答案】证明：连接OA、OD,如图 AB⊥CD,OE⊥AB.OF⊥CD, ∴四边形OEPF是矩形， AC=BD :AC+BC=BD+BC,B AB=CD, .AB=CD :OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, E-4B.DF-CD. :AE=DF, OA=OD,OE2=0A2-AE2,OF2=OD2-DF2. ∴.OE=OF, ∴四边形OEPF是正方形. 1/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. 【答案】证明：过点O作OM⊥AB,交AB于点M,交⊙0于点N,如图， C D .AM=BM,AN=BN .AC=BD, ..CM=DM, 又OM⊥CD .∴OC=OD ∴.∠EON=∠FON .EN =FN :AN EN BN-FN, :AE=BF 题型02 利用圆周角定理求值或证明 7.A 8.D 9.66 10.84 11.60° 题型03 利用圆周角定理推论1求值或证明 12.A 13.62° 14.40° 15. 【答案】证明：连接AC,BD,如图： MO N B AD=BC,且CD=CD, .AC=BD,∠CAB=∠DBA, ∴.AC=BD 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：CM⊥AB,DN⊥AB,即∠CMA=∠DNB=90°， .△AMC≌aBND(AAS), ∴CM=DW 题型04 利用圆周角定理推论2求值或证明 16.C 17.A 18.4 19.30° 20. 【详解】 (1)解：(1)证明：AB是⊙0的直径， ÷∠C=90°， OD∥AC, .∠OEB=∠C=90°， ∴OD⊥BC, :.BE=CE, E为BC的中点： (2):O为AB的中点，E为BC的中点， ∴.OE是△ABC的中位线， 0B=AC=3」 OD=OE+DE=3+2=5. :.0B=OD=5, 在RtABE0中，BE=VOB2-OE2=V52-32=4, ∴.BC=2BE=8 题型05 利用圆周角定理推论3求值或证明 21.C 22.20° 23.120° 24.14 25. 【详解】(1)解：如图，连接AD,AB交CD于点H, 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E :AB是直径，AB⊥CD,∠BAC=25°， ∴.BC=BD,∠AHD=90°， .∠BAD=∠BAC=25° .∠ADC=90°-∠BAD=90°-25°=65°， ∴.∠AFC=∠ADC=65」 (2)证明：如图，连接AD, 07 E :AB是直径，AB⊥CD, .AC=AD, .∠ACD=∠ADC, .∠ACD+∠AFD=180°，∠AFD+∠AFE=180°， ∴.∠AFE=∠ACD '∠AFC=∠ADC=∠ACD, ·.∠AFC=∠AFE,即FA平分∠CFE, B组 能力进阶 1.D 2.A 3.5V5 4. 【答案】(1)解：如图，点O即为所求： 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (2)如图，点P即为所求： P B (3)如图，弦DE即为所求： 5. 【详解】(1)：AB是⊙0的直径， ∴.∠BCM=∠ACE=90°， CD=CD .∠MBC=∠EAC, ∴.△BCM∽△ACE: (2)解：AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=90°， .∠ADB=∠MDA=90° 点D是AC的中点， AD=CD ∴.∠CAD=∠ABD=∠ACD 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABD∽△MAD, AD MD BD AD .AD2=BD.MD, BD.MD=5. 4AD=5, 1 .tanACD= 2 tan∠ABD= 2, AD .BD= =2AD=2N5. tan∠ABD ..AB=AD2+BD2=5 6. 【详解】(1)证明：连接AD, A D :AC是⊙O的直径，D在⊙O上， ∴∠ADC=90°. 即AD⊥BC, 又AB=AC, .BD=CD: (2解：由(a)符D-D-BC=4,AD LBC 0D=0C, .∠ODC=∠C, .AB=AC. ∠B=∠C, ∴.∠B=∠ODC, .OD∥AB .∠ODG=∠AED 6113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，同弧AD所对圆周角∠AED=∠C, ∴，∠ODG=∠C、 1 ∴.tan∠C=tan∠ODG= 2 在RaDC中，tan∠C=D-=是 ΓCD2’CD=4' ∴.AD=2, .AB=AC=VAD2+CD2=V22+42=25, 户00的半径为=5， OD∥AE, .△AEGAODG, AG AE 0G0D' 在△BDE和△BCA中，∠B是公共角，∠BED=∠C, .△BDEPABAC, BD BE BA BC' BD=4,BA=AC=25,BC=8, BE=BD.BC=4x816-165 BA25V5-5, E在BA延长线上， :AE=BB-AB=165-25=65 5 OD=5, 65 .AE 5 0=5=5 ,即AG_6, OG 5 A0=5=AG+0G, 股4G=6'OG5'得k=5解得：k- ·AG=6M=6V5 11 7/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.B 2.D 3.A 【详解】解：(1)AB=V42+P=V7, ∴线段AB的长度等于V7: (2)如图，分别以点A和点B为顶点构造RtAACD和Rt△EBF, .∠CAD=∠EBF=90° ∴CD和EF都是⊙O的直径， ∴CD和EF的交点O是圆心，即为所要求作的点， 如图，连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点M,连接MW交CB于点K,连接KO并延长交 ⊙O于点P,连接AP, 通过证明三角形全等易得点M为小正方形一边的中点， ..MB=CN, 又.CNII BM ∴.∠NCK=∠MBK,∠CNK=∠BMK ·△CNK≌aBMK(ASA), ..CK=BK .OK⊥BC, 8/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PC=PB ∴.∠PAC=∠PAB, ∴.AP平分∠BAC, ∴点P就是所要求作的点， 拓展 链接中考 1.A 2.A 3.B 4.A 5.6 2V5 6. 【详解】(1)解：，AC为⊙0的直径， ∴.∠ABC=90° AB=BC, ∠BAC=∠BC1-080-∠ABC)-x309-90r)=45. ,在⊙O中，BC所对的圆周角为∠BAC、∠BDC, .∠BDC=∠BAC=45°； (2)解：如图，过点C作CK⊥BD于点K, E ,AE⊥BD ∴.∠CKD=∠BKC=∠AEB=90°. 由(1)知：∠ABC=90°，∠BDC=45° .∠CBK=90°-∠ABE=∠BAE. ∠DCK=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC, .DK=CK, 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BCK和△ABE中， ∠CBK=∠BAE ∠BKC=∠AEB」 BC=AB :.△BCK≌aABE(AAS), :.CK=BE=2, :.DK=CK=2, 在R△CDK中，CD=NDK2+CK2=2+2=2, 即CD的长为2. 7. 【详解】(1)解：：∠CAB=a,AC=AD .ACD-ADC) ,'∠ABE,∠ACE为AE所对的圆周角， ∴.∠ABE=∠ACD=90°-1a 2 .GF⊥CE, :Pc8=90r-/1nc=0r-w--0 (2)证明：如图，连接OF,OE :LCEB,LCAB为CB所对的圆周角， .∠CEB=LCAB=a, AB为直径， .∠ACB=90° ∴.∠ABC=90°-a, :∠EBD=∠ACD=90°- 2a, 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CBE=ABC+∠E=0°-a+w-=138r-3a, 2 CD=CF,BF=DE, ∴CE=CB, ∴∠CEB=∠CBE=180°_ 2, 同理：∠CAB=∠CEB, 0=180°-3 解得：a=72°， .LCAB=LCEB=LCBE=72°， 六∠BCD=180-72-72=360,∠FGB= a=36° ∴.LBOE=2LBCD=72°， ..OB=OE, ∴.L0BE=LOEB=54°， .∠0ED=∠OBF=72°-54°=18°， .△OED≌AOBF(SAS), :∠0F8=∠0DE=∠ADC=4D=90-a=59,∠DOE=∠BOF .∠DOE+∠BOE=180°. .∠BOF+∠BOE=180°， E,O,F三点共线， ∴.LG0F=∠B0E=72°， ∴.∠GF0=180°-∠FG0-∠G0F=72°=∠G0F. ∴GF=G0 (3)解：如图，连接AE,OE, B 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠ACB=90°， ∠ACD=∠ADC=900-'G a 2 FGB 1 同理：∠DME=∠BCE=2Q, ∴∠FGB=∠DAE, 结合(1)可得：∠ACD=∠ADC=∠EDB=LOBE=LOEB, ∠EBD=∠OBE. .△BDEC∽ABEO. BD BE BE=BO,即BE2=BDBO: 同理可得：∠AED=∠FBG, BF=DE, .△FGB≌△DAE(AAS). .AE=BG, 设AC=AD=x, A0=1, .AB=2,BD=2-x,OD=x-1, .OD=2AG, .4G=x-1 2, AE=BG=2-x-1=5-x 22 .BE2=BD·BO=2-x, AB为直径， .∠AEB=90°， .2=2-x+ .x2-14x+17=0, 解得：x=7-4V2(x=7+4W2大于直径，舍去)， .AC的长为7-4V2 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13/13