专题02 圆的对称性（垂径定理）9大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题02 圆的对称性（垂径定理）9大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆的对称性（垂径定理） 题型一、利用垂径定理直接求值 题型二、利用垂径定理间接求值 题型三、利用垂径定理求平行弦问题 题型四、利用垂径定理求同心圆问题 题型五、垂径定理的推论 题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 题型九、垂径定理的综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆的对称性（垂径定理） ◆题型一、利用垂径定理直接求值 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用垂径定理求解即可． 【详解】解：∵是的弦，半径于点， ∴． 2．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，弦的长为8，圆心到的距离， ， ， 在中，， 的半径长为． 3．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到，，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， ∴的周长为． ◆题型二、利用垂径定理间接求值 4．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则________． 【答案】 【分析】连接，由同圆半径相等得到，结合为中点、，得到垂直平分，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等得到，求出． 【详解】解：连接． ∵ ，都是的半径， ∴ ． ∵ 是的中点， ∴ ． ∵ ， ∴ 垂直平分线段． ∵ 点在直线上， ∴ ． ∴ ． 5．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个直角给出；过圆心作弦的垂线，一方面由垂径定理算出圆心到的距离，另一方面借矩形把已知的、搬到辅助线上，再用勾股定理求出，相减即得． 【详解】解：∵，， ∴． 过圆心作于点，延长交的延长线于点（如图）， ∵，且是的弦， ∴点是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、矩形的判定与勾股定理的综合运用．关键有两步：一是由得，从而两平行线间的距离就是；二是过圆心作弦的垂线，先用垂径定理求出与，再由矩形把搬到、把搬到，由得，最后在中求，由得解． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴，即， ∵于点， ∴， ∴， ∴点是的中点． (2) 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系得出，根据垂径定理得出，进而得出，即可得出点是的中点； （2）根据垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而得出，根据得出是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，连接、， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴． ◆题型三、利用垂径定理求平行弦问题 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 8．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． ◆题型四、利用垂径定理求同心圆问题 10．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 11．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 12．（24-25九年级下·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． ◆题型五、垂径定理的推论 13．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点，求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵平分，并交于点， ∴， ∴， ∵点在上， ∴． 【分析】连接，可得是等腰三角形，由平分，根据等腰三角形的三线合一，即可证明结论． 【详解】略 14．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． ◆题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 16．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 17．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）阅读材料，回答问题： 如何确定桥下行船能否安全通过 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 任务一 确定拱桥的半径 求出拱桥所在的半径． 任务二 确定桥下行船能否安全通过 有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，且高出水面，则此货船能否顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由． 【答案】（1）半径为； （2）能通过，理由如下： 如图，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴． ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． （1）连接并延长至点，连接，使得，根据垂径定理推论可得为中点，设，则，勾股定理建立方程，解方程即可求解； （2）在中，勾股定理求得，进而求得，与比较即可求解． 【详解】解：连接并延长至点，连接，使得， ∵是的中点，为半径， ∴，， 又∵， 设，则． 在中，根据勾股定理得：， 解得； （2）略 18．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． ◆题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 19．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径的长是，净高为，则此路面宽为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据题意得到，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：根据题意得到， 在中，， ， 故选B． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某隧道入口的截面如图所示，是由和矩形组成，所在圆的圆心为矩形对角线的交点，已知，M是的中点，此时隧道的最高点P离地面的距离． (1)求该道路的路面宽； (2)在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则求出这照明灯离地面的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，圆的有关性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握矩形的性质，垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）连接，，它们交于点O，交于点G，利用圆，矩形为轴对称图形和轴对称的性质得到经过圆心O，，利用垂径定理和勾股定理，三角形的中位线定理解答即可得出结论； （2）连接，交于点H，利用已知条件得到，连接，交于点N，利用垂径定理得到，，再利用勾股定理和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，，它们交于点O，交于点G，如图， ∵隧道的最高点P， ∴P为的中点， ∵M是的中点， ∴直线为该图形的对称轴， 经过点O， ， ， ∵四边形为矩形， ，米，四边形为矩形， 米， ，， 为的中位线， （米）， 米， 米， （米）， 米， （米）， （米）； （2）解：连接，交于点H， ∵E，F离地面相同高度， ， ， 连接，交于点N， ∵点E是的中点， ，． （米）， （米）． 在和中， ， ， （米）， （米）， 米． 答：这照明灯离地面的高度为米． 21．（2024·河北·模拟预测）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． ◆题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 22．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 23．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 24．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【答案】这个月洞门所在圆的半径为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，设的半径为，则，，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图2，连接， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 答：这个月洞门所在圆的半径为． ◆题型九、垂径定理的综合 25．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图 设为的半径，于，则为 中点，， ∵劣弧沿折叠,经过圆心， ∴点与点关于对称， ∴，且 . 如图 ∵劣弧沿折叠，经过的中点， ∴且平分， 设 与 所在直线交于点 F，则． 设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接， ∴，， 在中，， 由垂径定理得． 26．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，点，在上，，与交于点，，是的直径，且于点，，连接交于点，连接，则的长度为________，的长度为________． 【答案】 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵， ∴， ∴，， 连接， 设的半径为， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴； 连接，作于点， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，， ，即， ∴， 解得（舍去）或， ∴， 解得， ∴，， 在中，． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知的半径为 5，为内一点，且，则内，过点的所有弦中，弦长不可以是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】过点作，交于，，连接，利用勾股定理求出，可得的长，根据过点的最短的弦是垂直于的弦，最长的弦是过点的直径，即可判断． 【详解】解：过点作，交于，，连接，则，， 在中，， ∴， ∵的半径为 5， ∴的直径为， ∴过点的最短的弦长为8，最长的弦长为10， ∴过点的所有弦中，弦长不可能为 7． 2．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 3．（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 4．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 6．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 【答案】32 【分析】根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 【详解】解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 由题意知，，， ∴，． ∴在中，， ∴． 7．（2026·广东珠海·一模）如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为米，拱门底部跨度米．现要在拱门内加装一根垂直于底边的加固立柱，点M在圆弧上，点N在上，且点N把线段分为的两部分，则线段的长度为______米． 【答案】或 【分析】分两种情况当时，当时，结合垂径定理以及勾股定理解答即可． 【详解】解：当时，如图，取圆心O，连接，过点O作于点C，，交延长线于点D，则米， ∵米， ∴米， ∴米，米， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， 解得：米， ∴米； 当时，如图，取圆心O，连接，过点O作于点C，，交延长线于点D，则米， 同理米， ∴米； 综上所述，的长为或米． 8．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】 【分析】过作于点，延长交于点，连接，，，则有，，，从而可得，则，然后通过勾股定理求出，设为，则，通过勾股定理得，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为，则， ∵， ∴， ∴， ∴这座圆形观景台的半径是． 9．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 这个“莱洛三角形”的周长就是三条圆心角为，半径为6的圆弧的和，然后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∴的长相等， ∴此“莱洛三角形”的周长是 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴ ∴． 【分析】根据已知求得，可得，再通过证明即可得． 【详解】略 12．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 13．（2026·北京昌平·二模）如图，为的直径，是的切线，点C是圆上一点，连接，，，弦垂直于点， (1)求证：是的切线； (2)过点C作，交于点F，连接交于点G，若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题干条件证明，可得，即可证明是的切线； （2）由，半径为，求出，由勾股定理求出，再由为矩形求出，最后由求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ． 在和中，， ， ，即， 点C是圆上一点， 是的切线． （2）解：如图，过点C作，交于点F，连接交于点G，连接， ，半径， ， ， ，，，即， 四边形为矩形， ． ， ， ，即， 解得． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，与相切于点，与相切于点，作，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长交于，利用切线性质和平行线性质证明，结合垂径定理得；再由切线长定理得，通过等腰三角形性质和平行线内错角相等，结合三角形内角和定理，证明 （2）先由切线长定理得，结合勾股定理和面积法求出的长；再利用（1）的结论证明，根据相似三角形对应边成比例求出的长． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点 与相切于点， ， ． ， ， ， ， ， ． 与相切于点，与相切于点， ， ． ， ， ． 在中，， 在中，， ，， ． （2）解：连接、、，设与交于点， 、与分别相切于点、， ，， ，， 在中，， ，， 垂直平分， ， , ． 由（1）知：，， ， ， ∴． 15．（2026九年级·北京·专题练习）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如下图所示，连接， 弦直径， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立； （2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据余弦定义可知，可以求出，的值，由垂径定理可知，利用的余弦求出，利用勾股定理求出，从而可得，进而求出，则可以求出，利用三角函数在中，求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）详解见答案 （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ， 在中，， ，解得， ，半径， 弦直径， ，， 在中，， ，即， ，， 在中，，即， 为切线，是半径， ， ， 在中，，， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的对称性（垂径定理）9大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆的对称性（垂径定理） 题型一、利用垂径定理直接求值 题型二、利用垂径定理间接求值 题型三、利用垂径定理求平行弦问题 题型四、利用垂径定理求同心圆问题 题型五、垂径定理的推论 题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 题型九、垂径定理的综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆的对称性（垂径定理） ◆题型一、利用垂径定理直接求值 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 2．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． ◆题型二、利用垂径定理间接求值 4．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则________． 5．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． ◆题型三、利用垂径定理求平行弦问题 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 8．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 ◆题型四、利用垂径定理求同心圆问题 10．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 11．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 12．（24-25九年级下·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． ◆题型五、垂径定理的推论 13．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点，求证：． 14．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． ◆题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 16．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 17．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）阅读材料，回答问题： 如何确定桥下行船能否安全通过 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 任务一 确定拱桥的半径 求出拱桥所在的半径． 任务二 确定桥下行船能否安全通过 有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，且高出水面，则此货船能否顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由． 18．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ ◆题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 19．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径的长是，净高为，则此路面宽为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 20．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某隧道入口的截面如图所示，是由和矩形组成，所在圆的圆心为矩形对角线的交点，已知，M是的中点，此时隧道的最高点P离地面的距离． (1)求该道路的路面宽； (2)在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则求出这照明灯离地面的高度． 21．（2024·河北·模拟预测）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． ◆题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 22．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 23．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． ◆题型九、垂径定理的综合 25．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 27．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，点，在上，，与交于点，，是的直径，且于点，，连接交于点，连接，则的长度为________，的长度为________． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知的半径为 5，为内一点，且，则内，过点的所有弦中，弦长不可以是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 4．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 6．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 7．（2026·广东珠海·一模）如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为米，拱门底部跨度米．现要在拱门内加装一根垂直于底边的加固立柱，点M在圆弧上，点N在上，且点N把线段分为的两部分，则线段的长度为______米． 8．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 9．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． 10．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 12．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 13．（2026·北京昌平·二模）如图，为的直径，是的切线，点C是圆上一点，连接，，，弦垂直于点， (1)求证：是的切线； (2)过点C作，交于点F，连接交于点G，若的半径为3，，求的长． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，与相切于点，与相切于点，作，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 15．（2026九年级·北京·专题练习）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $